求一元二元函数极限的方法总结

摘要......................................................................................................1 关键词......................................................................................................1 Abstract ...................................................................................................1 Key words ................................................................................................1 引言...................................................................................................1 1预备知识 ................................................................................................1 1.1 一元函数极限的定义..............................................................................2 1.2一元函数极限的性质及相关定理 ...............................................................3 1.3两个重要的极限....................................................................................3 1.4无穷小量的定义及等价无穷小..................................................................3 1.5常用的导数定义式,,..............................................................................3 1.6二元函数极限的定义........................................................................4 2求一元函数极限的方法..............................................................................4 2.1利用定义求极限 ....................................................................................4 2.2利用归结原则求极限..............................................................................5 2.3利用左右极限求得函数极限 .....................................................................5 2.4利用迫敛性求极限 .................................................................................6 2.5利用四则运算法则求极限 ........................................................................7 2.6利用两个重要极限求极限 ........................................................................7 2.7利用等价无穷小量代换求极限 ..................................................................7 2.8利用函数的连续性求极限 ........................................................................8 2.9利用洛比达法则求极限 ...........................................................................8 2.10利用泰勒公式求极限..............................................................................9 2.11用导数的定义求极限 ...........................................................................10 2.12利用定积分求极限 ..............................................................................10 3二元函数的极限以及判定 ........................................................................11 3.1利用二重极限的定义 ...........................................................................11 3.2运用连续函数的性质 ...........................................................................11 3.3利用变量替换 ....................................................................................11 3.4 先求对数后求极限 ..............................................................................12 3.5利用分子或分母有理化...........................................................................12 3.6判断(,)f x y 在点00(,)x y 处极限不存在的方法 (12)

求函数极限的方法

摘要：本文首先归纳和总结出一元函数，二元函数极限的定义及其相关的性质，这些性质对于求解函数的极限有很重要的作用，是求解函数极限的基础；其次依据不同的原则，按照不同的方法，从不同角度概括出求函数极限的若干主要方法，并列举出具有代表性的例题。 关键词：函数；极限 ;性质 ；方法

Methods Of Solving the Limit of Function

Abstract ：This paper induces and summarizes the function of one variable, the definition of limit of function of two variables and their properties, these properties have a very important role in solving the limit of function, is the foundation for solving the limit of function; secondly, based on different principles, according to different methods, summarize some main methods for the limit function from different angles, and lists the representative examples.

.Key words: Function; limit; quality ； method

引言极限是微积分的理论基础，微积分中的重要概念，如连续，导数，定积分，级数都是用不同类型的极限来定义的，函数极限理论是数学分析中最基本、最重要的内容之一．因此掌握函数极限的理论和求函数极限的方法对学习数学分析及数学专业相关课程来说是相当关键的．函数是数学分析的研究的对象，而极限方法则是在数学分分析中研究函数的重要方法，因此怎样求极限就非常重要。求函数极限的方法很多，而且非常灵活，因此研究与总结求函数极限的方法尤为重要．本文针对各种形式的函数极限整理和归纳了具有代表性的各种求解方法，幷辅以典型的例题．既要理解极限的性质，概念和极限存在的条件，又要能准确求出各种极限。

1. 预备知识

1.1 一元函数极限的定义

定义1 设f 为定义在[],a +∞上的函数，A 为定数．若对任给的0ε>，存在正整数()M a ≥，使得当x M >时有()f x A ε-<，则称函数f 当x 趋于+∞时以A 为极限．记作：()lim x f x A →+∞

=或()()f x A x →→+∞．

定义2 设函数f 在点0x 的某个空心邻域()00;'U x δ内有定义，A 为定数，若对任给的0ε>，存在正数()'δδ<，使得当00x x δ<-<时有()f x A ε-<，则称函数f 当x 趋于0x 时以A 为极限．记作：()0

lim x x f x A →=或()()0f x A x x →→．

定义3 设函数f 在()00;'U x δ+（或()0

0;'U x δ-）

内有定义，A 为定数．若对任给0ε>的，存在正数()'δδ<，使得当时00x x x δ<<+（或00x x x δ-<<）有()f x A ε-<，则

称数A 为函数f 当x 趋于0x +（或0x -

）时的右（左）极限．记作：

()()00lim lim x x x x f x A f x A +-→→??== ???

