不等式常见考试题型总结
不等式常见考试题型总结
一、高考与不等式高考试题，有关不等式的试题约占总分的12% 左右，主要考查不等式的基本知识，基本技能，以及学生的运算能力，逻辑思维能力，分析问题和解决问题的能力、选择题和填空题主要考查不等式的性质、比较大小和解简单不等式，还可能与函数、方程等内容相结合的小综合、解答题主要是解不等式或证明不等式或以其他知识为载体的综合题。不等式常与下列知识相结合考查：①不等式的性质的考查常与指数函数、对数函数、三角函数的性质的考查相结合，一般多以选择题的形式出现，有时也与充要条件、函数单调性等知识结合，且试题难度不大；②解不等式的试题主要在解答中出现，常常是解含参不等式较多，且多与二次函数、指数、对数、可能还会出现导数相结合命题；③证明不等式是理科考查的重点，经常同一次函数、二次函数、数列、解析几何，甚至还可能与平面向量等结合起来考查、
二、常见考试题型（1）求解不等式解集的题型（分式不等式的解法，根式不等式的解法，绝对值不等式的解法，含参不等式的解法，简单的一元高次不等式的解法）（2）不等式的恒成立问题（不等式恒成立问题的常规处理方式常应用函数方程思想，分离变量法，数形结合法）（3）不等式大小比较常用方法：
1、作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；
2、作商（常用于分数指数幂的代数式）；
3、分析法；
4、平方法；
5、分子（或分母）有理化；
6、利用函数的单调性；
7、寻找中间量或放缩法；
8、图象法。（4）不等式求函数最值技巧一：凑项例：已知，求函数的最大值。技巧二：凑系数例、当时，求的最大值。技巧三：
分离例、求的值域。技巧四：换元例、求的值域。技巧五：函数的单调性（注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数的单调性。）例：求函数的值域。技巧六：整体代换（多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。）例：（1）已知，且，求的最小值。（2）若且，求的最小值(3)已知且，求的最小值技巧七、利用转换式子技巧八、已知x，y为正实数，且x2＋＝1，求x的最大值、分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式
ab≤。同时还应化简中y2前面的系数为， x＝x ＝x下面将x，分别看成两个因式：x≤＝＝即x＝x ≤ 技巧九：已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝的最小值、这是一个二元函数
的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解二是直接用基本不等式。例：
1、已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。
2、若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。技巧：取平方例、已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝＋的最值、（5）证明不等式常用方法：比较法、分析法、综合法和放缩法。基本不等式—最值求法的题型基础题型一：指数类最值的求法
1、已知，求的最小值。变式
1、已知，求的最小值。变式
2、已知，求的最小值。变式
3、已知，求的最小值。变式
4、已知点在直线上，求的最小值。基础题型二：对数类最值的求法
2、已知，且，求的最大值。变式
1、已知，且，求的最小值。变式
2、已知点是圆在第一象限内的任一点，求的最大值。能力题型一：常数变形（加或减去某个常数使两个因式的积为常数）
1、已知,求的最小值。变式
1、已知,求的最小值。变式
2、已知,求的最大值。能力题型二：代换变形（把整式乘到分式中去以便于用基本不等式）
1、已知,且，求的最小值。
2、变式
1、已知,且，求的最小值。变式
2、已知,且，求的最大值。能力题型三：指数与系数的变形（调整字母的系数和指数）
1、已知,且，求的最大值。变式
1、已知,且，求的最大值。变式
2、已知,且，求的最小值。能力题型四：对勾函数及其应用
【对勾函数】
，由得顶点的横坐标为。,由得顶点的横坐标为。,由得顶点的横坐标为。例
1、求的值域。变式
1、求的值域。变式
2、求的值域。例
2、求的值域。变式
1、求的值域。变式
2、求的值域。例
3、求的值域。变式
1、求的值域。变式
2、求的值域。基本不等式例题例
1、已知, 且，求的最小值及相应的值、例
2、的最小值为________。例
3、已知，，成等差数列，成等比数列，则的最小值是（）例
4、函数的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为
_________、例
5、若，则的最小值是（）例
6、下列各函数中，最小值为2的是( )A
B、
C、
D、例7（1）已知，求函数的最大值、（2）求函数的最小值求的最大值、练习、设，则的最大值为例
8、已知,，且、求的最大值及相应的的值例9若x，y是正数，则的最小值是练习：已知实数x，y满足x+y－1=0，则x2+y2的最小值例
10、若实数a、b满足a+b=2，是3a+3b的最小值是基本不等式证明例已知a，b为正数，求证：≥、例实际应用：某单位用
木材制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要使框架围成的总面积为8，问x y分别为多少时用料最省？基本不等式应用一、基本不等式
1、（1）若，则 (2)若，则（当且仅当时取“=”）
2、 (1)若，则 (2)若，则（当且仅当时取“=”）(3)若，则(当且仅当时取“=”）
3、若，则 (当且仅当时取“=”）;若，则 (当且仅当时取“=”）若，则 (当且仅当时取“=”）
3、若，则 (当且仅当时取“=”）若，则 (当且仅当时取“=”）
4、若，则（当且仅当时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”、（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用、应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y＝3x2＋（2）y＝x＋解：（1）y＝3x2＋≥2＝∴值域为[，+∞）（2）当x＞0时，y＝x＋≥2＝2；当x＜0时， y＝x ＋= －（－ x－）≤－2=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧：技巧一：凑项例1：已知，求函数的最大值。解：因，所以首先要“调整”符号，又不是常数，所以对要进行拆、凑项，，当且仅当，即时，上式等号成立，故当时，。评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。技巧二：凑系数例
1、当时，求的最大值。解析：由知，，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可。当，即x＝2时取等号当x＝2时，的最大值为8。评注：本题无法直
接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。变式：设，求函数的最大值。解：
∵∴∴当且仅当即时等号成立。技巧三：
分离例
3、求的值域。解析一：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。当,即时,（当且仅当x＝1时取“＝”号）。技巧四：换元解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。当,即t=时,（当t=2即x＝1时取“＝”号）。评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数的单调性。例：求函数的值域。解：令，则因，但解得不在区间，故等号不成立，考虑单调性。因为在区间单调递增，所以在其子区间为单调递增函数，故。所以，所求函数的值域为。练习、求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值、（1）（2） (3)
