人教版高中物理选修3-1知识点整理及重点题型梳理] 静电场 复习与巩固 提高

人教版高中物理选修3-1

知识点梳理

重点题型（常考知识点）巩固练习

静电场复习与巩固

【学习目标】

1.了解静电现象及其在生活中的应用；能用原子结构和电荷守恒的知识分析静电现象。

2.知道点电荷，知道两个点电荷间的相互作用规律。

3.了解静电场，初步了解场是物质存在的形式之一。理解电场强度。会用电场线描述电场。

4.知道电势能、电势，理解电势差。了解电势差与电场强度的关系。

5.了解电容器的电容。

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、与电场有关的平衡问题

1．同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引．库仑力实质上就是电场力，与重力、弹力一样，它也是一种基本力．注意力学规律的应用及受力分析．

2．明确带电粒子在电场中的平衡问题，实际上属于力学平衡问题，其中仅多了一个电场力而已．3．求解这类问题时，需应用有关力的平衡知识，在正确的受力分析的基础上，运用平行四边形定则、三角形定则或建立平面直角坐标系，应用共点力作用下物体的平衡条件、灵活方法（如合成分解法，矢量图示法、相似三角形法、整体法等）去解决．

要点诠释：（1）受力分析时只分析性质力，不分析效果力；只分析外力，不分析内力．

（2）平衡条件的灵活应用．

要点二、与电场有关的力和运动问题

带电的物体在电场中受到电场力作用，还可能受到其他力的作用，如重力、弹力、摩擦力等，在诸多力的作用下物体可能处于平衡状态（合力为零），即静止或匀速直线运动状态；物体也可能所受合力不为零，做匀变速运动或变加速运动．处理这类问题，就像处理力学问题一样，首先对物体进行受力分析（包括电场力），再根据合力确定其运动状态，然后应用牛顿运动定律和匀变速运动的规律列等式求解．

要点三、与电场有关的功和能问题

带电的物体在电场中具有一定的电势能，同时还可能具有动能和重力势能等．因此涉及与电场有关的功和能的问题可用以下两种功和能的方法来快速简捷的处理，因为功与能的关系法既适用于匀强电场，又适用于非匀强电场，且使同时不须考虑中间过程；而力与运动的关系法不仅只适用于匀强电场，而且还须分析其中间过程的受力情况运动特点等．

1．用动能定理处理，应注意：

（1）明确研究对象、研究过程．

（2）分析物体在所研究过程中的受力情况，弄清哪些力做功，做正功还是负功．

（3）弄清所研究过程的初、末状态．

2．应用能量守恒定律时，应注意：

（1）明确研究对象和研究过程及有哪几种形式的能参与了转化．

（2）弄清所研究过程的初、末状态．

（3）应用守恒或转化列式求解．

要点诠释：（1）电场力做功的特点是只与初末位置有关。与经过的路径无关．

（2）电场力做功和电势能变化的关系：电场力做正功．电势能减小，电场力做负功，电势能增加，且电场力所做的功等于电势能的变化（对比重力做功与重力势能的变化关系）．

（3）如果只有电场力做功，则电势能和动能相互转化，且两能量之和保持不变．这一规律虽然没有作为专门的物理定律给出，但完全可以直接用于解答有关问题．

要点四、巧用运动合成与分解的思想分析带电体在复合场中的运动问题

带电体在电场和重力场的复合场中，若其运动既非类平抛运动，又非圆周运动，而是一般的曲线运动，在处理这类较复杂的问题时，既涉及力学中物体的受力分析、力和运动的关系、运动的合成与分解、功能关系等概念和规律，又涉及电场力、电场力做功、电势差及电势能等知识内容，问题综合性强，思维能力要求高，很多学生感到较难，不能很好地分析解答。其实，处理这类问题若能巧妙运用的分解思想，研究其两个分运动，就可使问题得到快捷的解决．

