.3 定积分的换元法与分部积分法-习题~!

1．计算下列定积分： ⑴

3sin()3x dx π

ππ

+?；

【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式

3sin()3x dx π

π

π

+?3sin()()33x d x π

πππ=++?3

cos()

3x ππ

π

=-+

[cos()cos()]333ππππ=-+-+[cos (cos )]033

ππ

=----=。

【解法二】应用定积分换元法

令3

x u π

+

=，则d x d u =，当x 从

3π单调变化到π时，u 从23π单调变化到43

π

，于是有

3sin()3x dx π

ππ

+?4323

sin udu ππ=?4323

cos u

π

π=-42[cos

cos ]33

ππ=-- [cos

(cos )]033

π

π

=----=。

⑵

1

32(115)dx

x -+?；

【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式

1

32(115)dx x -+?13

2

1(115)(115)5x d x --=++?212

11(115)52

x --=?+-

22

111

[]10(1151)(1152)

=-

-+?-?211(1)1016=--51512=。 【解法二】应用定积分换元法

令115x u +=，则1

5

dx du =

，当x 从2-单调变化到1时，u 从1单调变化到16，于是有

1

32(115)dx

x -+?1631

15u du -=?2161

1152

u -=?-211

(1)1016

=-

-51512=。

⑶

32

sin cos d π

????

；

【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式

3

20sin cos d π????3

2

cos cos d π??=-?420

1cos 4

π

?=-441[cos cos 0]42

π

=--

1

[01]4

=--14=。

【解法二】应用定积分换元法

令cos u ?=，则sin d du ??-=，当?从0单调变化到

2

π

时，u 从1单调变化到0，于是有

320

sin cos d π

????

031u du =-?130u du =?4

1

1

4

u =14

=

。 ⑷

30

(1sin )d π

θθ-?

；

【解】被积式为3

(1sin )d θθ-，不属于三角函数的基本可积形式，须进行变换。由于1是

独立的，易于分离出去独立积分，于是问题成为对3

sin d θθ的积分，这是正、余弦的奇数次幂的积分，其一般方法是应用第一换元法，先分出一次式以便作凑微分：

sin cos d d θθθ=-，余下的22sin 1cos θθ=-，这样得到的2(1cos )cos d θθ--便为变

量代换做好了准备。具体的变换方式有如下两种： 【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式

3

(1sin )d π

θθ-?

20

1sin sin d d ππ

θθθθ=-??20

(1cos )cos d π

π

θ

θθ=+-?

301

(cos cos )3

ππθθ=+-

331

(cos cos 0)(cos cos 0)3

πππ=+---

1

(11)(11)3

π=+-----43π=-。

【解法二】应用定积分换元法

令cos u ?=，则sin d du ??-=，当?从0单调变化到π时，u 从1单调变化

到1-，于是有

3

(1sin )d π

θθ-?

20

1sin sin d d ππ

θθθθ=-??20

(1cos )cos d π

π

θ

θθ=+-?

121(1)u du π-=+-?31

1

1()3

u u π-=+- 1

(11)(11)3

π=+-----43π=-。

⑸

22

6

cos udu π

π

?；

【解】这是正、余弦的偶次幂，其一般积分方法为，利用三角函数的半角公式：

2

1cos cos 22u u +=，将平方部份降次成为一次的余弦三角函数：21cos 2cos 2

u u +=，使之可以换元成为基本可积形式： 【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式

2

26cos udu π

π?261cos 22u du π

π+=?226611

(cos 22)22du ud u ππ

ππ=+?? 2

2

6

6

11(sin 2)2

2u u ππ

π

π=+11[()(sin sin )]22623ππππ=-+-

13

()234

π=-。 【解法二】应用定积分换元法

令2u x =，则1

2

du dx =

，当u 从6π单调变化到2π时，x 从3π单调变化到π，

于是有

2

26cos udu π

π?261cos 22u du π

π+=?226611

(cos 22)22du ud u ππ

ππ=+?? 2

36

1

1(cos )2

2u xdx ππππ

=+?3

11

[()sin ]2262x ππππ=-+ 11[(sin sin )]2323πππ=+-13

()234

π=-。 ⑹

2

20

2x dx -?

；

【解】被积函数中含根号，且根指数及根号内多项式的次数都是2，应该应用第二类换元法中的三角变换法：

为使根号内的变量在后的平方差转换成完全平方，应令2sin x u =，当x 从0单调

变化到

2时，u 从0单调变化到

2

π

，且22222sin 2cos x u u -=-=，2cos dx udu =，使得

2

2

2x dx -?

