一元高次方程的快速解法—综合除法
一元高次方程的快速解法——综合除法
1.一元n次方程：
（1）标准形式： a0x n+a1x n-1+a2x n-2+…+a n-1x+a n=0(a0≠0)，当n≥3时叫做高次方程.
（2）解法思想：高次方程解法的基本思想是降次，降次的方法有因式分解法和换元法.
2.高次方程根的存在定理设多项式f(x)=a0x n+a1x n-1+a2x n-2+…+a n-1x+a n(a0≠0)
（1）因式定理：多项式f(x)含有因式x-a的充要条件是f(a)=0.
（2）实系数方程虚根成对定理：如果方程f(x)=0的系数都是实数，且方程有一个虚根a+bi(a，b∈R且≠0)，那么它必定还有另一个根a-bi.
（3）有理系数方程无理根或虚根存在定理：如果方程f(x)=0的系数都是有理数，
①若a+√b是方程的根，那么a-√b 必也是它的根（其中，a是有理数、√b是无理数）；
②若√a+√b是方程的根，那么√a-√b，-√a+√b，-√a-√b必也是它的根（其中，√a、√b都是无数）；
③若方程有一个虚根√a+√bi(a，b∈R且b≠0)，那么√a-bi，-√a+√bi，-√a-√bi必也是它的根（其中，√a、√b都是无理数）.
（4）整系数方程有理根存在定理：
①如果方程f(x)=0的系数都是整数，那么方程有理根仅能是这样的分数p/q，其分子p是方程常数项的约数，分母q是方程最高次项的约数；
②在整系数方程f(x)=0中，如果α是方程的整数根，那么二比值f(1)/( α-1)和f(-1)/( α+1)都是整数；
③在整系数方程f(x)=0中，如果f(0)与f(1)都是奇数，那么该方程无整数根；
④最高次项的系数为1的整系数方程f(x)=0的有理根都是整数.如果方程没有整数根，那么它也没有有理根.
3. 一元n次方程的解法：
（1）一元n次方程a0x n+a1x n-1+a2x n-2+…+a n-1x+a n=0(a0≠0)的解法通常用验根法、因式分解法和换元法. （2）特殊的高次方程的解法：
①二项方程ax n+b=0(a≠0)可用复数开n次方的方法求解；
②三项方程ax2n+bx n+c=0(a≠0)可用换元法求解，先令x n=y,解二次方程ay2+by+c=0(a≠0),然后求x；
③倒数方程ax n+bx n-1+c x-2+…+cx2+bx+a=0(其特点是距首末两项等远的项系数相等，a≠0)通常用换元法降次后求解.
注：倒数方程具有性质：
①倒数方程没有x=0的根；
②如果α是倒数方程的根，那么α的倒数1/α也是该方程的根；
③奇次倒数方程必有x=-1的根.例题解答：
高次方程及解法
高次方程及解法 江苏省通州高级中学 徐嘉伟 一般地，我们把次数大于2的整式方程，叫做高次方程。由两个或两个以上高次方程组成的方程组，叫做高次方程组。对于一元五次以上的高次方程，是不能用简单的算术方法来求解的。对于一元五次以下的高次方程，也只能对其中的一些特殊形式的方程，采用“±1判根法”、“常数项约数法”、“倒数方程求根法”、“双二次方程及推广形式求解法”等方法，将一元五次以下的高次方程消元、换元、降次，转化成一次或二次方程求解。 一、±1判根法 在一个一元高次方程中，如果各项系数之和等于零，则1是方程的根；如果偶次项系数之和等于奇次项系数之和，则 -1是方程的根。求出方程的±1的根后，将原高次方程用长除法或因式分解法分别除以（x-1）或者（ x+1）,降低方程次数后依次求根。“±1判根法”是解一元高次方程最简捷、最快速的重要方法，一定要熟练掌握运用。 例1解方程x4+2x3-9x2-2x+8=0 解：观察方程,因为各项系数之和为:1+2-9-2+8=0(注意:一定把常数项算在偶数项系数当中),根据歌诀“系和零,+1根”,即原方程中可分解出因式(x-1), (x4+2x3-9x2-2x+8)÷(x-1)= x3+3x2-6x-8 观察方程x3+3x2-6x-8=0，偶次项系数之和为：3-8=-5；奇次项系数之和为：1-6=-5，根据歌诀“偶等奇，根 -1”，即方程中含有因式（x+1），∴（x3+3x2-6x-8）÷ (x+1)=x2+2x-8，对一元二次方程x2+2x-8=0有（x+4）（x-2）=0, ∴原高次方程x4+2x3-9x2-2x+8=0可分解因式为：(x-1) (x+1)(x-2)(x+4)=0,即:当(x-1)=0时,有x1=1;当(x+1)＝０时，有x2= -1;当(x-2) =0时，有x3=2; 当(x+4)=0时，有x4=-4 点拨提醒：在运用“±1判根法”解高次方程时，一定注意把“常数项”作为“偶次项”系数计算。 二、常数项约数求根法 根据定理:“如果整系数多项式a n x n＋a n-1x n-1+ +a1x+a0可分解出 Q（Ｐ、Q 是因式P x-Q,即方程a n x n＋a n-1x n-1+ +a1x+a0=0有有理数根 P 互质整数），那么，Ｐ一定是首项系数a n 的约数，Q一定是常数项 a0的约数”，我们用“常数项约数”很快找到求解方程的简捷方法。 “常数项约数求根法”分为两种类型： 第一种类型：首项系数为1。对首项（最高次数项）系数为1的
一元三次方程求根公式的解法
一元三次方程求根公式的解法 一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。 一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。归纳出来的形如 x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即为两个开立方之和。归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q表示A和B。