【典型例题】

类型一、与电场有关的平衡问题

例1．如图所示，A、B是带有等量的同种电荷的两小球（可视为点电荷），它们的质量都是m，它们的悬线长度是L，悬线上端都固定于同一点O，B球悬线竖直且被固定，A球在力的作用下，于偏离B

球x的地方静止，此时A球受到绳的拉力为1F，现在保持其他条件不变，用改变A球质量的方法，使A球

的距B为1

2

x处平衡，则此时A受到绳的拉力为（）

A ．1F

B ．12F

C ．14F

D ．18F

【答案】D

【解析】A 球受到重力G 、B 球对A 球的库仑力F 、绳的拉力1F ，如图所示．

由共点力平衡条件，G 、F 、1F 三力的图示必然构成封闭三角形，由相似三角形得

1

F mg F L x L

==． 由此得

1F mg =，

x

F mg L

=

． 当球在

1

2

x 处平衡时，同理可得 1''F m g =，

12''x F m g L

=． 设A 、B 两球的带电荷量均为q ，由库仑定律可知

2

2kq F x

=，

22

'12kq F x =

?? ???

．

故

'

4F F

=，即 1

'421

xm g

xmg =．

所以

8m m '=。

因此

1188F m g mg F '='==．

【总结升华】本题考查了库仑定律及三力作用下物体的平衡问题．在已知长度的条件下，可首选

力的矢量三角形与几何三角形相似的方法巧解该类练习题．

举一反三:

【变式】如图所示，将两个摆长均为l 的单摆悬于O 点，摆球质量均为m ，带电荷量均为()0q q >．将另一个带电荷量也为()0q q >的小球从O 点正下方较远处缓慢移向O 点，当三个带电小球分别处在等边三角形abc 的三个顶点上时，摆线的夹角恰好为120?，则此时摆线上的拉力大小等于(

)

A. B ．2mg

l

3l

【思路点拨】本题意在巩固学生对平衡问题的处理能力，同时加强库仑力与前面力学问题的整合．

【答案】D

【解析】当夹角为120?时，对a 或b 进行受力分析，小球受拉力、重力和另外两个小球对它的斥力，两个库仑力大小相等，两个库仑力的合力方向与水平方向成30?，所以绳子拉力与库仑力的合力成120?，

根据力的合成的知识可得绳子拉力大小等于重力为mg

或等于库仑力的合力为2

2

3l ，D 对．

【总结升华】本题考查涉及库仑定律的平衡问题，与前面力学平衡问题解题思路相同，但要注意库仑力的特征．

类型二、求解电场强度的几种特殊方法

例2．物理学中有些问题的结论不一定必须通过计算才能验证，有时只需通过一定的分析就可以判断结论是否正确．如图所示为两个彼此平行且共轴的半径分别为1R 和2R 的圆环，两圆环上的电荷量均为

(0)q q ＞，而电荷均匀分布．两圆环的圆心1O 和2O 相距为2a ，连线的中点为O ，轴线上的A 点在O 点

右侧与O 点相距为()r r a ＜．试分析判断下列关于A 点处电场强度大小E 的表达式(式中k 为静电力常量)正确的是( )

A ．12

2222

12[()][()]

kqR kqR E R a r R a r =

-+++- B ．1

2

3

3

22222212[()]

[()]

kqR kqR E R a r R a r =-

+++-

C ．222

212()()

[()][()]

kq a r kq a r E R a r R a r +-=

-+++- D ．3

3

22222

2

12()

()

[()][()]kq a r kq a r E R a r R a r +-=-

+++-

【思路点拨】本题实质体现的是转化思想的运用，即把不能视为点电荷的问题转化为点电荷问题(库仑

定律适用于点电荷)，微元法是实现这一转化的有效手段．

【答案】D

【解析】当0r =时，A 点位于O 处，可以把12O O 、两个带电圆环均等效成两个位于圆心处的点电荷，根据场强的叠加容易知道。此时总场强0E =，将0r =代入各选项，排除AB 选项；当r a =时，A 点位于2O 处，带电圆环2O 由于对称性在A 点的电场为0，根据微元法可以求的此时的总场强为

13

22

1224kqa E E R a ==

??+??

