三角形全等之动点问题(讲义)
三角形全等之动点问题（讲义）
?课前预习
已知：如图，AB=18 cm，动点P从点A出发，沿AB以2 cm/s的速度向点B
运动，动点Q从点B出发，沿BA以1 cm/s的速度向点A运动．P，Q两点
同时出发，当点P到达点B时，点P，Q同时停止运动．设点P运动的时间
为t秒，请解答下列问题：
（1）AP=_______，QB=_______（含t的式子表达）；
（2）在P，Q相遇之前，若P，Q两点相距6 cm，则此时t的值为_______．
?知识点睛
由点（___________）的运动产生的几何问题称为动点问题．
动点问题的解决方法：
1.研究_____________；
2.分析_____________，分段；
3.表达_____________，建等式．
?精讲精练
1.已知：如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，点E为边AD上一点，且
AE=7．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC
向点C运动，连接AP，DP．设点P运动时间为t秒．A E D
A E D
（1）当t=1.5时，△ABP与△CDE是否全等？请说明理由；（2）当t为何值时，△DCP≌△CDE？
2.已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=12，BC=24，动
点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿AD向点D运动，动点Q从点C 出发以每秒2个单位的速度沿CB向点B运动，P，Q
同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止，连接PQ，DQ．设点P运动的时间为x秒，请求出当x为何值时，△PDQ≌△CQD．
P D A
3. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC =10 cm ，BC =8 cm ，点D 为AB 的中点．点
P 在线段BC 上以每秒3 cm 的速度由点B 向点C 运动，同时点Q 在线段CA 上由点C 向点A 运动．设点P 运动的时间为t 秒，若某一时刻△BPD 与△CQP 全等，求此时t 的值及点Q 的运动速度．
D C
B
A
4. 已知：如图，正方形ABCD 的边长为10 cm ，点E 在边AB 上，且AE =4 cm ，
点P 在线段BC 上以每秒2 cm 的速度由点B 向点C 运动，同时点Q 在线段CD 上由点C 向点D 运动．设点P 运动的时间为t 秒，若某一时刻△BPE 与△CQP 全等，求此时t 的值及点Q 的运动速度．
A
5. 已知：如图，在长方形ABCD 中，AB =DC =4，AD =BC =5．延长BC 到E ，使
CE =2，连接DE ．动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC -CD -DA 向终点A 运动，设点P 运动的时间为t 秒． （1）请用含t 的式子表达△ABP 的面积S ．
（2）是否存在某个t 值，使得△DCP 和△DCE 全等？若存在，请求出所有满足条件的t 值；若不存在，请说明理由．
D
A
6.
A
D
【参考答案】
?课前预习
（1）2t，t
（2）4s
?知识点睛
速度已知
1．研究背景图形，标注；
2．分析运动过程，分段；
3．表达线段长，建等式．
?精讲精练
1.解：（1）当t=1.5时，△ABP≌△CDE．
理由如下：
如图，由题意得BP=2t
∴当t=1.5时，BP=3
∵AE=7，AD=10
∴DE=3
∴BP=DE
在矩形ABCD中
AB=CD，∠B=∠CDE
在△ABP 和△CDE 中
AB CD B CDE BP DE =??
∠=∠??=?
∴△ABP ≌△CDE （SAS ） （2）如图，由题意得BP =2t ∵BC =10 ∴CP =10-2t
若使△DCP ≌△CDE ，则需CP =DE
即10-2t =3，t =7
2
∴当t =7
2
时，△DCP ≌△CDE ．
2. 解：如图，由题意得AP =x ，CQ =2x
∵AD =12 ∴DP =12-x
要使△PDQ ≌△CQD ，则需DP =QC 即12-x =2x ，x =4
∴当x =4时，△PDQ ≌△CQD ．
3. 解：如图，由题意得BP =3t
∵BC =8 ∴PC =8-3t
∵AB =10，D 为AB 中点
∴BD =
1
2
AB =5 ①要使△BDP ≌△CPQ ， 则需BD =CP ，BP =CQ 即5=8-3t ，t =1 ∴CQ =3t =3
则Q 的速度为Q v =s t =3
1
=3（cm/s ）
即当t =1，Q 的速度为每秒3cm 时，△BDP ≌△CPQ ． ②要使△BDP ≌△CQP ，则需BP =CP ，BD =CQ 即3t =8-3t ，CQ =5
∴t =43
则Q 的速度为Q v =s t =5×34=15
4
（cm/s ）
即当t =43，Q 的速度为每秒15
4
cm 时，△BDP ≌△CQP ．
综上所述，当t =1，Q 的速度为每秒3cm 或t =4
3
，Q 的速度
为每秒15
4
cm 时，△BPD 与△CQP 全等．
4. 解：如图，由题意得BP =2t
∵正方形ABCD 的边长为10cm ∴AB =BC =10 ∴PC =10-2t ∵AE =4 ∴BE =10-4 =6
①要使△BEP ≌△CPQ ， 则需EB =PC ，BP =CQ 即6=10-2t ，CQ =2t ∴t =2，CQ =4
则点Q 的速度为Q v =s t =4
2
=2（cm/s ）
即当t =2，Q 的速度为每秒2cm 时，△BEP ≌△CPQ ． ②要使△BEP ≌△CQP ， 则需BP =CP ，BE =CQ 即2t =10-2t ，CQ =6
∴t =52
则点Q 的速度为Q v =s t
=6×25=12
5（cm/s ）
即当t =52
，Q 的速度为每秒12
5cm 时，△BEP ≌△CQP ．
综上所述，当t =2，Q 的速度为每秒2cm 或t =5
2
，Q 的速度
为每秒12
5
cm 时，△BEP 与△CQP 全等．
5. 解：（1）①当P 在BC 上时，