方法如下： （1）将x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到 （2）x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3)) （3）由于x=A^(1/3)+B^(1/3)，所以（2）可化为 x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x，移项可得 （4）x^3－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较，可知 (5)－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+B)=q，化简得 （6）A+B＝－q，AB＝-（p/3）^3 （7）这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题，因为A 和B可以看作是一元二次方程的两个根，而(6)则是关于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理，即 （8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a (9)对比（6）和（8），可令A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a (10)由于型为ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式为 y1＝－（b＋（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a) y2＝－（b－（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a) 可化为 (11)y1＝－(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2) y2＝－(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2) 将(9)中的A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a代入（11）可得 (12)A＝－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2) B＝－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2) (13)将A，B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得 (14)x=（－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3) 一、(14)只是一元三方程的一个实根解，按韦达定理一元三次方程应该有三个根，不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根，另两个根就容易求出了。由于计算太复杂及这个问题历史上已经解决，我不愿花过多的力气在上面，我做这项工作只是想考验自己的智力，所以只要关键的问题解决了另两个根我就没有花力气去求解。 二、我也曾用类似的方法去求解过一元四次方程的解，具体就是假设一元四次方程的根的形式为x=A^(1/4)+B^(1/4)+C^(1/4),有一次我好象解出过，不过后来多次求解好象说明这种方法求解一元四次方程解不出。不过我认为如果能进一步归纳出A、B、C的形式，应该能求出一元四次方程的求根公式的。由于计算实在太复杂及这个问题古人已经解决了，我后来一直没能完成这项工作。 三、通过求解一元三次方程的求根公式，我获得了一个经验，用演绎法（就是直接推
第三讲 简高次方程的解法
第三讲简 易高次方程的解法 在整式方程中，如果未知数的最高次数超过2，那么这种方程称为高次方程．一元三次方程和一元四次方程有一般解法，但比较复杂，且超过了初中的知识范围，五次或五次以上的代数方程没有一般的公式解法，这由挪威青年数学家阿贝尔于1824年作出了证明，这些内容我们不讨论．本讲主要讨论用因式分解、换元等方法将某些高次方程化为低次方程来解答．例1 解方程 x3-2x2-4x＋8=0． 解原方程可变形为 x2(x-2)-4(x-2)=0， (x-2)(x2-4)=0， (x-2)2(x+2)=0． 所以 x1＝x2＝2，x3=-2． 说明当ad=bc≠0时，形如ax3＋bx2＋cx＋d=0的方程可这样
=0可化为 bkx3+bx2+dkx+d=0， 即(kx+1)(bx2+d)=0． 方程ax4+bx3+cx+d=0也可以用类似方法处理． 例2 解方程 (x-2)(x＋1)(x＋4)(x+7)=19． 解把方程左边第一个因式与第四个因式相乘，第二个因式与第三个因式相乘，得 (x2+5x-14)(x2＋5x＋4)=19． 设 则 (y-9)(y+9)=19， 即y2-81＝19． 说明在解此题时，仔细观察方程中系数之间的特殊关系，则可用换元法解之． 例3 解方程 (6x＋7)2(3x+4)(x+1)=6． 解我们注意到 2(3x+4)=6x＋8=(6x+7)+1， 6(x+1)=6x＋6=(6x＋7)-1， 所以利用换元法．设y=6x＋7，原方程的结构就十分明显了．令 y=6x＋7，① 由(6x＋7)2(3x＋4)(x＋1)=6得 (6x＋7)2(6x＋8)(6x＋6)=6×12， 即 y2(y＋1)(y-1)=72， y4-y2-72＝0，
高次方程求根公式的故事
高次方程求根公式的故事 1545年意大利学者卡丹将一元三次方程ax3 +bx2+cx+d=0的求根公式公开发表，后来人们就把它叫做“卡丹公式（也有人译作“卡尔丹公式”）。事实上，发现公式的人并不是卡丹本人，而是塔尔塔利亚。 塔尔塔利亚是意大利人，出生于1500年。他12岁那年，被入侵的法国兵砍伤了头部和舌头，从此说话结结巴巴，人们就给他一个绰号“塔尔塔利亚”(在意大利语中，这是口吃的意思)，真名反倒少有人叫了。他自学成才，成了数学家，宣布自己找到了三次方程的的解法。有人听了不服气，来找他较量，每人各出30道题，由对方去解。结果，塔尔塔利亚30道三次方程的解全做了出来，对方却一道题也没做出来。塔尔塔利亚大获全胜。 后来，意大利医生兼数学家卡丹请求塔尔塔利亚把解方程的方法告诉他，但遭到了拒绝。尽管卡丹千方百计地想探听塔尔塔利亚的秘密，但是在很长时间中塔尔塔利亚都守口如瓶。可是后来，由于卡丹一再恳切要求，而且说要推荐他去当西班牙炮兵顾问，还发誓对此保守秘密，于是塔尔塔利亚在1539年把他的发现写成了一首语句晦涩的诗告诉了卡丹，但是并没有给出详细的证明。 