，将r a =代入，CD 选项可排除C ． D 对．

【总结升华】本题考查学生通过“微元法”处理实验数据的能力．

举一反三:

【变式】如图所示，均匀带电圆环的电荷量为Q ，半径为R ，圆心为O ，P 为垂直于圆环平面的对称轴上的一点，OP L ＝，试求P 点的场强．

【答案】3222

()QL k

R L +

【解析】本题需要用“微元法”．将非点电荷电场问题转化成了点电荷电场问题求解．设想将圆环等分为n 个小段，每一小段便可看作点电荷，其带电荷量为Q

q n

=，由点电荷场强公式可得每一小段点电荷在P 处的场强为

222()

Q Q E k

k nr n R L ==+. 由对称性可知，各小段带电环在P 处的场强E 的垂直于轴向的分量y E 相互抵消．而E 的轴向分量x E 之和即为带电圆环在P 处的场强．

22223

222

cos ()()()P x Q Q QL E E k

k k

n R L n R L R L α==?==+++

∑∑∑.

类型三、电场线与电场力

例3．某静电场的电场线分布如图所示，图中P Q 、两点的电场强度的大小分别为P E 和Q E ，电势分别为P U 和Q U ，则(

)

A.P Q P Q E E U U >> B ．P Q P Q E E U U ><

C ．

P Q P Q E E U U <> D ．P Q P Q E E U U <<

【思路点拨】本题意在通过不等量异种电荷电场线的分布、电场强弱分析、电势高低的判断考查学生灵活应用能力，使学生认识到不但要能用电场线知识分析典型电场，还要能分析非典型电场．

【答案】A

【解析】电场强度的大小用电场线的疏密来判断，密处场强大，显然P Q E E >；又沿着电场线的方向，电势越来越低，则知P Q U U >, A 正确，B 、C 、D 均错误．

举一反三:

【变式1】如图甲所示，MN 为很大的薄金属板(可理解为无限大)，金属板原来不带电．在金属板的右侧距金属板距离为d 的位置上放入一个带正电、电荷量为q 的点电荷，由于静电感应产生了如图甲所示的电场分布．P 是点电荷右侧与点电荷之间的距离也为d 的一个点，

几位同学想求出P 点的电场强度大小，但发现问题很难．几位同学经过仔细研究，从图乙所示的电场得到了一些启示，经过查阅资料他们知道：图甲所示的电场分布与图乙中虚线右侧的电场分布是一样的．图乙中两异号点电荷的电荷量的大小均为

q ，它们之间的距离为2d ，虚线是两点电荷连线的中垂线．由此他们分别求出了P 点的电场强度大小，

一共有以下四个不同的答案(答案中k 为静电力常量)，其中正确的是( )

A.

289kq d B.2kq d C.234kq d D.2

109kq

d

【答案】A

【解析】如图所示:

根据题意可知,图甲中P 点场强应和图乙中q +右侧距离为d 处的P '点场强相同，即

P 2228E =E =

99P kq kq kq d d d

'-=. 所以本题只有选项A 正确．

【变式2】在光滑的绝缘水平面上，有一个正三角形abc ，顶点a b c 、、处分别固定一个正点电荷，

电荷量相等，如图所示，D 点为正三角形外接圆的圆心，E G H 、、点分别为ab ac bc 、、的中点，F 点为E 点关于电荷c 的对称点，则下列说法中不正确的是( )

A ．D 点的电场强度一定不为零，电势可能为零

B ．E F 、两点的电场强度等大反向，电势相等

C ．E G H 、、三点的电场强度和电势均相同

D ．若释放电荷c ，电荷c 将一直做加速运动(不计空气阻力)

【答案】 ABC

【解析】根据对称性，a b c 、、处等量正点电荷在D 处产生的场强矢量和为零，选项A 错误；根据点电荷产生场强的计算公式及电场叠加原理易知E 点合场强小于F 点合场强，选项B 错误；E G H 、、三点电场强度大小相等、方向不同，则选项C 错误；若释放电荷c ，电荷c 将沿a b 、连线中垂线向右做加速度逐渐减小的加速直线运动，选项D 正确．本题要求选不正确选项，故应选ABC.