如图，由题意得BP =2t （0 1 21 4224ABP S AB BP t t ?= ?=??=∴ ②当P 在CD 上时，（2.5 1 21 45210 ABP S AB BC ?=?=??=∴ ③当P 在AD 上时，由题意得AP =14-2t （4.5 1 21 41422 284ABP S AB AP t t ?=?=??=∴--（） （2）①当P 在BC 上时， 如图，由题意得BP =2t 要使△DCP ≌△DCE ，则需CP =CE ∵CE =2 ∴5-2t =2，t =1.5 即当t =1.5时，△DCP ≌△DCE ②当P 在CD 上时，不存在t 使△DCP 和△DCE 全等 ③当P 在AD 上时，由题意得BC +CD +DP =2t ∵BC =5，CD =4， ∴DP =2t -9 要使△DCP ≌△CDE ，则需DP =CE 即2t -9=2，t =5.5 即当t =5.5时，△DCP ≌△CDE ． 综上所述，当t =1.5或t =5.5时，△DCP 和△DCE 全等． 6. 解：（1）①当Q 在CD 上时， 如图，由题意得CQ =2t ，BP=t ∴CP=5-t （0 2 1 21 (5)22 5CPQ S CP CQ t t t t ?=?=-?=-∴ ②当Q 在DA 上时，（1.5 1 21 (5)32 7.5 1.5CPQ S CP CD t t ?=?=?=∴-- ③当Q 在AB 上时，由题意得BQ =11-2t （4 21 21 (5)(112)2 215522 CPQ S CP BQ t t t t ?=?=-?-=-+ ∴ （2）①当Q 在CD 上时，不存在t 使△ABP 和△CDQ 全等 ②当Q 在AD 上时， 如图，由题意得DQ =2t -3 要使△ABP ≌△CDQ ，则需BP =DQ ∵DQ =2t -3，BP =t ∴t =2t -3，t =3 即当t =3时，△ABP ≌△CDQ ． ③当Q 在AB 上时，不存在t 使△ABP 和△CDQ 全等 综上所述，当t =3时，△ABP 和△CDQ 全等． 三角形全等之动点问题（随堂测试） 1. 已知：如图，在矩形ABCD 中，AB =4，BC =6，点E 为BC 上一点，且 CE =2．动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC -CD -DA 向终点A 运动，设点P 运动时间为t 秒． （1）请用含t 的式子表达△ABP 的面积S ． （2）是否存在某个t 值，使得△ABP 和△DCE 全等？若存在， 请求出所有满足条件的t 值；若不存在，请说明理由． 【思路分析】 1. 研究背景图形 2. 分析运动过程，分段 目标：_____________ A B P E C D s P : s 由运动过程确定每段对应的时间范围，分别是__________、_____________、_____________． 3. 表达线段长，建等式（从动点的运动开始表达） 【过程书写】 【参考答案】 思路分析：略 （1） 034351258432 t s t t s t s t <=<=<<=-+≤≤，，， （2）t 为1秒或7秒时，△A BP 与△DCE 全等 D C E B A 全等三角形之动点问题（综合测试）（人教版） 一、单选题（共10道，每道10分） 1?如图，在长方形ABCD中，BC=8cm, AC=10cm，动点P以2cm/s的速度从点A出发，沿 AC方向向点C运动，同时动点Q以1cm/s的速度从点C出发，沿CB方向向点B运动，当P, Q两点中其中一点到达终点时，两点同时停止运动，连接PQ?设点P的运动时间为t秒， 当t为（）时，△ PQC是以PQ为底的等腰三角形. A D A.5 B.- 10 C.4 D.- 答案：D 解题思路： 点只。速度已知，可判断此题为动点问题，按照动点间题 的解决方法解抉； ① 研究基本图形，标注： g ② 研究动点运动状态.包括起点、终点、状态转折点、速度、 时间范围， 如图； ③ 表达线段长，建等式. 点P 已走路程AP=2t,则CP=10-2/； 点Q 已走路程CQ=t. ^PQC 是以尸。为底的等腰三角形, 可知CP=CQ r 即 10-2t=t r 故选D. 试题难度：三颗星知识点：动点问题 2?已知：如图，在 △ ABC 中，AB=AC=18, BC=12,点D 为AB 的中点.点 P 在线段 BC 上以每 秒 3个单位的速度由B 点向C 点运动，同时点 Q 在线段CA 上以每秒a 个单位的速度由C 点向 A 点匀速运动，连接 DP, QP.设点P 的运动时间为t 秒，解答下列问题： 0 t的取值范围为（） —y J C.0W￡W12 D.0W（W18 答案：A 解题思路： 根据题意列动点运动的路线图为乂 （3/s）P\B 45>C F秒 （￡Z/S）O:C----- A 对应的F的取值范围为OGW 4?故选A. 试题难度：三颗星知识点：动点问题 3.（上接第2题）（2）若某一时刻△ BPD与厶CQP全等，则t的值与相应的 A.t=2，CQ=9 B.t=1, CQ=3或t=2，CQ=9 C.t=1，CQ=3或t=2，CQ=6 D.t=1，CQ=3 答案：B 解题思路： ①要使△ BPD^2ACOP, 则需BD^CP且 .”=1 "：C0 = 3 ②要使△ BPD^i^CPQ, 则需BD^CQ且BP=CP f gp|9 = CG ^3r=12-3r .\t-2 "\CQ = 9 综上z=l?口2=3或戶2, CQ=9. 故选B. 试题难度：三颗星知识点：动点问题 4.(上接第2, 3题)(3)若某一时刻△ BPM A CPQ贝U a=( ) CQ的长为（） （1）根据点P的运动，对应的 初一数学 全等三角形之动点问题专题（B类） 一、考点、热点回顾 动点型问题是近年来中考的一个热点问题。动态几何问题就是以几何知识和 具体的几何图形为背景，渗透运动变化的观点，通过点、线、形的运动，图形的平移、翻折、旋转等，对运动变化过程伴随的数量关系和图形的位置关系等进行探究。动点型问题集几何与代数知识于一体,数形结合,有较强的综合性,题目灵活多变,动中有静,动静结合,能够在运动变化中发展学生空间想象能力,综合分析能力。 《等边三角形中的动点问题》是首先从三角形一边上的单动点运动，引起三角形的边与角的变化，判断三角形的形状变化；其次探讨三角形两边上的双动点运动，引起三角形的角与边的变化，再从在三角边上运动到三角形的边的延长线上运动，由三角形的形状探究到三角形的面积的探究等。本设计是以等边三角形为主线，点的运动引起边、角的变化，三角形的形状的判断及三角形面积的大小，抓住图形中“变”和“不变”，以“不变的”来解决“变”，以达到“以静制动”，变“动态问题”为“静态问题”来解。对学生分析问题的能力，对图形的想象能 力，动态思维能力的培养和提高有着积极的促进作用。 本节课的教学设计，注意到了问题的层次性，由浅入深，由简单到复杂，从给定结论到结论开放，以等边三角形为载体，动点在三角形的边、延长线上运动等问题串的形式，层层递进，环环相扣，让不同的学生都有收收获，有所成功， 还体现出了分类讨论、等积变换、三角函数等思想方法。 二、典型例题 1、单动点问题 引例：已知，如图△ABC 是边长3cm 的等边三角形. 动点P 以1cm/s 的速度从点A 出发，沿线段AB 向点B 运动. 设点P 的运动时间为（s ），那么t=____时，△PBC 是直角 三角形？ 2、双动点问题 引例：已知，如图△ABC 是边长3cm 的等边三角形. 动点P 从点A 出发，沿AB 向点B 运动，动点Q 从点B 出发，沿BC 向点C 运动，如果动点P 、Q 都以1cm/s 的速度同时出发. 设运动时间为t （s ），那么t 为何值时，△PBQ 是直角三角形? 巩固练习，拓展思维 已知，如图△ABC 是边长3cm 的等边三角形. 动点P 从点A 出发，沿AB 向点B 运动，动点Q 从点C 出发，沿射线BC 方向运动. 连接PQ 交AC 于D. 如果动点P 、Q 都以1cm/s 的速度同时出发.