2、已知，求函数的最大值、；
3、，求函数的最大值、条件求最值
1、若实数满足，则的最小值是、分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且定值，因此考虑利用均值定理求最小值，解：
都是正数，≥当时等号成立，由及得即当时，的最小值是
6、变式：若，求的最小值、并求x,y的值技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。2：已知，且，求的最小值。错解：，且，故。错因：解法中两次连用基本不等式，在等号成立条件是，在等号成立条件是即,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。正解：，当且仅当时，上式等号成立，又，可得时，。变式：
（1）若且，求的最小值(2)已知且，求的最小值技巧七、已知x，y为正实数，且x2＋＝1，求x的最大值、分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤。同时还应化简中y2前面的系数为， x＝x ＝x下面将x，分别看成两个因式：x≤＝＝即x＝x ≤ 技巧八：已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝的最小值、分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。法一：a＝， ab＝b＝由a＞0得，0＜b ＜15令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝＝－2（t＋）＋34∵t＋≥2＝
8∴ ab≤18 ∴ y≥ 当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成
立。法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵ a＋2b≥2 ∴30－
ab≥2令u＝则u2＋2u－30≤0，－5≤u≤3∴≤3，ab≤18，∴y≥点评：①本题考查不等式的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等式出发求得的范围，关键是寻找到之间的关系，由此想到不等式，这样将已知条件转换为含的不等式，进而解得的范围、变式：
1、已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。
2、若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。技巧九、取平方
5、已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝＋的最值、解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，≤，本题很简单＋≤＝＝2解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。W＞0，W2＝3x＋2y＋2＝10＋2≤10＋()2()2 ＝10＋(3x＋2y)＝20∴ W≤＝2变式: 求函数的最大值。解析：注意到与的和为定值。又，所以当且仅当=，即时取等号。
故。评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件。总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式。应用二：利用基本不等式证明不等式
1、已知为两两不相等的实数，求证：1）正数a，b，c满足a ＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc例6：已知a、b、c，且。求证：分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“2”连乘，又，可由此变形入手。解：a、b、c，。。同理，。上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得。当且仅当时取等号。应用三：基本不等式与恒成立问题例：已知且，求使不等式恒成立的实数的取值范围。解：令，。，应用四：均值定理在比较大小中的应用：例：若，则的大小关系是、分析：∵ ∴（∴R>Q>P。不等式求解集积题型【知识要点】
1、绝对值符号里含有未知数的不等式叫做绝对值不等式。（其中）（1）的解集是（2）的解集是或
2、含字母系数的一元一次不等式的解法与普通不等式的解法是一致的，所不同的是：前者在最后一步要根据题中附加条件或隐含条件，去判断未知数系数的符号，从而决定不等号是否反向。或对其系数进行分类讨论，写出各种情况下不等式的解集。一般的讨论方法：对于；当时，当时，若解集为任意实数；若，无解当时，
【典型例题】
题型一：与整数解个数有关的不等式例
1、如果不等式的正整数解是1，2，3，那么的取值范围是多少？例
2、已知关于的不等式组的整数解共有5个，求的取值范围。题型二: 已知不等式解集求未知数例
3、（1）已知不等式的解集为，求的解集。（2）方程组的解x，y都是正数，则整数k应等于。题型三：系数含有字母的不等式例
4、解关于的不等式：例
5、k为何值时，不等式永远成立？若不等式的解集为，求不等式的解集。题型四：绝对值不等式例
6、解下列不等式（1）（2）题型五：比较大小例
7、比较下列各式的大小（1）和（2）例
8、如果成立，则实数的取值范围是（）
A、
B、
C、
D、
【巩固练习】
1、如果关于x的方程的解是一个负数，那么m的取值范围是。
2、关于x的方程的解若为正数，那么k的取值范围为（）。A B C D
3、如果的解集是，那么满足（）
A、
B、
C、
D、4、已知关于的一次方程无解，则是（）
A、正数
B、非正数
C、负数
D、非负数
5、解下列不等式（1）（2）求不等式的非负整数解。
6、若不等式只有两个正整数解，则的取值范围是多少？
7、解关于的不等式（1）（2）35308、若满足不等式的必满足，求的取值范围、9、一次函数的图像是射线，的图像是射线，如图所示，若，则的值为_______________；若，则的取值范围是____________；若，则的取值范围是____________、
10、己知不等式，（1）若它的解是，求的范围；（2）若它的解集是，求的值。
11、如果不等式组的整数解仅为1，2，3，那么，适合这个不等式组的整数、的有序对（，）共有（）
A、17个
B、64个
C、72个
D、81个
12、已知方程组的解的乘积小于零，求的值。高中数学不等式知识点经典习题典型例题一例1 解不等式分析：解含有绝对值的不等式，通常是利用绝对值概念，将不等式中的绝对符号去掉，转化成与之同解的不含绝对值的不等式（组），再去求解、去绝对值符号的关键是找零点（使绝对值等于零的那个数所对应的点），将数轴分成若干段，然后从左向右逐段讨论、解：令，∴ ，令，∴，如图所示、[来源:Z。。k、Com]（1）当时原不等式化为∴与条件矛盾，无解、（2）当时，原不等式化为、∴ ，故、（3）当时，原不等式化为、∴，故、综上，原不等式的解为、说明：要注意找零点去绝对值符号最好画数轴，零点分段，然后从左向右逐段讨论，这样做条理分明、不重不漏、典型例题二例2 求使不等式有解的的取值范围、分析：此题若用讨论法，可以求解，但过程较繁；用绝对值的几何意义去求解分简便、解法一：将数轴分为三个区间当时，原不等式变为有解的条件为，即；当时，得，即；当时，得，即，有解的条件为∴、以上三种情况中任一个均可满足题目要求，故求它们的并集，即仍为、解法二：设数，3，4在数轴上对应的点分别为P，A，B，如图，由绝对值的几何定义，原不等式的意义是P到