六年后，卡丹不顾原来的信约，在他的著作中将经过改进的三次方程的解法公开发表。他在书中写道：“这一解法来自于一位最值得尊敬的朋友——布里西亚的塔尔塔利亚。塔尔塔利亚在我的恳求之下把这一方法告诉了我，但是他没有给出证明。我找到了几种证法。证法很难，我把它叙述如下。”从此，人们就把一元三次方程的求根公式称为“卡丹公式”，而塔尔塔利亚的名字反而被湮没了，正如他的真名在口吃以后被埋没了一样。 卡丹没有遵守誓言，因而受到塔尔塔利亚及许多文献资料的指责。但是卡丹在公布这一解法时并没有把发现这一方法的功劳归于自己，而是如实地说明了这是塔尔塔利亚的发现，所以算不上剽窃；而且证明过程是卡丹自己给出的，说明卡丹也做了工作。卡丹用自己的工作对塔尔塔利亚泄露给他的秘密加以补充，违背誓言，把秘密公之于世，加速了一元三次方程求根公式的普及和人类探索一元n次方程根式解法的进程。 一元三次方程应有三个根。塔尔塔利亚公式给出的只是一个实根。又过了大
一元高次方程的求解
一元高次方程 一元三次方程求解 320x ax bx c +++= 其中,,a b c 是任意复数 ② 若令3 a x y =- ，则三次方程简化为 3 0y py q ++= ③ 其中33a p b =-，3 2327 ab a q c =-+ ， 设123,,y y y 表示简化方程③的根，则据根与方程系数的关系，得1230y y y ++=。 若令3242712u p q v ?=--? ?=-??，2 11232 2123 z y v y vy z y vy v y ?=++??=++??。 对于适当确定的立方根，卡当公式是1z = 2z = 求解线性方程组123212312 12320y y y y v y vy z y vy v y z ++=??++=??++=?，得到11221 21212 3121() 31()31()3y z z y v z v z y v z v z ----?=+?? ?=+???=+?? ， 于是，原三次方程的三个根为1y = 2y ω= ，3y ω= 其中23 427 q p ?=+ ，12ω=- （i =。 C 、一元四次方程求解 3. x 4 ＋bx 3+cx 2+dx+e ＝0． 设方程为x 4 ＋bx 3 +cx 2 +dx+e ＝0． (4)
移项，得x 4＋bx 3=-cx 2-dx -e ， 右边为x 的二次三项式，若判别式为0，则可配成x 的完全平方． 解这个三次方程，设它的一个根为y 0，代入(5)，由于两边都是x 的完全平方形式，取平方根，即得 解这两个关于x 的二次方程，便可得到(4)的四个根．显然，若把(6)的其他根代入(5)，会得出不同的方程，但结果是一样的． 高中阶段对于三次四次方程的求解很少涉及，我们遇到的一般是比较有规律的高次方程。当高次不等式 数学家们当然应当给出完美的理论来解决高次方程的求解问题。有关理论至少应当包括高次方程是否有解？如果有解，如何求得？ n 次方程的一般表达式是 1 01100,0,n n n n a x a x a x a a --++???++=≠ 而1 011()n n n n f x a x a x a x a --=++???++称为n 次多项式，其中00a ≠。当系数01,,a a
高阶线性微分方程常用解法介绍
高阶线性微分方程常用解法简介 关键词：高阶线性微分方程 求解方法 在微分方程的理论中，线性微分方程是非常值得重视的一部分内容，这不仅 因为线性微分方程的一般理论已被研究的十分清楚，而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础，它在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛应用。下面对高阶线性微分方程解法做一些简单介绍. 讨论如下n 阶线性微分方程：1111()()()()n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dt dt ---++++= （1），其中()i a t （i=1,2,3,,n ）及f(t)都是区间a t b ≤≤上的连续函数，如果 ()0f t ≡，则方程（1）变为 1111()()()0n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dt dt ---++++= （2），称为n 阶齐次线性微分方程，而称一般方程（1）为n 阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性微分方程，并且把方程（2）叫做对应于方程（1）的齐次线性微分方程. 1.欧拉待定指数函数法 此方法又叫特征根法，用于求常系数齐次线性微分方程的基本解组。形如 111121[]0,(3),n n n n n n n d x d x dx L x a a a x dt dt dt ---≡++++=其中a a a 为常数，称为n 阶常系数齐次线性微分方程。 111111111111[]()()()n t n t t t t n n n n n n n t t n n n n n n n d e d e de L e a a a e dt dt dt a a a e F e F a a a n λλλλλλλλλλλλλλλλ---------≡++++=++++≡≡++++其中=0(4)是的次多项式. ()F λ为特征方程，它的根为特征根. 1.1特征根是单根的情形 设12,,,n λλλ是特征方程111()0n n n n F a a a λλλλ--≡++++=的n 个彼此不相等的根，则应相应地方程（3）有如下n 个解：12,,,.n t t t e e e λλλ（5）我们指出这n 个解在区间a t b ≤≤上线性无关，从而组成方程的基本解组. 如果(1,2,,)i i n λ=均为实数，则（5）是方程（3）的n 个线性无关的实值 解，而方程（3）的通解可表示为1212,n t t t n x c e c e c e λλλ=+++其中12,,,n c c c 为任意常数. 如果特征方程有复根，则因方程的系数是实常数，复根将称对共轭的出现.设1i λαβ=+是一特征根，则2i λαβ=-也是特征根，因而于这对共轭复根
特殊的一元二次方程的解法—知识讲解.