设运动时间为t （s ），那么 当t 为何值时，△DCQ 是等腰三角形? B C P A C Q B P A Q D B C P A 学思堂教育个性化辅导授课案 教师： 学生： 时间： 2016 年 月 日 段 授课内容：全等三角形中动点问题的处理 教学目标：培养学生对运动变化、分类讨论思想等的数学综合运用能力 教学重难点：寻找运动规律，分析问题 （1）质点的运动形成全等三角形 通过全等三角形的性质：对应边相等，（对应角相等，面积相等），来确定质点运动的速度或时间，注意分类讨论思想的运用。 （2）几何问题中三角板旋转形成的全等三角形 三角板是学生最常用的学习工具，以三角板为道具，以学生常见、熟悉的几何图形为载体，并辅之以平移、旋转等变换手段的问题，能为学生提供动手实践操作设计的空间，较好地考查了学生观察、实验、比较、联想、类比、归纳的能力以及运动变化、分类讨论思想等的综合运用能力。这类操作性的题目格调清新，立意新颖，充分体现了课标中提出的“培养学生动手动脑、实践探索的能力”的要求，既注重基础知识，同时又具有很强的综合性，因此受到了各地中考命题专家的青睐。 1．如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点． （1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动． ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？ （2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？ A Q C D B P 三角形全等之动点问题（讲义） ?课前预习 已知：如图，AB=18 cm，动点P从点A出发，沿AB以2 cm/s的速度向点B 运动，动点Q从点B出发，沿BA以1 cm/s的速度向点A运动．P，Q两点 同时出发，当点P到达点B时，点P，Q同时停止运动．设点P运动的时间 为t秒，请解答下列问题： （1）AP=_______，QB=_______（含t的式子表达）； （2）在P，Q相遇之前，若P，Q两点相距6 cm，则此时t的值为_______． ?知识点睛 由点（___________）的运动产生的几何问题称为动点问题． 动点问题的解决方法： 1.研究_____________； 2.分析_____________，分段； 3.表达_____________，建等式． ?精讲精练 1.已知：如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，点E为边AD上一点，且 AE=7．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC A E D 向点C运动，连接AP，DP．设点P运动时间为t秒． （1）当t=1.5时，△ABP与△CDE是否全等？请说明理由； （2）当t为何值时，△DCP≌△CDE． B C P A E D B C 2. 已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =90°，AD =12，BC =24，动 点P 从点A 出发以每秒1个单位的速度沿AD 向点D 运动，动点Q 从点C 出发以每秒2个单位的速度沿CB 向点B 运动，P ，Q 同时出发，当点P 停止运动时，点Q 也随之停止，连接PQ ，DQ ．设点P 运动时间为x 秒，请求出当x 为何值时，△PDQ ≌△CQD ． Q P D C B A D C B A 三角形与动点问题 专题训练 1、如图，在等腰△ACB 中，AC ＝BC ＝5，AB ＝8，D 为底边AB 上一动点（不与点A ，B 重合），DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E ，F ，则DE ＋DF ＝ ． 2、在边长为2㎝的正方形ABCD 中，点Q 为BC 边的中点，点P 为对角线AC 上一动点，连接PB 、PQ ，则△PBQ 周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）. 3、如图，将边长为1的等边△OAP 按图示方式，沿x 轴正方向连续翻转2011次，点P 依次落在点P1，P2，P3，P4，…，P2007的位置．试写出P1，P3，P50，P2011的坐标． 4、如图，在等腰Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=CB ，F 是AB 边上的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且始终保持AD=CE ．连接DE 、DF 、EF ． （1）求证：△ADF ≌△CEF （2）试证明△DFE 是等腰直角三角形 5、 如图，已知ACB △与DFE △是两个全等的直角三角形，量得它们的斜边长为10cm ，较小锐角为30°，将这两个三角形摆成如图（1）所示的形状，使点B C F D 、、、在同一条直线上，且点C 与点F 重合，将图（1）中的ACB △绕点C 顺时针方向旋转到图（2）的位置，点E 在AB 边上，AC 交DE 于点G ，则线段FG 的长为 cm （保留根号）． A E C (F ) B 图（1） E A G B C (F ) D 图（2） 6、如图1，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，M ，N 分别EB ，CD 的中点，易证：CD=BE ， △AMN 是等边三角形． （1）当把△ADE 绕A 点旋转到图2的位置时，CD=BE 是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由； （2）当△ADE 绕A 点旋转到图3的位置时，△AMN 是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB =2AD 时，△ADE 与△ABC 及△AMN 的面积之比；若不是，请说明理由． 7、如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点． （1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动． ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？ （2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？ 图1 图2 图3 全等三角形之动点问题（一） 1、已知:如图,在△ABC中,AB=AC=18,BC=12,点D为AB的中点.点P在线段BC上 以每秒3个单位的速度由B点向C点运动,同时点Q在线段CA上由C点向A点 以每秒a个单位的速度匀速运动.设运动时间为t秒,若某一时刻△BPD与△CQP全等 ,求t的值与相应的点Q的运动速度a 2、如图，在等边ABC ?的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟1各单位的速度油A向B和由C向A爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t分钟后，它们分别爬行到D,E处，请问 （1）在爬行过程中，CD和BE始终相等吗？ （2）若蜗牛沿着AB和CA的延长线爬行，EB与CD交于点Q，其他条件不变，如图（2）所示，，求证：? CQE = ∠60 （3）如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着BC的延长线爬行，连接DE交AC于F”，其他条件不变，则爬行过程中，DF始终等于EF是否正确 3、在△ABC中，,∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E (1)当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：DE=AD+BE (2)当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：DE=AD-BE (3)当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，试问：DE、AD、BE有怎样的等量关系?请写出这个等量关系，并加以证 B A O D C E 图8 4. 如下图，已知正方形ABCD 中，边长为10厘米，点E 在AB 边上，BE=6厘米． （1）如果点P 在线段BC 上以4厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CD 上由C 点向D 点运动． ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，△BPE 与△CQP 是否全等，请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使△BPE 与△CQP 全等？ （2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿正方形 ABCD 四边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在正方形ABCD 边上的何处相遇？ 5、如图7，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ． 求∠AEB 的大小； 6、ΔOAB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠），求∠AEB 的大小. C B O D 图7 A E 三角形全等之动点问题（习题） 例题示范 例1：已知：如图，正方形ABCD 的边长为4，动点P 从点A 出发以每秒2个单位的速度沿AB -BC -CD 方向运动，到达点D 时停止运动．连接AP ，DP ．设点P 运动的时间为t 秒，求当t 为何值时，△ADP 的面积为6． 【思路分析】 1．研究背景图形，标注 四边形ABCD 是边长为4的正方形，四条边都相等，四个角均为90°． 2．分析运动过程，分段 ①分析运动过程：动点P 的起点、终点、状态转折点，以及对应的时间范围． 0≤t ≤6 D C (2/s) P ： ②根据状态转折点分为三段：02t ≤≤，24t <≤，46t <≤，需要对每一段分别进行分析． 3．表达线段长，建等式 ①当02t ≤≤时，即点P 在线段AB 上， P D C B A 此时AP =2t ，AD =4， 1 2ADP S AD AP =??△， 即1 6422t =??， 3 2t =，符合题意． ②当24t <≤时，即点P 在线段BC 上， P D C B A A B C D A B C D P D C B A 此时11 44822ADP S AD AB =??=??=△， 不符合题意，舍去． ③当46t <≤时，即点P 在线段CD 上， P A B C D 此时DP =12-2t ，AD =4， 1 2ADP S AD DP =??△， 即1 64(122)2t =??-， 9 2 t =，符合题意． 综上，当t 的值为32或9 2 时，△ADP 的面积为6． 巩固练习 1. 已知：如图，在等边三角形ABC 中，AB =6，D 为BC 边上一点， A P 八年级数学全等三角形之动点问题（全等三角形）拔高练习 解答题(本大题共8小题，共120分) 1.(本小题15分)如图，在等边△ABC的顶点A、C处 各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以相同的速度由 A向B和由C向A爬行，经过t分钟后，它们分别爬 行到D、E处，请问（1）在爬行过程中，CD和BE始 终相等吗？ （2）如果将原题中的“由A向B和由C向A爬行”， 改为“沿着AB和CA的延长线爬行”，EB与CD交于点Q，其他条件 不变，如图（2）所示，蜗牛爬行过程中∠CQE的大小保持不变．请 利用图（2）情形，求证：∠ CQE =60°； （3）如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着BC的延长线爬行， 连接DE交AC于F”，其他条件不变，如图（3），则爬行过程中， DF始终等于EF是否正确． 核心考点:运动变化型问题 2.(本小题15分)如图，已知△ABC中，AB=AC=12厘米，BC=9厘米，点D为AB的中点． （1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒得速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，1秒钟时，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD≌△CQP？（2）若点Q以（1）②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？ 核心考点:正数和负数 3.(本小题15分)如图，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC=BC；△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF=FP. (1)请你通过观察，测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系； (2)将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP，BQ，猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想； (3)将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP，BQ.你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由. 25、.已知BE ，CF 是△ABC 的高，且BP=AC ，CQ=AB ，试确定AP 与AQ 的数量关系和位置关系 7如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别作正三角形ABC 和正三角形CDE 、AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ.以下五个结论：①AD=BE ；②PQ ∥AE ；③AP=BQ ；④DE=DP ；⑤∠AOB=60°. 恒成立的结论有_______________________（把你认为正确的序号都填上）。 4.如图，D 是等边△ABC 的边AB 上的一动点，以CD 为一边向上作等边△EDC ，连接AE ，找出图中的一组全等三角形，并说明理由． Q P O B E D C A E D C B A B A C E F Q P D 12．如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M． （1）求证：MB=MD，ME=MF （2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？ 若成立请给予证明；若不成立请说明理由． 3.在直角三角形ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E 是直线AC 上的两个动点，且AD=EC， AM⊥BD，垂足为M，AM 的延长线交BC 于N，直线BD 直线NE 相交于点F，试判断三角形DEF 的形状，并加以证明。 9.如图1，Rt△ABC 中AB = AC，点D、E 是线段AC 上两动点，且AD = EC，AM⊥BD，垂足为M， AM 的延长线交BC 于点N，直线BD 与直线NE 相交于点F。 试判断△DEF 的形状，并加以证明。 说明：⑴如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来(要求至少写3 步)；⑵在你经历说明⑴的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明。 注意：选取①完成证明得10 分；选取②完成证明得5 分。 ①画出将△BAD 沿BA 方向平移BA 长，然后顺时针旋转90°后图形； ②点K 在线段BD 上，且四边形AKNC 为等腰梯形(AC∥KN，如图2)。 附加题：如图3，若点D、E 是直线AC 上两动点，其他条件不变，试判断△DEF 的形状，并说明理由。 全等三角形培优练习之动点问题 一.选择填空题 1．如图1，已知AD ，BC 相交于O 点，AB AC =，BD CD =，写出图中另一对相等线段______． 2．如图2，AB ∥DE ，AB DE =，AE ，BD 相交于C 点，在BC ，CD 上分别取M ，N 两点，使AM EN =，则AM 和EN 一定平行，这个说法正确吗？答：______． 3．如图3，点D ，E 是BC 上两点，且=AB AC ，=AD AE ，要使ABE ACD △≌△，根据SSS 的判定方法还需要给出的条件是______或______． 4．如图4，宽为50cm 的长方形图案由20个全等的直角三角形拼成，其中一个直角三角形的面积为______． 5．如图5，△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，AB ＝5，CD ＝2，则△ABD 的面积是______． 6.如图6，在△ABC 中,∠CAB=70°. 在同一平面内, 将△ABC 绕点A 旋转到△AB ′C ′ 的位置, 使得 CC ′∥AB, 则∠B ′AB = _________ 7．如图7，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是ABC △的角平分线，DE AB DF AC ⊥⊥，，垂足分别为E ，F ．则下列四个结论：①AD 上任意一点到点C ，B 的距离相等；②AD 上任意一点到边AB ，AC 的距离相等；③BD ＝CD ，AD ⊥BC ；④∠BDE ＝∠CDF ．其中，正确的个数为 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 8．下列命题中，错误的是（ ） A ．全等三角形对应边上的中线相等 B ．面积相等的两个三角形是全等三角形 C ．全等三角形对应边上的高线相等 D ．全等三角形对应角的平分线相等 二.解答题 1. 如图，在等边△ABC 的顶点A 、C 处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以相同的速度由A 向B 和由C 向A 爬行，经过t 分钟后，它们分别爬行到D 、E 处，请问（1）在爬行过程中，CD 和BE 始终相等吗？ A D E C B A D O C B A E C B A D C B A D E C B F 一、等腰三角形类：因动点产生的等腰三角形问题 1.如图,Rt△ABC在直线l上，且∠ABC= 90°，BC=6cm,AC= 10cm. (1)求AB的长; (2)若有一动点P从点B出发，以2cm/s的速度在直线l上运动,则当t为何值时,△ACP为等腰三角形? 二、直角三角形：因动点产生的直角三角形问题 2、如图，射线MB上MB=9,A是射线MB外一点,AB=5且A到射线MB的距离为3,动点P 从M沿射线MB方向以1个单位/秒的速度移动，设P的运动时间为t. 求：(1)△PAB为等腰三角形的t值; (2)△PAB为直角三角形的t值; (3) 若AB=5且∠ABM=45。，其他条件不变，直接写出△PAB为直角三角形的t值 三、全等三角形：因动点产生的全等三角形问题 3.如图，已知△ABC中，∠B=∠C,AB=AC=10 cm,BC=8 cm,D为AB的中点.点P在线段BC上以3 cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动. (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，则经过1 s后，△BPD与△CQP是否全等?请说明理由; (2)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，则当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等? 四、三角形面积：因动点产生的三角形面积问题 4.△ABC中，AB=6cm,BC=8cm,∠B=90°, P从A沿AB向B以1cm/s的速度移动，Q从B沿BC向C以2cm/s的速度移动。 (1)如果P、Q分别从A、B同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8cm2?; (2)如果P、Q分别从A、B同时出发，点P到B点后，又继续沿BC向C移动,点Q到达C后，又继续沿CA向A移动,在这一整个移动过程中，是否存在点P、Q,使△PBQ的面积等于9cm2?若存在，试确定P、Q的位置;若不存在，请说明理由。 A B C D E F 个性化辅导授课案 教师: 学生: 日期: 星期: 时段: 课题 全等三角形的动点问题分析讲解 学情分析 .动点一般在中考都是压轴题，步骤不重要，重要的是思路。动点类题目一般都有好几问，前一问大都是后一问的提示，就像几何探究类题一样，如果后面的题难了，可以反过去看看前面问题的结论 教学目标 考点分析 思路： 1.利用图形想到三角形全等，相似及三角函数 2.分析题目，了解有几个动点，动点的路程，速度（动点怎么动） 3.结合图形和题目，得出已知或能间接求出的数据 4.