第11讲 一次函数

第11讲一次函数

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知识点题号

一次函数与方程,不等式的关系4,5,7,13

一次函数的图象和性质1,2,3,6

求一次函数的表达式10,11

一次函数的应用8,9,12,14,15,16

A层(基础)

1.如图所示的计算程序中,y与x之间的函数关系所对应的图象应为( D )

解析:由程序图可知解析式为y=-2x+4,图象过二,四象限且与y轴交于正半轴.

2.(2014邵阳)已知点M(1,a)和点N(2,b)是一次函数y=-2x+1图象上的两点,则a与b的大小关系是( A )

(A)a>b (B)a=b

(C)a

解析:∵k=-2<0,

∴y随x的增大而减小,

∵1<2,

∴a>b.故选A.

3.已知直线y=kx+b,若k+b=-5,kb=6,那么该直线不经过( A )

(A)第一象限 (B)第二象限

(C)第三象限 (D)第四象限

解析:因为k+b=-5,kb=6,所以k<0,b<0,

则一次函数过二,三,四象限,不过第一象限,故选A.

4.将一次函数y=x的图象向上平移2个单位,平移后,若y>0,则x的取值范围是( B )

(A)x>4 (B)x>-4

(C)x>2 (D)x>-2

解析:∵将一次函数y=x的图象向上平移2个单位,

∴平移后解析式为y=x+2,

当y=0,则x=-4,

∴y>0时x的取值范围是x>-4,

故选B.

5.(2015长沙模拟)如图,已知函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P,则根据图象可得,关于x,y的二元一次方程组的解是( C )

(A)(B)

(C) (D)

解析:函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P(-3,1),

所以关于x,y的方程组的解是

故选C.

6.(2015彭州市模拟)设0

(A)2k-2 (B)k-1 (C)k (D)k+1

解析:原式可以化为y=(k-2)x+2,

∵0

∴k-2<0,则函数值随x的增大而减小.

∴当x=1时,函数值最大,最大值是(k-2)+2=k.故选C.

7.(2015株洲)已知直线y=2x+(3-a)与x轴的交点在A(2,0),B(3,0)之间(包括A,B两点),则a的取值范围是7≤a≤9 .

解析:∵直线y=2x+(3-a)与x轴的交点在A(2,0),B(3,0)之间(包括A,B两点),

∴2≤x≤3,

令y=0,则2x+(3-a)=0,

解得x=,

则2≤≤3,

解得7≤a≤9.

8.(2015沈阳)如图1,在某个盛水容器内,有一个小水杯,小水杯内有部分水,现在匀速持续地向小水杯内注水,注满小水杯后,继续注水,小水杯内水的高度y(cm)和注水时间x(s)之间的关系满足如图2中的图象,则至少需要 5 s能把小水杯注满.

解:设一次函数解析式为y=kx+b(k≠0),

将(0,1),(2,5)代入得

解得

∴解析式为y=2x+1,

当y=11时,2x+1=11,

解得x=5,

∴至少需要5 s能把小水杯注满.

9.(2015咸宁)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(0,6),将△OAB沿x轴向左平移得到△O′A′B′,点A的对应点A′落在直线y=-x上,则点B与其对应点B′间的距离为8 .

解析:由题意可知,点A移动到点A′位置时,纵坐标不变,

∴点A′的纵坐标为6,

-x=6,解得x=-8,

∴△OAB沿x轴向左平移得到△O′A′B′位置,移动了8个单位,

∴点B与其对应点B′间的距离为8.

10.已知一次函数的图象经过点P(0,-2),且与两条坐标轴截得的直角三角形的面积为3,则一次函数的解析式是y=x-2或y=-x-2 .

解析:先画草图如图,根据已知条件:S△OPA=OP·OA,可求出OA,则A点坐标可求出,再求解析式.

11.如图,在直角坐标系xOy中,直线y=mx与双曲线y=相交于A(-1,a),B两点,BC⊥x轴,垂足为C,△AOC 的面积是1.

(1)求m,n的值;

(2)求直线AC的解析式.

解:(1)∵直线y=mx与双曲线y=相交于A(-1,a),B两点,

∴B点横坐标为1,即C(1,0),

∵△AOC的面积为1,

∴×1×a=1,∴a=2.

∴A(-1,2),

将A(-1,2)代入y=mx,y=中可得

m=-2,n=-2;

(2)设直线AC的解析式为y=kx+b,

∵y=kx+b经过点A(-1,2),C(1,0),

∴

解得k=-1,b=1,

∴直线AC的解析式为y=-x+1.

12.(2014昆明)某校运动会需购买A,B两种奖品,若购买A种奖品3件和B种奖品2件,共需60元;若购买A种奖品5件和B种奖品3件,共需95元.

(1)求A,B两种奖品的单价各是多少元?

(2)学校计划购买A,B两种奖品共100件,购买费用不超过1150元,且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍,设购买A种奖品m件,购买费用为W元,写出W(元)与m(件)之间的函数关系式.求出自变量m 的取值范围,并确定最少费用W的值.