一元二次方程及其解法（一） 特殊的一元二次方程的解法—知识讲解（提高） 【学习目标】 1．理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式； 2．掌握直接开平方法和因式分解法解方程，会应用此判定方法解决有关问题； 3．理解解法中的降次思想，直接开平方法和因式分解法中的分类讨论与换元思想. 【要点梳理】 要点一、一元二次方程的有关概念 1．一元二次方程的概念： 通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 要点诠释： 识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可. 2．一元二次方程的一般形式： 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常 数项． 要点诠释： (1)只有当时，方程才是一元二次方程； (2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号. 3.一元二次方程的解： 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 4.一元二次方程根的重要结论 （1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0. （2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0. （3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0.
一元三次方程及解法简介
一元三次方程 一元三次方程的标准型为02 3 =+++d cx bx ax )0,,,(≠∈a R d c b a 且。一元三次方 程的公式解法有卡尔丹公式法与盛金公式法。两种公式法都可以解标准型的一元三次方程。由于卡尔丹公式解题存在复杂性，对比之下，盛金公式解题更为直观，效率更高。 在一个等式中，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是3次的整式方程叫做一元三次方程。 【盛金公式】 一元三次方程02 3 =+++d cx bx ax )0,,,(≠∈a R d c b a 且 重根判别式：bd c C ad bc B ac b A 3:9;32 2 -=-=-=，总判别式：Δ=AC B 22 -。 当A=B=0时，盛金公式①： c d b c a b x x x 33321- =-=- ===，当Δ=AC B 22 ->0时，盛金公式②：a y y b x 33 123 111---= ； i a y y a y y b x 63623 12 3 113 223 1 13,2-±++-=；其中 2 )4(322 ,1AC B B a Ab y -±-+=,12-=i .当Δ=AC B 22 -=0时，盛金公式③： K a b x +- =1；232K x x -==，其中)0(≠=A A B K .当Δ= AC B 22-<0时，盛金公式④：a Cos a b x 3321θ --= ，a Sin Cos A b x 3)333(3 ,2θ θ±+-= ； 其中arcCosT =θ，)11,0(),232( <<->-=T A A aB Ab T . 【盛金判别法】 ①：当A=B=0时，方程有一个三重实根； ②：当Δ=AC B 22 ->0时，方程有一个实根和一对共轭虚根； ③：当Δ=AC B 22 -=0时，方程有三个实根， 其中有一个两重根； ④：当Δ=AC B 22 -<0时，方程有三个不相等的实根。 【盛金定理】 当0,0==c b 时，盛金公式①无意义；当A=0时，盛金公式③无意义；当A ≤0时，盛金公式④无意义；当T ＜-1或T ＞1时，盛金公式④无意义。当0,0==c b 时，盛金公式①是否成立？盛金公式③与盛金公式④是否存在A ≤0的值？盛金公式④是否存在T ＜-1或T ＞1的值？盛金定理给出如下回答： 盛金定理1：当A=B=0时，若b=0，则必定有c=d=0（此时，方程有一个三重实根0，盛金公式①仍成立）。 盛金定理2：当A=B=0时，若b ≠0，则必定有c ≠0（此时,适用盛金公式①解题）。 盛金定理3：当A=B=0时，则必定有C=0（此时,适用盛金公式①解题）。
高次方程及解法
高次方程及解法 江苏省通州高级中学徐嘉伟 一般地，我们把次数大于2的整式方程，叫做高次方程。由两个或两个以上高次方程组成的方程组，叫做高次方程组。对于一元五次以上的高次方程，是不能用简单的算术方法来求解的。对于一元五次以下的高次方程，也只能对其中的一些特殊形式的方程，采用“±1判根法”、“常数项约数法”、“倒数方程求根法”、“双二次方程及推广形式求解法”等方法，将一元五次以下的高次方程消元、换元、降次，转化成一次或二次方程求解。 一、±1判根法 在一个一元高次方程中，如果各项系数之和等于零，则1是方程的根；如果偶次项系数之和等于奇次项系数之和，则-1是方程的根。求出方程的±1的根后，将原高次方程用长除法或因式分解法分别除以（x-1）或者（x+1）,降低方程次数后依次求根。“±1判根法”是解一元高次方程最简捷、最快速的重要方法，一定要熟练掌握运用。 例1 解方程x4+2x3-9x2-2x+8=0 解：观察方程,因为各项系数之和为:1+2-9-2+8=0(注意:一定把常数项算在偶数项系数当中),根据歌诀“系和零,+1根”,即原方程中可分解出因式(x-1), (x4+2x3-9x2-2x+8)÷(x-1)= x3+3x2-6x-8 观察方程x3+3x2-6x-8=0，偶次项系数之和为：3-8=-5；奇次项系数之和为：1-6=-5，根据歌诀“偶等奇，根-1”，即方程中含有因式 ∴（x3+3x2-6x-8）÷(x+1)=x2+2x-8，对一元二次方程（x+1）， x2+2x-8=0有（x+4）（x-2）=0, ∴原高次方程x4+2x3-9x2-2x+8=0可分解因式为：(x-1) (x+1)(x-2)(x+4)=0,即:当(x-1)=0时,有x1=1;当(x+1)＝０时，有x2= -1;当(x-2) =0时，有x3=2; 当(x+4)=0时，有x4=-4点拨提醒：在运用“±1判根法”解高次方程时，一定注意把“常数项”作为“偶次项”系数计算。 