专题6.4 数列求和(重难点突破)(解析版)

专题6.4 数列求和

一、考情分析

1.熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式；

2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法。

二、经验分享

考点一 求数列的前n 项和的方法

(1)公式法 ①等差数列的前n 项和公式，S n ＝n （a 1＋a n ） 2 ＝na 1＋n （n －1）

2

d ．

②等比数列的前n 项和公式(ⅰ)当q ＝1时，S n ＝na 1；(ⅱ)当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q

1－q .

(2)分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． (3)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．

(4)倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广． (5)错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广． 考点二 常见的裂项公式 (1) 1n （n ＋1）＝1n －1

n ＋1

.

(2) 1（2n －1）（2n ＋1）＝12?

???1

2n －1－12n ＋1.

(3)

1n ＋n ＋1

＝n ＋1－n .

三、题型分析

重难点题型突破1 分组转化求和

例1、(2020·信阳模拟)已知数列{a n }中，a 1＝a 2＝1，a n ＋2＝?

????

a n ＋2，n 是奇数，

2a n ，n 是偶数，则数列{a n }的前20项和为

( ) A ．1121 B ．1122 C ．1123 D ．1124

【答案】C

【解析】由题意知，数列{a 2n }是首项为1，公比为2的等比数列，数列{a 2n －1}是首项为1，公差为2的等差数列，故数列{a n }的前20项和为1×(1－210)1－2

＋10×1＋10×9

2×2＝1123.

【变式训练1-1】、在数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝2，a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n ，n ∈N *，则S 60的值为( ) A ．990 B ．1 000 C ．1 100 D ．99

【答案】A.

【解析】：n 为奇数时，a n ＋2－a n ＝0，a n ＝2；n 为偶数时，a n ＋2－a n ＝2，a n ＝n .故S 60＝2×30＋(2＋4＋…＋60)＝990.

【变式训练1-2】、已知数列{a n }的各项均为正整数，其前n 项和为S n ，若a n ＋1＝?????

a n 2，a n 是偶数，

3a n ＋1，a n 是奇数，且

a 1＝5，则S 2020＝( ) A ．4740 B ．4737 C ．12095 D ．12002

【答案】B

【解析】依题意a n ＋1＝?????

a n 2，a n 是偶数，3a n ＋1，a n 是奇数，且a 1＝5，a 2＝3×5＋1＝16，a 3＝162＝8，a 4＝82＝4，a 5＝4

2

＝2，

a 6＝2

2＝1，a 7＝3×1＋1＝4，…所以数列{a n }从第四项起构成周期为3的周期数列．因为2020＝3＋3×672＋1，

所以S 2020＝5＋16＋8＋(4＋2＋1)×672＋4＝4737.

【变式训练1-3】、已知数列{a n }满足，a n ＋1＋a n ＝4n －3(n ∈N *)． (1)若数列{a n }是等差数列，求a 1的值；

(2)当a 1＝2时，求数列{a n }的前n 项和S n . 【答案】见解析

【解析】 (1)解法一：∵数列{a n }是等差数列， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ，a n ＋1＝a 1＋nd .

由a n ＋1＋a n ＝4n －3，得a 1＋nd ＋a 1＋(n －1)d ＝4n －3， ∴2dn ＋(2a 1－d )＝4n －3，

即2d ＝4,2a 1－d ＝－3，解得d ＝2，a 1＝－1

2.

解法二：在等差数列{a n }中，

由a n ＋1＋a n ＝4n －3，得a n ＋2＋a n ＋1＝4(n ＋1)－3＝4n ＋1， ∴2d ＝a n ＋2－a n ＝4n ＋1－(4n －3)＝4，∴d ＝2. 又a 1＋a 2＝2a 1＋d ＝2a 1＋2＝1，∴a 1＝－1

2.

(2)由题意知，①当n 为奇数时，

S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a n －1＋a n ) ＝2＋4[2＋4＋…＋(n －1)]－3×n －12＝2n 2－3n ＋5

2

.

②当n 为偶数时，S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a n －1＋a n ) ＝1＋9＋…＋(4n －7)＝2n 2－3n

2

.