A、B的距离之和小于、因为，故数轴上任一点到
A、B距离之和大于（等于1），即，故当时，有解、典型例题三例3 已知，求证、分析：根据条件凑、证明：、说明：这是为学习极限证明作的准备，要习惯用凑的方法、典型例题四例4
求证分析：使用分析法证明∵，∴只需证明，两边同除，即只需证明[来源:Zxxk、Cm]，即当时，；当时，，原不等式显然成立、∴原不等式成立、说明：在绝对值不等式的证明，常用分析法、本例也可以一开始就用定理：（1）如果，则，原不等式显然成立、（2）如果，则，利用不等式的传递性知，，∴原不等式也成立、典型例题五例5 求证、分析：本题的证法很多，下面给出一种证法：比较要证明的不等式左右两边的形式完全相同，使我们联想利用构造函数的方法，再用单调性去证明、证明：设、定义域为｛，且｝，分别在区间，区间上是增函数、[来
源:Z&xx&k、Com]又，∴即∴原不等式成立、说明：在利用放缩法时常常会产生如下错误：∵，，∴、错误在不能保证，、绝对值不等式在运用放缩法证明不等式时有非常重要的作用，其形式转化比较灵活、放缩要适度，要根据题目的要求，及时调整放缩的形式结构、型例题六例6 关于实数的不等式与的解集依次为与，求使的的取值范围、分析：分别求出集合、，然后再分类讨论、解：解不等式，，∴、解不等式，、当时（即时），得、当时（即时），得、当时，要满足，必须故；当时，要满足，必须∴、所以的取值范围是、说明：在求满足条件的时，要注意关于的不等式组中有没有等号，否则会导致误解、典型例题七例6 已知数列通项公式对于正整数、，当时，求证：、分析：已知数列的通项公式是数列的前项和，它的任意两项差还是某个数列的和，再利用不等式，问题便可解决、证明：∵∴、说明：是以为
首项，以为公比，共有项的等比数列的和，误认为共有项是常见错误、正余弦函数的值域，即，，是解本题的关键、本题把不等式、三角函数、数列、个变量的绝对值不等式问题连在一起，是一个较为典型的综合题目、如果将本题中的正弦改为余弦，不等式同样成立、典型例题八例8 已知，，求证：分析：本题中给定函数和条件，注意到要证的式子右边不含，因此对条件的使用可有几种选择：(1)直接用；(2)打开绝对值用，替出；(3)用绝对值的性质进行替换、证明：∵，∴，∵，∴、∴，∴，即、说明：这是绝对值和函数的综合题，这类题通常要涉及绝对值及绝对值不等式的性质等综合知识的运用、分析中对条件使用时出现的三种可能是经常碰到的，要结合求证，灵活选用、典型例题九例9 不等式组的解集是（
）、
A、
B、
C、
D、分析：本题是考查含有绝对值不等式的解法，由，知，∴，又，∴，解原不等式组实为解不等式（）、解法一：不等式两边平方得：、∴，即，∴，又、∴∴、选
C、解法二：∵，∴可分成两种情况讨论：(1)当时，不等式组化为（）、解得、(2)当时，不等式组可化为（），解得、综合(1)、(2)得，原不等式组的解为，选
C、说明：本题是在的条件下，解一个含绝对值的分式不等式，如何去绝对值是本题的关键所在，必须注意，只有在保证两边均为非负数时，才能将不等式两边同时平方、另一种方法则是分区间讨论，从而去掉绝对值符号、当然本题还可用特殊值排除法求解、典型例题例10 设二次函数(，且)，已知，，，，当时，证明、分析：从知，二次函数的图像是开口向上的抛物线；从且，知，要求证的是，所以抛物线的顶点一定在轴下方，取绝对值后，图像翻到轴上方、因此抛物线的顶点的取值非常重要，也是解这道题的关键所在、证明：∵，∴、又∵，∴、∴、[又，，∴、而的图像为开口向上的抛物线，且，，∴的最大值应在，或处取得、∵，，，∴、说明：本题考查了绝对值不等式的性质、二次函数的最值及分类讨论的思想和逻辑思维的能力，关键是通过对参数，，的分析，确定抛物线顶点的取值范围，然后通过比较求出函数在范围内的最大值、不等式题型总结
1、高考与不等式纵观近年来的高考试题，有关不等式的试题占的分值相当大，约占总分的12%，已经成为高考必考的热点内容，不仅考查不等式的基本知识，基本技能，而且注重考查学生的运算能力，逻辑思维能力，以及分析问题和解决问题的能力、选择题和填空题主要考查不等式的性质、比较大小和解简单不等式，有时还可能与函数、方程等内容相结合的小综合、解答题主要是解不等式或证明不等式或以其他知识为载体的综合题。单独考不等式的考题占分不多，但涉及不等式的知识、方法、技巧的
问题往往占有较大的比例，其中不等式常常与下列知识相结合考查：①不等式的性质的考查常与指数函数、对数函数、三角函数的性质的考查相结合，一般多以选择题的形式出现，有时也与充要条件、函数单调性等知识结合，且试题难度不大；②解不等式的试题主要在解答中出现，常常是解含参不等式较多，且多与二次函数、指数、对数、可能还会出现导数相结合命题；③证明不等式是理科考查的重点，经常同一次函数、二次函数、数列、解析几何，甚至还可能与平面向量等结合起来考查、2、命题趋势及典型例题解释（1）不等式的性质考查会与函数性质相结合起来，一般多以选择题出现，填空题出现，也有可能与充要条件、逻辑知识结合起来、例1：设命题甲：x和y满足，命题乙：x和y满足，那么甲是乙的（）A充分但不必要条件B必要但不充分条件C 充要条件 D既不充分也不必要条件［思路］根据同向不等式的可加性，从乙甲和甲乙两个方面进行推导，再结合充要条件相关概念进行分析。［破解］易知即乙甲；但当时，显然满足不满足故甲乙不成立。从而甲是乙的必要但不充分条件。故选B ［收获］本题将不等式的可加性与充要条件的相关概念进行了有机结合。做题时不要将充分不必要条件与必要不充分条件混淆起来。例2：已知、设函数在R上单调递减、不等式的解集为R、如果和有且仅有一个正确，求的取值范围、［思路］此题虽是一道在老教材之下的高考试题，但揭示了“解不等式”一类高考试题的命题方向、在新教材中，绝对值不等式的解法和二次不等式的
解法与集合运算、命题判断都有一定联系，属于对于学生提出的基本要求内容的范畴，本题将这几部分知识内容有机地结合在一起，在考查学生基础知识、基本方法掌握的同时，考查了学生命题转换，分类讨论等能力，在不同的方法下有不同的运算量，较好地体现出了“多考一点想，少考一点算”的命题原则、［破解］:函数在R上单调递减，不等式的解集为R函数在R上恒大于1，∵∴函数在R上的最小值为，∴不等式的解集为R，即，若正确，且不正确，则；若正确，且不正确，则；所以的取值范围为、［收获］“解不等式”一类的命题可以有形式上的更新和内容上的变化、结合简易逻辑的概念和集合的语言来命题，借助集合的运算性质和四个命题的关系来作答，是这个命题的基本特征，在求解时则主要以化归思想为破解切入点、复习中对于此类问题要引起足够的重视、（2）解不等式的题常以填空题和解答题的形式出现，此类题主要以一元二次不等式，分式不等式，含绝对值不等式为主，在解答题中含字母参数的不等式较多，需要对字母进行分类讨论、例3：解关于的不等式。分析本例涉及了两个讨论点：二次项系数和判别式的符号、解 (1)当时：若，则，不等式解集为；若，则，解集为、(2)当时：不等式为，解集为、(3)当时：若，则，解集为、若，不等式为，解集为且、若，则，解集为、点拨由于分类的原因有两个，为了避免逻辑混乱，本例采取了“二级分类”方法：第一级以二次项系数的符号作为划分的依据；第二级依判别式的符号进行划分、例4：若不等式|－
4|+|3－|<的解集为空集，求的取值范围。［思路］此不等式左边含有两个绝对值符号，可考虑采用零点分段法，即令每一项都等于0，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集，这是按常规去掉绝对值符号的方法求解，运算量较大。若仔细观察不等式左边的结构，利用绝对值的几何意义用数形结合方法或联想到绝对值不等式|+|≤||+||，便把问题简化。［破解］解法一 (1)当≤0时，不等式的解集是空集。(2)当>0时，先求不等式|－4|+|3－|<有解时的取值范围。令－4=0得=4，令3－=0得=3① 当≥4时，原不等式化为－4+－
3<，即2－7<解不等式组，∴>1② 当3<<4时，原不等式化为4－+－3<得>1③ 当≤3时，原不等式化为4－+3－<即7－2<解不等式，∴>1综合①②③可知，当>1时，原不等式有解，从而当
