研究论文：谈谈数列极限定义的教学

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谈谈数列极限定义的教学

极限概念是高等数学中最基本也是最重要的概念之一，因为用这个概念可以定义出微积分学的其它基本概念；而数列极限又是极限概念的先导，所以牢固掌握数列极限的概念，对进一步学习微积分学起到至关重要的作用．数列极限的定义相对于初学者而言显得较为抽象和难于理解，可谓微积分学入门的拦路虎．如何帮助学生尽快而准确地掌握数列极限的定义是数学教师值得探究的课题．笔者在多年的教学实践中，积累了自认为有效的教授数列极限定义的方法，在此予以总结，供同行商榷交流．

一、向学生介绍极限方法的来源，引导学生针对数列极限的定义提出问题

普遍的高等数学教材中，都是从刘徽的“割圆术”引出数列极限定义的.我国古代杰出的数学家刘徽于公元263年在注《九章算术》时，为了订正圆周率是“周三径一”之误，他在计算圆周率的过程中，创立并使用了极限方

法．他先借助圆的内接正多边形来无限分割圆，再通过计算圆的内接正多边形的边长来求得圆的周长，提出了“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”[1]的“以直代曲”的极限思想．恩格斯也曾深刻地指出：“高等数学的主要基础之一是这样一个矛盾，在一定的条件下直线和曲线应当是一回事”．[2]通过对刘徽“割圆术”的讲解，可以让学生对极限产生相对直观的认识．

接下来带领学生仔细阅读如下定义，并让学生提出疑问.

数列极限的定义：对于数列｛χn｝，如果存在数A，无论预先任意指定怎样小的正数ε，总存在一个正整数N，当n＞N时，有不等式

｜χn-A｜＜ε.

则称数列｛χn｝存在极限，并且称数A为数列｛χn｝当n→∞时的极限，记作

在准确阐述定义后，教师发挥主导作用，充分激发学生探究数列极限的兴趣，鼓励学生大胆提出问题．在我的

教学实践中，学生通常会提出如下一些问题（教师可将问题归纳在黑板上）：

①常数A是怎么来的？它是数列｛χn｝的最后一项吗？

②ε是怎么来的？为什么必须是正数，而且还要是小正数？

③N是怎么得到的？它是唯一确定的吗？

④怎么理解n＞N？

⑤所有数列都有极限吗？极限是否唯一？

二、启发学生积极思考，努力寻求上述问题的答案，教师作归纳

在具体教学实践中，我会让学生充分讨论，大胆提出自己的看法．在逐一修正学生回答的基础上，再作如下系统讲解．

（一）一些数列，如，等等，有一个共性，就是随着（项数）无限增大，它们的变化都显示出趋于稳定的状态，即无限接近于某个常数．这种特性就是我们这里所说的极限.显然，只有无穷数列才可能有极限．

（二）式子｜χn-A｜＜ε表明ε的作用在于“衡量”项χn与数A的“接近”程度，所以ε必须是正数，而且还要是“小正数”，因为ε越小，说明项χn与数A越“接近”；ε只有任意小，式子｜χn-A｜＜ε才能表达出项χn与数A可以“接近”到任何程度．以上两点可以用“数列｛χn｝当n→∞时的极限是A”的几何解释来加以说明：将数A及数列｛χn｝在数轴上用它们的对应点表示出来，再以A为中心以ε为半径在数轴上截取两点A-ε和A+ε(如下图)．

由于不等式｜χn-A｜＜ε相当于不等式A-ε＜χn,A+ε，所以当n＞N时，所有的点χ都落在开区间(A-ε,A+ε)内，而只有有限个（至多只有N个）疏散在这个区间以外．因ε越小，开区间(A-ε,A+ε)的长度2ε也越小，可以看出点χn集聚在点A近旁，[3]无数个点χn无限“接近”点A．

（三）数列实质上是定义在正整数集上的函数，n＞N （n和N代表数列的项的序号，显然都是正整数），即χn 代表着数列｛χn｝中较χN靠后的那些项.N是由ε确定的，所以数列极限定义又称为“ε-N”定义.一般来说，所

给定的ε越小，N应该越大.有时把N写成N(ε)，就是为了表明N依赖于ε．另外，从数列极限的定义可以看出，如果当n＞N时，｜χn-A｜＜ε成立，那么对任意一个N1＞N，当n＞N1时，｜χn-A｜＜ε也成立，所以，N不是唯一的．

例1：“说明数列的极限是1”．若指定ε=0.00001,则由｜χn-A｜＜ε,即就可推出n＞5,所以由ε=0.00001确定的N是5(当然也可以是大于5的其它整数)．这时，只要项的序号n＞N，即第N=5项后的所有项χn与A=1的差的绝对值就小于ε=0.00001，这说明数列与1的“接近”程度在0.00001以内．同理，指定其它正数ε，也可以找到相应的N；显然所有的小正数ε，都能找到相应的N.根据数列极限的定义，就是数列的极限．