二、常数项约数求根法 根据定理:“如果整系数多项式a n x n＋a n-1x n-1+ +a1x+a0可分解出 Q（Ｐ、Q 是因式P x-Q,即方程a n x n＋a n-1x n-1+ +a1x+a0=0有有理数根 P 互质整数），那么，Ｐ一定是首项系数a n 的约数，Q一定是常数项a0的约数”，我们用“常数项约数”很快找到求解方程的简捷方法。 “常数项约数求根法”分为两种类型： 第一种类型：首项系数为1。对首项（最高次数项）系数为1的高次方程，直接列出常数项所有约数，代入原方程逐一验算，使方程
一元二次方程求根公式
一元二次方程求解 一、一周知识概述 1、一元二次方程的求根公式 将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为 ． 该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法． 说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)； (2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的； (3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式. 2、一元二次方程的根的判别式 （1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根； （3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根． 二、重难点知识 1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。 (1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式
法”就显得多余的了。 (2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。 (3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。如方程；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。 (4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方 程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。 2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点： （1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b2－4ac； （2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c； （3）根的判别式是指b2－4ac，而不是 三、典型例题讲解 例1、解下列方程： (1)； (2)； (3). 分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算，
特殊的高次方程的解法1
特殊的一元高次方程的解法1 教学目标 知识与技能：理解和掌握二项方程的意义以及二项方程的解法； 过程与方法：学会把一个代数式看作一个整体，掌握可以通过换元转化为二项方程的方程的解法, 经历知识的产生过程，感受自主探究的快乐. 教学重点及难点 重点：掌握二项方程的求解方法. 难点：把“整体”转化为“新”元的二项方程. 教学过程设计 一、 情景引入 1．复习提问 复习：请同学们观察下列方程 (1) 2x+1=0； (2) 0652=++x x ； (3) 03422=-+x x ； (4) 2 3+x =3； (5) 083=-x ； (6) 0162 15 =-x ； (7) 01853=+x ； (8) 0323234=--+-t t t t ；(9) 010324=-+y y . 提问：（1）哪些是整式方程？一元一次方程？一元二次方程？ （2）后5个方程与前3个方程有何异同？ （3）方程（5）、（6）、（7）有什么共同特点？ 二、学习新课 1．概念辨析 （1） 一元高次方程 通过上述练习，师生共同得出一元高次方程的特点：（1）整式方程;（2）只含一个未知数;（3）含未知数的项最高次数大于2次.从而提出一元高次方程的概念，并标题，提出本节课的主要内容，学习简单高次方程及其解法. （2）二项方程：如果一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程. （3）一般形式： 关于x 的一元n 次二项方程的一般形式为 是正整数） n b a b ax n ,0,0(0≠≠=+ 注 ①n ax =0（a ≠0）是非常特殊的n 次方程，它的根是0. ②这里所涉及的二项方程的次数不超过6次. 2．例题分析 解下列简单的高次方程： （1）83 =x （2）164 =x （3）0162 15 =-x （4）011853 =+x 分析 解一元n 次（n>2）次二项方程，可转化为求一个已知数的n 次方根.如果在实数范围内这个数的n 次方根存在，那么可利用计算器求出这个方程的根或近似值.
