有理数无理数
有理数与无理数
一、专题简析
理解两个数学概念，在学习数学概念的同时了解一些数学史知识，深化概念的认识，能依据概念进行分析判断，根据概念自觉发现结论并解决一些问题。 二、阅读与探究
数学上，有理数是指一大类数，这个名称经过以讹传讹，已经积非成是了，较恰当的称呼为“可比数”，凡是能精确表示为一个整数a 和一个正整数b 的比的数都是有理数，例如3/8，17/9，0也是有理数，整数也可以看作是分母为1的分数。 0.4, 0.1111…，0.313131… 是有理数，因为0.4=2/5, 0.1111…=1/9，0.313131…=31/99,小数部分是有限的或是无限循环的数都是有理数，分数都是有理数，分数本身就是一种比的记法。
有限小数都可以看作是分母是整十、整百、整千、整万……的分数；
无限循环小数都可以等值于一对整数的比，而且可以找到唯一的一对互质的整数。 读后归纳：整数、分数、有限小数、无限循环小数都是有理数。
对应的，还有一类数叫无理数，凡是不能精确表示为一个整数a 和一个正整数b 的比的数都是无理数（其实应该称作“不可比数”更恰当）， 无理数的典型特征是小数部分是无限不循环的。 依据材料解决问题
1、分别将下列数写成两个互质的整数比（写出分数形式）
13, 5， 0.25， 3.14， 0.024， 0.33333…… ，2.11111……， 0.245245245245245…… ，?
?
325.0
归纳：
变式： 0.033333…… ，?
?532.0 如果表示？ 2、7
15
是无理数吗？将它化成小数形式
3、这些数！
！！！！，，！！41
31211101!21
!11!011101+++++
++
都是有理数吗？
4、①当n=10, 100, 1000时，！！
！！！n 1
31211101+++++
其和是有理数吗？
②当n 趋向于无穷大时，！！！！！n 131211101+++++ 其和还是有理数吗？
5、无理数“三剑客”——)71828.2( e ）
（），（， 4142135623.121415926535.3∏
当n 趋向无限时，1/(0!)+1/(1!)+1/(2!)+1/(3!)+1/(4!)+1/(5!)+…… =∑1/(n!) = e, n ∈N （记住：∑是连加符号，N 用来表示自然数集合）
② 圆周率（Pi 读作p ài ）是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示，是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数（约等于3.141592654）。π也等于圆的面积与边长为圆半径的正方形面积之比。是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状数值的关键值。它是一个无理数，即无限不循环小数。在日常生活中，通常用3.14代表圆周率去进行近似计算。而用十位小数3.141592654便足以应付一定精度要求的计算。
令人惊叹的结论：
π=4×(1/1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+……)=4×∑((-1)n
/(1+2n)), n ∈N
③ 已知 X 2
=2（x>0） 证明：x 是无理数
这是经典证明题—证明2是无理数
希望反复揣摩证明思路，汲取思维养分
自然律之美
“自然律”是e及由e经过一定变换和复合的形式。e是“自然律”的精髓，在数学上它是函数：(1+1/x)x
当X趋近无穷时的极限。人们在研究一些实际问题，如物体的冷却、细胞的繁殖、放射性元素的衰变时，都要研究(1+1/x)x，当X趋近无穷时的极限。正是这种从无限变化中获得的有限，从两个相反方向发展（当X趋向正无穷大的时，上式的极限等于e=2.71828……，当X趋向负无穷大时候，上式的结果也等于e=2.71828……）得来的共同形式，充分体现了宇宙的形成、发展及衰亡的最本质的东西。
π，在我国叫又环率、圆率、圆周率等。
最先得出π≈3.14的是希腊的阿基米德（约公元前240年），最先给出π小数后面四位准确值的是希腊人托勒密（约公元前150年），最早算出π小数后七位准确值的是我国的祖冲之（约480年），1610年荷兰籍德数学家
鲁道夫应用内接和外切正多边形计算π值，通过262边形计算π到35位小数，花费了毕生精力，1630年格林贝格利用斯涅1706年，英国的威廉·姆士首先使用π这个符号，用来表示圆周和直径的比值，但只是在欧拉于1737年采用了这方法以后，π才在这种情况下得到了普遍的应用。
耳的改进方法计算π值到39位小数，这是利用古典方法计算π值的最重要尝试。
1727年，欧拉最先用e作为数学符号使用，后来经过一个时期人们又确定用e作为自然对数的底来纪念他。有趣的是，e正好是欧拉名字第一个小写字母，是有意的还是偶然巧合？
1792年，15岁的高斯发现了素数定理：“从1到任何自然数N之间所含素数的百分比，近似等于N的自然对数的倒数；N越大，这个规律越准确。”这个定理到1896年才由法国数学家阿达玛和几乎是同一时期的比利时数学家布散所证明。
e也会在意想不到的地方出现，例如：“将一个数分成若干等份，要使各等份乘积最大，怎么分？”要解决这个问题便要同e打交道。答案是：使等分的各份尽可能接近e值。如，把10分成10÷e≈3.7份，但3.7份不好分，所以分成4份，每份为10÷4=2.5，这时2.5^4=39.0625乘积最大，如分成3或5份，乘积都小于39。e就是这样神奇的出现了。
e在自然科学中的应用并不亚于π值。像原子物理和地质学中考察放射性物质的衰变规律或考察地球年龄时便要用到e。
在用齐奥尔科夫斯基公式计算火箭速度时也会用到e，在计算储蓄最优利息及生物繁殖问题时，也要用到e
毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前580年至公元前500 年间）是古希腊的大数学家。他证明许多重要的定理，包括后来以他的名字命名的毕达哥拉斯定理（勾股定理），即直角三角形两直角边为边长的正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积。毕达哥拉斯将数学知识运用得纯熟之后，觉得不能只满足于用来算题解题，于是他试着从数学领域扩大到哲学，用数的观点去解释一下世界。经过一番刻苦实践，他提出“万物皆为数”的观点：数的元素就是万物的元素，世界是由数组成的，世界上的一切没有不可以用数来表示的，数本身就是世界的秩序。
公元前500年，毕达哥拉斯学派的弟子希伯索斯（Hippasus）发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的（若正方形的边长为1，则对角线的长不是一个有理数），这一不可公度性与毕氏学派的“万物皆为数”（指有理数）的哲理大相径庭。这一发现使该学派领导人惶恐，认为这将动摇他们在学术界的统治地位，于是极力封锁该真理的流传，希伯索斯被迫流亡他乡，不幸的是，在一条海船上还是遇到毕氏门徒。被毕氏门徒残忍地投入了水中杀害。科学史就这样拉开了序幕，却是一场悲剧。
希伯索斯的发现，第一次向人们揭示了有理数系的缺陷，证明了它不能同连续的无限直线等同看待，有理数并没有布满数轴上的点，在数轴上存在着不能用有理数表示的“孔隙”。而这种“孔隙”经后人证明简直多得“不可胜数”。于是，古希腊人把有理数视为连续衔接的那种算术连续统的设想彻底地破灭了。不可公度量的发现连同芝诺悖论一同被称为数学史上的第一次数学危机，对以后2000多年数学的发展产生了深远的影响，促使人们从依靠直觉、经验而转向依靠证明，推动了公理几何学和逻辑学的发展，并且孕育了微积分思想萌芽。
不可约的本质是什么？长期以来众说纷纭，得不到正确的解释，两个不可通约的比值也一直认为是不可理喻的数。15世纪意大利著名画家达.芬奇称之为“无理的数”，17世纪德国天文学家开普勒称之为“不可名状”的数。
然而真理毕竟是淹没不了的，毕氏学派抹杀真理才是“无理”。人们为了纪念希伯索斯这位为真理而献身的可敬学者，就把不可通约的量取名“无理数”——这就是无理数的由来。
自然数用以计量事物的件数或表示事物次序的数。即用数码0，1，2，3，4，……所表示的数。表示物体个数的数叫自然数，自然数由0开始，一个接一个，组成一个无穷的集体。
“公度”是一个几何学概念。对于两条线段a和b，如果存在线段d，使得a=md，b=nd(m，n为自然数)，那么称线段d为线段a和b的一个公度。
并称线段a和b为可公度线段或可通约线段。如果对于线段a和b，这样的线段d不存在，那么称线段a和b 为无公度线段或不可通约线段。
如果数a能被数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。约数和倍数都表示一个整数与另一个整数的关系，不能单独存在。如只能说16是某数的倍数，2是某数的约数，而不能孤立地说16是倍数，2是约数。
"倍"与"倍数"是不同的两个概念，"倍"是指两个数相除的商，它可以是整数、小数或者分数。"倍数"只是在数的整除的范围内，相对于"约数"而言的一个数字的概念，表示的是能被某一个自然数整除的数。
几个整数，公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。例如：12、16的公约数有1、2、4，其中最大的一个是4，4是12与16的最大公约数，一般记为（12，16）=4。12、15、18的最大公约数是3，记为（12，15，18）=3。
e是自然对数的底数，是一个无限不循环小数，其值是2.71828...，它是这样定义的：
当n→∞时，(1+1/n)^n的极限
利息
这就要从以前说起了。至少在微积分发明之前半个世纪，就有人提到这个数，所以虽然它在微积分里常常出现，却不是随著微积分诞生的。那么是在怎样的状况下导致它出现的呢？一个很可能的解释是，这个数和计算利息有关。
我们都知道复利计息是怎么回事，就是利息也可以并进本金再生利息。但是本利和的多寡，要看计息周期而定，以年周期来算的话，可以一年只计息一次，也可以每半年计息一次，或者一季一次，一月一次，甚至一天一次；当然计息周期愈短，本利和就会愈高。有人因此而好奇，如果计息周期无限制地缩短，比如说每分钟计息一次，甚至每秒，或者每一瞬间（理论上来说），会发生什么状况？本利和会无限制地加大吗？答案是不会，它的值会稳定下来，趋近於一极限值，而e这个数就现身在该极限值当中,所以e可以定义成一个极限值，但是在那时候，根本还没有极限的观念，因此e的值应该是观察出来的，而不是用严谨的证明得到的。
无理数e的应用
这个与计算复利关系密切的数，和数学领域不同分支中的许多问题都有关联。在讨论e的源起时，除了复利计算以外，事实上还有许多其他的可能。问题虽然都不一样，答案却都殊途同归地指向e这个数。比如其中一个有名的问题，就是求双曲线y=1/x底下的面积。双曲线和计算复利会有什么关系，不管横看、竖看、坐著想、躺著想，都想不出一个所以然对不对？可是这个面积算出来，却和e有很密切的关联。我才举了一个例子而已，这本书里提到得更多。e的影响力其实还不限于数学领域。大自然中太阳花的种子排列、鹦鹉螺壳上的花纹都呈现螺线的形状，
而螺线的方程式，是要用e来定义的。建构音阶也要用到e，而如果把一条链子两端固定，松松垂下，它呈现的形状若用数学式子表示的话，也需要用到e。
有限的趋向无限，往往会突变，有限情况下的结论往往不适应无限的情形。
有理数问题
例：设20012002
20002001200020011020002001N +=?+，求N 的整数部分。
解：20002001200020012001200020002001200020001020002001
N ??
+? ???=>+ 20012002200020012001200220012001
20002001200020012000200010200020012000200120002000200120002001N +-=-++--?=
+ 2001
20002001
200120002001=+
而
2001
20002001
2000
2001120002001110.911200011200120012001>
+=>>??++? ???