综上，S n

＝???

2n 2－3n ＋5

2

，n 为奇数，2n 2

－3n

2，n 为偶数.

重难点题型突破2 错位相减法求和

例2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝3a n －1

2.

(1)求a n ；

(2)若b n ＝(n －1)a n ，且数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n . 【答案】见解析

【解析】：(1)由已知可得，2S n ＝3a n －1，① 所以2S n －1＝3a n －1－1(n ≥2)，② ①－②得，2(S n －S n －1)＝3a n －3a n －1，

化简得a n ＝3a n －1(n ≥2)， 在①中，令n ＝1可得，a 1＝1，

所以数列{a n }是以1为首项，3为公比的等比数列， 从而有a n ＝3n －

1. (2)b n ＝(n －1)3n －1，

T n ＝0×30＋1×31＋2×32＋…＋(n －1)×3n －

1，③ 则3T n ＝0×31＋1×32＋2×33＋…＋(n －1)×3n .④ ③－④得，－2T n

＝31＋32＋33＋…＋3n －

1－(n －1)×3n ＝

3－3n 1－3

－(n －1)×3n

＝（3－2n ）×3n －32.

所以T n ＝（2n －3）×3n ＋3

4

.

【变式训练2-1】、(2020·石家庄模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝3a n －1. (1)求数列{a n

}的通项公式；

(2)设b n ＝n

a n ，求数列{

b n }的前n 项和T n .

【答案】见解析

【解析】：(1)由2S n ＝3a n －1，① 得2S n －1＝3a n －1－1(n ≥2)，② ①－②，得2a n ＝3a n －3a n －1， 所以a n a n －1

＝3(n ≥2)，

又2S 1＝3a 1－1，2S 2＝3a 2－1， 所以a 1＝1，a 2＝3，a 2

a 1

＝3，

所以{a n }是首项为1，公比为3的等比数列， 所以a n ＝3n －

1. (2)由(1)得，b n ＝n

3

n －1，

所以T n ＝130＋231＋332＋…＋n

3n －1，③

13T n ＝131＋2

32＋…＋n －13

n －1＋n 3n ，④

③－④得，23T n ＝130＋131＋132＋…＋13

n －1－n 3n ＝1－13n

1－13－n 3n ＝32－2n ＋32×3n ，所以T n ＝94－6n ＋9

4×3n . 重难点题型突破3裂项相消法求和

例3．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0(n ∈N *)，记T n ＝1S 1＋1S 2＋…＋

1

S n (n ∈N *)，则T 2 018＝________． 【答案】：4 036

2 019

【解析】：由a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0(n ∈N *)，可得a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1，所以数列{a n }为等差数列，公差d ＝a 2－a 1＝2－1＝1，通项公式a n ＝a 1＋(n －1)×d ＝1＋n －1＝n ，则其前n 项和S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n （n ＋1）2，所以

1S n ＝2n （n ＋1）＝2(1n －1n ＋1)，T n ＝1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝2(11－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)＝2(1－1n ＋1)＝2n

n ＋1，故T 2 018

＝

2×2 0182 018＋1＝4 0362 019

.

【变式训练3-1】、(2020·枣庄模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列?

??

????+11n n a a 的

前100项和为________． 【答案】100

101

【解析】等差数列{a n }中，∵a 5＝5，S 5＝15， ∴?

????

a 1＋4d ＝5，5a 1＋4×5

2d ＝15，解得a 1＝1，d ＝1， ∴a n ＝1＋(n －1)＝n ，∴

1a n a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1

n ＋1

， ∴数列?

????

?

?+11n n a a 的前100项和S 100＝??? ??21-1＋??? ??31-21＋??? ??41-31＋…＋??? ??1011-1001

＝1－1101＝100101. 【变式训练3-2】、已知数列{a n }满足a 1＋4a 2＋42a 3＋…＋4n －

1a n ＝n 4(n ∈N *)．

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝4n a n

2n ＋1，求数列{b n b n ＋1}的前n 项和T n .