一元高次方程的求解
一元高次方程的求解 求解一元高次方程曾是数学史上的难题。让你去求解一个一元一次，二次方程方程也许是简单的，但三次，四次或者更高次的方程呢？为了解决这一问题，数学家们奋斗了几个世纪。让我们一起来看一下数学努力的成果。 n 次方程的一般表达式是 101100,0,n n n n a x a x a x a a --++???++=≠ 而1011()n n n n f x a x a x a x a --=++???++称为n 次多项式，其中00a ≠。当系数01,,a a 1,,n n a a -???都是实数时，称()f x 是n 次实多项式，当系数中至少有一个为复数时，称()f x 为n 次复系数多项式。如果存在复数α，使得()0f α=，就称α是n 次方程()0f x =的一个根，或称为n 次多项式()f x 的一个根。 1799年，年仅22岁的德国数学家高斯在他的博士论文中首先证明了“代数基本定理”：复数域上任一个次数大于零的多项式，至少有一个复数根。 根据代数基本定理可以推出：复数域上n 次多项式恰有n 个复数根，其中k 重根以k 个根计算。这一结论也可以用多项式的因式分解语言来叙述：“复数域上任何n 次多项式都可以分解成n 个一次式的乘积。” 代数基本定理是一个纯粹的多项式根的存在定理，它没有给出求根的具体方法。 要求得n 次方程的根，一般是希望得到n 次方程 1011()0n n n n f x a x a x a x a --=++???++=① 的求解公式，如二次方程20(0)ax bx c a ++=≠②的求根公式那样。众所周知，方程②的解早在古代的巴比伦、埃及、中国、印度、希腊等国的数学著作中，都有不同的表述方式。一个n 次方程①的求根公式是指，①的根通过其系数经由加、减、乘、除以及乘方、开方的表示式，也称这种情况为方程有根式解。
高次方程及解法
高次方程及解法 ?????????江苏省通州高级中学?徐嘉伟 一般地，我们把次数大于2的整式方程，叫做高次方程。由两个或两个以上高次方程组成的方程组，叫做高次方程组。对于一元五次以上的高次方程，是不能用简单的算术方法来求解的。对于一元五次以下的高次方程，也只能对其中的一些特殊形式的方程，采用“±1判根法”、“常数项约数法”、“倒数方程求根法”、“双二次方程 求根。“± 解： 1-6=-5-6x-8）÷ x4+2x3-9x2-2x+8=0可分解因式为：(x-1)(x+1)(x-2)(x+4)=0,即:当(x-1)=0时,有x1=1; 当(x+1)＝０时，有x2=-1;当(x-2)=0时，有x3=2;当(x+4)=0时，有x4=-4 点拨提醒：在运用“±1判根法”解高次方程时，一定注意把“常数项”作为“偶次项” 系数计算。 二、常数项约数求根法 根据定理:“如果整系数多项式a n x n＋a n-1x n-1+ +a1x+a0可分解出因式P x-Q,即方 Q（Ｐ、Q是互质整数），那么，Ｐ一定程a n x n＋a n-1x n-1+ +a1x+a0=0有有理数根 P
是首项系数a n 的约数，Q 一定是常数项a 0的约数”，我们用“常数项约数”很快找到求 解方程的简捷方法。 “常数项约数求根法”分为两种类型： 第一种类型：首项系数为1。对首项（最高次数项）系数为1的高次方程，直接列出常数项所有约数，代入原方程逐一验算，使方程值为零的约数，就是方程的根。依次用原方程除以带根的因式，逐次降次，直至将高次方程降为二次或一次方程求 解。 432（x+3） +x+1 解：3±1，2±，根据“±1判根法”排除±1，这时，代人原方程验算的只能是P Q =32，或P Q =-32 f (32)=3?=??? ?????-?+??? ???-??? ??3232332323223??? ??-+-22278278=3?0=0 所以原方程中有因式（3X -2）。 （3x 3-２x 2＋９x-6）÷(3x-2)=x 2+3 解方程式x 2+3=0x=23i ±， x 1= 23i ，x 2=-23i
一元三次方程的解法
一元三次方程的解法 邵美悦 2018年3月23日 修改:2018年4月25日 众所周知,一元二次方程的求根公式是中学代数课程必修知识,通常在初中阶段的数学教材中会进行介绍.一元三次方程和一元四次方程同样有求根公式,1而且其推导过程也是初等的.由于一元三次和四次方程的求解比起一元二次方程要困难得多,并且求根公式的具体形式也不是很实用,所以尽管在一些初等数学的书籍中有相关介绍,但大多数中学生对这些解法并不了解.本文将简要介绍一下一元三次方程的求解方法. 1配方法 一元二次方程 ax 2+bx +c =0,(a =0) 的解法一般会在在初中教材中进行介绍,通用的解法是配方法(配平方法),即利用 a (x + b 2a )2=b 2?4a c 4a 解出x =?b 2a ±√b 2?4ac 2a .当然,在初中教材中会要求a ,b ,c 都是实数,并且判别式b 2?4ac 必须非负.在高中教材引进复数之后,上述求根公式对复系数一元二次方程依然有效,开平方运算√b 2?4ac 也不再受到判别式符号的限制,只需要按照复数开方来理解.2 1值得注意的是,在代数学中可以证明,如果只用系数的有限次加,减,乘,除,以及开k 次方运算(其中k 是正整数),复系数一元五次(或更高次)方程没有求根公式.换句话说,不可能存在仅由系数的有限次加,减,乘,除,以及开k 次方运算构成的公式,使得每一个复系数一元五次方程都可以按该公式求解.这一结论通常称为Abel–Ruffini 定理.不少业余数学爱好者在没有修习过大学近世代数课程的情况下致力于推导高次方程的初等求根公式,这样的努力难免徒劳无功.2这里约定开方运算k √·只需要算出任意一个k 次方根即可. 1
高次方程及解法
