高斯曲率的计算公式
第二章 曲面论
高斯曲率的计算公式 高斯曲率绝妙定理
2
122LN M
K k k EG F
-==- 。
注意
(,,)
uu r r r L n r =?=
，
(,,)uv r r r M n r =?=
，
(,,)
vv r r r N n r =?=
。
所以
2
2LN M K EG F -=
-
222
1
[(,,)(,,)(,,)]()
u v uu u v vv u v uv r r r r r r r r r EG F =
-- ，
利用行列式的转置性质和矩阵乘法性质，得
2(,,)(,,)(,,)u v uu u v vv u v uv r r r r r r r r r -
(,,)(,,)
u u v u v vv v u v uv uu uv r r r r r r r r r r r r
???? ? ?=- ? ? ? ?????
u u u v u vv u u u v u uv v u
v v v vv v u v v v uv uu u
uu v
uu vv uv u
uv v
uv uv
r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r ??????=???-?????????
u vv u uv v vv v uv uu u
uu v
uu vv uv u
uv v
uv uv
E F r r E F r r F G r r F G r r r r r r r r r r r r r r ??=?-???????
u vv u uv v vv v uv uu u
uu v
uu vv uv uv uv u
uv v
E F r r E F r r F G r r F G r r r r r r r r r r r r r r ??=?-????-??? ，
（其中用到行列式按第三行展开计
算的性质。）
利用 u u r r E ?= ，u v r r F ?=
，
v v r r G ?=
，
可得12u uu u r r E ?= ，12u uv v r r E ?=
，
12
v vu u r r G ?= ，12v vv
v r r G ?= ， 12
v uu u v r r F E ?=-
，
12
u vv v u r r F G ?=-
。
由于
()()
uu vv uv uv uu vv u vvu u vvu uv uv r r r r r r r r r r r r ?-?=?+?-?+? ()()u vv u u vu v r r r r =?-?
11
()()22v u u v v F G E =-- 11
22
vu uu vv F G E =-- ；
或者
uu vv uv uv r r r r ?-?
()()uu v v v uv u r r r r =?-?
11
()()22u v v u u F E G =--
11
22
uv vv uu F E G =-- ；
于是得到
22
11221
11[]()
22111111
2
2
222
2
v u v v u u u v
uv vv uu v
u E
F F
G E
F E K F
G G F G G EG F E F E F E G E G -=
----- (1)
公式被称为高斯定理，且被誉为高斯绝妙定理。
将上式中的行列式按第三列展开，并化简，可得
2
22
1[(2)4()
v v u v u K E E G F G G EG F =-+-
(242)
u v v u v v u v u u F E G E G E F F F F G +--+- 2
(2)u u u v v G E G E F E +-+
22()(2)]vv uv uu EG F E F G ---+,(2)
高斯绝妙定理断言一个曲面的高斯曲率可以只用第一类基本量及其导数表示，从而K 事实上是曲面的一个内蕴不变量。
高斯曲率用第一类基本量明确的表达式由 Brioschi 公式(1)给出。
存在等距对应的两曲面，曲面上对应点处的高斯曲率必相等。
球面片与平面片之间不存在等距对应。
u vv u uv v vv v uv uu u
uu v
uu vv uv uv uv u
uv v
E F r r E F r r F G r r F G r r r r r r r r r r r r r r ???-????-???
122112222
212112
212
111211
110
22
uv vv uu
E F E F F
G
F G F E G ΓΓ=Γ-ΓΓΓΓΓ--，
122112222
21222
112
212
111211
1
[]()110
22
uv vv uu
E
F
E F K F G
F G EG F F E G ΓΓ=
Γ-Γ-ΓΓΓΓ-- 。
特别地，当曲面
∑：(,)r r u v =
上的坐标曲线网是正交网时， 0F =， 此时
2
1100221
11[00]()22111111
2
2
222
2
u v v u u v vv uu v u E
G E E K G G G G EG E E E G E G -=
----
211111111111
[()()]()2222222222
vv uu v v u u u u v
v E GE GG E G G E G E G G E G E EG =
--++---
2
11
[
()()]24()
vv uu v v u u u u v v E G EE G E G G EG G E GE EG EG =-+-+++, 即得
2
11
[
()()]24()
vv uu v v u u u u v v K E G EE G E G G EG G E GE EG EG =-+-+++,
(3) 经过观察，通过凑微分，得到
2
11[()()]24()
vv uu v v u u u u v v E G EE G E G G EG G E GE EG EG -+-+++
)()()]uu vv u u u v v v G E G EG E G E EG E G =++++
111)()()]uu vv u u v v G E G EG E EG =+-+
]
uu u u vv v v G G E E =-+++
+111))]u u v v G E =-+
1]u v =-+ ，
故有
1]u v K =+，(4)
（验算这个量的散度的动因，是在用测地曲率的刘维尔公式，推导高斯-波涅公式时，出现求散度的运算，导致两者的表达方式是一致的。）
1[K u v ??=+?? 。
[
K
u u v
???
=+
???
，
2
1
i i i
K
u
=
?
=
?
∑。
如果曲面在参数坐标网
(,)
u v下的第一基本形式为
222
(,)[()()]
u v du dv
λ
I=+，则称此坐标网为等温参数网。
2,0
E G F
λ
===，
]
u v
K=+
2
1
[()()]
u v
u v
λλ
λλλ
=-+
2
1
[(ln)(ln)]
uu vv
λλ
λ
=-+
2
1
lnλ
λ
=-?，
其中
22
22
u v
??
?=+
??
是关于变量,u v的Laplace算子.
于是在曲面上取等温参数网(,)
u v 时，222
(,)[()()]
u v d u d v λI =+，2
E G λ==，其中(,)0u v λλ=>.
此时 21
ln K λλ=-?。
例 求第一基本形式为222
222
()du dv ds u v c +=++
的曲面高斯曲率 。
解 因为2221
,0()E G F u v c ===++ ，
所以
]u v K =+
()22222
2
2
222222
2()2()
[]4()()
v c u u c v u v c c u v c u v c -+--+-=-+++=++++。 例 求第一基本形式为
22
()(,)()
du G u v dv I =+
的曲面上的高斯曲率 。
由（3）式，得
2
1124uu u u uu K G G G G G =-+= 。
半测地坐标网下， 高斯曲率的计算公式
在2C 类曲面 ∑：(,)r r u v =
上选一条测地线Γ为v --曲线：
0u =；再取与Γ正交的测地线族为
u --曲线，另取这测地线族的正交轨线为v --曲线，则得一半测地坐标
网。对于这个半测地坐标网而言，曲面的第一基本形式 可以简化为
22
()(,)()
du G u v dv I =+，
其中(,)G u v 满足条件
(0,)1,(0,)0u G v G v == 。
在曲面上选取了半测地坐标网后，曲面的高斯曲率有如下的计算公式
2
2
1
K
u
?
=
?
。
常高斯曲率的曲面
现在设曲面∑的高斯曲率是常数，即K=常数，则得微分方程
2
2
u
?
+=
?