所以 20012000.910
N
>
> N 的整数部分是20009。
七年级数学―有理数和无理数
知识清单 1定义： 有理数：我们把能够写成分数形式n m (m、n是整数，n≠0)的数叫做有理数。 无理数：①无限②不循环小数叫做无理数。 2有理数的分类整数和分数都可以写成分数的形式，它们统称为有理数。零既不是正数，也不是负数。有限小数和无限循环小数是有理数。 3无理数的两个前提条件： （1）无限 （2）不循环 4两者的区别： （1）无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数。 （2）任何一个有理数后可以化为分数的形式，而无理数则不能。 经典例题 例1：下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ -3，3π，-6 1，0.333…，3.30303030…，42，-3.1415926,0，3.101001000……（相邻两个1之间0的个数逐个加1），面积为π的圆半径为r。 例2：下列说法正确的是：（） A.整数就是正整数和负整数 B.分数包括正分数、负分数 C.正有理数和负有理数统称有理数 D.无限小数叫做无理数
闯关全练 一.填空题： 我们把能够写成分数形式n m (m、n是整数，n≠0)的数叫做 （2）有限小数和都可以化为分数，他们都是有理数。 （3） 小数叫做无理数。（4）写出一个比-1大的负有理数 。二.判断题（1）无理数与有理数的差都是有理数； （2）无限小数都是无理数；（3）无理数都是无限小数；（4）两个无理数的和不一定是无理数。（5）有理数不一定是有限小数。答案例1：无理数有：3π，0，3.101001000……，（相邻两个1之间0的个数逐个加1）有理数有：-3， -6 1，0.333…，3.30303030…，42，-3.1415926,0，面积为π的圆半径为r例2：B（A，还有0C，还有0D，无限不循环）闯关全练一、（1）有理数（2）无限循环小数、（3）无限不循环小数、（4）答案不唯一，如：-0.5二、（1）错，如3π -0=3π（2）错，如：0.333…（3）对，无理数的两个前提条件之一无限（4）对，3π+（
七年级数学上册有理数与无理数 同步练习题
有理数与无理数 同步练习题 一、选择 1．π是 ( ) A ．整数 B ．分数 C ．有理数 D ．无理数 2．在数0，13，2π，－(－14)，2 23，0．3，0．141 041 004…(相邻两个1，4之间的0的个 数逐次加1)，22 7中，有理数的个数为 ( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 3．下列语句正确的是 ( ) A ．0是最小的数 B ．最大的负数是－1 C ．比0大的数是正数 D ．最小的自然数是1 4．下列各数中无理数的个数是 ( ) 22 7，0．123 456 789 101 1…，0，2π． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．下列说法中，正确的是 ( ) A ．有理数就是正数和负数的统称 B ．零不是自然数，但是正数 C ．一个有理数不是整数就是分数 D ．正分数、零、负分数统称分数 6．在2π ，3．14，0，0．313 113 111．…，0．43五个数中分数有( )个． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 二、填空 7．最小的正整数是 ，最大的负整数是 ，最小的非负整数是 ． 8．有理数中，是整数而不是正数的数是 ；是整数而不是负数的数是 ． 9．给出下列数：－18，22 7，3．141 6，0，2 001，－35π，－0．14，95％，其中负数 有 ，整数有 ，负分数有 ． 10．有六个数：0．123，－1．5，3．141 6，22 7，－2π，0．102 002 000 2…，若其中无理 数的个数为x ，整数的个数为y ，非负数的个数为z ，则x + y + z = ． 11．观察下面依次排列的一列数，根据你发现的规律在各列的后面填上三个数．
实数可以分为有理数和无理数两类
最后一条是区分实数和有理数的关键。例如所有平方小于 2 的有理数的集合存在有理数上界，如 1.5；但是不存在实数上界（因为 不是有理数）。 实数通过上述性质唯一确定。更准确的说，给定任意两个有序域 R1 和 R2，存在从 R1 到 R2 的唯一的域同构，即代数学上两者可看作是相同的。 5相关性质 基本运算 实数可实现的基本运算有加、减、乘、除、乘方等，对非负数（即正数和0）还可以进行开方运算。实数加、减、乘、除（除数不为零）、平方后结果还是实数。任何实数都可以开奇次方，结果仍是实数，只有非负实数，才能开偶次方其结果还是实数。 4 图册 四则运算封闭性 实数集R对加、减、乘、除（除数不为零）四则运算具有封闭性，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是实数。 有序性 实数集是有序的，即任意两个实数a、b必定满足下列三个关系之一： a
阿基米德性 实数具有阿基米德（Archimedes）性，即对任何a，b ∈R，若b>a>0,则存在正整数n，使得na>b. 稠密性 实数集R具有稠密性，即两个不相等的实数之间必有另一个实数，既有有理数，也有无理数. 唯一性 如果在一条直线（通常为水平直线）上确定O作为原点，指定一个方向为正方向（通常把指向右的方向规定为正方向），并规定一个单位长度，则称此直线为数轴。任一实数都对应与数轴上的唯一一个点；反之，数轴上的每一个点也都唯一的表示一个实数。于是，实数集R与数轴上的点有着一一对应的关系。 完备性 作为度量空间或一致空间，实数集合是个完备空间，它有以下性质： 一.所有实数的柯西序列都有一个实数极限。 有理数集合就不是完备空间。例如，(1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, ...) 是有理数的柯西序列，但没有有理数极限。实际上，它有个实数极限√2。实数是有理数的完备化——这亦是构造实数集合的一种方法。 极限的存在是微积分的基础。实数的完备性等价于欧几里德几何的直线没有“空隙”。 二.“完备的有序域” 实数集合通常被描述为“完备的有序域”，这可以几种解释。 首先，有序域可以是完备格。然而，很容易发现没有有序域会是完备格。这是由于有序域没有最大元素（对任意元素 z，z + 1 将更大）。所以，这里的“完备”不是完备格的意思。 另外，有序域满足戴德金完备性，这在上述公理中已经定义。上述的唯一性也说明了这里的“完备”是指戴德金完备性的意思。这个完备性的意思非常接近采用戴德金分割来构造实数的方法，即从（有理数）有序域出发，通过标准的方法建立戴德金完备性。 这两个完备性的概念都忽略了域的结构。然而，有序群（域是种特殊的群）可以定义一致空间，而一致空间又有完备空间的概念。上述完备性中所述的只是一个特例。（这里采用一致空间中的完备性概念，而不是相关的人们熟知的度量空间的完备性，这是由于度量空间的定义依赖于实数的性质。）当然，R 并不是唯一的一致完备的有序域，但它是唯一的一致完备的阿基米德域。实际上，“完备的
初一数学上有理数与无理数的概念和练习(有详细的答案)