类型四、与电场有关的力和运动问题

例4．如图所示，点电荷4Q +与Q +分别固定在A B 、两点，C D 、两点将AB 连线三等分．现使一个带负电的检验电荷，从C 点开始以某一初速度向右运动，不计检验电荷的重力．则关于该电荷在CD 之间的运动．下列说法中可能正确的是( )

A.一直做减速运动，且加速度逐渐变小

B.做先减速后加速的运动

C.一直做加速运动，且加速度逐渐变小

D.做先加速后减速的运动

【答案】AB

【解析】D 点的场强2

2402D kQ kQ

E d d

=

-=，D 点左侧场强向右，右侧场强向左，检验电荷带负电从C 点到D 点过程可能一直减速，加速度逐渐减小，也可能减速到0反向加速．

举一反三:

【变式】下列带电粒子均从初速为零的状态开始在电场力作用下做加速运动，经过相同的电势差U 后，哪个粒子获得的速度最大( )

A.质子11(H)

B.氘核21(H)

C.α粒子4

2(He) D.钠离子(Na )+

【答案】A

类型五、与电场有关的功和能问题

例5．某电场的电场线分布如图所示，以下说法正确的是( )

A.c 点场强大于b 点场强

B.a 点电势高于b 点电势

C.若将一试探电荷q +由a 点释放，它将沿电场线运动到b 点

D.若在d 点再固定一点电荷Q -，将一试探电荷q +由a 移至b 的过程中，电势能减小

【答案】BD

【解析】本题考查电场线的知识．由题可知，c 点电场线比b 点电场线稀疏，所以c 点场强小于b 点场强，A 选项错误；沿着电场线方向，电势降低，所以a 点电势高于b 点电势，B 选项正确；电场线方向不是电荷运动方向，C 选项错误；正点电荷从a 点移到b 点，电场力做正功，电势能减小，D 选项正确．

举一反三:

【变式】如图所示，在xOy 平面内有一个以O 为圆心、半径0.1m R =的圆，P 为圆周上的一点，O P 、两点连线与x 轴正方向的夹角为θ.若空间存在沿y 轴负方向的匀强电场，场强大小=100V/m E ，则

O P 、两点的电势差可表示为( )

A.10 sin (V)OP U θ=-

B.10 sin (V)OP U θ=

C.10 cos (V)OP U θ=-

D.10 cos (V)OP U θ=

【思路点拨】主要侧重于电势能、电势、电势差与电场力做功的考查，澄清各概念本质，掌握其相互关系并能进行定性和定量的分析．

【答案】A

【解析】本题考查匀强电场的特点，中档题．在匀强电场中，两点间的电势差等于

O P U Ed ??=-=-，

d 表示沿电场线方向的距离，则此时

sin d R θ=， 得10sin V U θ=－，A 对．

【总结升华】利用公式AB W qU =计算时，有两种运算法．

(1)正负号运算法：按照符号规定把电荷量q 、移动过程始末两点电势差AB U 及电场力的功AB W 代入公式计算．

(2)绝对值运算法：公式中AB AB q U W 、、均为绝对值，算出数值后再根据“正(或负)电荷从电势较高的点移动到电势较低的点时，电场力做正功(或电场力做负功)；正(或负)电荷从电势较低的点移到电势较高的点时，电场力做负功(或电场力做正功)”来判断．

类型六、等势面与电场线

例6．如图所示，实线是等量异种点电荷所形成的电场中每隔一定电势差所描绘的等势线．现有外力移动一个带正电的试探电荷，下列过程中该外力所做正功最多的是( )