【答案】见解析

【解析】：(1)当n ＝1时，a 1＝1

4

.

因为a 1＋4a 2＋42a 3＋…＋4n －2a n －1＋4n －

1a n ＝n 4 ①，

所以a 1＋4a 2＋42a 3＋…＋4n －

2a n －1＝n －1

4

(n ≥2，n ∈N *) ②， ①－②得4n －

1a n ＝14(n ≥2，n ∈N *)，

所以a n ＝1

4n (n ≥2，n ∈N *)．

由于a 1＝14，故a n ＝1

4n (n ∈N *)．

(2)由(1)得b n ＝4n a n 2n ＋1＝1

2n ＋1

，

所以b n b n ＋1＝1（2n ＋1）（2n ＋3）＝12(12n ＋1－1

2n ＋3

)，

故T n ＝12(13－15＋15－17＋…＋12n ＋1－12n ＋3)＝12(13－12n ＋3)＝n

6n ＋9

.

【变式训练3-3】、(2020·石家庄模拟)已知数列{a n }是首项为1的等比数列，各项均为正数，且a 2＋a 3＝12. (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝1

(n ＋2)log 3a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和S n .

【答案】

【解析】 (1)设数列{a n }的公比为q . 由a 2＋a 3＝12，a 1＝1，得q ＋q 2＝12， 解得q ＝3或q ＝－4.

因为数列{a n }的各项都为正数，所以q >0，所以q ＝3，所以a n ＝3n －

1.

(2)因为b n ＝1(n ＋2)log 3a n ＋1＝1n (n ＋2)＝12()?

??

? ?

?+21-1

n n ， 所以S n ＝12????1－13＋12－14＋…＋1n －1－1n ＋1＋1n －1n ＋2＝12????1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－

2n ＋32(n ＋1)(n ＋2). 重难点题型突破4 并项求和

例4.(2020·湖南三湘名校(五十校)第一次联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1.当n ≥2时，a n ＋2S n －1＝n ，则S 2 019＝________． 【答案】：1 010

【解析】：由a n ＋2S n －1＝n (n ≥2)，得a n ＋1＋2S n ＝n ＋1，两式作差可得a n ＋1－a n ＋2a n ＝1(n ≥2)，即a n ＋1＋a n ＝1(n ≥2)，所以S 2 019＝1＋2 018

2

×1＝1 010.

【变式训练4-1】、(2020·河南八市重点高中联盟测评)已知等差数列{a n }中，a 3＝3，a 2＋2，a 4，a 6－2成等比数列．

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)记b n ＝（－1）n a 2n ＋1a n a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为S n ，求S 2n .

【答案】见解析

【解析】(1)设等差数列{a n }的公差为d ， 因为a 2＋2，a 4，a 6－2成等比数列， 所以a 24＝(a 2＋2)(a 6－2)，

所以(a 3＋d )2＝(a 3－d ＋2)(a 3＋3d －2)，

又a 3＝3，所以(3＋d )2＝(5－d )(1＋3d )，化简得d 2－2d ＋1＝0，解得d ＝1， 所以a n ＝a 3＋(n －3)d ＝3＋(n －3)×1＝n .

(2)由(1)得，b n ＝（－1）n a 2n ＋1a n a n ＋1＝(－1)n 2n ＋1n （n ＋1）

＝(－1)n (1n ＋1n ＋1)，

所以S 2n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2n ＝－(1＋12)＋(12＋13)－(13＋14)＋…＋(12n ＋12n ＋1)＝－1＋1

2n ＋1＝－2n 2n ＋1.

【变式训练4-2】、在数列{a n }中，若a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则数列{a n }的前12项和等于( ) A ．76 B ．78 C ．80 D ．82

【答案】B.

【解析】：由已知a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，得a n ＋2＋(－1)n ＋

1·a n ＋1＝2n ＋1，两式相减得a n ＋2＋a n ＝(－1)n ·(2n －1)＋(2n ＋1)，取n ＝1，5，9及n ＝2，6，10，结果相加可得S 12＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 11＋a 12＝78.故选B.