有理数和无理数 1.什么是有理数？我们把能够写成分数形式 n m (m 、n 是整数，n≠0)的数叫做有理数。 2.有理数的分类？ 整数和分数都可以写成分数的形式，它们统称为有理数。零既不是正数，也不是负数。有限小数和无限循环小数是有理数。 2.什么是无理数？①无限②不循环小数叫做无理数。 3无理数的两个前提条件是什么？ （1） 无限（2）不循环 4两者的区别是什么？ （1）无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数。 （2）任何一个有理数后可以化为分数的形式，而无理数则不能。 1：下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ -3，3π，-61，0.333…，3.30303030…，42，-3.1415926,0，3.101001000……（相邻两个1之间0的个数逐个加1），面积为π的圆半径为r 。 答：无理数有：3 π，0，3.101001000……，（相邻两个1之间0的个数逐个加1） 有理数有：-3，-6 1，0.333…，3.30303030…，42，-3.1415926,0，面积为π的圆半径为r 2：下列说法正确的是：（ ） A.整数就是正整数和负整数 B.分数包括正分数、负分数 C.正有理数和负有理数统称有理数 D.无限小数叫做无理数 答：B 因为：A 、C 的答案里缺少 0这一部分 D ，无限小数循环小数是有理数，无限不循环小数才是无理数 3：我们把能够写成分数形式n m (m 、n 是整数，n≠0)的数叫做 有理数 。 4：有限小数和无限循环小数都可以化为分数，他们都是有理数。
5：无限不循环小数叫做无理数。 6：无理数与有理数的差都是有理数；答：错，如3π-0=3 π 7：无限小数都是无理数；答：错，如：0.333… 8：无理数都是无限小数；答：对，无理数的两个前提条件之一无限 9：两个无理数的和不一定是无理数。答：对，3π+（-3 π）=0 10：有理数不一定是有限小数。答：对，如：0.333…
七年级上册有理数与无理数 知识讲解和巩固练习
有理数与无理数知识讲解 【学习目标】 1、理解有理数的意义，知道无理数是客观存在的，了解无理数的概念． 2、会判断一个数是有理数还是无理数． 【要点梳理】 要点一、有理数 我们把能够写成分数形式m n （m,n是整数，n≠0）的数叫做有理数． 要点诠释：（1）有限小数和循环小数都可以化为分数，他们都是有理数． （2）所有整数都可以写成分母是1的分数，因此可以理解为整数和分数统称为有理数． 要点二、无理数 1．定义： 无限不循环小数叫做无理数． 要点诠释：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限．无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式． （2）目前常见的无理数有两种形式：①含π类．②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111……． 2．有理数与无理数的区别 （1）无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数． （2）任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数则不能． 要点三、循环小数化分数 1．定义： 如果一个无限小数的各数位上的数字，从小数部分的某一位起，按一定顺序不断重复出现，那么这样的小数叫做无限循环小数，简称循环小数，其中重复出现的一个或几个数字叫做它的一个循环节． 2．纯循环小数 从小数点后面第一位起就开始循环的小数，叫做纯循环小数．例如：0．666…、0.2．．纯 循环小数化为分数的方法是：分子是一个循环节的数字组成的数；分母的各位数字都是9，9的个数等于一个循环节的位数． 例如 31 0.3 93 ==， 1897 0.189 99937 ==． 3．混循环小数 如果小数点后面的开头几位不循环，到后面的某一位才开始循环，这样的小数叫做混循环小数．例如：0.12、0．3456456…．混循环小数化为分数的方法是：分子是不循环部 分和一个循环节的数字组成的数减去不循环部分的数字组成的数所得的差，分母就是按一个循环节的位数写几个9，再在后面按不循环部分的位数添写几个0组成的数． 例如 9189101 0.918 990110 - ==， 239236 0.239 90025 - ==， 35135353510013 0.35135 999009990037 - ===． 要点诠释：（1）任何一个循环小数都可化为分数． （2）混循环小数化分数也可以先化为纯循环小数，然后再化为分数．
1.1.2.6用有理数估计无理数的大致范围
1. (2011 安徽省) 设1a =，a 在两个相邻整数之间，则这两个整数是 A ．1和2 Ｂ．2和3 Ｃ．3和4 Ｄ．4和5 答案：C 2. (2011 江苏省徐州市) 的值（ ） Ａ．在2到3之间 B ．在3到4之间 C ．在4到5之间 D ．在5到6之间 答案：B 3. (2011 安徽省芜湖市) 已知a 、b 为两个连续的整数，且a b < <，则a b += ． 答案：11 4. (2011 辽宁省本溪市) ） A ．2 B ．4 C ．15 D ．16 答案：B 5. (2011 辽宁省大连市) ） Ａ．2 Ｂ．3 Ｃ．4 Ｄ．5 答案：B
6. (2011 福建省泉州市) 比较大小：>”或“<”号填空）． 答案：>； 7. (2011 山东省威海市) 在实数0，2-中，最小的是（ ） A ．2- B ． C ．0 D 答案：A 8. (2011 广西贺州市) 在22-__________. 答案：2 9. (2011 四川省凉州市) 已知a b 、为有理数，m n 、分别表示5且 21amn bn +=，则2a b += 。 答案： 52 10. (2011 广西柳州市) 在0，2-，3 ） A ．0 B ．2- C ．3 D
答案：B 11. (2011 天津市) ） （Ａ）1到2之间 （Ｂ）2到3之间 （Ｃ）3到4之间 （Ｄ）4到5之间 答案：C 12. (2011 贵州省六盘水市) 一个正方形的面积是20，通过估算，它的边长在整数________与________之间． 答案：4与5或5与4 13. (2011 贵州省遵义市) a 、b 均为正整数，且a >b <则a b +的最小值．．．是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案：B 14. (2011 河北省) π-40，，这四个数中，最大的数是 ． 答案：π 15. (2011 贵州省黔南州) 估计20的算术平方根的大小在（ ） A ．2与3之间 B ．3与4之间 C ．4与5之间 D ．5与6之间 答案：C
有理数与无理数辨析