A.从A 移到B B ．从C 移到D C.从D 移到E D ．从E 移到F

【思路点拨】本题意在巩固学生对于典型电场的等差等势面的分布规律．

【答案】B

【解析】电荷从A移到B及从D移到E的过程中电场力做正功，则外力做负功，选项A、C错误；从C移到D比从E移到F克服电场力做功多，即外力做功最多，选项B正确、D错误．【总结升华】本题重点考查等量异种点电荷等势面的分布及与电场力做功的关系，属于必须准确掌握的考点．

举一反三:

、是不同等势面上的两点．关于该电【变式】如图所示为一个点电荷电场中的等势面的一部分，A B

场，下列说法正确的是()

A. A点的场强一定大于B点的场强

B. A点的场强可能等于B点的场强

C. A点的电势一定高于B点的电势

D. A点的电势一定低于B点的电势

【答案】A

【解析】根据等势面和电场线的关系画出几条电场线，如图所示．

由图可知A点所在处电场线较B点处密集，故A点的场强大于B点场强，A正确、B错误；由于不

、两点的电势高低，故C、D错误．

知道电场线的方向也不知场源电荷的正负，无法判断A B

类型七、电容与电容器

例7．用控制变量法，可以研究影响平行板电容器电容的因素(如图所示)．设两极板正对面积为S，极板间的距离为d，静电计指针偏角为θ.实验中，极板所带电荷量不变，若()

A.保持S不变，增大d，则θ变大

B.保持S不变，增大d，则θ变小

C.保持d不变，减小S，则θ变小

D.保持d不变，减小S，则θ不变

【思路点拨】本题意在巩固学生对电容器的动态分析能力．静电计本质上也是一个电容器，理解好这

一点有利于理解和掌握该演示实验．

【答案】A

【解析】本题考查影响电容大小的因素，中档题．在电荷量保持不变的情况下，保持S 不变，增大d ，

则电容变小，根据C ＝Q U ，电压U 变大，则θ变大，A 对．保持d 不变，减小S ，则电容减小，根据C ＝Q

U

，

电压U 变大，则θ变大，C 、D 都错．

【总结升华】本题以教材中的演示实验为基础，考查考生对电容器动态变化问题的分析能力，其中静电计的作用是显示电容器两极板间的电压．

举一反三:

【变式】一平行板电容器充电后与电源断开，负极板接地，在两极间有一正电荷(电荷量很小)固定在P 点，如图所示．以U 表示两极板间的电压，E 表示两极板间的场强，ε表示该正电荷在P 点的电势能，若保持负极板不动，而将正极板移至图中虚线所示位置，则( )

A. U 变小，ε不变 B ．E 变大，ε不变 C. U 变小，E 不变 D ．U 不变，ε不变

【答案】AC

【解析】电容器充电后与电源断开，Q 不变，结合4S C k d επ=，由d 变小，知C 变大，又Q

U C

=，则U 变小，又4=

4U Q Q k Q

E Sd d Cd S k d

πεεπ===

，可知E 不变，P 点到极板的距离不变，则P 点与下极板的电势差不变，P 点的电势P ?不变，P 点电势能P q ε?=不变，所以A 、C 选项正确．

类型八、巧用运动合成与分解的思想分析带电体在复合场中的运动问题

例8．如图所示，ABD 为竖直平面内的光滑绝缘轨道，其中AB 段是水平的，BD 段为半径0.2m R =的半圆，两段轨道相切于B 点，整个轨道处在竖直向下的匀强电场中，场强大小3

5.010V/m E =?.一个带电的绝缘小球甲以速度0v 沿水平轨道向右运动，与静止在B 点带正电的小球乙发生弹性碰撞．已知甲、乙两球的质量均为2

=1.010

kg m ?－，乙所带电荷量5=2.010C q ?－，210m/s g 取.(水平轨道足够长，甲、

乙两球可视为质点，整个运动过程无电荷转移)

