地震反应分析概述

结构地震反应分析

结构地震反应分析的主要工作是首先将结构简化成力学分析模型，然后输入地震作用，计算模拟结构的反应行为，包括内力和变形反应时程或最大值。其目的是为结构抗震设计提供必要的数据资料；或为抗震安全鉴定和拟定抗震加固方案提供参考依据；或为研究结构破坏机理提供基本手段，从而改善设计，提高结构的抗震性能。

结构地震反应取决于地震动输入特性和结构特性。随着人们对地震动特性和结构特性的了解越来越多，特别是技术手段越来越先进，结构地震反应分析方法也跟着有了飞跃的发展。

结构抗震分析方法的发展大体上可分为三个阶段，即静力法、拟静力法（通常指反应谱方法）和动力法阶段。

静力法是20世纪初首先在日本发展起来的。该方法将结构物看成是刚体，并刚接于地面。这样，结构在最大水平加速度绝对值为max a 的地面运动激励下，受到的最大水平作用力P （即最大惯性力）为

kW A g

W P ==max 其中，W 是结构物的重量，k 是地面最大水平加速度绝对值max A 与重力加速度g 之比，称为地震系数。

在当时人们对地面运动的频谱和卓越周期的了解还不够多，以及房屋多为低层建筑的情况下，应用上述地震荷载计算公式于抗震

设计还是可以的。但是，随着地震资料的积累和城市与工业建设的发展，使人们认识到作为静力法基础的刚性结构假定已明显地远离实际情况，于是考虑结构物的弹性性质、阻尼性质及相应动力特性的反应谱方法便发展起来了。

反应谱方法出现在20世纪40年代。美国的一些学者在取得了一部分强震地面运动记录之后，考虑地震动特性与结构动力特性共同对结构地震反应产生决定性影响的这一事实，提出了反应谱概念和相应的设计计算方法。这一方法有动力法的内容，却具静力法的形式，故可称之为拟静力法。该方法对结构地震反应分析产生巨大影响，至今仍是结构抗震设计的主要计算方法。

尽管反应谱方法取得的进步是实质性的，但它的应用还是受到一些限制，如原则上只能用于线性结构体系；不能真实反映复杂结构体系的动力放大作用。因此，随着重大工程的不断兴建和计算机技术的飞速发展，20世纪70年代，结构地震时程反应分析得到全面发展。

相对于反应谱方法而言，时程反应分析是一种动力分析方法，它求取的不是结构的某种最大反应或其近似估计，而是结构在地震激励下的反应时间历程，即地震与结构相互作用的过程，其结果更为可靠。另外，时程反应分析可以真正处理非线性问题，这是结构地震反应分析一个非常重要的方面。

随计算机和有限元技术的发展，结构分析模型也经历了一个由极

其简化到相对较少简化的过程。以前大家熟悉的一些简化分析模型，如剪切模型，考虑梁变形作用的D值法以及框架剪力墙协同工作体系模型等，在当前的研究与设计中已很少使用，取而代之的是三维空间有限元分析模型。

目前，各种大型有限元程序为结构地震反应分析提供了强有力的工具。应用这些程序，结构弹性地震反应分析已不存在问题，无论多么复杂的结构体系，只要计算模型简化的合理都能得到满足一定工程精度要求的结果。

结构弹塑性地震反应性态极其复杂，尽管经科研人员数十年的努力，发展了一些分析方法，但仅较规则的结构二维弹塑性分析可以取得基本令人满意结果，量大面广的复杂结构的分析方法至今未能很好解决，它是今后有关科研人员需要重点解决的课题。

弹塑性地震反应可以分为静力弹塑性反应分析和动力时程反应分析。静力弹塑性地震反应分析一般指近年为满足性态抗震设计而发展的pushover分析方法，该方法的主要步骤是首先将地震荷载等效成某种分布形式的静力荷载，用静力弹塑性分析方法求得结构的基底剪力与位移关系曲线，即结构能力曲线，然后将结构等效成单自由度体系并将结构的能力曲线和地震输入谱曲线转换成相同坐标格式，根据两曲线的交点确定结构位移反应。研究表明这一分析方法在分析中低层剪切型结构时，可以提供较满意的弹塑性位移反应估计结果，而分析高层结构时，则误差较大，基本不适用高层结构

地震反应分析。

估计结构的弹塑性地震反应行为，较准确、可靠的方法无疑是弹塑性时程反应分析方法。但目前仅二维分析方法发展的较为成熟，并在研究中得到广泛应用，问题是大部分实际需要进行弹塑性分析的结构形式均较为复杂，难以简化成合理的二维分析模型，如勉强进行二维分析模型简化，必将导致分析结果的较大误差。