。
根据初始条件：
(0,)1,(0,)0
u
G v G v
==
，我们可按以下不同情形求出这个微分方程的解。
（1）正常数高斯曲率的曲面，
K>，
((
A v
B v
=+。
根据初始条件，可得
()1,()0
A v
B v
==，
于是=，
22
2
()cos
()
du dv I =+。
实例：考虑球心在原点，半径为R 的球面。
取赤道为最初给定的测地线，则所有经线是与赤道正交的测地线，所有纬线是这测地线族的正交轨线，因此球面上的经线和纬线构成半测地坐标网。
设球面上点的经度为v ，纬度为u ， 则球面的参数表示是 (cos cos ,cos sin ,sin )r R u v u v u =
。 (sin cos ,sin sin ,cos )u r R u v u v u =--
， (cos sin ,cos cos ,0)v r R u v u v =-
，
2
,0,u u u v E r r R F r r =?==?=
22cos v v G r r R u =?=
，
22222
()cos ()R du R u dv I =+。
在球面上重新选择参数，命 ,u Ru v Rv == 于是
2
2
2
()cos ()
u du dv R
I =+， 高斯曲率
2
2
111
(cos )cos u K u u R R R
?''=-=-=? ，
因此得到
22
2
()cos
)du dv I =+，
所以正常数高斯曲率的曲面的第
一基本形式与球面的相同。
正常数高斯曲率的曲面与同高斯曲率的球面之间存在着保距变换。 （2）0K =
，从而有1=， 因此22
()()du dv I =+， 所以零高斯曲率的曲面的第一基本形式与平面的相同。
（3）负常数高斯曲率的曲面，
0K <，
()()A v B v =+ 。 根据初始条件，可得
()1,()0A v B v ==，
于是=，
22
2
()()du ch
dv I =+。
由此可知, 具有相同常数高斯曲率的曲面都可适当选取参数, 使曲面具有相同的第一基本形式, 因此可建立等距对应.
由上述定理知道, 具有常数高斯曲率的曲面(这种曲面称为常曲率曲面)可按K >0;K = 0;K < 0 分成三种类型. 而属于同一类型的曲面它们的内在几何是相同的. 平面作 为高斯曲率为零的代表; 球面作为高斯曲率为正常数的代表. 换句话说, 高斯曲率为零的曲面都可以与
平面建立等距对应, 高斯曲率为正常数的曲面都可以与球面建立等距对应.
那么自然会问什么曲面可以作为高斯曲率为负常数的代表?
设21K a =- , 我们可以在旋转曲面中找出这个代表.
设旋转曲面的待定母线为Oxz 平面中的曲线()z z x =. 把它绕z 轴旋转后形成了旋转面 (()cos ,()sin ,())r x t x t z t θθ=
，t x =； 代入旋转曲面的高斯曲率公式
222
[()()()()]()()[(())(())]x t z t x t z t z t K x t x t z t '''''''-=''+ 得其高斯曲率为
22()()[1(())]z x z x K x z x '''=
'+
为了使这个曲面的高斯曲率
21K a
=-
所以待定函数()z z x =就必须满足下列
方程: 22
2
()()
1[1(())]
z x z x x z x a '''=-
'+
，
将其改写成
222221[(())]11()2[1(())]2z x x z x a
'''-='+，
两边积分后得到2
12
2
111(())x C z x a =
+'+
取积分常数1
0C =, 于是可解出 222
(())x z x x a '+=，
由此得出()z x x
'=±，
dz dx x
=± ，
令sin x a t =，
则2cos 1sin cos sin sin a t t
dz a tdt a dt a t t -=±?=±
1
(
sin )sin a t dt t
=±-2
1
(sin )2tan cos 22
a t dt
t t =±-，
于是
(ln tan cos )
2
t
z a t =±+ 。
因此，以母线
sin (ln tan cos )2
x a t t z a t =?
??=±+??
绕z -轴旋转后所得的旋转曲面的高
斯曲率正好等于负常数21K a =-。
我们把母线(4.4)称为曳物线.
而把曳物线绕z -轴旋转后
所得的曲面称为伪球面.
由著名的高斯定理, 曲面的高斯曲率K 被其第一基本形式完全确定. 因此, 若两个曲面可建立等距对应, 则对应点的高斯曲率必相等. 但反之则不然. 【例１】证明: 曲面
:(cos ,sin ,)S r u v u v v =
，（正螺面） 1
:S 111111(cos ,sin ,ln )r u v u v u = ， (旋转
曲面)
在点(,)u v 与1
1(,)u v 处的高斯曲率相等, 但曲面S 与1
S 不存在等距对应.
【证明】容易算出正螺面S 与旋转曲面1
S 的第一基本形式分别为
222
()(1)()du u dv I =++，
222
111121
1(1)()()
du u dv u I =++
再利用正交网时高斯曲率的计算公式(即高斯方程
)
1
]u v K =-+
经过计算得出曲面S 和1
S 的高斯曲率分别为
2
21
(1)
K u =-+， 12
211
(1)
K u =-+ 。
因此取对应点1
1
(,)(,)u v u v →，便成立1
K K =。
但是曲面S 与1
S 不存在等距对应. 我们用反证法. 若曲面S 与1
S 之间存在等距对应,
它的对应关系为
11(,),(,),
u u v v u v ?ψ=??
=?
则对应点的高斯曲率必相等, 所以得出1(,)(,)K u v K u v = ， 即2
2
22
1
(1)(1)u u +=+， 或2
21(1)(1)u u +=±+ ； (1) 若2
21
(1)(1)u u +=+ 则2
2
1u
u =或 1
u u =± 。
因此对应关系为
11,(,),
u u v u v ψ=±??
=?
这时1
S 的第一基本形式
222
111121
1(1)()()
du u dv u I =++ 22221
(1)()()u v du u du dv u
ψψ=+++
222222221
(1)()2()u u v v u du u dudv u dv u
ψψψψ=+
+++，
因为是等距对应, 故1
I =I ， 比较得出
2222
222111,0,1,
u u v v
u u u u u ψψψψ?++=??=??=+??
由其中第二式得出0
u
ψ
=或0
v
ψ
=,
再由第一式或第三式得出2
1
u =或
210
u += ，这显然不可能成立. 因此这种情况不可能.
(2) 若2
21
(1)(1)u u +=-+ ， 则2
21
2u u +=-。这显然不可能成立.
因此曲面S 与1
S 之间不能存在等距对应.
尽管在对应点具有相同高斯曲率的曲面不能建立等距对应, 但是对高斯曲率为常数的曲面, 若在对应点具有相同高斯曲率是必可建立等距对应的.