(1)甲、乙两球碰撞后，乙恰能通过轨道的最高点D ，求乙在轨道上的首次落点到B 点的距离； (2)在满足(1)的条件下，求甲的速度0v ；

(3)若甲仍以速度0v 向右运动，增大甲的质量，保持乙的质量不变，求乙在轨道上的首次落点到B 点的距离范围．

【思路点拨】本题意在培养学生对于力电综合问题的解题能力，整合其解题思路．

【答案】(1) 0.4m s = (2) (3) 04m 1.6m s ≤'．＜

【解析】(1)在乙恰能通过轨道最高点的情况下，设乙到达最高点速度为D v ，乙离开D 点到达水平轨道的时间为t ，乙的落点到B 点的距离为s ，则

2

D v m mg q

E R

=+ ① 2

12()2mg qE R t m

+= ②

D s v t = ③

联立①②③得

0.4m s = ④

(2)设碰撞后甲、乙的速度分别为v v 乙甲、，根据动量守恒定律和机械能守恒定律有

0mv mv mv =+乙甲 ⑤

222

0111222

mv mv mv =+乙甲 ⑥ 联立⑤⑥得

00v v v ==乙甲， ⑦

由动能定理，得

22112222

D mg R q

E R mv mv -?-?=-乙 ⑧

联立①⑦⑧得

0v =

⑨

(3)设甲的质量为M ，碰撞后甲、乙的速度分别为M m v v 、，根据动量守恒定律和机械能守恒定律有

0M m Mv Mv mv ＝＋ ⑩

22

2111222

D M m

Mv Mv mv =+ ? 联立⑩?得

2m Mv v M m

=

+ ?

由?和M m ≥，可得

002m v v v ≤＜ ?

设乙球过D 点时速度为D v '，由动能定理得

22

112222

D m

mg R qE R mv mv -?-?='- ? 联立⑨??得

2m/s 8m/s D v ≤'＜ ?

设乙在水平轨道上的落点距B 点的距离为s '，有

D s v t '=' ?

联立②??得

04m 1.6m s ≤'．＜

【总结升华】涉及电场力做功的综合问题与力学综合问题分析思路相同，要注意力学解题规律在此处

的迁移应用．

例9．一个带负电的小球，质量为M ，带电荷量为q ．在一个如图所示的平行板电容器的右侧板边被竖直上抛，最后落在电容器左侧板边同一高度处．若电容器极板是竖直放置的，两板间距为d ，板间电压为U ，求小球能达到的最大高度及抛出时的初速度．

【答案】24Mgd qU 【解析】小球以初速度0v 抛出后，它会受到竖直向下的重力Mg 及水平向左的电场力qE 的作用．在重力Mg 的作用下，小球在竖直方向将做竖直上抛运动，在电场力qE 的作用下，小球在水平方向向左做初速度为零的匀加速直线运动．即小球所做的曲线运动可以分解为竖直方向的竖直上抛和水平方向的初速

度为零的匀加速运动两个互相正交的分运动，如图所示．

在竖直分运动中，小球所能达到的最大高度202v H g =，所用的总时间02v

t g

=．在水平分运动中，位

移221122qU d at t Md ==。联立以上各式解得：24Mgd H qU =

，0v =． 【总结升华】对于带电粒子在电场中是否考虑重力作用的问题，一般有以下两种情况：

（1）对于像电子、质子、原子核等基本粒子，因一般情况下的电场力远大于重力，所以都不计重力．但对于带电小球、带电油滴、带电尘埃等较大的带电体，一般要考虑重力作用．如本题中的带电小球，则考虑其重力作用．

（2）有些问题没有明确说明是基本粒子还是带电体，如电荷、粒子之类，可能计重力，也可能不计重力，是否考虑重力往往隐含在题目中．

例10．如图所示，空间有电场强度0.5N/C E =的竖直向下的匀强电场，长l =的不可伸长的轻绳一端固定于O 点，另一端系一质量0.01kg m =的不带电小球A ，拉起小球至绳水平后，无初速度释

放．另一电荷量=+0.1C q 、质量与A 相同的小球P ，以速度0v 水平抛出，经时间0.2s t =与小球A 在D 点迎面正碰并黏在一起成为小球C ，碰后瞬间断开轻绳，同时对小球C 施加一恒力，此后小

球C 与D 点下方一足够大的平板相遇．不计空气阻力，小球均可视为质点，取2

=10m/s g .