或()()()()()

00f x A x x f x A x x +-→→→→． 注：函数()f x 在点0x 处是否有极限，与函数()f x 在点0x 处是否有定义无关． 1.2 一元函数极限的性质及相关定理

性质1（唯一性） 若极限()0

lim x x f x →存在，则此极限是唯一的．

性质2（局部有界性） 若()0

lim x x f x →存在，则f 在0x 的某空心邻域()00U x 内有界．

性质3（局部保号性） 若()0

lim 0x x f x A →=>（或0<），则对任何正数r A <（或r A <-），

存在()00U x ，使得对一切()o o x U x ∈有()0f x r >>（或()0f x r <-<）．

性质4（保不等式性） 设()0

lim x x f x →与()0

lim x x g x →都存在，且在某邻域()00;'U x δ内有

()()f x g x <，则()()0

lim lim x x x x f x g x →→≤．

性质5（迫敛性）设()()0

lim lim x x x x f x g x A →→==，且在某邻域()00;'U x δ内有

()()()f

x h x g x ≤≤，则()0

lim x x

h x A →=． 性质6（四则运算法则） 若极限()0

lim x x f x →与()0

lim x x g x →都存在，则函数f g ±，f g ?，

当0x x →时极限也存在，且

1. ()()()()0

lim lim lim x x x x x x f x g x f x g x →→→±=±????；

2. ()()()()0

lim lim lim x x x x x x f x g x f x g x →→→?=?????；

又若()0

lim 0x x g x →≠，则f

g

当0x x →时极限存在，且有

3. ()()

()

()

lim lim

lim x x x x x x f x f x g x g x →→→=

．

定理：归结原则

设f 在()00;'U x δ内有定义，()0

lim x x f x →存在的充要条件是：对任何含于()00;'U x δ且

以0x 为极限的数列{}n x ，极限()lim n n f x →∞

都存在且相等．

1.3两个重要的极限 （1）0sin lim

1x x

x

→=；其变形为()0sin ()lim

1()x x x μμμ→=. （2）1lim 1x

x e x →∞??

+= ???

．其变形为()()1lim (1)()x x e x μμμ→∞+=.或1

0lim(1)x x x e →+=，其变形为

1

()

()0

lim (1())

x

x x e μμμ→+=

1.4无穷小量的定义及等价无穷小

设函数f 在00()U x 内有定义，若()0

lim x x f x →=0，则称f 为当0x x →时的无穷小量。

若0

x f(lim

1()

x g x →=x)

，则称f 与g 是当0x x →时的等价无穷小量。 在利用等价无穷小量代换求极限时，应注意只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量替代，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代，

常见等价无穷小量

()sin ~0x x x →，()tan ~0x x x →，()2

1cos ~02x x x -→，

()arcsin ~0x x x →，()arctan ~0x x x →，()1~0x e x x -→， ()()ln 1~0x x x +→，()()11~0x x x α

α+-?→ ()1~ln 0x a x a x -→ ()(1)1~0x x x αβαβ+-→

()

1~

0x

x n

→ 1.5常用的导数定义式,

设函数()y f x =在点0x 处可导，则下列式子成立： 1．()()()0

00

'lim

x x f x f x f x x x →-=-，

2．()()()

0000

'lim

h f x h f x f x h

→+-=．

其中h 是无穷小，可以是()0x x x x ??=-，x ?的函数或其他表达式．

1.6二元函数极限的定义

设f 为定义在2D R ?上的二元函数，0P 为D 的一个聚点。A 是一个确定的实数，若对任给正数ε，总存在某正数δ ，使得当P ∈00()U P D δ?；时都有()f P A -ε?，则称f 在D 上当0P P →,以A 为极限，记做0

lim ()p p f p A →=.

２.求一元函数极限的方法

2.1 利用定义求极限

例1证明 22112

lim 213

x x x x →-=--

证 当1x ≠时有2211212

213213321

x x x x x x x --+-=-=--++

若限制x 于011x <-<，则211x +>，于是对任给的0ε>，只要{}min 3,1δε=取，

则当01x δ<-<时，便有22

1122133

x x x x ε---<<-- 从而有22

112

lim 213x x x x →-=--成立。 例2 证明()()

211

lim

212x x x x →-=--． 分析 当1x ≠时，10x -≠，故()()

211

122x x x x x -+=---，于是有

()()

23111332212222x x x x x x x x x --+--=-==-----，

取112δ=，当101x δ<-<时1322x <<，故有1

22x ->，从而有

()()

21212x x x ---- 61x <-，取26

ε

δ=

即可．

证明 对于0ε?>，取1min ,26εδ??