结构三维弹塑性地震反应分析一直是结构抗震分析中有待解决的难题。主要困难是如果以构件作为单元，则构件三维受力状态下的恢复力模型难以确定；如果采用较精细的非线性有限元模型，则依然存在构件三维受力状态下的本构关系难以确定问题，且计算量也难以接受。尽管如此，有关科研人员还是在努力探索，不断提出一些新的模型和计算方法，使结构三维弹塑性地震反应分析中存在的问题逐步得到解决。

结构动力反应分析

结构动力分析是计算分析结构在动荷载作用下的变形和内力，校核结构是否满足指定安全要求，它是结构工程领域的重要环节。

动荷载是指随时间而改变的荷载。同样，动荷载作用下结构的反应（内力及变形）也是随时间而改变的。

结构动力反应分析主要内容涉及建立计算分析模型和体系运动方程，确定结构特性参数，选择合理的方法进行运动方程求解等。

分析方法可分为两大类：确定性分析方法和不确定性即随机反

应分析方法。选取哪种分析方法取决于荷载和结构参数是否可以给定，如果它们完全是已知的，则采用确定性分析方法，如它们并不完全已知，但可从统计意义上定义，则一般采用随机反应分析方法。

从荷载大小和结构是否进入弹塑性状态角度考虑，分析方法可进一步分为弹性反应分析和弹塑性反应分析。前者假定在动荷载作用下，结构始终处于初始弹性状态。后者则要考虑随时间荷载的作用，结构参数不断改变情况下的反应。

在地震反应分析中，分析方法还可以分为静力法、反应谱方法和时程分析方法。早期采用的静力法非常简单，即结构承受的侧向地震力等于结构质量乘以地面运动峰值加速度。反应谱方法是首先将结构进行振型分解，然后根据指定的地震反应谱确定每个振型的反应，最后将这些叠加求出结构总体反应。反应谱方法是一种伪动力方法，它没有考虑结构随时间的动力反应过程，但是考虑了结构动力特性对其反应的影响。时程分析方法则完全是求解结构的振动反应过程。

运动方程

结构动力反应分析的目的是计算结构在给定随时间变化荷载作用下的变形和内力的反应过程。我们知道，一个结构具有无限多个变形自由度，但在大多数情况下，应用包含有限个自由度的近似分析方法，就足够精确了。这样，问题就变为求出这些所选定的有限个变形分量的时间过程。描述动力变形的数学表达式称为结构的运动方程，而这些运动方程的解就提供了所求的变形过程。

建立动力体系的运动方程常用三种方法，即直接平衡法、虚位移原理方法和哈密尔顿原理方法。动力体系的运动方程可用上述三种不同方法中的任一种来建立．最简单明了的方法是采用直接平衡法建立作用于体系上全部力（包括惯性力）的动力平衡方程，但对于更复杂的体系，特别是对那些质量和弹性只在有限区域是分布的体系，直接的矢量平衡可能是困难的，而应用仅包含功和能等标量来建立方程式的方法则更为方便，其中最直接的就是基于虚位移原理的方法。在这种方法中，首先计算作用于体系上的力，然后由它们在相应的虚位移上所作的功来导出运动方程。哈密尔顿原理是利用能量来建立运动方程，它不直接利用作用于体系内的惯性力或保守力，而是采用体系的动能和位能的变分来替代这些力的作用。上述三种方法是完全相等的，采用哪种方法取决于是否方便和个人的喜爱以及动力体系的性质。

直接平衡法

任何动力体系的运动方程都可以用牛顿第二运动定律表示：即任何质量m 的动量变化率等于作用在这个质量上的力。这个关系在数学上可用微分方程来表达：

)()(dt

d m dt d t v p （1）

其中)(t p 为作用力矢量，)(t v 为质量m 的位置矢量．对于大多数的结构动力学问题，可以假设质量是不随时间变化，这时方程（1）可改写作

)()(22t m dt

d m t v v p == （2） 它表示力为质量与加速度的乘积，(2)式也可改写为：

0v

p =-)()(t m t （3） 此时第二项)(t m v

被称为抵抗质量加速度的惯性力。 质量所产生的惯性力与它的加速度成正比，但方向相反。这个概念称作为d'Alembert 原理。由于它可以把运动方程表示为动力平衡方程，因而是结构动力学问题中一个很方便的方法。可以认为，力)(t p 包括许多种作用于质量上的力：抵抗位移的弹性约束力，抵抗速度的粘滞力，以及独立确定的外荷载。因此，如果引人抵抗加速度的惯性力，则运动方程的表达式仅仅是作用于质量上所有力的平衡表达式。在许多简单问题中，最直接而且方便的建立运动方程的方法就是直接平衡法。