(1)求碰撞前瞬间小球P 的速度．

(2)若小球C 经过路程=0.09m s 到达平板，此时速度恰好为0，求所加的恒力．

(3)若施加恒力后，保持平板垂直于纸面且与水平面的夹角不变，在D 点下方任意改变平板位置，小球C 均能与平板正碰，求出所有满足条件的恒力．

【思路点拨】本题是一道综合性较强的题目，过程复杂．解决本题的关键在于分析清楚本题的各个物体的运动过程．在本题中涉及三个运动的物体，一是小球A 绕O 点做圆周运动，在D 点的速度方向与A 的速度方向相反，且发生碰撞；二是小球P 做类平抛运动，小球P 运动中受到电场力和重力，力在竖直方向上，初速度水平，所以运动分解到两个方向上研究；三是A 、P 碰后小球C 的运动，可能是类平抛运动，也可能是直线运动，这由C 受到的重力和电场力及施加的恒力决定．确定了物体的运动，各个运动运用相应的规律和定律即可求解．

【答案】(1)6 m/s (2) 30F N α=

=?， (3) 1N (0120)8cos(30)

F θθ=≤??-式中＜ 【解析】(1) P 做抛体运动，竖直方向的加速度为

2=

15m/s mg Eq

a m

+=

在D 点的竖直速度为

3m/s y v at ==

P 碰前的速度为

P v =

(2)设在D 点轻绳与竖直方向的夹角为θ，由于P 与A 迎面正碰，则P 与A 速度方向相反，所以P 的速度与水平方向的夹角为θ，有

tan 3

y v v θ=

=

，30θ=? 对A 到达D 点的过程中根据动能定理

2

1cos 2

A mv mgl θ= 化简并解得

3m/s A v =

P 与A 迎面正碰结合为C ，根据动量守恒得

-2P A C mv mv mv =

解得

1.5m/s C v =

小球C 经过s 路程后速度变为0，一定做匀减速运动，根据位移推论式

2212.5m/s 2C v a s

'==

设恒力F 与竖直方向的夹角为α，如图所示，根据牛顿第二定律

cos(90)(2)sin 2F mg qE ma αθθ?---+=' sin(90)(2)cos 0F mg qE αθθ?---+=

代入数据得

cos(90)0.375F αθ?--= sin(90)0.125F αθ?--=

解得

304

F N α=

=?， (3)恒力1F 的方向可从竖直向上顺时针转向无限接近速度方向，设恒力与竖直向上方向的角度为θ，

有：

0(9030)120θ≤?+?=?＜ 在垂直于速度方向上，有

1cos()(2 )cos F mg qE βθβ-=+

则1F 大小满足的条件为：

1N (0120)8cos(30)

F θθ=

≤??-式中＜．

【总结升华】本题意在强化学生对带电粒子在电场中的类平抛运动问题的分析能力，尤其是运动的合成与分解的思想的应用和与能量观点的综合应用能力．

举一反三:

【变式】如图所示，两块相同的金属板正对着水平放置，板间距离d .当两板间加电压U 时，一个质量为m 、电荷量为q +的带电粒子，以水平速度0v 从A 点射入电场，经过一段时间后从B 点射出电场，

A B 、间的水平距离为L .不计重力影响．求：

(1)带电粒子从A 点运动到B 点经历的时间t ； (2) A B 、间竖直方向的距离y ； (3)带电粒子经过B 点时速度的大小v .