0<≤1时，原不等式解集为空集。由(1)(2)知所求取值范围是≤1解法二：由|－4|+|3－|的最小值为1得当>1时，|－4|+|3－|<有解从而当≤1时，原不等式解集为空集。解法三：
∵>|－4|+|3－|≥|－4+3－|=1∴当>1时，|－4|+|3－|<有解从而当≤1时，原不等式解集为空集。［收获］1）一题有多法，破解时需学会寻找最优解法。2）有解；解集为空集；这两者互补。恒成立。有解；解集为空集；这两者互补。恒成立。有解；解集为空集；这两者互补。恒成立。有解；解集为空集；这两者互补。恒成立。（3）证明不等式一般同函数知识相结合，综合性较强，灵活性较大，具有较好的区分度、例5：若二次函数的图象
经过原点，且，，求的范围、［思路］要求的取值范围，只需找到含的不等式(组)、由于是二次函数，所以应先将的表达形式写出来、即可求得的表达式，然后依题设条件列出含有的不等式(组)，即可求解、［破解］因为的图象经过原点，所以可设、于是解法一(利用基本不等式的性质)不等式组(1)变形得其中等号分别在与时成立，且与也满足（1）所以的取值范围是、解法二(数形结合)建立直角坐标系，作出不等式组(1)所表示的区域，如图中的阴影部分、因为，所以表示斜率为2的直线系、如图6，当直线过点，时，分别取得的最小值6，最大值
10、即的取值范围是：、解法三(利用方程的思想)因为所以又，而，，①所以、②①+②得即。［收获］1)在解不等式时，要求作同解变形、要避免出现以下一种错解：将不等式组（1）变形得，而，所以2)对这类问题的求解关键一步是，找到的数学结构，然后依其数学结构特征，揭示其代数的、几何的本质，利用不等式的基本性质、数形结合、方程等数学思想方法，从不同角度去解决同一问题、若长期这样思考问题，数学的素养一定会迅速提高、3）本题灵活地考查了同向不等式的可加性，但要注意的数学结构。
3、我们的收获通过这次的研究性学习，我们懂得了很多有关不等式的知识，并得出以下心得。(1)重视数学思想方法的复习从命题趋向来看，我们应该加强对数学思想方法的复习、①在复习不等式的解法时，加强等价转化思想的训练力度，由于解不等
不等式知识点与题型总结
不等式 一、知识点： 1. 实数的性质： 0>-?>b a b a ；0<-??<，a b b a ． 传递性 a b >且b c a c >?>． 加法性质 a b a c b c >?+>+；a b >且c d a c b d >?+>+． 乘法性质 ,0a b c ac bc >>?>；0a b >>，且00c d ac bd >>?>>． 乘方、开方性质 0,n n a b n N a b *>>∈?>；0,n n a b n N a b *>>∈?>． 倒数性质 11,0a b ab a b >>? <． 3. 常用基本不等式： 条 件 结 论 等号成立的条件 a R ∈ 20a ≥ 0a = ,a R b R ∈∈ 2 2 2a b ab +≥，2()2 a b ab +≤， 22 2()22a b a b ++≥ a b = 0,0>>b a 基本不等式： 2a b ab +≥ 常见变式： 2≥+b a a b ； 21 ≥+a a a b = 0,0>>b a 22112 2 2b a b a ab b a +≤ +≤≤+ a b = 4.利用重要不等式求最值的两个命题： 命题1：已知a ，b 都是正数，若ab 是实值P ，则当a=b= 时，和a ＋b 有最小值2 . 命题2：已知a ，b 都是正数，若a ＋b 是实值S ，则当a=b=2 s 时，积ab 有最大值42s . 注意：运用重要不等式求值时，要注意三个条件：一“正”二“定”三“等”，即各项均为正数，和或积 为定值，取最值时等号能成立，以上三个条件缺一不可. 5.一元二次不等式的解法：设a>0,x 1x 2是方程ax 2+bx+c=0的两个实根，且x 1≤x 2，则有
(完整版)基本不等式题型总结(经典,非常好,学生评价高)
基本不等式 一. 基本不等式 ①公式：(0,0)2 a b a b +≥≥≥，常用a b +≥ ②升级版：22222a b a b ab ++??≥≥ ??? ,a b R ∈ 选择顺序：考试中，优先选择原公式，其次是升级版 二．考试题型 【题型1】 基本不等式求最值 求最值使用原则：一正 二定 三相等 一正： 指的是注意,a b 范围为正数。 二定： 指的是ab 是定值为常数 三相等：指的是取到最值时a b = 典型例题： 例1 .求1(0)2y x x x =+<的值域 分析：x 范围为负，提负号（或使用对钩函数图像处理） 解：1()2y x x =--+- 00x x <∴->Q 1 2x x ∴-+≥=-1 2x x ∴+≤ 得到(,y ∈-∞
例2 .求12(3)3 y x x x =+>-的值域 解：123 y x x =+- （“添项”，可通过减3再加3，利用基本不等式后可出现定值） 12(3)63 x x =+-+- 330x x >∴->Q 12(3)3x x ∴ +-≥- 6y ∴≥， 即)6,y ?∈+∞? 例3.求2sin (0)sin y x x x π=+<<的值域 分析：sin x 的范围是(0,1)，不能用基本不等式，当y 取到最小值时，sin x 不在范围内 解：令sin (0,1)t x t =∈， 2y t t =+ 是对钩函数，利用图像可知： 在(0,1)上是单减函数，所以23t t + >，（注：3是将1t =代入得到） (3,)y ∴∈+∞ 注意：使用基本不等式时，注意y 取到最值，x 有没有在范围内， 如果不在，就不能用基本不等式，要借助对钩函数图像来求值域。
《不等式》常见题型归纳和经典例题讲解
? x + 1 ?? 2 3 《不等式》常见题型归纳和经典例题讲解 1.常见题型分类(加粗体例题需要作答) 定义类 1.下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ） A. 1 x +1>2 B.x 2>9 C.2x +y ≤5 D. 1 2 (x －3)<0 2.若 (m - 2) x 2m +1 - 1 > 5 是关于 x 的一元一次不等式，则该不等式的解集为 . 用不等式表示 a 与 6 的和小于 5； x 与 2 的差小于－1； 数轴题 1.a ,b 两个实数在数轴上的对应点如图所示：用“＜”或“＞”号填空： a __________ b ; |a |__________|b |; a +b __________0 a －b __________0; a +b __________a －b ; ab __________a . 2.已知实数 a 、b 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（ ） A 、ab ＞0 B 、 a > b C 、a －b ＞0 D 、a ＋b ＞0 同等变换 1.与 2x <6 不同解的不等式是（ ） A.2x +1<7 B.4x <12 C.－4x >－12 借助数轴解不等式(组): (这类试题在中考中很多见) ?1 - ≥ 0 1.（2010 湖北随州）解不等式组 ? 3 ??3 - 4( x - 1) < 1 D.－2x <－6 2.（2010 福建宁德）解不等式 2 x - 1 - 5x + 1 3 2 ?1 - 2( x -1) > 1, ? 3.（2006 年绵阳市） ? x 1 - ≥ x. 含参不等式: 此类试题易错知识辨析 ≤1，并把它的解集在数轴上表示出来．
基本不等式题型总结
基本公式 （1）R b a ab a a ∈≥+、,222（2）ab b a 2≥+，一定二正三相等（3 ）b a a b b a b a 1122222+≥≥+≥+，当b a =时，等号成立（4）33abc c b a ≥++推广： n n n x x x n x x x 2121≥+++，0>i x 题型 （1）对勾函数:x b ax y +=当x b ax =时，函数取得极值点 （2）1的代换 当题目中有b a b a 11、、、时。例1：正数n m 、满足12=+n m ，求m n 11+的最小值解：223212)21111+≥+++=+?+=+m n n m n m m n m n （）（