（四）数列极限的定义不能用来求数列的极限，只能在“观察”到某个常数可能是某个数列的极限时，用它来证明，把结论肯定下来．在具体运用中，我们依据数列极限的定义来判定数列存在极限或证明某个常数是数列的极限；反之，我们也依据数列极限的定义来说明某个数列不存在极限或某个常数不是数列的极限，此时只需证明有｜χn-A｜＜ε的情况存在即可．

例2．证明数列｛(-1)n｝不存在极限．

证明因为对于任意数A1，存在ε0=1，若A1≥0，则对于任意正整数N，总存在奇数n0＞N，使得

｜(-1)n0-A1｜=｜-1-A1｜=1+A1≥1．

若A1＜0，则对于任意正整数N，总存在偶数n0＞N，使得

｜(-1)n0-A1｜=｜-1-A1｜=｜1+(-A)｜=1+(-A)＞1．

所以，任意数A1都不是数列{(-1)n}的极限，即数列{(-1)n}不存在极限．

（五）“数列{χn}的极限是A”就是说“项χn的变化趋势是趋近于A”（“趋近”可理解为“无限接近”），即“当n无限增大时，χn趋近于某个常数A，此时，称A 为数列{χn}的极限”．所以可以肯定地说，常数A并不是数列{χn}的最后一项，而是数列的“变化趋势”．也许有的学生会认为数列的极限是数列项的近似值，这也需要教师加以说明．近似只是在“有限”中认识极限，而极限是在“无限”中的精确.比如，在刘徽的“割圆术”中，圆的内接正多边形的周长近似于圆的周长，但当内接正多边形的边数趋近于无限时，圆的内接正多边形的周长就趋近于圆的周长，显然，圆的周长是由圆的内接正多边形的周长组成的数列的极限．

三、教师对数列极限的定义作进一步说明

通过以上分析后，教师可个别提问学生对前面那些问题的理解情况，并当堂作补充修正．在确认学生已基本掌握定义后再作如下几点说明：

（一）通俗地说，极限的意思就是，“也许达不到目标，但能无限接近目标”．怎样才叫“无限接近”呢？回答是，你要多接近（这就是ε）我就能多接近，还比你要的更接近（这就是“＜ε”）；同时，我能保证在某个过程之后（这就是“当n＞N时”），都在你要求的接近范围之内．

（二）掌握极限概念的关键在于对正数ε二重性的理解．一方面，ε必须具有任意性．ε可以代表任意小的正数，只有这样才能保证数列{χn}无限地接近于数A；因为ε是任意小的正数，那么等等，同样也是任意小的正数，因此讨论求证数列极限时，定义中的不等式｜χn-A｜＜ε中的ε可用等来代替，｜χn-A｜＜ε也可用｜χn-A｜≤ε来代替；正是由于ε是任意小的正数，我们在分析问题时，可以限定ε小于一个确定的正数．另一方面，为了表明数列{χn}无限接近于数A的渐近过程的不同阶段，ε又必须具有相对固定性；同时，在论证过程中，一旦指定了ε，那么它是相对固定的，否则论证工作就无法进行．ε

的任意性是通过无限多个相对固定性表现出来的，ε的任意性和相对固定性深刻反映了极限概念中的精确与近似之间的辩证关系．ε的任意性，表明极限是人们从近似中认识精确的数学方法．例如，在刘徽的“割圆术”中，我们由圆的内接正多边形周长认识了圆的周长，即“圆的内接正多边形周长无限接近圆的周长”．ε的相对固定性，表明极限又是人们从精确中更深刻地认识近似的数学方法．例如，在刘徽的“割圆术”中，我们由圆的内接正多边形的周长认识了圆的周长，又从圆的周长深刻认识了圆的内接正多边形的周长与圆的周长的关系，即“由圆的内接正多边形周长组成的数列的极限是圆的周长”.

（三）若数列{χn}存在极限（收敛），则它的极限是唯一的（收敛数列的唯一性）.

例3．证明：若，同时，则A=B．

证明根据数列极限的定义，对任意ε＞0，分别有

存在正整数N1，当n＞N1时，有｜χn-A｜＜ε；

存在正整数N2，当n＞N2时，有｜χn- B｜＜ε．

取N=max{N1,N2},当n＞N时,同时有

｜χn-A｜＜ε与｜χn- B｜＜ε．

于是，当n＞N时，有

｜A-B｜=｜A-χn+χn-B｜≤｜χn-A｜+｜χn-B｜＜ε+ε=2ε.

显然A与B是常数,2ε是任意小的正数,所以只有A=B,上述不等式才能成立．

（四）数列有无极限，以及极限是什么数值，只与它从某一项之后的无穷多项变化趋势有关，而与它前面的有限几项无关．因此，在论证或证明数列极限时，可以略去任何有限几项，也可以添加或更改有限几项．

以上方法其实是“学导式”教法的一个具体运用．采用上述方法来讲授数列极限的定义，不仅可以培养学生发现问题和解决问题的兴趣和能力，还能使学生在较短时间内掌握数列极限的概念，为进一步学习微积分学打下良好的基础．