有理数与无理数辨析 四川省邻水县九龙中学 任贤德 2006.8 在初中，我们已学过实数的有关概念，实数包括有理数和无理数。很多同学对于有理数和无理数概念的理解较模糊，对学习造成一定影响，甚至到了高中，也存在这种现象。为此，有必要对此进行辨析。 有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，如：218、18.25、1..6等。我们可将整数、有限小数的小数位后面添加0，把它看成是以0为循环节的无限循环小数，如：218=218..0 ，18.25=18.25.0，在此观点下，有理数就可看成是无限循环小数。而有理数又可化为分数，整数可看成是分母为1的分数，如：218=218/1，有限小数化成分数，先去掉小数点得到的数作为分子，若小数点后的位数有n 位,则分母就为n 10，如18.25=1825/100=73/4，无限循环小数可化为分数（其化法见后），如：1..6=4/3，所以有理数都可表示成分数，即表示成q/p(其中p 、q 是整数，且p 、q 互质)。分数化小数时，若除不尽，则得到的小数一定是无限循环小数，因此分数与小数可以互化。与此相对，无理数就是无限不循环的小数，如：2、3、π=3.1415926……、e=2.71828……、0.101001000……。有人说无理数就是开方开不尽的数，这种理解是片面的，当然开方开不尽的数是无理数，但如π=3.1415926……、e=2.71828……并不是因为开方开不尽而得到的数，又如0.101001000……，1的后面依次多一个0，也不是因为开方开不尽而得到的数，所以前面对于无理数的理解是错误的，必须纠正。 下面再来谈谈有关的几个问题： 1．（混）循环小数化为分数（此法证明须用到无穷递缩等比数列，证明较繁，故略去） （1） 无限循环小数化分数 无限循环小数化分数时，其分母为9···90···0,其中9的个数为一个循环节的数字个数，0的个数为循环节前、小数点后0的个数，其分子为一个循环节的数字。 例如：..76.0=67/99，..6310.0=136/9990=68/4995 （2） 混循环小数化分数 混循环小数化为分数时，先将其分为有限小数与无限循环小数之和，然后再分别将有限小数和无限循环小数化为分数，最后求和即可。 例如：..6512.3=3.12+0.00. .65=312/100+56/9900=7708/2205 .70.2=2+.70.0=2+7/90=187/90 2.任何一个不能整除的分数一定是无限循环小数 任何一个不能整除的分数一定是无限循环小数，这是为什么呢？在中学，学生通过除
(专题)有理数与无理数的计算
XX教育学科教师辅导讲义 组长签字：
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 二、课前自主学习 检查上次作业，让学生讲解错题，知识反馈。 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 三、知识梳理+经典例题 课题1.有理数的加减乘除混合运算(30min.) 考点一：有理数的加法 1．有理数的加法法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数。 2．有理数加法的运算律：（1）加法交换律：a b b a +=+；（2）加法结合律：)()(c b a c b a ++=++。 点拨：灵活运用运算律的几条规则：①“相反数结合法”―互为相反数的两个数先相加；②“同号结合法” ―符号相同的两个数相加；③“同分母结合法”―分母相同的数先相加；④“凑整法”―几个数相加得到整数，先相加；⑤“同形结合法”―整数与整数，小数与小数相加。 考点二：有理数的减法 1．有理数减法的意义：有理数减法的意义与小学学过的减法意义相同。已知两个数的和与其中一个加数，求另一个数的运算叫做减法。减法是加法的逆运算。 2．有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。 考点三：有理数的乘法 1．有理数的乘法法则： （1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘。任何数与零相乘都得零。 （2）几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。
经典证明：几乎所有有理数都是无理数的无理数次方
一个无理数的无理数次方是否有可能是一个有理数？这是一个非常经典的老问题了。答案是肯定的，证明方法非常巧妙：考虑根号 2 的根号 2 次方。如果这个数是有理数，问题就已经解决了。如果这个数是无理数，那么就有： 我们同样会得到一个无理数的无理数次方是有理数的例子。 这是一个典型的非构造性证明的例子：我们证明了无理数的无理数次方有可能等于有理数，但却并没有给出一个确凿的例子。毕竟我们也不知道，真实情况究竟是上述推理中的哪一种。那么，真实情况究竟是上述推理中的哪一种呢？Gelfond-Schneider 定理告诉我们，假设α 和β 都是代数数，如果α 不等于0 和1 ，并且β 不是有理数，那么α 的β 次方一定是超越数。根据这一定理我们可以立即看出，根号 2 的根号 2 次方真的是一个无理数，实际情况应该是上述推理中的后者。 那么，是否存在一个无理数a ，使得a 的a 次方是有理数呢？最近，Stan Dolan 证明了这样一个结论：事实上，几乎所有(1, ∞) 里的有理数都是某个无理数a 的 a 次方。 注意到当x 大于1 时，函数f(x) = x x是连续单调递增的，因而对于所有(1, ∞) 里的有理数r ，一定存在唯一的a ，使得a a = r 。不妨假设a 是一个有理数，它的最简分数形式是n / m 。如果m = 1 ，那么我们会有平凡解n n = r 。下面我们证明，m 是不可能大于 1 的，否则会产生矛盾。 假设有理数r 的最简分数形式是c / b ，于是我们有： (n / m)n / m = c / b 或者说： n n · b m = m n · c m 注意到，m n是n n · b m的约数。然而，m 和n 是互质的，m n与n n没有公共因子，因而m n一定是b m的约数。同理，b m是m n · c m的约数，但由于b
初一数学上有理数与无理数的概念和练习有详细的答案
有理数和无理数的概念与练习 知识清单 1定义：有理数：我们把能够写成分数形式 n m (m 、n 是整数，n≠0)的数叫做有理数。 无理数：①无限②不循环小数叫做无理数。 2有理数的分类 整数和分数都可以写成分数的形式，它们统称为有理数。零既不是正数，也不是负数。有限小数和无限循环小数是有理数。 3无理数的两个前提条件： （1） 无限（2）不循环 4两者的区别： （1）无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数。 （2）任何一个有理数后可以化为分数的形式，而无理数则不能。 经典例题 例1：下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ -3，3π，-6 1，…，3.…，42，,0，3.（相邻两个1之间0的个数逐个加1），面积为π的圆半径为r 。 例2：下列说法正确的是：（ ） A.整数就是正整数和负整数 B.分数包括正分数、负分数 C.正有理数和负有理数统称有理数 D.无限小数叫做无理数 闯关全练 一. 填空题： （1）我们把能够写成分数形式n m (m 、n 是整数，n≠0)的数叫做 。 （2）有限小数和 都可以化为分数，他们都是有理数。 （3） 小数叫做无理数。 （4）写出一个比-1大的负有理数 。 二. 判断题 （1）无理数与有理数的差都是有理数；
（2）无限小数都是无理数； （3）无理数都是无限小数； （4）两个无理数的和不一定是无理数。 （5）有理数不一定是有限小数。 答案 例1： 无理数有：3 π，0，，（相邻两个1之间0的个数逐个加1） 有理数有：-3，-6 1，…，，42，,0，面积为π的圆半径为r 例2： B （A ，还有0 C ，还有0 D ，无限不循环） 闯关全练 一、（1）有理数 （2）无限循环小数、 （3）无限不循环小数、 （4）答案不唯一，如： 二、（1）错，如3π-0=3 π （2）错，如：… （3）对，无理数的两个前提条件之一无限 （4）对，3π+（-3 π）=0 （5）对，如：…
第1讲有理数的概念和性质和答案