分情况讨论，把每种可能情况列出来，不要漏 5.动点一般在中考都是压轴题，步骤不重要，重要的是思路 6.动点类题目一般都有好几问，前一问大都是后一问的提示，就像几何探究类题一样，如果后面的题难了，可以反过去看看前面问题的结论 教学 重点 难点 利用熟悉的知识点解决陌生的问题 教学方法 教师引导，自主思考 教学过程 三角形与动点问题 1、如图，在等腰△ACB 中，AC ＝BC ＝5，AB ＝8，D 为底边AB 上一动点（不与点A ，B 重合），DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E ，F ，则DE ＋DF ＝ ． 2、在边长为2㎝的正方形ABCD 中，点Q 为BC 边的中点，点P 为对角线AC 上一动点，连接PB 、PQ ，则△PBQ 周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）. 3、如图，将边长为1的等边△OAP按图示方式，沿x轴正方向连续翻转2019次，点P依次落 在点P1，P2，P3，P4，…，P2019的位 置．试写出P1，P3，P50，P2019的坐标．4、如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且始终保持AD=CE．连接DE、DF、EF． （1）求证：△ADF≌△CEF （2）试证明△DFE是等腰直角三角形 5、如图，在等边ABC ?的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟1各单位的速度油A向B和由C向A爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t分钟后，它们分别爬行到D,E处，请问 （1）在爬行过程中，CD和BE始终相等吗？ （2）若蜗牛沿着AB和CA的延长线爬行，EB与CD交于点Q，其他条件不变，如图（2）所示，，求证：? CQE = ∠60 A B C D E F 三角形与动点问题 1、如图，在等腰△ACB 中，AC ＝BC ＝5，AB ＝8，D 为底边AB 上一动点（不与点A ，B 重合），DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E ，F ，则DE ＋DF ＝ ． 2、如图，在等边ABC ?的顶点A 、C 处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟1个单位的速度由A 向B 和由C 向A 爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t 分钟后，它们分别爬行到D,E 处，请问（1）在爬行过程中，CD 和BE 始终相等吗？ （2）若蜗牛沿着AB 和CA 的延长线爬行，EB 与CD 交于点Q ，其他条件不变，蜗牛爬行过程中CQE ∠ 的大小不变，求证：?=∠60CQE （3）如果将原题中“由C 向A 爬行”改为“沿着BC 的延长线爬行，连接DE 交AC 于F ”，其他条件不变，则爬行过程中，DF 始终等于EF 是否正确 x O E B A y C F x O E B A y C F x O E B A y C F 3、如图1，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，M ，N 分别EB ，CD 的中点，易证：CD=BE ，△AMN 是等边三角形． （1）当把△ADE 绕A 点旋转到图2的位置时，CD=BE 是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由； （2）当△ADE 绕A 点旋转到图3的位置时，△AMN 是否还是等边三角形，为什么？ 4、如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC 在第一象限内，E 是边OB 上的动点（不包括端点），作∠AEF = 90 ，使EF 交矩形的外角平分线BF 于点F ，设C （m ，n ）． （1）若m = n 时，如图，求证：EF = AE ； （2）若m ≠n 时，如图，试问边OB 上是否还存在点E ，使得EF = AE ？若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由． 图1 图2 图3 全等三角形之动点问题（一） 1.已知:如图,线段AB的长为18厘米,动点P从点A出发,沿AB以2厘米/秒的速度向点B运动,动点Q从点B出发,沿BA以1厘米/秒的速度向点A运动.P,Q两点同时出发,当点P到达点B时,点P,Q同时停止运动.设点P运动的时间为t 秒,用t表示线段PQ的长度为_____;若P,Q两点相距6厘米,则经过的时间t=______. 2、已知:如图,在等边△ABC中,AB=8,D为边BC上一点,且BD=6.动点P从点C 出发沿CA边以每秒2个单位的速度向点A运动,连接AD,BP,设点P运动 的时间为t秒.若△BPA≌△ADB,则t的值为 3、已知:如图,在长方形ABCD中,AB=DC=6,AD=BC=12,点E为边AD上一点,且AE=10. 动点P从点B出发,沿BC边向终点C以每秒2个单位的速度运动,连接AP,DP,设点P 运动的时间为t秒.若运动到某一时刻,△DCP≌△CDE,则t的值为 4、已知:如图,在△ABC中,AB=AC=18,BC=12,点D为AB的中点.点P在线段BC上 以每秒3个单位的速度由B点向C点运动,同时点Q在线段CA上由C点向A点 以每秒a个单位的速度匀速运动.设运动时间为t秒,若某一时刻△BPD与△CQP全等 ,求t的值与相应的点Q的运动速度a 5、如图，在等边ABC 的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟1各单位的速度油A向B和由C向A爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t分钟后，它们分别爬行到D,E处，请问 （1）在爬行过程中，CD和BE始终相等吗？ （2）若蜗牛沿着AB和CA的延长线爬行，EB与CD交于点Q，其他条件不变，如图（2）所示，，求证：? CQE = ∠60 （3）如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着BC的延长线爬行，连接DE交AC于F”，其他条件不变，则爬行过程中，DF始终等于EF是否正确 6、在△ABC中，,∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E (1)当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：DE=AD+BE (2)当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：DE=AD-BE (3)当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，试问：DE、AD、BE有怎样的等量关系?请写出这个等量关系，并加以证明 7.