曲率与挠率
曲率与挠率 摘要:三维欧氏空间中的曲线中的曲率与挠率是空间曲线理论中最基本、最重要的两个概念,分别刻画空间曲线在一点邻近的弯曲程度和离开密切平面的程度,本文中给出了曲率与挠率的定义及其计算公式,并根椐公式 实例进行计算,以及曲率和挠率关于刚性运动及参数变换的不变性. 关键词：曲率与挠率 平面特征 刚性运动 1. 曲率与挠率的定义及其几何意义 1.1曲率的解析定义 设曲线C 的自然参数方程为()s r r =,且()s r 有二阶连续的导矢量r ,称()s r 为曲线C 在弧长为s 的点处的曲率,记为()()s r s k =,并称()s r 为C 的曲率向量,当 ()0≠s k 时,称()() s k s p 1 = 为曲线在该点处的曲率半径. 1.2 挠率的解析定义 空间曲线不但要弯曲,而且还要扭曲,即要离开它的密切平面,为了能刻画这一扭曲程度,等价于去研究密切平面的法矢量（即曲线的副法矢量）关于弧长的变化率,为此我们先给出如下引理. 引理:设自然参数曲线C :()s r r =本向量为βα ,和γ ,则0=?α r ,即r r 垂直于α . 另一方面由于1=r ,两边关于弧于s 求导便得 0=?r r , 即r 垂直于r ,这两方面说明r 与γα ?共线,即r 与β 共线. 由()βτ s r -=（负号是为了以后运算方便而引进的）所确定的函数()s r 称为曲线C
的挠率.当()0≠s τ时,它的倒数 () 1 s τ称为挠率半径. 1.3曲率与挠率的几何意义 1.3.1 曲率的几何意义 任取曲线C :()s r r =上的一点()p s 及其邻近点()Q s s +?,P 和Q 点处的单位 切向量分别为()()s r s =α和()()s s r s s ?+=?+ α,它们的夹角设为θ?,将()s s ?+α 的起点移到()p s 点,则()()2 sin 2θ αα?=-?+s s s ,于是 ()() s s s s s s ?????=??= ?-?+θθθ θαα2 2sin 2sin 2 故 ()()s r s k = ()() s s s s s s s s ??=?????=?-?+=→?→?→?→?θθθθ ααθθ000 lim lim 2 2sin lim lim 这表明曲线在一点处的曲率等于此点与邻近点的切线向量之间的夹角关于弧长的变化率,也就是曲线在该点附近切线方向改弯的程度,它反映了曲线的弯曲程度.如果曲线在某点处的曲率愈大,表示曲线在该点附近切线方向改变的愈快,因此曲线在该点的弯曲程度愈大. 1.3.2挠率的几何意义 由挠率的定义和()γ τ =s ,因此挠率的绝对值表示曲线的副法向量关于弧长的变化率,换句话说,挠率的绝对值刻画了曲线的密切平面的变化程度.所以曲线的挠率就绝对值而言其几何意义是反映了曲线离开密切平面的快慢,即曲线的扭曲程度. 1.4 直线与平面曲线的特征
曲面曲率计算方法的比较与分析
研究生专业课程报告 题目：曲面曲率直接计算方法的比较 学院：信息学院 课程名称：三维可视化技术 任课教师：刘晓宁 姓名：朱丽品 学号：201520973 西北大学研究生处制
曲面曲率直接计算方法的比较 1、摘要 曲面曲率的计算是图形学的一个重要内容，一般来说，曲面的一阶微分量是指曲面的切平面方向和法向量，二阶微分量是指曲面的曲率等有关量.它们作为重要的曲面信息度量指标, 在计算机图形学, 机器人视觉和计算机辅助设计等领域发挥了重要的作用.此文对曲面上主曲率的2种直接估算方法（网格直接计算法和点云直接计算法）进行了论述, 并进行了系统的总结与实验, 并给出了其在颅像重合方面的应用。 关键词曲面曲率、主曲率、点云、三角网格 2、引言 传统的曲面是连续形式的参数曲面和隐式曲面, 其微分量的计算已经有了较完备的方法.随着激光测距扫描等三维数据采样技术和硬件设备的长足进步, 以及图形工业对任意拓扑结构光滑曲面造型的需求日益迫切, 离散形式的曲面———细分曲面、网格曲面和点云曲面正在逐渐成为计算机图形学和几何设计领域的新宠.于是, 对这种离散形式的曲面如何估算微分量, 就成为一个紧迫的课题。 CT扫描技术获得的原始点云和网格数据通常只包含物体表面的空 间三维坐标信息及其三维网格信息，没有明确的几何信息，而在点云和网格的简化、建模、去噪、特征提取等数据处理和模式识别中，常需要提前获知各点的几何信息，如点的曲率、法向量等，也正基于此，点云和网格的几何信息提取算法一直是研究的热点。点的法向量和曲
率通常采用离散曲面的微分几何理论来计算，由于离散曲面分为网格和点集两种形式，其法向量和曲率计算也分为两类: 一类是基于网格的法向量和曲率计算，另一类是基于散点的法向量和曲率计算。由于基于三角网的点云几何信息计算精度一般比较低，通常采用直接计算法。在点云几何信息提取中，常采用基于散乱点的点云几何信息计算方法，该类方法主要是通过直接计算法和最小二乘拟合算法获取点云的局部n 次曲面，然后根据曲面的第一基本形式和第二基本形式求解高斯曲率和平均曲率，而点云的局部曲面表示有两种: 一是基于法向距离的局部曲面表示，二是基于欧几里德距离的局部曲面表示。本节中针对近几年来国际上提出的对三角网格曲面估算离散曲率的直接估算法，从数学思想与表达形式等方面进行系统的归纳与总结. 3、三角网格曲面的曲率的计算及代码实现 为了叙述清楚起见, 引入统一的记号.k 1和k 2表示主曲率,曲面的主曲率即过曲面上某个点具有无穷个曲线，也就存在无穷个曲率（法曲率），其中存在一条曲线使得该曲线的曲率为极大，这个曲率为极大值k 1，垂直于极大曲率面的曲率为极小值k 2。这两个曲率的属性为主曲率。它们代表着法曲率的极值。主曲率是法曲率的最大值和最小值。 H 表示平均曲率,是空间上曲面上某一点任意两个相互垂直的正交曲率的平均值。如果一组相互垂直的正交曲率可表示为K1、K2，那么平均曲率则为：H= (K1 +K 2 ) / 2。 K 表示曲面的高斯曲率, 两个主曲率的乘积即为高斯曲率，又称
如何计算抛物线点处的曲率和曲率半径
用物理方法计算抛物线某点处的曲率和曲率半径 对于一般的弧来说，各点处曲率可能不同，但当弧上点A处的曲率不为零时，我们可以设想在弧的凹方一侧有一个圆周，它与弧在点A相切（即与弧有公切线），这样的圆就称为弧上A点处的曲率圆。 对于函数图形某点的曲率和曲率半径，在数学上我们需要用到求二阶导数的方法。 今天我想简单说一种有趣的方法，将该问题用物理的思维来解决，无需求导便能够知道抛物线某点处的曲率和曲率半径。这种方法不属于主流方法，因此不能用它代替常规方法。介绍此方法的目的，只是为了让大家对抛物线及抛体运动和圆周运动乃至整个曲线运动本质上的联系有更加深刻的认识。 举一个最简单的例子：y=-x2，我们作出它的图像 设图像上存在一点A（a，-a2），求该点的曲率和曲率半径。 我们假设一质点从顶点O开始做平抛运动，恰经过A（a，-a2）。 接下来，我们可以算出该点处质点的速度大小：先得到下落时间，接着算出水平速度和竖直速度分量，再合成。质点在该点处速度大小为v=√(g/2+2a2g）。 接下来，我们利用角度关系，将A处的加速度（即重力加速度g）沿速度方向和垂直于速度方向分解，如下图：