新苏教版七升八数学第一讲有理数的概念和性质 一、【概念和性质】 1、正数和负数 正数：比0大的数。如+3、+1.5、+1 2、+584（正号可以省略） 负数：比0小的数。如－3、－1.5、－1 2、－584（负号不可以省略） 零：既不是正数，也不是负数。零是正数和负数的分界。 【实际意义】如“零上”和“零下”“高出”和“低于” “上升”和“下降”“超出”和“不足” “盈利”和“亏损”“收入”和“支出” ▲如正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义。 例：用正数表示向南，那么向北3km可以用负数表示为－3km， 向南－5km表示向北5km 填空（1）若汽车向东行驶2.5千米记作+2.5千米，则向西行驶1.5千米记作； 汽车原地不动记作。 （2）某人转动转盘，如果+2圈表示沿顺时针转2圈，那么圈－3表示。 2、整数和分数统称为有理数。 ▲有理数可以写成 m n（ m、n是整数，n≠0）。 ▲有理数的两种分类： ①按定义分： ②按符号分（常用）： 整数 分数 正整数 负整数 正分数 负分数 有理数 正有理数 正整数 正分数 有限小数 无限小数 分数（分子是1时，这个分数就是正数） 无限循环小数 无限不循环小数（无理数） 小数 自然数
几个重要概念 （1）非负数：正数和零 （2）非正数：负数和零 （3）非负整数：正整数和零 （4）非正整数：负整数和零 3、规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 所有有理数都可以用数轴上的点表示，但不是数轴上所有点都是有理数。 左边的数 〈 右边的数 ▲ 正数大于0，0大于负数，正数大于负数。 两个负数，绝对值大的反而小。 4、绝对值的意义与性质： ① 数轴上表示a 的点与原点的距离叫做a 的绝对值，记作||a 。 一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。 ② ③ 非负性 2(||0,0)a a ≥≥ ④ 非负数的性质： i ）非负数的和仍为非负数。 ii ）几个非负数的和为0，则他们都为0。 5、绝对值相同，符号相反的两个数叫做互为相反数。0的相反数是0。 ▲ 几何特征：关于原点对称（到原点的距离相等） 6、乘积是1的两个数是互为倒数（0没有倒数） 乘积是－1的两个数是互为负倒数 ▲ 正数的倒数是正数，负数的倒数仍是负数 ▲ 除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数。 【思考】 已知a 为有理数，判断下列语句是否正确： ① （a+12 ）2是正数； ② －（a －12 ）2 是负数； 111 -2 -1 0 1 2 大 小
2018年七年级专题辅导有理数与无理数含答案解析
2018年七年级专题辅导有理数与无理数 一、选择 1．实数π是( ) A．整数 B．分数 C．有理数D．无理数 2．在数0，，，﹣（﹣），，0.3，0.141 041 004…（相邻两个1，4之间的0的个数逐次加1），中，有理数的个数为( ) A．3 B．4 C．5 D．6 3．下列语句正确的是( ) A．0是最小的数B．最大的负数是﹣1C．比0大的数是正数D．最小的自然数是1 4．下列各数中无理数的个数是( ) ，0.1234567891011…（省略的为1），0，2π． A．1个B．2个C．3个D．4个 5．下列说法中，正确的是( ) A．有理数就是正数和负数的统称 B．零不是自然数，但是正数 C．一个有理数不是整数就是分数 D．正分数、零、负分数统称分数 6．在，3.14，0，0.313 113 111．…，0.43五个数中分数有( )个． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空 7．最小的正整数是__________，最大的负整数是__________，最小的非负整数是__________．8．有理数中．是整数而不是正数的数是__________；是整数而不是负数的数是__________．9．若一个正方形的面积为5，则其边长可能是__________数． 10．给出下列数：﹣18，，3.1416，0，2001，﹣，﹣0.14，95%，其中负数有__________， 整数有__________，负分数有__________． 11．有六个位：0.123，（﹣1.5）3，3.1416，，﹣2π，0.1020020002…，若其中无理数的个 数为x，整数的个数为y，非负数的个数为z，则x+y+z=__________． 12．观察下面依次排列的一列数，根据你发现的规律在各列的后面填上三个数． （1）1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32．__________，__________，__________… （2）4，3，2，1，0，﹣1，﹣2．__________，__________，__________… （3）1，2，﹣3，4，5，﹣6，7，8，﹣9，__________，__________，__________… 三、解答 13．有一面积为5π的圆的半径为x，x是有理数吗？说说你的理由．
有理数无理数之战
有理数、无理数之战 小毅的小脑袋瓜里，整天琢磨着数学问题。一天晚上，他正在一道又一道地演算数学题，忽然听到屋后“乒乒叭叭”响起枪声。 “深更半夜，哪来的枪声？”小毅爬上屋后的小山一看，啊呀，山那边摆开了战场，两军对垒打得正凶。一方的军旗上写着“有理数”，另一方的军旗上写着“无理数”。 小毅记得老师讲过，整数和分数合在一起，构成有理数。无理数则是无限不循环小数。 “奇怪，有理数和无理数怎么打起仗来了？”小毅攀着小树和藤条，想下山看个究竟。突然，从草丛中跳出两个侦察兵，不容分说就把他抓起来。 小毅一看，这两个侦察兵胸前都佩着胸章，一个上面写着“２”，另一个上面写着“31”。 噢，他们都是有理数。 “你们为什么抓我？”xx喊着。 “你是无理数，是个奸细！”侦察兵气势汹汹地说。 “我不是无理数，我是人！”小毅急忙解释。 侦察兵不听他的申辩，非要带小毅去见他们的司令不可。 xx问： “你们的司令是谁？” “大名鼎鼎的整数１！”侦察兵骄傲地回答。 “那么多有理数，为什么偏偏让１当司令呢？”小毅不明白。 侦察兵回答说：
“在我们有理数当中，１是最基本、最有能力的了。只要有了１，别的有理数都可以由１造出来。比如２吧，2=1+1；我是31，1131++=；再比如0，0＝1-1。” 小毅被带进１司令所在的一间大屋子里。这里有许多被捉的俘虏，屋子的一头，摆着一架Ｘ光机模样的奇怪的机器。 “押上一个！”１司令下命令。 两个士兵押着一个被俘的人走上机器。只见荧光屏“啪”的一闪，显示出“20502”。 “整数，我们的人。”１司令说完，又叫押上另一个。 荧光屏显示为“133355”。 “分数，也是有理数，是你们的人！”小毅憋不住地插嘴。司令满意地点点头。 屏上显示出“0.35278=8”。 “有限小数；有理数，是你们的人！”小毅继续说。 接着押上的一个在荧光屏上显示出是“0.787 878……＝78 \99”.“也是你们的人。”小毅兴奋地说，“循环小数，可以化成分数的。”这时，又有一个俘虏被两个士兵硬拉上机器，荧光屏“啪”的一闪，出现“1.414……=2”。不等小毅开口，１司令厉声喝道： “奸细，拉下去！” 这个无理数立刻被拖走了。接着荧光屏显示出一个数“0.101 001 0001……”。 “这是……循环小数吧？”小毅还没说完，那数猛地从机器上跳开想逃跑，却被士兵重新抓住。“这是个无限不循环小数，是个无理数！”１司令说道。小毅因为识别错了，脸都红了。 这时，两个士兵请小毅站到机器上去，荧光屏立刻出现一个大字“人”。
有理数与无理数练习