（3）xy y x 、、型 例2：已知2=++xy y x ，求y x +最小值①因式分解（提取公因式）2 3232113 )1)(1(2 -≥+∴≥+++=++∴=++y x y x y x xy y x 又②求谁留谁 22208)(4)())(2(4)())(2(44)(2222-≥+≥-+++∴+-≥+∴+-=≥+∴≥+y x y x y x y x y x y x xy y x xy y x 解得： ③?判别法：0 ≥?2 320 )2(40 22 )(,22-≥≥--=?=-+-∴=-+∴-=+=z z z z zy y z y y z z y x y x z 解得则令④技巧、完全对称为最值 解得：原式完全对称和式子中2322 22-==+=∴=∴x x x y x y x
（4）xy y x 、、22型①完全对称 ②求谁留谁 ③?判别法：0≥?④配方，三角换元例3：已知1422=++xy y x 求y x +2的最大值配方： 1)2(41522=++x y x ；则：12(21522=++x y x ）（换元： ]2,0[cos 2;sin 215πθθθ∈=+=。x y x θθθsin 15 1cos ,sin 152-==∴y x )sin(58cos sin 15 32?θθθ+=+=+∴y x 510 22≤+∴y x
不等式常见题型归纳和经典例题讲解
《不等式》常见题型归纳和经典例题讲解 1.常见题型分类(加粗体例题需要作答) 1.下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ） A.x 1 +1>2 B.x 2>9 C.2x +y ≤5 D.21 (x －3)<0 2.若51)2(12>--+m x m 是关于x 的一元一次不等式，则该不等式的解集为 . a 与6的和小于5； x 与2的差小于－1； 1.a ,b 两个实数在数轴上的对应点如图所示：用“＜”或“＞”号填空： a __________ b ; |a |__________|b |; a +b __________0 a － b __________0; a +b __________a －b ; ab __________a . 2.已知实数a 、b 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（ ） A 、ab ＞0 B 、a b > C 、a －b ＞0 D 、a ＋b ＞ 0 1.与2x <6不同解的不等式是（ ） A.2x +1<7 B.4x <12 C.－4x >－12 D.－2x <－6 ): (这类试题在中考中很多见) 1.（2010湖北随州）解不等式组110334(1)1 x x +?-???--???-≥?? : 此类试题易错知识辨析
（1）解字母系数的不等式时要讨论字母系数的正、负情况. 如不等式ax b >（或ax b <）（0a ≠）的形式的解集： 当0a >时，b x a >（或b x a <） 当0a <时，b x a <（或b x a >） 当0a <时，b x a <（或b x a >） 4 若不等式(a ＋1)x ＞a ＋1的解集是x ＜1，则a 必满足( )． (A)a ＜0 (B)a ＞－1 (C)a ＜－1 (D)a ＜1 5 若m ＞5，试用m 表示出不等式(5－m )x ＞1－m 的解集______． 6.如果不等式(m －2)x >2－m 的解集是x <－1,则有（ ） A.m >2 B.m <2 C.m =2 D.m ≠2 7.如果不等式(a －3)x ＜b 的解集是x ＜ 3-a b ，那么a 的取值范围是________. 1.不等式3(x －2)≤x +4的非负整数解有几个.（ ） A.4 B.5 C.6 D.无数个 2.不等式4x － 41141+ 不等式常见考试题型总结 Prepared on 22 November 2020 《不等式》常见考试题型总结一、高考与不等式 高考试题，有关不等式的试题约占总分的12% 左右，主要考查不等式的基本知识，基本技能，以及学生的运算能力，逻辑思维能力，分析问题和解决问题的能力．选择题和填空题主要考查不等式的性质、比较大小和解简单不等式，还可能与函数、方程等内容相结合的小综合．解答题主要是解不等式或证明不等式或以其他知识为载体的综合题。不等式常与下列知识相结合考查： ①不等式的性质的考查常与指数函数、对数函数、三角函数的性质的考查相结合，一般多以选择题的形式出现，有时也与充要条件、函数单调性等知识结合，且试题难度不大； ②解不等式的试题主要在解答中出现，常常是解含参不等式较多，且多与二次函数、指数、对数、可能还会出现导数相结合命题； ③证明不等式是理科考查的重点，经常同一次函数、二次函数、数列、解析几何，甚至还可能与平面向量等结合起来考查． 二、常见考试题型 （1）求解不等式解集的题型 （分式不等式的解法，根式不等式的解法，绝对值不等式的解法，含参不等式的解法，简单的一元高次不等式的解法） （2）不等式的恒成立问题 （不等式恒成立问题的常规处理方式常应用函数方程思想，分离变量法，数形结合 法） （3）不等式大小比较 常用方法： 1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）； 3．分析法； 4．平方法； 5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法 ； 8．图象法。 （4）不等式求函数最值 技巧一：凑项 例：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 技巧二：凑系数 例. 当 时，求(82)y x x =-的最大值。 技巧三： 分离 例. 求2710 (1)1 x x y x x ++= >-+的值域。 技巧四：换元 例. 求2710 (1)1x x y x x ++= >-+的值域。 技巧五：函数的单调性 （注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a f x x x =+的单调性。） 例：求函数22 4 y x = +的值域。 技巧六：整体代换 （多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。） 例：（1）已知0,0x y >>，且19 1x y +=，求x y +的最小值。 （2）若+ ∈R y x ,且12=+y x ，求y x 11+的最小值 (3)已知+ ∈R y x b a ,,,且1=+y b x a ，求y x +的最小值 专题 基本不等式 【一】基础知识 基本不等式：)0,0a b a b +≥>> （1）基本不等式成立的条件： ； （2）等号成立的条件：当且仅当 时取等号. 2.几个重要的不等式 （1）()24a b ab +≤(),a b R ∈；（2）)+0,0a b a b ≥>>； 【二】例题分析 【模块1】“1”的巧妙替换 【例1】已知0,0x y >>，且34x y +=，则41x y +的最小值为 . 【变式1】已知0,0x y >>，且34x y +=，则4x x y +的最小值为 . 【变式2】（2013年天津）设2,0a b b +=>， 则 1||2||a a b +的最小值为 . 【例2】（2012河西）已知正实数,a b 满足 211a b +=，则2a b +的最小值为 . 【变式】已知正实数,a b 满足 211a b +=，则2a b ab ++的最小值为 . 【例3】已知0,0x y >>，且280x y xy +-=，则x y +的最小值为 . 【例4】已知正数,x y 满足21x y +=，则 8x y xy +的最小值为 . 【例5】已知0,0a b >>，若不等式 212m a b a b +≥+总能成立，则实数m 的最大值为 . 【例6】（2013年天津市第二次六校联考）()1,0by a b +=≠与圆221x y +=相交于,A B 两点，O 为坐标原点，且△AOB 为直角三角形，则 2212a b +的最小值为 . 