20

2cos 2cos u udu π

=??2

1cos 222

u

du π

+=? 220

cos 2du udu π

π

=+??220

1cos 222u

ud u π

π

=+? 220

1

sin 22

u

u π

π

=+1

(sin 0)22

π

π=

+-2π=。

⑺

2

112

2

1x dx x

-?

； 【解】被积函数中含根号，且根指数及根号内多项式的次数都是2，应该应用第二类换元法中的三角变换法：

为使根号内的变量在后的平方差转换成完全平方，应令sin x u =，当x 从

1

2

单调变化到1时，u 从4π单调变化到2π，且2222211sin cos sin sin x u u

x u u

--==，cos dx udu =，

使得

211

22

1x dx x -?

224cos cos sin u udu u ππ=??224cot udu ππ=?224

(csc 1)u du π

π=-? 24

(cot )

u u π

π

=--[(cot

cot )()]2424

π

πππ

=--+-14π=-。

⑻

2220

a

x a x dx -?

（0a >）

； 【解】被积函数中含根号，且根指数及根号内多项式的次数都是2，应该应用第二类换元法中的三角变换法：

为使根号内的变量在后的平方差转换成完全平方，应令sin x a u =，当x 从0单调变

化到a 时，u 从0单调变化到

2

π，且22222

222s i n s i n s i n c o s x a x a u a u u a u -=-=?，

cos dx a udu =，使得

2

220

a

x

a x dx -?

22

20sin cos cos a u a u a udu π=???422

sin 24

a

udu π

=

?

4

201cos 442a u du π

+=?42

1(sin 4)84a u u π

=+

41

[(sin 20)]824

a ππ=+-4116a π=。

⑼

3

2

2

1

1dx x

x

+?

；

【解】被积函数中含根号，且根指数及根号内多项式的次数都是2，应该应用第二类换元法中的三角变换法：

为使根号内的变量在后的平方和转换成完全平方，应令tan x u =，当x 从1单调变

化到3时，u 从

4π单调变化到3

π

，且 2222

222sec sec tan sec 1tan 1tan dx udu

udu

u u x x u u ==++2cos sin u du u

=21sin sin d u u = 使得

3

22

1

1dx x x +?

3

2

4

1

sin sin d u u

π

π=? 这时，再令sin u t =，当u 从

4π单调变化到3π时，t 从22单调变化到32

， 又得32

41sin sin d u u π

π?32

222

1dt t =?3

222

1t =-22(

)32=--2

23

=-。 ⑽

1

20

2x x dx -?

；

【解】被积函数中含根号，且根指数及根号内多项式的次数都是2，应该应用第二类换元法中的三角变换法。

由于根号内的二次多项式并非为三角变换中的平方和或差的标准形式，需要先将其转

化为标准形：

22221(12)1(1)x x x x x -=--+=--，

现在，根号内的二次多项式成为了变量在后的平方差的形式了，因此可令

1sin x u -=，当x 从0单调变化到1时，1x -从1-单调变化到0，从而u 对应从2

π

-

单调

变化到0，

而且22221sin cos cos x x u u u -=-==，cos dx udu =，于是

1

20

2x x dx -?

2

cos cos u udu π-=??0

2

1cos 22u du π

-+=?

02

11(sin 2)22u u π

-

=+

11

{[0()][sin 0sin()]}222

ππ=--+--4π=。

⑾

4

1

1dx

x

+?

；

【解】被积函数中含根号，可见根指数与根号内多项式的次数不相等，应该应用第二类换元法中的直接变换法：

【解法一】令x u =，当x 从1单调变化到4时，u 从1单调变化到2，且由此得2

x u =，

2dx udu =，

11

11u x

=++，于是 4

1

1dx x

+?

2121udu u =+?2112(1)1du u =-+?212(ln 1)u u =-+ 2[(21)(ln3ln 2)]

=---32(1ln )2=-2

2(1ln )3

=+。 【解法二】为便于积分，可使变换后的分母成为简单变量，即令1x u +

=，当x 从1单调

变化到4时，u 从2单调变化到3，且由此得2(1)x u =-，2(1)dx u du =-，11

1u

x =+，

于是

4

1

1dx

x

+?

322(1)u du u -=?3212(1)du u =-?3

2

2(ln )u u =-

2[(32)(ln3ln 2)]=---3

2(1ln )2

=-。

⑿

1

34

11

dx

x --?

；

【解】被积函数中含根号，可见根指数与根号内多项式的次数不相等，应该应用第二类换元法中的直接变换法：

【解法一】令1x u -=，当x 从

34单调变化到1时，u 从1

2

单调变化到0，且由此得21x u =-，2dx udu =-，

111

11u x =---，于是

1

34

11dx x --?

01221

u du u -=-?12012(1)1du u =+

-?1

202(ln 1)u u =+-