有理数与无理数练习 一、耐心填一填，一锤定音 1、若太平洋最深处低于海平面11034米，记作－11034米，则珠穆朗玛峰高出海平面8848米，记作＿＿＿＿＿＿。 2、＋10千米表示王玲同学向南走了10千米，那么－9千米表示_______；0千米表示＿＿＿＿＿。 3、在月球表面上，白天阳光垂直照射的地方温度高达127℃，夜晚温度可降到－183℃，那么－183℃表示的意义为＿＿＿＿＿＿＿。 4、七（8）班数学兴趣小组在一次数学智力大比拼的竞赛中的平均分数为90分，张红得了85分，记作－5分，则小明同学行92分，可记为＿＿＿＿，李聪得90分可记为＿＿＿＿，程佳＋8分，表示＿＿＿＿＿＿。 5、有理数中，最小的正整数是＿＿＿＿，最大的负整数是＿＿＿＿。 6、在1.5－7.5之间的整数有＿＿＿＿＿，在－7.5与－1.5之间的整数有＿＿＿＿＿ 7、已知下列各数：－23、－3.14、，其中正整数有__________，整数有______，负分数有______，分数有_________。 二、精心选一选，慧眼识金！ 1、把向东运动记作“+”，向西运动记作“_”，下列说法正确的是( ) A、-3米表示向东运动了3米 B、+3米表示向西运动了3米 C、向西运动3米表示向东运动-3米 D、向西运动3米，也可记作向西运动-3米。 2、下列语句中正确的是( ) A、零是自然数 B、零是正数 C、零是负数 D、零不是整数 3、下列说法中，其中不正确的是( ) A、0是整数 B、负分数一定是有理数 C、一个数不是正数，就一定是负数 D、0 是有理数 4、正整数集合与负整数集合合并在一起构成的集合是( ) A、整数集合 B、有理数集合 C、自然数集合 D、以上说法都不对 5、下列说法中正确的有( ) ① 0是取小的自然数；②0是最小的正数；③0是最小的非负数；④0既不是奇数，也不是偶数；⑤0表示没有温度。 A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 6、下列说法错误的是（） A、有理数是指整数、分数、正有理数、零、负有理数这五类数 B、一个有理不是整数就是分数 C、正有理数分为正整数和正分数 D、负整数、负分数统称为负有理数 三、把下列各数填在相应的括号内： －23,0.25，，－5.18，18，-38，10，＋7，0，+12，3.1415926, 6.010010001… 正数有（） 负数有（） 整数有（） 有理数有（） 无理数有（）
七年级数学有理数与无理数易错题含答案
一、选择 1．实数π是( ) A．整数B．分数C．有理数D．无理数 【考点】无理数． 【分析】由于圆周率π是一个无限不循环的小数，由此即可求解． 【解答】解：实数π是一个无限不循环的小数．所以是无理数． 故选D． 【点评】本题主要考查无理数的概念，π是常见的一种无理数的形式，比较简单．2．在数0，，，﹣（﹣），，0.3，0.141 041 004…（相邻两个1，4之间 的0的个数逐次加1），中，有理数的个数为( ) A．3 B．4 C．5 D．6 【考点】有理数． 【分析】分别根据实数的分类及有理数、无理数的概念进行解答． 【解答】解：在数0，，，﹣（﹣），，0.3，0.141 041 004…（相邻两个1，4之间的0的个数逐次加1），中，有理数的是0，，﹣（﹣），，0.3，． 故选D． 【点评】本题考查的是有理数问题，关键是根据实数的分类及无理数、有理数的定义分析． 3．下列语句正确的是( ) A．0是最小的数B．最大的负数是﹣1 C．比0大的数是正数D．最小的自然数是1 【考点】有理数． 【分析】根据正数、自然数、负数、0的定义与特点分别对每一项进行分析即可．【解答】解：A、没有最小的数，故本选项错误； B、最大的负整数是﹣1，故本选项错误； C、比0大的数是正数，故本选项正确； D、最小的自然数是0，故本选项错误； 故选：C． 【点评】此题考查了有理数，用到的知识点是正数、自然数、负数、0的定义与特点，是一道基础题． 4．下列各数中无理数的个数是( ) ，0.1234567891011…（省略的为1），0，2π．
A．1个B．2个C．3个D．4个 【考点】无理数． 【分析】由于无理数就是无限不循环小数，由此即可判定选择项． 【解答】解：下列各数中，0.1234567891011…（省略的为1），0，2π． 无理数是2π，共1个． 故选A． 【点评】此题主要考查了无理数的定义．初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 5．下列说法中，正确的是( ) A．有理数就是正数和负数的统称 B．零不是自然数，但是正数 C．一个有理数不是整数就是分数 D．正分数、零、负分数统称分数 【考点】有理数． 【分析】根据有理数的定义和特点进行判断． 【解答】解：A、有理数包括正数、负数和0，故A错误； B、零是自然数，但不是正数，故B错误； C、整数和分数统称有理数，因此一个有理数不是整数就是分数，故C正确； D、零是整数，不是分数，故D错误． 故选C． 【点评】认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点． 注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数． 6．在，3.14，0，0.313 113 111．…，0.43五个数中分数有( )个． A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】有理数． 【分析】利用分数的定义判断即可． 【解答】解：在，3.14，0，0.313 113 111．…，0.43五个数中分数有3.14，0.43， 故选B． 【点评】此题考查了实数，熟练掌握分数的定义是解本题的关键． 二、填空 7．最小的正整数是1，最大的负整数是﹣1，最小的非负整数是0． 【考点】有理数． 【分析】根据正整数的定义，可得答案； 根据负整数的定义，可得答案； 根据非负数的定义，可得答案． 【解答】解：最小的正整数是1，最大的负整数是﹣1，最小的非负整数是0，故答案为：1，﹣1，0．
有理数与无理数
谈谈有理数与无理数 实数通常分为有理数和无理数两类。这两类数的性质，对于九年义务教育阶段的初中学生来说，知道得较少。本文试图对初中数学中关于有理数和无理数的知识作一个梳理和拓展，以此帮助初中读者加深对实数的认识。 关于有理数，我们知道得较多，其特征有： 1、由于实数实际上就是小数，因此有理数是指那些有限小数和无限循环小数； 2、每个有理数都可以写成分数的形式，即n m ，其中m 和n 都是整数，且n ≠0。利用这一特征很容易证明：任意两个有理数进行加、减、乘、除（除数不为0）四则运算所得的结果仍是有理数。 我们不加证明地给出关于有理数的一条结论： 当有理数n m 的分母n 能分解质因数为2α×5β（其中α、β为自然数）时，有理数n m 能化成有限小数；否则，化为无限循环小数。（关于有理数与小数的互化问题，有兴趣的同学请可阅读相关书籍，不再赘述） 无理数是指那些无限不循环小数。大家熟悉的无理数很多，2、e 、π等等都是。与有理数相比，无理数不具备那样好的性质。譬如，两个无理数的四则运算结果不一定是无理数，象π-π=0，22 =1。 根据有理数和无理数之间的相互关系，可以得到如下两条性质，它们在处理与有理数无理数有关的问题时，起着基本的作用： 1、任何有理数≠任何无理数； 2、设是a 有理数，b 是无理数，则a+b ，a-b ，a ·b （a ≠0），a/b （a ≠0）都是无理数。 下面着重介绍实数无理性的判定方法。 在现行初中数学范围内所遇到的无理数主要有这样几种类型：与开方运算有关，如2，311；与对数值有关，如log 23；与三角函数值有关，如cos20°，sin1°；此外还有象e （自然对数的底）、π（圆周率）这样的特殊值。 判定实数无理性的方法很多，但都有一个共同的特点，即采用反证法的技巧。原因有二：第一、无理数的概念通常以“不是有理数的实数称为无理数”这一否定方式给出的；第二、当反设要判定的实数α不是无理数时，由有理数和无理数 的关系，α就是有理数，故α=n m （n ≠0），于是就得到一个具体的等式，这为我们导出矛盾提供了一个直观的工具。下面我们介绍几种常见的初等方法，主要适用于前三类无理数的判定。 一、利用整数的性质 整数特别是整数的奇偶性在判定实数的无理性方面起着重要的作用。