如下图，已知正方形ABCD中，边长为10厘米，点E在AB边上，BE=6厘米． （1）如果点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPE与△CQP是否全等，请说明理由； 八年级数学易错题 全等三角形动点问题提高题 1.如图，已知△ABC中，AB=AC=12厘米，BC=9厘米，点D为AB的中点． （1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒得速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，1秒钟时，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BP D≌△CQP？ （2）若点Q以（1）②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？ 2.如图，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC=BC；△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且E F=FP. (1)请你通过观察，测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系； (2)将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP，BQ，猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想； (3)将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接A P，BQ.你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由. 3.如图，在△ABC中,∠CAB=70°. 在同一平面内, 将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置, 使得CC′∥AB, 则∠B′AB = _________ 4. 已知如图(1)，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过A的一条直线，且B、C在AE 的两侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，求证：(1)BD＝DE＋CE；(2)若直线AE绕A点旋转到(2)位置时(BD＜CE)，其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何?请予证明．(3)若直线AE绕A点旋转到图(3)位置时，(BD＞CE)，其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何?请直接写出结果，不须证明．(4)归纳(1)、(2)、(3)，请用简捷语言表述BD、DE、CE的关系． [来源学科网] 全等三角形动点问题提高题 1.如图，已知△ABC中，AB=AC=12厘米，BC=9厘米，点D为AB的中点． （1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒得速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA 上由C点向A点运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，1秒钟时，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BP D≌△CQP？ （2）若点Q以（1）②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？ 2.如图，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC=BC；△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF=FP. (1)请你通过观察，测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系； (2)将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP，BQ，猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想； (3)将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP，BQ.你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给 出证明；若不成立，请说明理由. 3.如图，在△ABC中,∠CAB=70°. 在同一平面内, 将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置, 使得CC′∥AB, 则∠B′AB = _________ 4. 已知如图(1)，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过A的一条直线，且B、C在AE 的两侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，求证：(1)BD＝DE＋CE；(2)若直线AE绕A点旋转到(2)位置时(BD＜CE)，其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何?请予证明．(3)若直线AE绕A点旋转到图(3)位置时，(BD＞CE)，其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何?请直接写出结果，不须证明．(4)归纳(1)、(2)、(3)，请用简捷语言表述BD、DE、CE 的关系． 全等三角形动点问题 A B C E F 全等三角形动点问题 一）、知识回顾 动态几何题，是指以几何知识和几何 图形为背景，渗透运动变化观点的一类试题；而 通过对几何图形运动变化，使同学们经历由观 察、想象、推理等发现、探索的过程，是中考数 学试题中，考查创新意识、创新能力的重要题型； 解决这类问题，要善于探索图形的运动特点和规 律，抓住变化中图形的性质与特征，化动为静， 以静制动． 热身练习： 1、如图，在等腰△ACB 中，AC ＝BC ＝5，AB ＝8，D 为底边AB 上一动点 （不与点A ，B 重合），DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足 分别为E ，F ，则DE ＋DF ＝ ． 二）、例题辨析 例1、 如图，在等腰Rt △ABC 中，∠ACB=90°， AC=CB ，AC=8，F 是AB 边上的中点，点D 、E 分 别在AC 、BC 边上运动，且始终保持 AD=CE ，连接DE 、DF 、EF. （1）、求证：△ADF ≌△CEF. （2）、试证明△DFE 是等腰直角三角形. （3）、在此运动变化的过程中，四边形CDFE 的 面积是否保持不变？