【例7】（2012年南开二模）若直线()2200,0ax by a b -+=>>始终平分圆222410x y x y ++-+=的周长，则 11a b +的最小值为 . 【例8】设12,e e 分别为具有公共焦点12,F F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足 120PF PF ?=，则2 2214e e +的最小值为 【例9】已知0,0,lg 2lg 4lg 2x y x y >>+=，则11x y +的最小值是（ ） A ．6 B ．5 C ．3+ D ． 【例10】已知函数()4141 x x f x -=+，若120,0x x >>，且()()121f x f x +=，则()12f x x +的最小值为 . 基本不等式专题辅导 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 （1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ （2）若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 （1）若* ,R b a ∈，则ab b a ≥+2 （2）若*,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值； 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 4、求最值的条件：“一正，二定，三相等” 5、常用结论 （1）若0x >，则1 2x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） （4）若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a ab +≤ +≤ （5）若* ,R b a ∈，则22111 2 2b a b a ab b a +≤ +≤≤+ 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 6、柯西不等式 （1）若,,,a b c d R ∈，则22222 ()()()a b c d ac bd ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：2222222 1231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ （3）设1212,,,,,,n n a a a b b ??????与b 是两组实数，则有22212(n a a a ++???+)22212)n b b b ++???+(21122()n n a b a b a b ≥++???+ 二、题型分析 题型一：利用基本不等式证明不等式 1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥ b a 112+ 2、已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++222 3、已知1a b c ++=，求证：2 2 2 13 a b c ++≥ 4、已知,,a b c R + ∈，且1a b c ++=，求证：abc c b a 8)1)(1)(1(≥--- 已知,,a b c R + ∈，且1a b c ++=，求证：1111118a b c ??????---≥ ??????????? 6、选修4—5：不等式选讲 设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:(Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)222 1a b c b c a ++≥. 7、选修4—5：不等式选讲： 已知0>≥b a ，求证:b a ab b a 2 23322-≥- 题型二：利用不等式求函数值域 The shortest way to do many things is 专题 基本不等式 编者：高成龙 专题 基本不等式 【一】基础知识 基本不等式：) 0,0a b a b +≥>>（1）基本不等式成立的条件： ； （2）等号成立的条件：当且仅当 时取等号. 2.几个重要的不等式 （1）；（2）；()24a b ab +≤(),a b R ∈)+0,0a b a b ≥>>【二】例题分析 【模块1】“1”的巧妙替换 【例1】已知，且，则的最小值为 .0,0x y >>34x y +=41x y +【变式1】已知，且，则的最小值为 .0,0x y >>34x y +=4x x y +【变式2】（2013年天津）设， 则的最小值为 .2,0a b b +=>1||2||a a b +【例2】（2012河西）已知正实数满足，则的最小值为 . ,a b 211a b +=2a b +【变式】已知正实数满足，则的最小值为 . ,a b 211a b +=2a b ab ++ 【例3】已知，且，则的最小值为 . 0,0x y >>280x y xy +-=x y +【例4】已知正数满足，则的最小值为 .,x y 21x y +=8x y xy +【例5】已知，若不等式总能成立，则实数的最大值为 . 0,0a b >>212m a b a b +≥+m 【例6】（2013年天津市第二次六校联考）与圆相交于两点，()1,0by a b +=≠22 1x y +=,A B 为坐标原点，且△为直角三角形，则的最小值为 . O AOB 22 12a b + 【例7】（2012年南开二模）若直线始终平分圆的周长，()2200,0ax by a b -+=>>22 2410x y x y ++-+=则的最小值为 . 11a b +【例8】设分别为具有公共焦点的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且满足 12,e e 12,F F P ，则的最小值为 120PF PF ?= 22214e e +【例9】已知，则的最小值是（ ）0,0,lg 2lg 4lg 2x y x y >>+=11x y + A ．6 B ．5 C ． D ．3+【例10】已知函数，若，且，则的最小值为 .()4141 x x f x -=+120,0x x >>()()121f x f x +=()12f x x + 一元一次不等式和一元一次不等式组题型归纳 201509 姓名： 授课时间： 一．对一元一次不等式定义的理解 1.下列各式中，是一元一次不等式的是（ ） Ａ、５＋４>８ Ｂ、12-x Ｃ、x 2≤５ Ｄ、x x 31 -≥０ 2.下列式子①3x ＝5；②a ＞2；③3m －1≤4；④5x ＋6y ；⑤a ＋2≠a －2；⑥－1＞2中，不等式有（ ）个 A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 3.下列说法，错误的是（ ） Ａ、33-πx 的解集是1-πx Ｂ、－１０是102-πx 的解 Ｃ、2πx 的整数解有无数多个 Ｄ、2πx 的负整数解只有有限多个 4.下列不等关系中，正确的是（ ） A 、 a 不是负数表示为a ＞0； B 、x 不大于5可表示为x ＞5 C 、x 与1的和是非负数可表示为x ＋1＞0； D 、m 与4的差是负数可表示为m －4＜0 二．已知范围，求正确的结论 5.若a 为有理数，则下列结论正确的是（ ） A. a ＞0 B. －a ≤0 C. a 2＞0 D. a 2＋1＞0 6.若a ＞b ，且c 是有理数，则下列各式正确的是（ ） ①ac ＞bc ②ac ＜bc ③ac 2＞bc 2 ④ac 2≥bc 2 A.1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7.若a b Ｃ、2a <2b D 、a 3>b 2 8.