=????

，于是当01x δ<-<时，有

()()

21

26112x x x x ε--<-<--，

由定义知()()

211

lim

212x x x x →-=--成立． 2.2利用归结原则求极限

例 2 求极限211lim 1n

n n n →∞

??

++ ???

．

分析 利用复合函数求极限，令()21

211x x x u x x ++??

=+ ?

??，()1

x v x x

+=

求解． 解 令()2

1

211x x x u x x ++??

=+ ?

?

?，()1

x v x x

+=

则有 ()lim n u x e →+∞

=；()lim 1n v x →+∞

=，

由幂指函数求极限公式得

()()211lim 1lim x

v x x x u x e x x →+∞

→+∞

??

++== ???， 故由归结原则得

221111lim 1lim 1n

x

n x e n n x x →∞

→+∞????

++=++= ? ?????

． 注 1 归结原则的意义在于把函数归结为数列极限问题来处理，对于0x x +

→，0x x -

→，x →+∞和x →-∞这四种类型的单侧极限，相应的归结原则可表示为更强的形

式．

注 2 若可找到一个以0x 为极限的数列{}n x ，使()lim n n f x →∞

不存在，或找到两个都

以0x 为极限的数列{}'

n x 与{}''n x ，

使()'

l i m n n f x →∞

与()"lim n n f x →∞

都存在而不相等，

则()0

lim x x f x →不存在．

2.3利用左右极限求得函数极限

例3 1x

1

x +11lim

arctan

x

-1

x e e → 解：1

0lim ,x

x e +→=+∞，01lim arctan ,2x x π+→=，1

0lim 0x

x e -→=，01lim arctan ,2

x x π-

→=-

1100

11lim lim arctan

2

1x

x x x

e x e π+

-

→+→-

+=- 1

1

11lim lim arctan 2

1

x

x x x

e x e

π

-

-

-

→→-+=- 因此1x

10

x

+11lim

arctan

x -1

x e e →=2

π 2.4利用迫敛性求极限 例 4

求极限lim

n →+∞

．

解 由放缩法得

22

123231n n n n

+++??+++??++<<， 化简得

1

322n n n n

++<<， 因为

131

lim

lim 222n n n n n n →+∞→+∞++==，

由迫敛性定理得

1

lim

2

n →+∞

=． 在利用迫敛性求函数极限时，一般可经过放缩法找出适当的两个函数，且这两个函数的极限相等．本题就是用放缩法使得

22

123231n n n n

+++??+++??++<<， 且131lim

lim 222

n n n n n n →+∞→+∞++==，满足函数极限的迫敛性，即可求出极限．

2.5利用四则运算法则求极限

对和、差、积、商形式的函数求极限，会想到极限四则运算法则，法则本身很简单．但为了能够使用这些法则，往往需要先对函数做某些恒等变换或化简，采用怎样的变形和

化简，要根据具体的算式确定．常用的变形或化简有分式的约分或通分、分式的分解、分子或分母的有理化、三角函数的恒等变形、某些求和或求积公式以及适当的变量替换．

例 5 求极限21lim 1n x x x x n

x →++??+--，n 为正整数．

解 21lim 1n x x x x n

x →++??+--

21111lim 111n x x x x x x x →??

---=++??+??---??

()()()212

1

lim 1111n n x x x x x x x --→??=++++++??+++??++??

()()()

2121

1

1

1

lim1lim 1lim 1lim 1n n x x x x x x x x x x --→→→→=++++++??+++??+

123n =+++??+ ()12

n n +=．

2.6利用两个重要极限求极限

例6 求极限sin sin lim

x a x a

x a

→--．

解 cos sin sin

sin sin 222cos 222

x a x a x a x a x a x a x a x a +----+=

=?---， 于是有sin sin sin 2lim limcos 22x a x a x a x a x a x a x a →→--+=?--sin

2limcos lim 22

x a x a x a x a x a

→→-+=?- cos a =．

先利用和差化积对函数进行转化，要使用0sin lim

1x x

x →=，必须使函数中出现此类型的

式子，如当x a →时02

x a -→，此时sin

2lim

12

x a x a x a →-=-，再进行求解。 2.7利用等价无穷小量代换求极限

例 7 求极限30tan sin lim

sin x x x

x →-． 解 由于()sin tan sin 1cos cos x

x x x x

-=-，而

()sin ~0x x x →，()2

1cos ~02

x x x -→，()33sin ~0x x x →

故有

23300tan sin 112lim lim sin cos 2

x x x x x x x x x →→?