解:(1)设A奖品的单价是x元,B奖品的单价是y元,

由题意,得

解得

答:A奖品的单价是10元,B奖品的单价是15元.

(2)由题意,得

W=10m+15(100-m)=-5m+1500,

∴

解得70≤m≤75.

∵m是整数,

∴m=70,71,72,73,74,75.

∵W=-5m+1500,

∴k=-5<0,

∴W随x的增大而减小,

∴m=75时,W取最小值为1125.

∴应买A种奖品75件,B种奖品25件,才能使总费用最少,为1125元.

B层(能力)

13.(2014孝感)如图,直线y=-x+m与y=nx+4n(n≠0)的交点的横坐标为-2,则关于x的不等式

-x+m>nx+4n>0的整数解为( D )

(A)-1 (B)-5 (C)-4 (D)-3

解析:直线y=nx+4n与x轴的交点坐标为(-4,0),由图象可得,不等式-x+m>nx+4n的解集为x<-2,不等式nx+4n>0的解集为x>-4,所以不等式-x+m>nx+4n>0的解集为-4

14.(2015宿迁)如图,在平面直角坐标系中,点P的坐标为(0,4),直线y=x-3与x轴,y轴分别交于点A,B,点M是直线AB上的一个动点,则PM长的最小值为.

解析:如图,过点P作PM⊥AB,

则∠PMB=90°,

当PM⊥AB时,PM最短,

因为直线y=x-3与x轴,y轴分别交于点A,B,

可得点A的坐标为(4,0),点B的坐标为(0,-3),

在Rt△AOB中,

AO=4,BO=3,AB==5,

∵∠BMP=∠AOB=90°,

∠PBM=∠ABO,PB=OP+OB=7,

∴△PBM∽△ABO,

∴=,

即=,

所以可得PM=.

15.(2015武汉)如图所示,购买一种苹果,所付款金额y(元)与购买量x(千克)之间的函数图象由线段OA 和射线AB组成,则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省 2 元.

解析:由线段OA的图象可知,当0

当x=1时,y=10.

设射线AB的解析式为y=kx+b(x≥2),

把(2,20),(4,36)代入得

解得

∴y=8x+4,

当x=3时,y=8×3+4=28.

当购买3千克这种苹果分三次每次购买1千克时,付款金额为10×3=30(元),

30-28=2(元).

则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省2元.

16.(2015西安模拟)通过实验研究,专家们发现:初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的,讲课开始时,学生的兴趣激增,中间有一段时间,学生的兴趣保持平稳的状态,随后开始分散.如图是学生注意力指标数y随时间x(分钟)变化的函数的近似图象.(y越大表示学生注意力越集中,且图象中的三部分都是线段)

(1)注意力最集中,那段时间持续了几分钟?

(2)当0≤x≤10时,求注意力指标数y与时间x之间的函数关系式;

(3)一道数学竞赛题,需要讲解23分钟,问老师能否经过适当安排使学生在听这道题时注意力的指标数都在34以上?

解:(1)根据函数图象可知,在第10分钟到第20分钟,注意力最集中那段时间持续了20-10=10分钟; (2)设0≤x≤10时的函数关系式为y=kx+b,

∵图象直线过(0,20),(10,48)点,

∴

解得

∴y=x+20(0≤x≤10),

(3)由图象知,当20≤x≤40时,

直线y=ax+c经过(20,48),(30,38)点,

∴

解得

∴y=-x+68,

当0≤x≤10时,令y>34,得34

解得x>5;

当20≤x≤40时,令y>34,得34<-x+68,

解得x<34.

∴5

∵34-5=29>23,

∴老师可以通过适当的安排,在学生的注意力指标数在34以上时,讲授完这道数学综合题.

16年最有可能考到的知识点

(1)一次函数的图象与性质;

(2)使用待定系数法求一次函数表达式;

(3)利用一次函数解决实际问题.

1.(2016预测)已知函数y=-中,x>0时,y随x的增大而增大,则y=kx-k的大致图象为( A )

解析:∵在函数y=-中,x>0时,y随x的增大而增大,

∴-k<0,故k>0,

根据一次函数的性质,y=kx-k过一,三,四象限.

故选A.

2.(2016预测)某市出租车公司规定:出租车收费与行驶路程关系如图所示.如果小明姥姥乘出租车去小明家花了22元,那么小明姥姥乘车路程有13 千米.

解析:设后段的解析式为y=kx+b,

因为图象过点(3,6),(8,14),

所以有

解得

所以解析式为y=x+.

当y=22时x=13,即路程有13千米.

3.(2016预测)如图,直线l1:y=x+1与直线l2:y=mx+n相交于点P(a,2),则关于x的不等式x+1≥mx+n的解集为x≥1 .

解析:把y=2代入y=x+1,得x=1,

∴点P的坐标为(1,2),

根据图象可以知道当x≥1时,y=x+1的函数值大于等于y=mx+n相应的函数值. 因而不等式x+1≥mx+n的解集是x≥1.