如果0ππn m ，那么下列结论不正确的是（ ） A 、99--n m π B 、n m --φ C 、m n 1 1 φ D 、 1φm n 9.m 为任意实数，下列不等式中一定成立的是（ ） Ａ、π3m m Ｂ、π2-m 2+m Ｃ、m m -φ Ｄ、a a 35φ 10.已知πππb a 1,0-０，则a,ab,ab 2之间的大小关系是（ ） A 、2ab ab a φφ Ｂ、a ab ab φφ2Ｃ、φab 2ab a φ Ｄ、2ab a ab φφ 11.若x x -=-44，则x 的取值范围是（ ） Ａ、4πx Ｂ、4≤x Ｃ、4φx Ｄ、4≥x 12.b a ,表示的数如图所示，则11---b a 的的值是（ ） Ａ、b a - Ｂ、2-+b a Ｃ、b a --2 Ｄ、b a +- 13.下列表达中正确的是（） A 、若x 2＞x ，则x ＜0 B 、若x 2＞0，则x ＞0 C 、若x ＜1则x 2＜x D 、若x ＜0，则x 2＞x 14.如果不等式ax ＜b 的解集是x ＜a b ，那么a 的取值范围是（ ） A 、a ≥0 B 、a ≤0 C 、a ＞0 D 、a ＜0 15.如果a ＜－2，那么a 与a 1 的大小关系是_______ 三．根据绝对值性质解不等式 16.如果x x 2121-=-，则x 的取值范围是 （ ） A 、21 >x B 、21≥x C 、21≤x D 、21 专题：基本不等式 基本不等式求最值 利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号． 三个不等式关系： （1）a ，b ∈R ，a 2 ＋b 2 ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． （2）a ，b ∈R ＋ ，a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． （3）a ，b ∈R ， a 2＋ b 2 2 ≤( a ＋b 2 )2 ，当且仅当a ＝b 时取等号． 上述三个不等关系揭示了a 2 ＋b 2 ，ab ，a ＋b 三者间的不等关系． 其中，基本不等式及其变形：a ，b ∈R ＋ ，a ＋b ≥2ab (或ab ≤( a ＋b 2 )2 )，当且仅当a ＝b 时 取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值． 【题型一】利用拼凑法构造不等关系 【典例1】已知1＞＞b a 且7log 3log 2=+a b b a ，则 1 12 -+b a 的最小值为 . 练习：1．若实数,x y 满足0x y >>，且22log log 1x y +=，则22 x y x y +-的最小值 为 ． 2.若实数,x y 满足1 33(0)2 xy x x +=<< ，则313x y + -的最小值为 ． 3.已知0,0,2a b c >>>，且2a b +=，则 2ac c c b ab +-+ 的最小值为 . 【典例2】已知x ，y 为正实数，则4x 4x ＋y ＋y x ＋y 的最大值为 ． 【典例3】若正数a 、b 满足3ab a b =++,则a b +的最小值为__________. 变式：1.若,a b R +∈,且满足22 a b a b +=+,则a b +的最大值为_________. 2.设0,0>>y x ，822=++xy y x ，则y x 2+的最小值为_______ 3.设R y x ∈,，142 2 =++xy y x ，则y x +2的最大值为_________ 不等式的解题归纳 第一部分 含参数不等式的解法 例1解关于x 的不等式022 ≤-+k kx x 例2．解关于x 的不等式：(x-2 x +12)(x+a)<0. 例3、若不等式13 64222 2<++++x x k kx x 对于x 取任何实数均成立，求k 的取值范围. 例4若不等式ax 2+bx+1>0的解集为{x ︱-3 【课堂练习】 1、已知(2a -1) 2 x -(a-1)x-1<0的解集为R ，求实数a 的取值范围. 2、解关于x 的不等式：.0)2(2 >+-+a x a x 3、解关于x 的不等式：.012 <-+ax ax 【课后练习】 1．如果不等式x 2－2ax ＋1≥2 1 (x －1)2对一切实数x 都成立，a 的取值范围是 2．如果对于任何实数x ，不等式kx 2－kx ＋1>0 (k>0)都成立，那么k 的取值范围是 3．对于任意实数x ，代数式 (5－4a －2a )2 x －2(a －1)x －3的值恒为负值，求a 的取值范围 4．设α、β是关于方程 2x －2(k －1)x ＋k ＋1=0的两个实根，求 y=2α ＋2 β关于k 的解析式，并求y 的取值范围 第二部分 绝对值不等式 1．(2010年高考福建卷)已知函数f (x )＝|x －a |. (1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值； (2)在(1)的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围． 基本不等式题型总结 2020.9.13（周日） ? 课前10分钟小测 1、解一元二次方程 （1）0322 =--x x （2）0622 =--x x 【解析】 【解析】 0)3)(1(=-+x x 0)2)(32(=-+x x 1-=x 或3=x 2 3 -=x 或2=x 2、解一元二次不等式 （1）0322 ≤--x x （2）0622 >--x x 【解析】 【解析】 0)3)(1(≤-+x x 0)2)(32(>-+x x 31≤≤-x 2 3 - 一、知识点总结与讲解 公式一：ab b a 2≥+ 公式二：4 )(2 b a ab +≤ 公式一推导过程： 0)(2≥-b a 即022 2 ≥+-b ab a 即ab b a 22 2 ≥+ 用a 替代2 a ，用 b 替代2 b ，则上式可变为如下： ab b a 2≥+ 公式二推导过程： ab b a 2≥+ b a ab +≤∴2 即2 b a a b +≤ 即4 )(2 b a ab +≤ 公式说明： “一正二定三相等”即： ①b a ,必须是正数 ②当ab 是定值时，b a +有最小值为ab 2； 当b a +是定值时，ab 有最大值为4 )(2 b a +；（即“积定和最小，和定积最大”） ③当且仅当b a =时，不等式取得等号。 二、题型分析与讲解 1、已知x,y 都是正实数，且5=xy ，求y x +的最小值。 【解析】522,0,0=≥+∴>>xy y x y x ， 当且仅当5= =y x 时，取得等号，所以y x +的最小值为52。 2、已知x,y 都是正实数，且5=+y x ，求xy 的最大值。 【解析】4 25 4)(,0,02=+≤∴>>y x xy y x ， 当且仅当25= =y x 时，取得等号，所以xy 的最大值为4 25 。 3、已知x,y 都是负实数，且5=xy ，求y x +的最大值。 【解析】52))((2)]()[(,0,0,0,0-=---≤-+--=+∴>->-∴< 不等式的基本知识 一、解不等式 1、一元二次不等式的解法 一元二次不等式()0002 2 ≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集： 设相应的一元二次方程()002 ≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42 -=?，则 不等式的解的各种情况如下表： 0>? 0=? 0a ）的图象 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 一元二次方程 ()的根 00 2>=++a c bx ax 有两相异实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221- == 无实根 的解集)0(02>>++a c bx ax {}2 1 x x x x x ><或 ???? ??