令A点处质点速度方向与水平方向的夹角为θ，可得垂直于速度方向的加速度分量为gcosθ。我们可以求出cosθ=v0/v=1/√(1+4a2)，那么垂直于速度方向的加速度分量就等于g/√(1+4a2)。 我们想象一下在A点处有个圆与抛物线切于A，且该圆为抛物线A点处的曲率圆，半径为r。 根据圆周运动向心加速度计算式a=v2/r，得到gcosθ=g/√(1+4a2)=(g/2+2a2g）/r。 从而可以求出r=(1/2+2a2)√(1+4a2) 我们用微积分可求出该函数图象某点处曲率半径为：R=|{1+[y’(x)]2}3/2/y”|(x)。 在A点，导数为-2a，二阶导数为-2，所以上式就等于(1+4a2)3/2/2=(1/2+2a2)√(1+4a2)。 与上面算出的半径相等！ 因而，曲率半径K=1/r=2/(1+4a2)3/2 抛体运动和圆周运动都是曲线运动，但在高中课本里它们是分开学习的，大家或许曲线运动学得都不错，但或许很少有人想过抛体运动和圆周运动的内在联系。 高中阶段数学还没有曲率半径的概念，写本文的目的并不在于提前灌输曲率知识，也并不代表这种求法能够替代微积分。表面上看，这是一种新的数学求法，但实质上是以数学的形式为物理服务，目的是让大家看到抛体运动和圆周运动这两种曲线运动并不是割裂开的，它们内部有着非常大的联系，甚至可以说本质是相同的，我们甚至可以将抛体运动视为由无数个圆周运动组合而成！
曲率概念
曲率概念 在SMT的8.4版本中，新推出了曲率属性，包括高斯曲率、最小最大曲率、平均曲率等概念。为了让大家更清楚的了解曲率，这里与大家共享一些曲率的基础知识。 一、曲率基本概念 曲率是用来反映几何体的弯曲程度。
二、三维欧氏空间中的曲线和曲面的曲率 平均曲率、主曲率和高斯曲率是曲率的三个基本要素。 平均曲率：是空间上曲面上某一点任意两个相互垂直的正交曲率的平均值。如果一组相互垂直的正交曲率可表示为K1,K2,那么平均曲率则为：K = (K1 +K2 ) / 2。 主曲率：过曲面上某个点上具有无穷个正交曲率，其中存在一条曲线使得该曲线的曲率为极大，这个曲率为极大值Kmax，垂直于极大曲率面的曲率为极小值Kmin。这两个曲率属性为主曲率。他们代表着法曲率的极值。 高斯曲率：两个主曲率的乘积即为高斯曲率，又称总曲率，反映某点上总的完全程度。 三、地震层位的曲率属性计算
地震层位在三维空间中实际上也是一个构造曲面，因此可表示为如下公式： 根据上述方程中的系数组合，可以得出各种曲率属性: 平均曲率： 高斯曲率： 极大与极小曲率：
最大正曲率、最小负曲率： 倾向与走向曲率： 四、曲率在构造裂缝中的应用 构造层面的曲率值反映岩层弯曲程度的大小，因此岩层弯曲面的曲率值分布，可以用于评价因构造弯曲作用而产生的纵张裂缝的发育情况。计算岩层弯曲程度的方法很多，如采用主曲率法。根据计算结果，将平面上每点处的最大主曲率值进行作图，得到曲率分布图，进行裂缝分布评价。一般来讲，如果地层因受力变形越严重，其破裂程度可能越大，曲率值也应越高。
ReFract 综合裂缝预测与建模软件 2008-10-16 10:44:30| 分类：石油软件| 标签：|字号大中小订阅 近年来，在油气勘探领域，对裂缝油藏的研究变的越来越重要。ReFract应用模糊逻辑技术，对直接反映裂缝的测井数据和与裂缝关系密切的地震属性、地质数据进行多学科综合分析与描述，使我们大幅度提高对裂缝分布的认识，减低裂缝油藏的勘探与开发风险。 裂缝要素分级是ReFract的独特功能，具有重要的地位和意义，它使我们真正避免了无用信息，大大提高后续裂缝预测和建模工作的精度与可靠性，也大幅度的提高了工作效率。 ReFract采用人工智能非线性神经网络技术进行裂缝分布模拟。由于各种描述裂缝要素的多种属性（构造应力、地震属性等）与裂缝指示参数（例如裂缝密度、裂缝各项异性等）之间的关系是非线性的，而且是复杂多变的，因此人工智能神经网络技术无疑是描述裂缝和建立裂缝模型 的有效手段。 值得一提的是，在ReFract中，所有的数据应用都是非强制性的，对数据的要求具有很大的灵活性，所有对研究区的，这对勘探阶段数据缺乏的状况尤其重要。 裂缝要素分级 人工智能神经网络建模
高斯曲率的计算公式
高斯曲率的计算公式 高斯曲率绝妙定理 2 122LN M K k k EG F -== - 。 注意 (,,)uu r r r L n r =?= r r r r r ， (,,) uv r r r M n r =?= r r ， (,,) vv r r r N n r =?= r r 。 所以 2 2LN M K EG F -=- 2221[(,,)(,,)(,,)]() u v uu u v vv u v uv r r r r r r r r r EG F =--r r r r r r r r r ， 利用行列式的转置性质和矩阵乘法
性质，得 2(,,)(,,)(,,)u v uu u v vv u v uv r r r r r r r r r -r r r r r r r r r (,,)(,,) u u v u v vv v u v uv uu uv r r r r r r r r r r r r ???? ? ?=- ? ? ? ????? r r r r r r r r r r r r u u u v u vv u u u v u uv v u v v v vv v u v v v uv uu u uu v uu vv uv u uv v uv uv r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r ??????=???-?????????r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r u vv u uv v vv v uv uu u uu v uu vv uv u uv v uv uv E F r r E F r r F G r r F G r r r r r r r r r r r r r r ??=?-???????r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r u vv u uv v vv v uv uu u uu v uu vv uv uv uv u uv v E F r r E F r r F G r r F G r r r r r r r r r r r r r r ??=?-????-???r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r ， （其中用到行列式按第三行展开计 算的性质。） 利用 u u r r E ?=r r ，u v r r F ?=r r ，
缓和曲线曲率半径 的计算
所谓完整缓和曲线就是某段缓和曲线的一端与直线连接点的曲率半径必须是无穷大(可用10的45次方代替,有时也可用“0”表示，具体情况具体分析)，而缓和曲线两端无论在什么情况下与圆曲线相接时，其两端的曲率半径必须与对应连接圆曲线的半径相等。 现在我们来谈谈非完整缓和曲线，从上面的话知道，如果某段缓和曲线的一端与直线连接点曲率半径不是无穷大，而是一个实数，那么这段缓和曲线就是非完整缓和曲线。 设计图中遇到这种情况，一般会告诉这段缓和曲线的长度(我们把这段缓和曲线的长度记作L2，缺少的一段缓和曲线长度记作L1，L1+L2=完整缓和曲线长度L),如果没告诉这段缓和曲线的长度，也可以通过两端的桩号计算出来、设计参数A及缓和曲线另一端的曲率半径R2(应该是与一个圆曲线相接,也就是说R2等于这个圆曲线的半径)。 我们在输入匝道程序时必须要知道R1(起点曲率半径)，怎么办呢？那就通过计算把R1计算出来不就行了，下面就是计算过程： 由公式：R=A2÷L 推出 R1= A2÷L1 => A2=R1*L1 ……………………………………………………① R2= A2÷(L1+L2) => A2=R2*(L1+L2) ……………………………………………………② R2= A2÷(L1+L2) => R2= A2÷L => L=A2÷ R2 …………………………………………③ 由公式①②推出 R1*L1=R2*(L1+L2) => R1=R2*(L1+L2)÷ L1 …………………………………………④ L=L1+L2 => L1=L-L2 ……………………………………………⑤ 由公式③④⑤推出 R1=R2*L÷(L-L2) => R1= A2÷(A2÷ R2-L2) …………………………………………⑥ 公式⑥就是我们要找的曲率半径公式，计算得到结果计算完毕。 现在我们在编制非完整缓和曲线程序时就清楚的知道起点和终点的曲率半径了。还要说明一点就是，计算出来的曲率半径既是起点也是终点，既是终点也是起点，关键是看线路前进方向了，只要大家细心，分清起点终点输入程序，计算出来的准没错。