虚位移原理

如果结构体系相当复杂，而且包含许多彼此联系的质量点或有限尺寸的质量块，则直接写出作用于体系上所有力的平衡方程可能是困难的。通常所包含的各式各样的力可以容易地用位移自由度来

表示，而它们的平衡规律则可能是不清楚的。此时，虚位移原理就可用来代替平衡规律建立运动方程。

虚位移原理可阐述如下：如果一个平衡的体系在一组力的作用下承受一个虚位移，即体系约束所允许的任何微小位移，则这些力所作的总功将等于零．按这个原理，很明显，虚位移时所作的功为零是和平衡等价的。因此，在建立动力体系的反应方程时，首先要搞清作用于体系质量上的所有的力，包括按照d'Alembert 原理所定义的惯性力，然后引入相应于每个自由度的虚位移，并使所作的功等于零，这样就可以导出运动方程。这个方法的主要优点是：虚功为标量，可以按代数方式相加，而作用于结构上的力为矢量，只能按矢量叠加。

利用虚位移原理建立运动方程的简单实例见单自由度体系运动方程。

哈密尔顿原理

避免建立平衡矢量方程的另一个方法是使用以变分形式表示的能量（标量）的方法。通常最广泛应用的变分概念为哈密尔顿（Hamilton ）原理。此原理可表达为

??=+-2

12

10)(t t t t nc dt W dt V T δδ （1） 其中：-T 体系的总动能；

-V 体系的位能，包括应变能及任何保守外力的势能； -nc W 作用于体系上的非保守力（包括阻尼力及任意外荷载）所作的功；

-δ 在指定时间区间内所取的变分。

哈密尔顿原理说明在任何时间区间1t 到2t 内，动能和位能的变分

加上所考虑的非保守力所作的功的变分必须等于零。这个原理的应用直接导出任何给定体系的运动方程。这个方法和虚功方法的不同在于：在这个方法中，不明显使用惯性力和弹性力，而分别被动能和位能的变分项所代替。因此，这种建立方程的方法的优点是，它只和纯粹的标量―能量有关，而在虚功分析中，尽管功的本身是标量，但被用来计算功的力和位移却都是矢量。

哈密尔顿原理也可用于静力问题。此时，动能项T 消失，而方程

(4)的积分中剩余的项是不随时间变化的，于是方程简化为 0)(=-nc W V δ (2) 这就是广泛应用在静力分析中著名的最小位能原理。

利用哈密尔顿原理建立运动方程的简单实例见单自由度体系运动方程。

单自由度体系运动方程

一个理想化单自由度运动体系如图1所示。

图中：k –弹性刚度，m –质量，c –

阻尼系数，)(t p –外力，x –位移坐标，

I f –惯性力x m

=（x -加速度），s f –弹性恢复力kx =，D f –阻尼力x

c =（假设粘滞阻尼，x -速度）。

采用直接平衡法来建立运动方程。

如图1b 所示，根据力的平衡可以得到：

)(t p f f f S D I =++ （1）

即

)(t p kx x c x m =++ （2）

公式（2）即为单自由度体系运动方程。

再采用虚位移原理来建立此单自由度体系的运动方程。假设给图1b 所示体系一个虚位移x δ（仅仅是体系约束所允许的微小位移），则每个力都将做功，体系所作的总功可写作

0)(=+---x t p x f x f x f S D I δδδδ （3）

式中的负号是由于力的方向和虚位移方向相反，将各种力的表达式代入方程（3），并提取公因子x δ，可以得到

0)]([=δ+---x t p kx x c x

m （4） 因为x δ不等于零，所以可以得到同式（2）一样的方程。

图1 理想化单自由度运动体系

（a ）基本元件； （b ）平衡力系 (b ) (a ) x x

继续利用哈密尔顿原理来推导这个体系的运动方程。根据定义，

体系的动能为22/1x

m T ?=，而仅由弹簧的应变能U 表达的位能为22/1kx U V ?==，该体系的非保守力为阻尼力D f 和外荷载)(t p ，这

些力所做功的变分为x x

c x t p w nc δ-δ=δ )(，将以上各式代入哈密尔顿原理的表达式，并经相应的变分和整理后可得

?=δ+δ-δ-δ2

10])([t t dt x t p x kx x x c x x

m （5） 上式中的第一项可以进行如下的分部积分：

??δ-δ=δ212

112

t t t t t t xdt x m x x m dt x x m （6） 式中利用了关系dt x d x

/)(δ=δ 。因为在哈密尔顿原理中假定变分x δ在积分限1t 和2t 时为零，所以方程（6）右边第一项为零，将方程（6）代回方程（5），结果为

0)]([2

1=δ+---?xdt t p kx x c x

m t t （7） 因变分x δ的任意性，所以必须括号内的表达式等于零时才能使方程始终得以满足。这样就得到了同样的单自由度体系运动方程。

当受到地震作用时，不仅需要考虑体系相对地面的加速度，还

要考虑地面的加速度，因此，惯性力)(g I x x m f +=。这时只需将g x m

移到方程的右端作为一种特殊的外荷载处理即可。

如果p (t )=0，式（2）则成为单自由度体系自由振动方程：

022=+?+x x x

ωξω （8） 式中：ω

ξm c 2=，称为阻尼比；m k /=ω，称为圆频率，是表示体系自振特性的一个参数。

运动方程（8）的解为：

??