-≠a b x x 2 R 的解集 )0(02><++a c bx ax {}21 x x x x << ? ? 2、简单的一元高次不等式的解法： 标根法：其步骤是： 1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正； 2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回； 3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。()()()如：x x x +--<11202 3 3、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。 ()()0() () 0()()0;0()0() ()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥??≠? 4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < 二、线性规划 1、用二元一次不等式（组）表示平面区域 二元一次不等式Ax +By +C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线） 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点(y x ,)，把它的坐标（y x ,)代入Ax +By +C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点） 3、线性规划的有关概念： ①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件． ②线性目标函数： 关于x 、y 的一次式z =a x +b y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标 第九章 不等式与不等式知识点归纳 一、不等式及其解集和不等式的性质 用不等号表示大小关系的式子叫做不等式。常见不等号有：“＜” “＞” “≤” “≥” “ ≠ ”。含有未知数的不等式的所有解组成这个不等式的解集，解不等式就是求不等式的 解集。 注：①在数轴上表示不等式解集时，有等号用实心点，无等号用空心圈。 ②方向：大于向右画，小于向左画。 不等式的三个性质：①不等式两边同时加（或减）同一数或式子，不等号不变； ②不等式两边同时乘（或除）同一正数，不等号不变； ③不等式两边同时乘（或除）同一负数，不等号改变。 作差法比较a 与b 的大小：若a-b ＞0,则a ＞b ；若a-b ＜0；则a ＜b ；若a-b=0, 则a=b 。 例1 、下列式子中哪些是不等式？ ①0a+b=b+a; ②a＜b －5; ③－3＞－5;④x≠1 ；⑤2x-3。 例2、若ax ____a a ax <1x ＜____a ③ 由，那么。 122-≥-≤-x m x mx 可得______m 例4、不等式的非负整数解是__________________。 x x 228)2(5-≤+二、一元一次不等式及其实际问题 一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不 等式的两边都是整式（即分母中不含未知数），这样的不等式叫做一元一次不等式。 解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（两边每一项同乘分母的最小公倍数） （2）去括号（括号里每一项都要乘括号前面的系数）（3）移项（变号后移项） （4）合并同类项（5）将x 项系数化为1（系数为负数要变号）。 一元一次不等式与实际问题（审设列解验答） 常见表示不等关系的关键词：①不超过，不多于，至多，最多（≤）；②不少于，不少于， 至少，最少（≥）③之前，少于，低于（＜）；④超过，多于，大于（＞）。 （1）审（找表示不等关系的关键词）; （2）设（把问题中的“至多、至少” 去掉） （3）列;（4）解；（5）验（实际问题是否需要求整数解）；（6）答（加上“至多、至 少”作答）。 三、不等式组及其解集，与实际问题 几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。 不等式组中，几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集。 一元一次不等式组与实际问题（审设列解验答） （1）审（找表示不等关系的关键词和题中涉及的两个未知量）; （2）设（设其中一个 基本不等式基础题型总结 一、直接法： ()01>+ =x x x y 求函数最小值. 【变式】()03221>+=x x x y 求函数最小值. 总结：两道题的解法完全一样，对于此类结构的题目，我们不用担心其系数是多少，左右会出定值.我们可以把这种类似的倒数结构称为“基本不等式结构”. 二、配凑法： 若1>x ，则函数()14-+ =x x x f 最小值为 . 【变式】已知45>x ，求函数5 4124-+-=x x y 的最小值. 三、换元法：此方法可以解决题型二中所有题目，尤其是变式3，可以把配凑的思路简单化.此方法适用于分式结构中分母稍复杂的情况. 已知1>x ，求函数1 532-++=x x x y 的最小值. 求函数2 y =的值域.（注意换元之后新元的取值范围，以及基本不等式应用过程中 “一正二定三等”的三条原则.） 四、代换法： 已知0>x ，0>y ，且1=+y x ，求 y x 11+的最小值. 【变式1】已知0>x ，0>y ，且12=+y x ，求 y x 11+的最小值. 【变式2】已知0>x ，0>y ，且 191=+y x ，求y x +的最小值. 【变式3】（天津09年高考6）设0,0.a b >>1133a b a b +与的等比中项，则的最小值为 （ ） A 8 B 4 C 1 D 14 一类需要注意的问题：取等条件是否满足 有同学在用基本不等式做题时，做到出定值这一步时会非常欣喜，但往往由于忽略了取等条件而出问题. 下列不等式：①()1log 20log x x x +≥≥；②2sin 1sin ≥+A A （A 是三角形内角）；③()222x x x R -+≥∈；④()R x x x ∈≥+++2211 2122，其中恒成立的是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ②③ D. ③④ 含参数的一元二次不等式的解法 解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种： 一、按2 x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ; 例1 解不等式：()0122 >+++x a ax 分析：本题二次项系数含有参数，()04422 2 >+=-+=?a a a ，故只需对二次项 系数进行分类讨论。 解：∵()04422 2 >+=-+=?a a a 解得方程 ()0122 =+++x a ax 两根,24 22 1a a a x +- --= a a a x 24 22 2++ --= ∴当0>a 时,解集为?? ? ???????+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或 当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为? ?? ???> 21|x x 当0+-a a ax ax 分析 因为0≠a ，0>?，所以我们只要讨论二次项系数的正负。 解 ()()032)65(2 >--=+-x x a x x a ∴当0>a 时，解集为{}32|>不等式常见考试题型总结
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