关于不同类型缓和曲线的判断及起点、终点曲率半径的计算方法
目前在匝道或线路施工坐标计算中经常遇到缓和曲线，实际中相信有很多测友选择用积木法或叫线元法正反算程序进行线路坐标计算，这就牵涉到线元的起点终点曲率半径判断的问题，一般的直线元，圆曲线元的起点终点半径判断，比较容易，可能令大家感觉麻烦的就是缓和曲线起点终点半径判断问题，缓和曲线有时候判断算对了，有时候却坐标算不对，究其原因，其实问题出于该缓和曲线是否是完整缓和曲线引起的。关于这点，相关的课本教材上没有明确的讲述，网上对此问题的解释也是散见于不同的论文著作中，对于测量新手来说，线元法程序是非常适用上手的，但却往往因为遇到不完整缓和曲线的起点或终点的半径判断计算不出来导致坐标计算错误，的确是件令人恼火的事情，在此我就把自己的判断经验做一论述，给用线元法程序的测友们一同分享，当然高手们请一笑而过，也可留下你的经验与大家一起分享交流学习。 第一：先说说完整缓和曲线和不完整缓和曲线以及不对称缓和曲线与对称缓和曲线的概念问题，以免混为一谈. 1.当对于单独一段缓和曲线从其完整与否来讲是分为完整与不完整两类；当对于一个单交点内的两段缓和曲线（即常说的第一缓和曲线和第二缓和曲线而言）又有对称缓和曲线与不对称缓和曲线之分。由此看来，完整与对称与否是针对缓和曲线两个方面来看待区分的。 2.缓和曲线我们的测量教材上讲述的其实就是完整缓和曲线，也可以知道缓和曲线上：各个点的半径是不同的，起点到终点的半径值过度是从正无穷大到所接圆曲线半径之过度如从ZH向HY方向；或者是从所接圆曲线半径值向正无穷大过度的，如从YH向HZ方向。那么由此可以不难判断出来，完整缓和曲线就是符合上述特征的，那么不完整的缓和曲线就是不符合上述特征的，但是线路上的平曲线设计时候一般缓和曲线不单独存在的，整体上缓和曲线前或后一般都是要连接一个圆曲线的，那么不完整缓和曲线其实就是在完整缓和曲线上截取的一段，一般就是去掉了半径无穷大的那端而是从某个点开始的半径值向所接圆曲线半径值过度的。 3.对称与不对称缓和曲线是相对于一个单交点内的两段缓和曲线（即常说的第一
空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式
空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式摘要：本文研究了刻画空间曲线在某点邻近的弯曲程度和离开平面程度的量—曲率和挠率以及空间曲线论的基本公式--Frenet公式,并且举例有关曲率、挠率的计算和证明. 关键词：空间曲线；曲率；挠率；Frenet公式 Spatial curvature,torsion and Frenet formulas Abstract:This paper studies space curves depict a point near the bend in the degree and extend of the amount of leave plane-the curvature and torsion and the basic formula of space curves-Frenet formulas,and for example the curvature and torsion of the calculation and proof. Key Words: space curves; curvature; torsion; Frenet formulas 前言 空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式是空间曲线基本理论的一部分,它是以空间曲线的密切平面和基本三棱形的知识作为基础的.空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式在空间曲线的基本理论中占有重要位置,是空间曲线的一些基本性质和基本公式.曲线的曲率和挠率完全决定了曲线的形状.当曲线的曲率和挠率之间满足多种不同的关系时,就会得到不同类型的曲线.例如:0 k>时为直线,0 τ=时为平面曲线. 本文将从定义、公式推导和具体举例三方面逐步解析空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式.本文第一部分讲述曲率和挠率的定义,第二部分讲述Frenet公式和曲率、挠率的一般参数表示的推导,第三部分具体举例有关曲率、挠率的计算和证明. 1.空间曲线的曲率和挠率的定义 1.1准备知识—空间曲线的伏雷内标架 给出2c类空间曲线()c和()c上一点p.设曲线()c的自然参数表示是
高斯曲率的计算公式汇总
第二章 曲面论 高斯曲率的计算公式 高斯曲率绝妙定理 2 122LN M K k k EG F -==- 。 注意 (,,) uu r r r L n r =?= ， (,,)uv r r r M n r =?= ， (,,) vv r r r N n r =?= 。 所以 2 2LN M K EG F -= - 222 1 [(,,)(,,)(,,)]() u v uu u v vv u v uv r r r r r r r r r EG F = -- ，
利用行列式的转置性质和矩阵乘法性质，得 2(,,)(,,)(,,)u v uu u v vv u v uv r r r r r r r r r - (,,)(,,) u u v u v vv v u v uv uu uv r r r r r r r r r r r r ???? ? ?=- ? ? ? ????? u u u v u vv u u u v u uv v u v v v vv v u v v v uv uu u uu v uu vv uv u uv v uv uv r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r ??????=???-????????? u vv u uv v vv v uv uu u uu v uu vv uv u uv v uv uv E F r r E F r r F G r r F G r r r r r r r r r r r r r r ??=?-??????? u vv u uv v vv v uv uu u uu v uu vv uv uv uv u uv v E F r r E F r r F G r r F G r r r r r r r r r r r r r r ??=?-????-??? ， （其中用到行列式按第三行展开计 算的性质。）