高次方程及解法 ?????????江苏省通州高级中学?徐嘉伟 一般地，我们把次数大于2的整式方程，叫做高次方程。由两个或两个以上高次方程组成的方程组，叫做高次方程组。对于一元五次以上的高次方程，是不能用简单的算术方法来求解的。对于一元五次以下的高次方程，也只能对其中的一些特殊形式的方程，采用“±1判根法”、“常数项约数法”、“倒数方程求根法”、“双二次方程及推广形式求解法”等方法，将一元五次以下的高次方程消元、换元、降次，转化成一次或二次方程求解。 一、±1判根法 在一个一元高次方程中，如果各项系数之和等于零，则1是方程的根；如果偶次项系数之和等于奇次项系数之和，则-1是方程的根。求出方程的±1的根后，将原高次方程用长除法或因式分解法分别除以（x-1）或者（x+1）,降低方程次数后依次求根。“±1判根法”是解一元高次方程最简捷、最快速的重要方法，一定要熟练掌握运用。 例1解方程x4+2x3-9x2-2x+8=0 解：观察方程,因为各项系数之和为:1+2-9-2+8=0(注意:一定把常数项算在偶数项系数当中),根据歌诀“系和零,+1根”,即原方程中可分解出因式(x-1), Θ(x4+2x3-9x2-2x+8)÷(x-1)= x3+3x2-6x-8 观察方程x3+3x2-6x-8=0，偶次项系数之和为：3-8=-5；奇次项系数之和为：1-6=-5，根据歌诀“偶等奇，根-1”，即方程中含有因式（x+1），∴（x3+3x2-6x-8）÷(x+1)=x2+2x-8，对一元二次方程x2+2x-8=0有（x+4）（x-2）=0, ∴原高次方程 x4+2x3-9x2-2x+8=0可分解因式为：(x-1) (x+1)(x-2)(x+4)=0,即:当(x-1)=0时,有x1=1;当(x+1)＝０时，有x2= -1;当(x-2) =0时，有x3=2; 当(x+4)=0时，有x4=-4 点拨提醒：在运用“±1判根法”解高次方程时，一定注意把“常
元高次方程求解方法
一元高次方程的漫漫求解路 若有人问你：“你会解一元二次方程吗？”你会很轻松地告诉他：会的，而且非常熟练！任给一个一元二次方程 20,0,ax bx c a ++=≠ ① 由韦达定理，①的根可以表示为x =. 若进一步问你，会解一元三次方程或更高次数的方程吗？你可能要犹豫一会儿说，只会一些简单的方程.于是你就会想：一元三次方程或更高次数的方程，是否也像一元二次方程的情形一样，有一个公式，它可以用方程的系数，经过反复使用加减乘除和开方运算，把方程的根表示出来？ 数学家们当然应当给出完美的理论来解决高次方程的求解问题.有关理论至少应当包括高次方程是否有解？如果有解，如何求得？ n 次方程的一般表达式是 101100,0,n n n n a x a x a x a a --++???++=≠ 而1011()n n n n f x a x a x a x a --=++???++称为n 次多项式，其中00a ≠.当系数01,,a a 1,,n n a a -???都是实数时，称()f x 是n 次实多项式，当系数中至少有一个为复数时，称()f x 为n 次复系数多项式.如果存在复数α，使得()0f α=，就称α是n 次方程()0f x =的一 个根，或称为n 次多项式()f x 的一个根. 1799年，年仅22岁的德国数学家高斯在他的博士论文中首先证明了“代数基本定理”：复数域上任一个次数大于零的多项式，至少有一个复数根. 根据代数基本定理可以推出：复数域上n 次多项式恰有n 个复数根，其中k 重根以k 个根计算.这一结论也可以用多项式的因式分解语言来叙述：“复数域上任何n 次多项式都可以分解成n 个一次式的乘积.” 代数基本定理是一个纯粹的多项式根的存在定理，它没有给出求根的具体方法. 要求得n 次方程的根，一般是希望得到n 次方程 1011()0n n n n f x a x a x a x a --=++???++= ② 的求解公式，如二次方程①的求根公式那样.众所周知，方程①的解早在古代的巴比伦、埃
一元高次方程求解方法
一元高次方程的漫漫求解路 若有人问你：“你会解一元二次方程吗？”你会很轻松地告诉他：会的，而且非常熟练！任给一个一元二次方程 2 0,0,ax bx c a ++=≠ ① 由韦达定理，①的根可以表示为2b x a -±=。 若进一步问你，会解一元三次方程或更高次数的方程吗？你可能要犹豫一会儿说，只会一些简单的方程。于是你就会想：一元三次方程或更高次数的方程，是否也像一元二次方程的情形一样，有一个公式，它可以用方程的系数，经过反复使用加减乘除和开方运算，把方程的根表示出来？ 数学家们当然应当给出完美的理论来解决高次方程的求解问题。有关理论至少应当包括高次方程是否有解？如果有解，如何求得？ n 次方程的一般表达式是 101100,0,n n n n a x a x a x a a --++???++=≠ 而1011()n n n n f x a x a x a x a --=++???++称为n 次多项式，其中00a ≠。当系数01,,a a 1,,n n a a -???都是实数时，称()f x 是n 次实多项式，当系数中至少有一个为复数时，称()f x 为n 次复系数多项式。如果存在复数α，使得()0f α=，就称α是n 次方程()0f x =的一 个根，或称为n 次多项式()f x 的一个根。 1799年，年仅22岁的德国数学家高斯在他的博士论文中首先证明了“代数基本定理”：复数域上任一个次数大于零的多项式，至少有一个复数根。 根据代数基本定理可以推出：复数域上n 次多项式恰有n 个复数根，其中k 重根以k 个根计算。这一结论也可以用多项式的因式分解语言来叙述：“复数域上任何n 次多项式都可以分解成n 个一次式的乘积。” 代数基本定理是一个纯粹的多项式根的存在定理，它没有给出求根的具体方法。 要求得n 次方程的根，一般是希望得到n 次方程 1011()0n n n n f x a x a x a x a --=++???++= ②
高中数学教学论文 《高次方程的解法》