试说明理由． （4）、求△CDE面积的最大值． 例2如图，△ABC的边BC在直线上，AC⊥BC，且AC＝BC，△EFP 的边FP也在直线上，边EF与边AC重合，且EF＝FP。 （1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系； （2）将△EFP沿直线向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP、BQ。猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想。 全等三角形之动点问题（综合测试）1、如图，在直角三角形ABC 中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点B开始沿BA以1cm／s的速度向点A运动，同时，点Q从点B开始沿BC以2cm／s的速度向点C运动．几秒后，△PBQ的面积为9cm2？ 第1题图第2题图第3题图 2、如图所示，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别 沿AB、BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1m/s，点Q运动的速度是2m/s，当点Q到达点 C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t s，解答下列问题： （1）填空：△ABC的面积为 （2）当点Q到达点C时，PQ与AB的位置关系如何？请说明理由． （3）在点P与点Q的运动过程中，△BPQ是否能成为等边三角形？若能，请求出t，若不能，请说 明理由． (4)当△BPQ是直角三角形时，求t的值 3、如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速 度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明 理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系； （2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件 不变．设点Q的运动速度为x cm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出 相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 4、如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点P从A点出发沿A-C-B路径向终点运动， 终点为B点；点Q从B点出发沿B-C-A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以1和3 的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作 PE⊥l于E，QF⊥l于F，问：点P运动多少时间时，△PEC与QFC全等？请说明理由。 5、如图,已知三角形ABC中,AB=AC=24厘米, BC=16,点D为 AB的中点，如果点P在线段BC 上 从4厘米/ 秒的速度由B向C运动,同时,点Q在线段CA上由C向A运动,当Q的运动速度为多少厘 米/秒时,能在某一时刻使三角形BPD与三角形CQP全等. 第4题图第5题图第6题图 6、如图，在长方形ABCD中，BC=8cm，AC=10cm，动点P以2cm/s的速度从点A出发，沿AC 方向向点C运动，同时动点Q以1cm/s的速度从点C出发，沿CB方向向点B运动，当P，Q两点 中其中一点到达终点时，两点同时停止运动，连接PQ．设点P的运动时间为t秒，当t为( )时， △PQC是以PQ为底的等腰三角形． 7 、已知：如图，在△ABC中，AB=AC=18，BC=12，点D为AB的中点．点P在线段BC 上以每 秒3个单位的速度由B点向C 点运动，同时点Q在线段CA上以每秒a个单位的速度由C点向A 点匀速运动，连接DP，QP．设点P的运动时间为t秒，解答下列问题： （1）根据点P的运动，对应的t的取值范围为( ) A. B. C. D. （2）若某一时刻△BPD与△CQP全等，则t的值与相应的CQ的长为( ) A.t=2，CQ=9 B.t=1，CQ=3或t=2，CQ=9 C.t=1，CQ=3或t=2，CQ=6 D.t=1，CQ=3 （3）若某一时刻△BPD≌△CPQ，则a=( ) A. B.2 C.3 D. 学生做题前请先回答以下问题 问题1：由点（____________）的运动产生的几何问题称为动点问题． 问题2：动点问题的解决方法：①研究_____________，_______；②分析___________，分段；③表达_______，建等式． 问题3：利用运动状态分析图分析运动过程时，会描述出动点运动的起点、终点、状态转折点、_______、__________． 问题4：已知：如图，在长方形ABCD中，AB=DC=4，AD=BC=5．动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿BC-CD-DA向终点A运动，设点P运动时间为t秒．用含t的式子表达△ABP的面积S．请利用运动状态分析图分析运动过程，并写出每段对应的时间范 围． 问题5：上接第4题，用含t的式子表达△ABP的面积S．你的思路是什么？ 三角形全等之动点问题（分段、表达一）（人教 版） 一、单选题(共11道，每道9分) 1.已知：如图，等边三角形ABC的边长为9．动点P从点A出发沿AB-BC-CA方向以每秒3个单位的速度运动，再次回到点A时停止运动．设点P运动时间为t秒．解答下列问题： （1）运动状态分析图如下 空缺处依次所填正确的是( ) A.①1/s；②0≤t≤9 B.①3/s；②0≤t≤6 C.①3/s；②0≤t≤3 D.①3/s；②0≤t≤9 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：动点问题 2.（上接第1题）（2）当点P沿AB-BC-CA方向运动时，需要分_____种情况来考虑，时间段的划分为( ) A.1；0≦t≦9 B.2；0≦t≦3；3全等三角形之动点问题(综合测试)(人教版)(含答案)
七年级下册数学三角形全等动点问题
全等三角形动点问题分析教案
全等三角形经典培优之动点问题(讲义及答案)
三角形全等中的动点问题 专题训练
全等三角形之动点问题
三角形全等之动点问题(习题及答案)
八年级数学全等三角形之动点问题
初二全等三角形动点问题
八年级数学全等三角形之动点问题(精品)
全等三角形之动点问题(简单题)
中考数学专题复习教案 全等三角形中动点问题-word文档
全等三角形中动点问题例题精讲
全等三角形之动点问题
八年级数学易错题：全等三角形动点问题提高题
(完整)全等三角形动点问题提高题
全等三角形动点问题
全等三角形之动点类型试题和答案汇编
三角形全等之动点问题(分段、表达一)(人教版)(含答案)