关于不同类型缓和曲线 的判断及起点、终点曲率半径的计算方法
关于不同类型缓和曲线的判断及起点、终点曲率半径的计算方法 目前在匝道或线路施工坐标计算中经常遇到缓和曲线，实际中相信有很多测友选择用积木法或叫线元法正反算程序进行线路坐标计算，这就牵涉到线元的起点终点曲率半径判断的问题，一般的直线元，圆曲线元的起点终点半径判断，比较容易，可能令大家感觉麻烦的就是缓和曲线起点终点半径判断问题，缓和曲线有时候判断算对了，有时候却坐标算不对，究其原因，其实问题出于该缓和曲线是否是完整缓和曲线引起的。关于这点，相关的课本教材上没有明确的讲述，网上对此问题的解释也是散见于不同的论文著作中，对于测量新手来说，线元法程序是非常适用上手的，但却往往因为遇到不完整缓和曲线的起点或终点的半径判断计算不出来导致坐标计算错误，的确是件令人恼火的事情，在此我就把自己的判断经验做一论述，给用线元法程序的测友们一同分享，当然高手们请一笑而过，也可留下你的经验与大家一起分享交流学习。第一：先说说完整缓和曲线和不完整缓和曲线以及不对称缓和曲线与对称缓和曲线的概念问题，以免混为一谈. 1.当对于单独一段缓和曲线从其完整与否来讲是分为完整与不完整两类；当对于一个单交点内的两段缓和曲线（即常说的第一缓和曲线和第二缓和曲线而言）又有对称缓和曲线与不对称缓和曲线之分。由此看来，完整与对称与否是针对缓和曲线两个方面来看待区分的。 2.缓和曲线我们的测量教材上讲述的其实就是完整缓和曲线，也可以知道缓和曲线上：各个点的半径是不同的，起点到终点的半径值过度是从正无穷大到所接圆曲线半径之过度如从ZH向HY方向；或者是从所接圆曲线半径值向正无穷大过度的，如从YH向HZ方向。那么由此可以不难判断出来，完整缓和曲线就是符合上述特征的，那么不完整的缓和曲线就是不符合上述特征的，但是线路上的平曲线设计时候一般缓和曲线不单独存在的，整体上缓和曲线前或后一般都是要连接一个圆曲线的，那么不完整缓和曲线其实就是在完整缓和曲线上截取的一段，一般就是去掉了半径无穷大的那端而是从某个点开始的半径值向所接圆曲线半径值过度的。 3.对称与不对称缓和曲线是相对于一个单交点内的两段缓和曲线（即常说的第一缓和曲线和第二缓和曲线而言），当两个缓和曲线长度相等时候则称之为对称缓和曲线，自然此时的切线长、缓和曲线参数A值都是相等的，反之不相等就称为不对称缓和曲线，自然切线长、缓和曲线是不相等的。第二：由此可以看出对于缓和曲线而言，对称与否很容易分辨判断无需赘述，完整与否不易区分，也是这里重点要说的问题. 1.完整与不完整缓和曲线的区别判断方法：综上所述，完整缓和曲线与不完整缓和曲线的判断其实就在于验证完整缓和曲线参数方程A^2=R*Ls这个等式成立与否就可。(A为已知的缓和曲线参数，R为缓和曲线所接圆曲线的半径，Ls为该段缓和曲线的长度）理论上，当该式子成立时候，那就是完整缓和曲线无疑，当不成立时候那就可判断为不完整缓和曲线了。实际工作操作时候验证方法如下：先把R*Ls的乘积进行开平方然后看所得到的结果是否与所提供的缓和曲线参数A值相等。 2.完整缓和曲线与不完整缓和曲线起点终点的曲率半径的判断与计算：线路设计上的缓和曲线一般不会单独存在的，连续的缓和曲线起点或终点必定有一端都是要接圆曲线的,那么缓和曲线一端的半径值必定就是圆曲线的半径值了,求半径的问题就变成只需求出另外一端半径就可以了.上面说过首先判断出该缓和曲线是否是完整的办法,那么当是完整缓和曲线时候,起点或终点两端的半径,必定一端是无穷大,一端就是圆曲线半径了;那么当判断是不完整缓和曲线时,一端半径就是圆曲线半径,另一端的半径就绝对不能是无穷大了的,理论上应该是该端点的半径值要小于无穷大而大于所接圆曲线的半径值,那么该怎么求出来呢?此时就牵涉到了不完整缓和曲线的参数方程:A^2=[(R大＊R小)÷(R大－R小)]*Ls 由上方程可以看出，R大就是我们所需要求的这端半径了，R小自然就是该不完整缓和曲线所接的圆曲线半径了。A为该不完整缓和曲线参数，R小为所接圆曲线半径，Ls为该不完整缓和曲线的长度，这些图纸都提供的有了，只需按照上面的不完整缓和曲线的参数方程进行解方程就可得到另一端的半径值了，也就是R大＝(A^2*R小)÷(A^2－R小*Ls)就可以
曲面曲率计算方法的比较与分析
. 研究生专业课程报告 题目：曲面曲率直接计算方法的比较 学院：信息学院 课程名称：三维可视化技术 任课教师：刘晓宁 姓名：朱丽品 学号： 201520973 西北大学研究生处制
曲面曲率直接计算方法的比较 1、摘要 曲面曲率的计算是图形学的一个重要内容，一般来说，曲面的一阶微分量是指曲面的切平面方向和法向量，二阶微分量是指曲面的曲率等有关量.它们作为重要的曲面信息度量指标, 在计算机图形学, 机器人视觉和计算机辅助设计等领域发挥了重要的作用.此文对曲面上主曲率的2种直接估算方法（网格直接计算法和点云直接计算法）进行了论述, 并进行了系统的总结与实验, 并给出了其在颅像重合方面的应用。 关键词曲面曲率、主曲率、点云、三角网格 2、引言 传统的曲面是连续形式的参数曲面和隐式曲面, 其微分量的计算已经有了较完备的方法.随着激光测距扫描等三维数据采样技术和硬件设备的长足进步, 以及图形工业对任意拓扑结构光滑曲面造型的需求日益迫切, 离散形式的曲面———细分曲面、网格曲面和点云曲面正在逐渐成为计算机图形学和几何设计领域的新宠.于是, 对这种离散形式的曲面如何估算微分量, 就成为一个紧迫的课题。 CT扫描技术获得的原始点云和网格数据通常只包含物体表面的空间三维坐标信息及其三维网格信息，没有明确的几何信息，而在点云和网格的简化、建模、去噪、特征提取等数据处理和模式识别中，常需要提前获知各点的几何信息，如点的曲率、法向量等，也正基于此，点云和网格的几何信息提取算法一直是研究的热点。点的法向量
和曲率通常采用离散曲面的微分几何理论来计算，由于离散曲面分为网格和点集两种形式，其法向量和曲率计算也分为两类: 一类是基于网格的法向量和曲率计算，另一类是基于散点的法向量和曲率计算。由于基于三角网的点云几何信息计算精度一般比较低，通常采用直接计算法。在点云几何信息提取中，常采用基于散乱点的点云几何信息计算方法，该类方法主要是通过直接计算法和最小二乘拟合算法获取点云的局部n 次曲面，然后根据曲面的第一基本形式和第二基本形式求解高斯曲率和平均曲率，而点云的局部曲面表示有两种: 一是基于法向距离的局部曲面表示，二是基于欧几里德距离的局部曲面表示。 本节中针对近几年来国际上提出的对三角网格曲面估算离散曲率的直接估算法，从数学思想与表达形式等方面进行系统的归纳与总结. 3、三角网格曲面的曲率的计算及代码实现 为了叙述清楚起见, 引入统一的记号.k 1和k 2表示主曲率,曲面的主曲率即过曲面上某个点具有无穷个曲线，也就存在无穷个曲率（法曲率），其中存在一条曲线使得该曲线的曲率为极大，这个曲率为极大值k 1，垂直于极大曲率面的曲率为极小值k 2。这两个曲率的属性为主曲率。它们代表着法曲率的极值。主曲率是法曲率的最大值和最小值。 H 表示平均曲率,是空间上曲面上某一点任意两个相互垂直的正交曲率的平均值。如果一组相互垂直的正交曲率可表示为K 1、K 2，
空间曲线曲率计算公式及推导