高次方程的解法 有很多中学生一谈起高次方程，就好比见天书一样。其实高次方程没什么难的，学数学应该学会举一反三。我们知道初中学了一元二次方程，有些学生只把二次方程的求根公式记住了，但这个求根公式怎么推导的呢，他没有理解。其实学数学应该学会理解，注重理解，而不在于死记公式。比如说我们学了一元二次方程，重要的不是这个求根公式，而是一元二次方程有几种解法。 一元二次方程有以下几种解法： 1、配方法（二次方程是配平方法）：这一方法虽然是很好理解的，但我通过在网上了解有很多学生对一方法根本就不懂。因为我问到他们时，他们绝大多数都是只会这个求根公式，一问起是怎么推导的，他们根本就不知道。其实二次方程的求根公式就是用配方法导出来的，配方法是解方程的里面的，尤其是解高次方程里面的最重要的一个方法。如果能够彻底理解这一方法，不仅是二次方程这块好掌握，对以后解高次方程也有很大帮助。 比如说对于二次方程ax2+bx+c=0，我们知道可用配平方（完全平方公式）法配成缺少一次项系数的二次方程，即配成关于x的一次代数式的完全平方的行式，这样就可以通过直接开平方法解出此方程。那么二次方程我们能用配方法求解，我们是不是就考虑举一反三，三次方程ax3+bx2+cx+d=0是不是也可以采取配方来解，当然对于三次方程就应该是配立方法了。通过研究对于某些特殊的三次方程是可以通过配立方法来求解的，为什么说是要特殊的三次方程呢，因为三次方程和二次方程不一样，它有三个带未知数x的项，这样用配立方法化把二次项系数去掉的同时，不一定一次项系数也同时去掉。所以对于某特殊的三次方程也适用于配方法的。比如说x3+6x2+12x+9=0，通过配立方法，可以化成完全立方的形式（x+2）3+1=0，这样就可以解得该方程有一实根X=-3，所以我们学了二次方程的配方法后，可以把这种方法推广到三次方程，甚至更高次数的方程上（例如某些四次方程可以通过配四次方法来解……）。所以如果能够举一反三，学了二次方程以后。对于某些特殊的高次方程也应该会解。 2、因式分解法：这种方法适合一些根为整数的方程。可以解一些特殊的二次方程。比如说方程x2+x-2=0，可以分解因式为（x+2）(x-1)=0，那可以解得X1=-2，X2=1。同样我们应该考虑二次以上次数的方程也有可能适用此法。比如说一元三次方程x3+18x2+72x+64=0，仔细观察这个方程，发现该方程的三次项和常数项可以组合，用立方和公式公解，18x2+72x 这一部分可以提取公因式x，那么这两个代数式分解之后有公因式（x+4），那么又可以提取公因式（x+4），从而求出该一元三次方程的根。 综上所述，二次方程的某些方法，是可以推广到某些特殊的高次方程上面的。学了二次方程，如果会举一反三，对某些高次方程应该轻而易举就会解出来的。 其实不论二次方程的配平方法或者是因式分解法，其主旨思想都是降次，把二次降为一次就解出来了。实际上解高次方程的主旨思想也是降次，如果是三次的就想办法降为一次的或两次的。关键是怎么降次，降次的方法，下面通过举例说一下某些特殊高次方程的几种解法。 1、换元法： 例如四次方程(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1=0，可以分成 (x+2)(x+3)和(x+1) (x+4)两个因式， 然后这两个因式分别乘出，得到 （x2+5x+6）(x2+5x+4)+1=0， 设x2+5x=y，代入方程，得：（y+6）(y+4)+1=0，
一元二次方程及其解法
第2课时 一元二次方程及其解法 一·基本概念理解 1 一元二次方程的定义： 含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边加一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2 ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。 2、一元二次方程的解法 （1）、直接开平方法: 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。 直接开平方法适用于解形如 b a x =+2 )(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。 （2）、配方法: 配方法的理论根据是完全平方公式2 22)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有2 22)(2b x b bx x ±=+±。 配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式 （3）、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程 )0(02 ≠=++a c bx ax 的求根公式：
) 04(2422≥--±-=ac b a ac b b x 公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c （4）、因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。 分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式 （5）、韦达定理 若1x ，2x 是一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根，则 a b x x -=+21，a c x x =21。以上的就称为韦达定理（或称为根与系数的关系）利用 韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=a b -，二根之积 =a c 也可以表示为a b x x -=+21,a c x x =21。利用韦达定理，可以求出一元二次方程中的各系数，在题目中很常用 3、一元二次方程根的判别式 根的判别式 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42 -叫做一元二次方程 )0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“?”来表示，即ac b 42-=?