????++=-t x t x x e t x D D D t ωωωξωξωcos )0(sin )0()0()( （9） 式中：)0(x

和)0(x 分别代表体系的初始速度和初始位移；21ξωω-=D ，称为阻尼振动圆频率。式（4）表示在初始扰动下，体系随时间变化逐渐衰减的振动过程。

体系在外力作用下的运动特性可以通过假设图1所示体系承受幅值0p 、圆频率为?的简谐荷载)(t p 作用下的运动微分方程求解来加以说明，此时运动方程为：

t m p x x x ?ωξωsin 202

=++ （10） 该方程的解由通解和特解两部分组成：

)cos sin ()(t B t A e t x D D t ωωξω+=-通 （11）

?+-=-12220])2()1[()(ξββk

p t x 特 ]cos 2sin )1[(2t t ?ξβ?β-- （12） 式中ω?β/=是荷载频率固有自振频率之比。方程（10）的通解表示对所作用荷载的瞬态反应，常数A 和B 可由给定的初始条件算出，由于阻尼使此项很快消失，因此一般不予考虑。方程（10）的特解

为作用荷载同频率而不同相位的稳态反应。

多自由度体系运动方程

采用直接平衡法和图1所示的

普通简支梁作为典型例子来说明

多自由度体系的运动方程是如何

建立的，这种方法对任何一种结构

类型都同样适用。假定这个结构的

运动由梁上一系列离散点的位移)(1t u ，)(2t u ， )(t u N 所确定。结构上的这些点可以任意设置，所考虑的自由度（位移分量）数目取决于分析者，当然取较多时能更好地逼近结构真实的动力行为。本例中梁上每一个节点只取一个位移分量。然而，应该指出每一个节点也可以取几个位移分量，例如，可以取转角和水平向位移等。

针对体系的每一个自由度列出实际作用力的平衡方程就能写出图1所示体系的运动方程。一般说来在任意一点i 上，包含有四种力：外荷载)(t p i 、由于运动而产生的力（即惯性力Ii f ）、阻尼力Di f 和弹性力si f 。这样，对于多自由度体系中的每一个自由度，动力平衡条件可写成

图1 梁式结构的离散化 u 2(t) u i (t) u N (t) u 1(t)

)()

(22221111t p f f f t p f f f s D I s D I =++=++ （1）

当力向量用矩阵形式表示时，亦可写成

)(t p f f f =++S D I （2）

这就是多自由度体系的运动方程。

每一种抗力可以非常方便地用一组适当的影响系数来表示。例如，考虑在节点1上产生的弹性力分量，这个量一般依赖于结构所有节点产生的位移分量：

N N s u k u k u k f 12121111+++= （3a ）

同样地，对应于2u 自申度的弹性力是

N N s u k u k u k f 22221212+++= （3b ）

写成一般形式，

N iN i i si u k u k u k f +++= 2211 （3c ）

系数ij k 称为刚度系数，定义为：=ij k 由j 坐标单位位移所引起的对应于i 坐标的力。

用矩阵形式表达，弹性力与位移的关系为

??

??????????????????????????????=???????????????? i ii i i i i

si s s u u u k k k k k k k k k f f f 2121

22221

1121121 (4) 用符号表示：

ku f =s (5)

刚度系数矩阵k 称为结构的刚度矩阵（针对指定的一组位移坐标），u 是表示结构变形形状的位移向量。

若假定阻尼与速度有关，即粘滞阻尼，则与所选择的自由度对应的阻尼力就可以按同样的方式用阻尼系数表示。类似于公式（4）和（5），阻尼力与各点位移坐标的速度的关系为：

u

c f =D （6） 这里u

为速度向量，向量中的i u 表示i 点位移坐标的时间变化率（速度），c 为阻尼矩阵，矩阵中的ij c 称作阻尼影响系数，定义为：ij c =由j 坐标单位速度所引起的对应于i 坐标的力。

惯性力也可用一组影响系数表示，它们表示相应自由度的加速度与其产生的惯性力之间的关系。类似于式（4）和（5），惯性力可表达成

u

m =I f （7） 其中u 为加速度向量，向量中的i u 表示i 点位移坐标的加速度，m 是