1.4 空间曲线的曲率定义及 计算公式 引理 设)(s a → 是单位圆周上的向量，即1||)(||=→ s a ， 设)(s s a ?+→ 与)(s a → 之间的夹角记 为θ?，则有 ||lim ||)(||0s s a s ??='→? → θ 。 证明 因为 s s a s s a s a s ?-?+='→ → →?→ ) ()(lim )(0， 所以| ||| )()(||lim ||)(||0s s a s s a s a s ?-?+='→ →→?→ |||2 2sin 2|lim |2sin 2|lim 00s s s s ?????=??=→?→?θθθ θ | |lim 0s s ??=→?θ 。 （用解等腰三角形或用余弦定理，得 θ ????-+=-?+→ → cos 11211||)()(||22s a s s a
|2 sin |2)2sin 21(222 θ θ?=?--=。） 定理1.2 设曲线Γ：)(s r r → →=（s 是弧长参数）上的每一点有一个单位向量)(s a →，)(s s a ?+→ 与)(s a → 之间的夹角记为θ?，那么 || lim ||)(||0 s s a s ??='→?→ θ 。 设曲线Γ：)(s r r → → =，这里参数s 是曲线自身的弧长，我们知道，)(s r '是曲线的切向量， 1||)(||='→ s r ，即)(s r → '是单位向量。 记)(s r T →→'=，)()(s r s T → →''='， )(s T → 与)(s s T ?+→ 的夹角 θ?， ||lim 0s s ??→?θ度量了曲线的弯曲程度。 || lim ||)(||||)(||0 s s r s T s ??=''='→?→ →θ ，我们称之为曲线)(s r → 的 曲率，用)(s k 来表
高斯曲率的计算公式
第二章 曲面论 高斯曲率的计算公式 高斯曲率绝妙定理 2 122LN M K k k EG F -==- 。 注意 (,,) u uu r r r L n r EG =?= ， 2(,,) u uv r r r M n r EG F =?= -， (,,) u vv r r r N n r EG =?= 。 所以 2 2LN M K EG F -= - 2 22 1[(,,)(,,)(,,)]() u v uu u v vv u v uv r r r r r r r r r EG F = --，
利用行列式的转置性质和矩阵乘法性质，得 2(,,)(,,)(,,)u v uu u v vv u v uv r r r r r r r r r - (,,)(,,) u u v u v vv v u v uv uu uv r r r r r r r r r r r r ???? ? ? =- ? ? ? ? ???? u u u v u vv u u u v u uv v u v v v vv v u v v v uv uu u uu v uu vv uv u uv v uv uv r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r ??????=???-????????? u vv u uv v vv v uv uu u uu v uu vv uv u uv v uv uv E F r r E F r r F G r r F G r r r r r r r r r r r r r r ??= ?-??????? u vv u uv v vv v uv uu u uu v uu vv uv uv uv u uv v E F r r E F r r F G r r F G r r r r r r r r r r r r r r ??= ?- ????-???， （其中用到行列式按第三行展开计算的性质。）
高等数学-第3章-3.3-曲线的弯曲程度——曲率
* §3.3 曲线的弯曲程度——曲率 一、曲率的概念 在上一节中，我们研究了曲线的凹凸性，即曲线的弯曲方向问题。本节研究曲线的弯曲程度问题，这是在生产实践和工程技术中，常常会遇到的一类问题。例如，设计铁路、高速公路的弯道时，就需要根据最高限速来确定弯道的弯曲程度。为此，本节我们介绍描述曲线弯曲程度的概念——曲率及其计算公式。 直觉上，我们知道，直线不弯曲，半径小的圆比半径大的圆弯曲得厉害些，抛物线上在顶点附近比远离顶点的部分弯曲得厉害些。那么如何用数量来描述曲线的弯曲程度呢？ 如图3.6所示，12M M 和23M M 是两段等长的曲线弧，23M M 比12M M 弯曲得厉害些，当点 2M 沿曲线弧移动到点3M 时，切线的转角2α?比 从点1M 沿曲线弧移动到点2M 时，切线的转角1α?要大些。 如图3.7所示，12M M 和12N N 是两段切线转角同为α?的曲线弧，12N N 比12M M 弯曲得厉害些，显然，12M M 的弧长比12N N 的弧长大。 这说明，曲线的弯曲程度与曲线的切线转角成正比，与弧长成反比。由此，我们引入曲率的概念。 如图3.8所示，设,M N 是曲线()y f x =上的两点，当点M 沿曲线移动到点N 时， 切线相应的转角为α?， 曲线弧MN 的长为s ?。 我们用s ??α来表示曲线弧MN 的平均弯曲程 1M 图 3.6 图 3.7 图3.8
2 / 4 度，并称它为曲线弧MN 的平均曲率，记为K ，即 K s α ?= ?。 当0s ?→（即N M →）时，若极限0lim s d s ds αα ?→?= ?存在，从而极限0 l i m s d s d s αα?→?=?存在，则称0lim s d s ds αα ?→?=?为曲线()y f x =在M 点处的曲率，记 为K ，即 d K ds α = 。 （3.1） 注意到， d ds α 是曲线切线的倾斜角相对于弧长的变化率。 二、曲率的计算公式 设函数)(x f 的二阶导数存在，下面导出曲率的计算公式. 先求d α，因为α是曲线切线的倾斜角，所以αtan ='y ，从而y '=arctan α，两边微分，得 ())(11arctan 2y d y y d d ''+= '=αdx y y ''' +=2 11 （3.2） 其次求ds ，如图 3.9，在曲线上任取一点 0M ，并以此为起点度量弧长。若点()y x M ,在()000,y x M 的右侧()0x x >，规定弧长为正；若 点()y x M ,在()000,y x M 的左侧()0x x <，规定弧长为负；依照此规定，弧长s 是点的横坐标x 的增函数，记为()x s s =。 当点M 沿曲线移动到N ，相应地，横坐标由x 变到x x +?时，有 = ?2 )(s () ()()2 2 2 y x MN ?+?=≈， 即 22)(1)( x y x s ??+≈??， 图3.9
最小曲率法测斜计算中的数值方法