【答案】(1) 0L v (2)22

2qUL mdv

【解析】(1)带电粒子在水平方向做匀速直线运动，从点运动到B 点经历的时间

L t v =

(2)带电粒子在竖直方向做匀加速直线运动 板间场强大小为

U E d =

加速度大小

qE a m

=

A B 、间竖直方向的距离

2

22

122qUL y at mdv == (3)带电粒子从A 点运动到B 点过程中，根据动能定理得

22

1122

AB qU mv mv =- 而

·AB U E y =

解得带电粒子在B 点速度的大小

v =

类型九、带电粒子在交变电场中的运动

例11．制备纳米薄膜装置的工作电极可简化为真空中间距为d 的两平行极板，如图甲所示．加在极板

A B 、间的电压AB U 作周期性变化，

其正向电压为0U ，反向电压为0(1)kU k －＞，电压变化的周期为2τ，如图乙所示．在0t =时，极板B 附近的一个电子，质量为m 、电荷量为e ，受电场作用由静止开始运动．若整个运动过程中，电子未碰到极板A ，且不考虑重力作用．

(1)若5

4

k =

，电子在02τ～时间内不能到达极板A ，求d 应满足的条件； (2)若电子在0200τ～时间内未碰到极板B ，求此运动过程中电子速度v 随时间t 变化的关系；

(3)若电子在第N 个周期内的位移为零，求k 的值．

【思路点拨】本题为带电粒子在交变电场中的运动问题，需要分初速度方向和垂直初速度

方向两个方向来研究，两个分运动具有等时性．另外注意本题对数学归纳法的应用．若带电粒子在交变电场中沿平行于电场方向做直线运动，要及时通过图象变换画出带电粒子的-v t 图象帮助分析．

【答案】

(1)d ，(2) 0[(1)(1)],(0,1,2,

,99)eU v n k kt n dm τ=++-=，

(3) 41

43

N k N -=-

【解析】(1)电子在0τ～时间内做匀加速运动，加速度的大小

1eU a md

=

① 位移

2

1112

s a τ=

② 在2ττ～时间内先做匀减速运动，后反向做匀加速运动，加速度的大小

254eU a md

=

③ 初速度的大小

11v a τ= ④

匀减速运动阶段的位移

2

122

2v s a = ⑤ 由题知

12d s s ＞+，

解得

d ⑥ (2)在2(21)(0,1,299)n n n ττ+=～，，，时间内

速度增量

11v a τ?= ⑦

在(21)2(1)(0,1,299)n n n ττ++=～，，，时间内， 加速度的大小

2ekU a md

'=

速度增量

22v a τ?=-' ⑧

(a )当0-2t n ττ＜＜时 电子的运动速度

121(2)v n v n v a t n τ=?+?+- ⑨

解得

[(1)]

(0,1,2,,99)eU v t k n n dm

τ=-+= ⑩

(b )当0(21)t n ττ≤-+＜时

电子的运动速度

122(1)[(21)]v n v n v a t n τ=+?+?-'-+ ?

解得

[(1)(1)]

,(0,1,2,,99)eU v n k kt n dm

τ=++-= ?

(3)电子在2(1)(21)N N ττ--～时间内的位移

2212211

2

N N s v a ττ=+－－

电子在(21)2N N ττ－～时间内的位移

22212N N s v a ττ=-'－

由⑩式可知

22(1)(1)N eU v N k dm

τ

=--－ 由?式可知

21()N eU v N Nk k dm

τ

=-+－ 依据题意

2120N N s s +=－

解得

41

43

N k N -=

-

【总结升华】本题意在让学生掌握处理带电粒子在交变电场中运动问题的基本思路，让学生清楚粒子

在交变电场中可做直线运动，也可做曲线运动．

举一反三:

【变式】如图甲所示，两平行金属板竖直放置，左极板接地，中间有小孔．右极板电势随时间变化的规律如图乙所示．电子原来静止在左极板小孔处．(不计重力作用)下列说法中正确的是( )

A.从0t =时刻释放电子，电子将始终向右运动，直到打到右极板上

B.从0t =时刻释放电子，电子可能在两极板间振动

C.从4T

t =

时刻释放电子，电子可能在两极板间振动，也可能打到右极板上 D.从38

T

t =时刻释放电子，电子必将从左极板上的小孔中穿出

【答案】AC

【解析】作出不同时刻的释放电子的v t -图象，从图可知选项AC 正确．