-=?=． 2.8利用函数的连续性求极限 例8 求()4

lim tan x x x π

π→

-．

解 ()4

3lim tan tan 444x x x ππππππ→?

?-=-= ??? ． 此题是利用函数的连续性求其极限，因为函数()()tan f x x x π=-在4

x π

=处连续，

所以可把4

x π

=

直接代入求极限．若以后遇到此类函数可用此方法求其极限．

2.9 利用洛比达法则求极限

洛比达法则一般被用来求00型不定式极限及∞

∞

型不定式极限．用此种方法求极限要

求在点0x 的空心领域()0

0U x 内两者都可导，且作分母的函数的导数不为零．

例 9 求极限21cos lim

tan x x x

π→+．

解 由于()2lim 1cos lim tan 0x x x x π

π

→→+==，且有

()1cos 'sin x x +=-，()22tan '2tan sec 0x x x =≠，

由洛比达法则可得

21cos lim tan x x x π→+2sin lim 2tan sec x x

x x π→-= 3cos lim 2x x π→??=- ???12

=． 例 10 求极限3lim x

x e x

→+∞．

解 由于3lim lim x x x e x →+∞

→+∞

==+∞，并有

()'x

x

e e

=，()32'30x x =≠，

由洛比达法则可得

32lim lim 3x x

x x e e x x

→+∞→+∞=，

由于函数()x f x e =，()23g x x =均满足路比达法则的条件，所以再次利用洛比达法则

32lim lim lim lim 366

x x x x

x x x x e e e e x x x →+∞→+∞→+∞→+∞====+∞． 注 1 如果()

()0

'lim

'x x f x g x →仍是00型不定式极限或∞

∞

型不定式极限，只要有可能，我们可再次用洛比达法则，即考察极限()()

'lim 'x x f x g x →是否存在，这时()'f x 和()'g x 在0x 的某领

域内必须满足洛比达法则的条件．

注 2 若()()

'lim

'x x f x g x →不存在，并不能说明()()

lim

x x f x g x →不存在．

注 3 不能对任何比式极限都按洛比达法则求解，首先必须注意它是不是不定式极限，其次是否满足洛比达法则的其他条件． 下面这个简单的极限sin lim

1x x x x →∞+=虽然是∞

∞

型，但若不顾条件随便使用洛比达法则

sin 1cos lim lim

1

x x x x x

x →∞→∞++=， 就会因右式的极限不存在而推出原极限不存在的错误结论． 2.10 利用泰勒公式求极限

在此种求极限的方法中，用得较多的是泰勒公式在00x =时的特殊形式，即麦 克劳林公式．也可称为带有佩亚诺余项的麦克劳林公式

()()()()(

)

()()2

"000'02!

!

n n n

f f f x f f x x x x n ο

=++

+??+

+．

例 11 求极限2

2

4

0cos lim

x x x e

x -

→-．

解 由于极限式的分母为4x ，我们用麦克劳林公式表示极限的分子，取4n =：

()24

5cos 1224

x x x x ο=-++，

()224

52

128

x x x e

x ο-

=-++，

()24

52

c o s 12

x x x e

x ο--=-+．

因而求得

()2

4

52

4

400cos 112lim lim 12

x x x x x x e x x ο-→→-+-==-． 利用此种方法求极限时，必须先求函数的麦克劳林公式，选取恰当的n 。 2.11用导数的定义求极限 例 12

求极限0

x →()0,0p q >>．

解 令(

)f x =(

)g x = 则

x →()()

()()000lim

00

x f x f x g x g x →--=--()()'0'0f g =p q =． 2.12 利用定积分求极限

有定积分的定义知，若()f x 在[],a b 上可积，则可对[],a b 用某种特定的方法并取特殊的点，所得积分和的极限就是()f x 在[],a b 上的定积分．因此，遇到求一些和式的极限时，若能将其化为某个可积函数的积分和，就可用定积分求此极限．这是求和式极限的一种方法．

例 13 求极限()()()222111lim 12n n n n n n →∞

??

++??+??+++????

． 解 对所求极限作如下变形：

()()()222111lim 12n n n n n n →∞

??

++??+??+++????

2221111lim 12111n n n n n n →∞??

??

??=++??+?????????+++??

? ? ??

??????? 2

1

1

1

lim 1n

n i n i n →∞

==??