最小曲率法测斜计算中的数值方法* 鲁 港1 商维斌1 张 琼1 佟长海2 (1辽河油田公司勘探开发研究院 辽宁盘锦124010 2辽河石油勘探局工程技术研究院 辽宁盘锦124010) 摘 要 最小曲率法是测斜计算、井眼轨道设计中最常用的方法之一,在井眼轨迹计算中有广泛的应用。本文研究了最小曲率法计算机数值计算中的几个细节问题,给出了零井斜角测点的方位角定义,阐述了零井斜角测点方位角的二义性。分析了坐标增量计算过程,给出了减小三角函数计算次数的算法。对小弯曲角情形的坐标计算使用高精度近似公式代替容易产生除法溢出的直接计算,提高了计算过程的稳定性和计算精度。对水平投影长度的计算给出了使用Gauss数值积分法的精确计算方法。本文提出的方法可以用于使用最小曲率法时的井眼轨道计算的计算机软件开发,提高计算机软件的计算稳定性和计算精度。对涉及井眼轨迹计算的其他实际问题如定向井中靶分析预测、井眼轨迹控制、井身质量检查等都有一定的参考价值。 关键词 最小曲率法;测斜计算;井眼轨迹;井眼曲率;数值积分 0引 言 实钻井的井眼轨迹计算是钻井轨迹监控中的基本问题,在中靶预测分析、邻井防碰计算、井身质量评价等工作中都有重要的应用。目前测量仪器只能测量多个井深处的井斜角和井斜方位角数据,井眼轨迹计算的任务就是依据一组井深、井斜角、方位角数据计算出各个井深处的井眼轨迹的坐标等参数。从数学上来看,井眼轨迹是一条连续光滑的空间曲线,井斜角和方位角可以看成是井身的切线信息,而井身坐标是位置信息。仅仅知道切线信息是无法唯一确定曲线的位置的,所以必须给定附加的限制条件。在钻井轨迹计算中,常常将井眼轨迹假设为某些简单的空间曲线。 如果井眼轨迹(或井段)假设为空间斜平面上的圆弧,该圆弧在两端点处与井眼方向相切,则对应的坐标计算方法就是最小曲率法[1]。最小曲率法是井眼轨迹计算中最常用的计算方法之一,其基本计算公式在很多专著中都有介绍[2]。但是对实际计算特别是计算机软件开发中的数值计算过程的数值稳定性、计算精度控制、特殊情况的处理等具体计算细节涉及较少。另外,由于以前的计算手段落后,在计算公式中水平投影长度采用近似公式计算,影响计算结果的准确性。 本文对最小曲率法的数值计算中的几个细节问题进行了讨论,提出了提高计算精度、减少计算工作量的处理方法。还对水平投影长度的精确计算提出了使用数值积分计算的新方法。本文的新方法可用以提高计算机软件最小曲率法的计算速度和计算精度,增强计算过程的稳定性。 1最小曲率法基本公式 假设测斜数据共有N个,第i个测点的井深为L i、井斜角为 i、方位角为 i,i=1, ,N。井深单位为m,井斜角和方位角测量时单位为,但是在计算公式中使用弧度单位。 最小曲率法假设在一个测段上,井眼轨迹为空间中的一段圆弧。用(X,Y,Z)表示井眼轨迹上任意一点的北坐标、东坐标和垂直深度,则在第i个测段上,坐标增量由下式计算[2] : 16C omputer A pplic ations of Petroleu m2009,Total63No.3 *项目基金中国石油天然气股份公司油气勘探超前共性科技项目!辽河探区西部凹陷深化勘探理论与实践?(编号07-01C-01-04)的 部分研究成果。 第一作者简介鲁港(1963-),男,高级工程师,1985年毕业于复旦大学数学系,获理学学士学位,2005年毕业于大连理工大学,获软件工程硕士学位,长期从事石油钻探领域数学模型研究和计算机应用软件开发。
如何计算抛物线某点处的曲率和曲率半径
用物理方法计算抛物线某点处的曲率和曲率半径对于一般的弧来说，各点处曲率可能不同，但当弧上点A处的曲率不为零时，我们可以设想在弧的凹方一侧有一个圆周，它与弧在点A相切（即与弧有公切线），这样的圆就称为弧上A点处的曲率圆。 对于函数图形某点的曲率和曲率半径，在数学上我们需要用到求二阶导数的方法。 今天我想简单说一种有趣的方法，将该问题用物理的思维来解决，无需求导便能够知道抛物线某点处的曲率和曲率半径。这种方法不属于主流方法，因此不能用它代替常规方法。介绍此方法的目的，只是为了让大家对抛物线及抛体运动和圆周运动乃至整个曲线运动本质上的联系有更加深刻的认识。 举一个最简单的例子：y=-x2，我们作出它的图像 设图像上存在一点A（a，-a2），求该点的曲率和曲率半径。 我们假设一质点从顶点O开始做平抛运动，恰经过A（a，-a2）。 接下来，我们可以算出该点处质点的速度大小：先得到下落时间，接着算出水平速度和竖直速度分量，再合成。质点在该点处速度大小为v=√(g/2+2a2g）。 接下来，我们利用角度关系，将A处的加速度（即重力加速度g）沿速度方向和垂直于速度方向分解，如下图：
令A点处质点速度方向与水平方向的夹角为θ，可得垂直于速度方向的加速度分量为gcosθ。我们可以求出cosθ=v0/v=1/√(1+4a2)，那么垂直于速度方向的加速度分量就等于g/√(1+4a2)。 我们想象一下在A点处有个圆与抛物线切于A，且该圆为抛物线A点处的曲率圆，半径为r。 根据圆周运动向心加速度计算式a=v2/r，得到gcosθ=g/√(1+4a2)=(g/2+2a2g）/r。 从而可以求出r=(1/2+2a2)√(1+4a2) 我们用微积分可求出该函数图象某点处曲率半径为：R=|{1+[y’(x)]2}3/2/y”|(x)。 在A点，导数为-2a，二阶导数为-2，所以上式就等于(1+4a2)3/2/2=(1/2+2a2)√(1+4a2)。 与上面算出的半径相等！ 因而，曲率半径K=1/r=2/(1+4a2)3/2 抛体运动和圆周运动都是曲线运动，但在高中课本里它们是分开学习的，大家或许曲线运动学得都不错，但或许很少有人想过抛体运动和圆周运动的内在联系。 高中阶段数学还没有曲率半径的概念，写本文的目的并不在于提前灌输曲率知识，也并不代表这种求法能够替代微积分。表面上看，这是一种新的数学求法，但实质上是以数学的形式为物理服务，目的是让大家看到抛体运动和圆周运动这两种曲线运动并不是割裂开的，它们内部有着非常大的联系，甚至可以说本质是相同的，我们甚至可以将抛体运动视为由无数个圆周运动组合而成！
【微分几何】自由曲面的高斯曲率计算方法分析
学校 自由曲面的高斯曲率 计算方法 专业：数学与应用数学 学生姓名： 班级： 完成时间：2020年8月26日
在曲面造型中，曲面在一点附近的形状与在该点曲面的主曲率的乘积即高斯曲率有关，该点与附近点的高斯曲率比较可以反映出该点附近的形状变化。故可以用高斯曲率来表达该点的形状信息，对该点附近的形状质量进行评判。但这一方法中如何计算曲面的高斯曲率成为一个难题。 要求出自由曲面上一点的高斯曲率，可以根据以往的定义求解，这种方法需要求曲面的偏导，计算过程比较复杂，而且算法与曲面的表示方法有关，即Bezier 曲面的高斯曲率与NURBS 曲面的高斯曲率是不相同的。因此针对不同的曲面表示形式，需要编制不同的程序来实现。对NURBS 曲面的各阶偏导是各不相同的，也需要各阶编不同的程序来实现。本文提出一种不经过求偏导的方法求曲面点的高斯曲率，这种方法对各种曲面的高斯曲率计算都是统一的，与NURBS 曲面的阶数无关，适用于各种表达方式的曲面。 1、计算原理 如图1所示，设N 表示曲面S 在一点P 上的单位法矢，切S 且经 过N 的平面与曲面相交成一条曲线，同样，不经过N 但经过P 点的 平面与曲面同样也可以相交成一条曲线。 让每一个法平面与一个方向及单位切矢t 对应，即在曲线P 点，一
个法曲面曲率k n 对应一个位置。这个法曲面曲率随着切的平面绕N 的 旋转而变化。k n 存在最大和最小值，即为P 点的主曲率。令21,k k 代表 主曲率，21t t ，代表各自对应的切线方向。设?为任意曲率切线方向t 与1t 的夹角。Leonhard Euler 得出如下关系式： ??2221sin cos k k k n += (1) 令以主曲率对应切线方向21t t ，为坐标系，则任意曲率切线方向t 对应的法曲面曲率在该坐标系的坐标为： 2/12 /1)(sin ,)(cos n n k y k x ??±=±= 由欧拉公式则有： 12221±=+y k x k (2) 这一公式定义了曲面在P 点的杜潘标线。 如果主曲率同号，那么法曲面曲率在任一方向同号，P 点处曲面整体在切平面的一侧，在这种情况下（1），（2）式表示一个椭圆。如果主曲率不同号，P 点是凸出或凹陷点，在这种情况下（1），（2）式表示一个双曲线。 如果以上坐标轴不是主曲率方向对应的切线方向，则有如下的杜潘标线方程： 1222±=++By Cxy Ax （3） 当知道任一点的杜潘标线则知道了主曲率的大小和方向。计算在某一方向的法曲率，代入（ 3）式，然后旋转一个角度，计算杜潘标线。