【教学设计新部编版】《有理数和无理数之战》(人教版)
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期] 任教学科：_____________ 任教年级：_____________ 任教老师：_____________ xx市实验学校
《有理数和无理数之战》教学设计 《有理数和无理数之战》是人教版新疆专用七年级上册教材第四单元第18课。在这篇课文理，作者让一个个枯燥无味的数学符号活了起来，它们变成了侦察兵、司令， 为了名字有了“战争”。作者把原本枯燥无味的数学编写成扣人心弦，生动有趣的数学故事，以通俗的语言讲解数学的奥秘，更能培养读者对数学的兴趣。 【知识与能力目标】 1、掌握本文中字、词语的读音，词义。 2、了解本文作者及作品，能流利地朗读课文。 3、把握课文内容，体会数学的奥妙。 4、学习文中的拟人手法，体会拟人手法的妙处。
【过程与方法目标】 1、学生自读课文，合作交流理解字词的意思，老师进行讲解引导。 2、根据问题读课文，合作交流。解决问题，老师进行引导。 【情感态度价值观目标】 1、培养学生的合作交流能力，提高学生对数学的兴趣。 2、激发学生阅读童话的兴趣。 【教学重点】 理解课文内容，根据课文内容回答问题。 【教学难点】 通过学习这篇童话，激发学生学习数学的兴趣，阅读童话的兴趣。 教师准备：1、准备多媒体课件。 2、布置预习任务，监督学生及时完成 学生准备：1、熟读课文，解决生字词。 2、收集整理有关作者的资料。 一、导入新课激发兴趣 今天我们来讲“有理数和无理数”（板书）你们听到了这节课的题目，猜一猜要讲什么呢？ 二、作者简介了解常识 李毓佩，首都师范大学数学科学学院教授。两次获得北京市优秀教师称号，被中国科普作家协会授予“建国以来成绩突出的科普作家”的称号。出版科普图书60余本，短篇600余篇，主要作品有《奇妙的曲线》，《圆面积之谜》，《数学司令》《有理数无理数之战》《数学游艺会》《数学奇境故事丛书》等。作品曾获得国家图书奖、中国图书奖一等奖、国家“五个一工程奖”中国优秀科普作品一等奖。
有理数与无理数
有理数与无理数 怀文中学XX—XX学年度第二学期教学设计 初一数学2.2 主备：陈秀珍审核：日期：XX-9-1 学习目标：1理解有理数的意义；知道无理数是客观存在的，了解无理数的概念。 会判断一个数是有理数还是无理数。经历数的扩充，在探索活动中感受数学的逼近思想，体会“无限”的过程，发展数感。 教学重点：区分，知道无理数是客观存在的。感受夹逼法，估算无理数的大小。. 教学难点：会判断一个数是有理数还是无理数，体会“无限”的过程。 教学过程： 一．自主学习 我们上了六多年的学,学过不计其数的数,概括起来我们都学过哪些数呢? 在小学我们学过自然数、小数、分数.，在初一我们还学过负数。我们在小学学了非负数，在初一发现数不够用了，引入了负数，即把从小学学过的正数、零扩充了范围，从形式上来看，我们学过的一部分数又可以分为整数和分数。我
们能够把整数写成分数的形式吗？如：5，-4,0……可以吗？可以！如5=，-4=，0=我们把可以化为分数形式“n”的数叫做有理数； 想一想：小学里我们还学过有限小数和循环小数，它们是有理数吗？有限小数如0.3，-3.11……能化成分数吗？它们是有理数吗？0.3=，-3.11=，它们是有理数。请将1/3，4/15，2/9写成小数的形式。1/3=0.333...,4/15=0.26666...,2/9=0.2222.....这些是什么小数？循环小数，反之循环小数也能化为分数的形式，它们也是有理数！循环小数如何化为分数可以一起学习书P17、读一读 二．合作、探究、展示 有理数包括整数和分数，那么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要呢？下面我们就来共同研究这个问题. 议一议：有两个边长为1的小正方形，剪一剪，拼一拼，设法得到一个大正方形。 设大正方形的边长为a，a满足什么条件？ a可能是整数吗？说说你的理由。 a可能是分数吗？说说你的理由 a是正方形的边长，所以a肯定是正数.因为两个小正方形面积之和等于大正方形面积，所以根据正方形面积公式可知a2=2.
实数可以分为有理数和无理数两类
是：1/a （a≠0） (1)代数式：代数式是由运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．带有“<(≤)”“>(≥)”“=”“≠”等符号的不是代数式。 (2)代数式的值；用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果p叫做代数式的值．
求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值． (3)代数式的分类 2．整式的有关概念 (1)单项式：只含有数与字母的积的代数式叫做单项式． 对于给出的单项式，要注意分析它的系数是什么，含有哪些字母，各个字母的指数分别是什么。 (2)多项式：几个单项式的和，叫做多项式 对于给出的多项式，要注意分析它是几次几项式，各项是什么，对各项再像分析单项式那样来分析 (3)多项式的降幂排列与升幂排列 把一个多项式按某一个字母的指数从大列小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列 把—个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列， 给出一个多项式，要会根据要求对它进行降幂排列或升幂排列． (4)同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类顷．要会判断给出的项是否同类项，知道同类项可以合并．即其中的X可以代表单项式中的字母部分，代表其他式子。 3．整式的运算 (1)整式的加减：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接．整式加减的一般步骤是： (i)如果遇到括号．按去括号法则先去括号：括号前是“十”号，把括号和它前面的“+”号去掉。括号里各项都不变符号，括号前是“一”号，把括号和它前面的“一”号去掉．括号里各项都改变符号． (ii)合并同类项：同类项的系数相加，所得的结果作为系数．字母和字母的指数不变． (2)整式的乘除：单项式相乘(除)，把它们的系数、相同字母分别相乘(除)，对于只在一个单项式(被除式)里含有的字母，则连同它的指数作为积(商)的一个因式相同字母相乘(除)要用到同底数幂的运算性质：多项式乘(除)以单项式，先把这个多项式的每一项乘(除)以这个单项式，再把所得的积(商)相加． 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． (3)因式分解：把多项式写成几个整式相乘的积的形式。 例：a^2+2ab+b^2=(a+b)^2 遇到特殊形式的多项式乘法，还可以直接进行计算：