?+ ???

∑

． 不难看出，其中的和式是函数()()

2

1

1f x x =

+在区间[]0,1上的一个积分和，所以有

()()()222111lim 12n n n n n n →∞

??

++??+??+++????

()12011dx x =+?()()120111d x x =++? 1011x =-|+12

=． 3二元函数的极限以及判定

3.1利用二重极限的定义

例14

设(,)f x y =，求(,)(0,0)

lim

(,)x y f x y →

解22(,)0x y -=

≤=

故10,2(,)02

f x y εδερδρε?>==<-≤<取，当0<时有

所以(,)(0,0)

lim (,)x y f x y →0= 3.2 运用连续函数的性质 例15

计算(,)lim

y x y →

y 在点(0,1)

连续，所以(,)lim

ln 1y x y e →==

3.3利用变量替换 例16 求

()(,)(,)

lim

()()m x y x y x y e m -+→+∞+∞+是一个确定的自然数

解 令t x y =+，则当,,x y t →+∞→+∞→+∞时

()

(,)(,)

lim

()lim 0m

m

x y t x y t t x y e

e

-+→+∞+∞→+∞+== 例17

计算

22(,)lim

x y →

设cos ,sin ,02x y ρθρθθπ==<<

，有

22(,)lim

x y →2220

lim sin cos 0θρρθ→==

3.4若所求极限具有的形式，并且在的过程中呈现出某种不定型（如），可利用先求对数后求极限的方法

例18 求

22

22(,)(0,0)

lim (+)x

y

x y x y →

设22

22(+)x

y

z x y =，则2222ln ln()z x y x y =+

22222222(,)(0,0)

lim

ln()lim ln()x y x y x y x y x y ρ→→+=+

因为0ρ=→，不妨设01ρδ<=< 所以22222221,ln()0x y x x y x y ≤≤+<+< 2222220-(x y )ln(x +y )-≤≤（x +y ）

，而222222

(,)(0,0)0lim

-()ln()lim(ln )=0x y x y x y ρρρ→→??++=-?

? 所以2222

lim -ln()0x y x y ρ→??+=??

所以

22

22(,)(0,0)

lim (+)x

y

x y x y →=1

3.5利用分子或分母有理化

例19 求

(,)(0,0)lim x y →

解 原式=

(,)(}00lim

lim

x y x y →→=

，（，=

(,)1

lim

-4x y →=

3.6判断(,)f x y 在点00(,)x y 处极限不存在的方法 （1）利用累次极限

若(,)f x y 当00(,)(,)x y x y →时的二重极限存在且为A ,并且它的累次极限存在且为B ,那么A B =。因此，如果两个累次极限均存在，但不相等，则二重极限不可能存在。

例2022(,)x y x y f x y x y

-++=+，证明(,)(0,0)lim (,)x y f x y →不存在。

证 由于20,00lim (,)lim

1y x y y y f x y y →→→-==-，20,00lim (,)lim 1x y y x x f x y x

→→→+== 所以

(,)(0,0)

lim (,)x y f x y →不存在。

（2）令()y g x =，这里()y g x =是(,)f x y 的定义域D 上的任意连续曲线，并

0lim ()x x g x y →=。那么若

00(,)(,)

lim

(,)x y x y f x y A →=,则[]0

lim ,()x x f x g x A →=。如出现矛盾，则极限

不存在。

例21 试证2

24

(,)(0,0)lim x y xy x y →+不存在

证当(,)x y 沿直线y x =趋于(0,0)时，2

24(,)(0,0)lim x y xy x y →+=0

当(,)x y

沿直线y =(0,0)时，224(,)(0,0)lim x y xy x y →+=1

2

所以极限不存在

（3）利用数列定义 定理设(,)P x y 为动点，000(,)P x y 为定点，使0

lim (,)p p f x y A

→=成立的充分必要条件是：对于一切收敛于0P 的点列{}n P ，由对应的函数值所组成的数列

{}()n f P 恒收敛于A 。

例22 证明1

0,0

lim (1)

x y

x y xy =→→+不存在

证 若取1n n x y n

==

，则1122

220,011lim (1)

lim(1)lim (1)n n

n n n n

x y n n x y n n x y n n +→→→∞

→∞?

?+=+

=+???

? 1=

若取'1n x n =，'

11n y n =+则''1

''0,0

1lim (1)n n n n x y n n

x y x y e +→→+= 所以原极限不存在。