初高级中学数学衔接之数学思想方法

初高中数学衔接

——数学思想方法目录

一、方程与函数思想

1.1方程思想

1.2函数思想

二、数形结合思想

2.1数形结合思想

三、分类讨论思想

1.1 方程思想

方程知识是初中数学的核心内容。理解、掌握方程思想并应用与解题当中十分重要。所谓方程思想就是从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把已知量与未知量之间的数量关系转化为方程（组）模型，从而使问题得到解决的思维方法。对方程思想的考查主要有两个方面：一是列方程（组）解应用题；二是列方程（组）解决代数或几何问题。

（1）高中体现

函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重较大，综合知识多、题型多、应用技巧多 函数思想简单，即将所研究的问题借助建立函数关

系式亦或构造中间函数，结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决

举例：

例1已知函数f (x )=log m

3

3

+-x x (1)若f (x )的定义域为［α，β］，（β＞α＞0），判断f (x )在定义域上的增减性，

并加以说明；

(2)当0＜m ＜1时，使f (x )的值域为［log m ［m (β–1)］，log m ［m (α–1)］］的定义域区间为［α,β］(β＞α＞0)是否存在？请说明理由

解 （1）

?>+-03

3

x x x ＜–3或x ＞3 ∵f (x )定义域为［α,β］,∴α＞3 设β≥x 1＞x 2≥α，有

0)

3)(3()

(6333321212211>++-=+--+-x x x x x x x x 当0＜m ＜1时，f (x )为减函数，当m ＞1时，f (x )为增函数

（2）若f (x )在［α,β］上的值域为［log m m (β–1),log m m (α–1)］ ∵0＜m ＜1, f (x )为减函数

∴???

????

-=+-=-=+-=)

1(log 33log )()1(log 33log )(ααααββββm f m f m m m m 即3,0

)1(3)12(0

)1(3)12(2

2

>>?????=---+=---+αβααββ又m m m m m m 即α,β为方程mx 2+(2m –1)x –3(m –1)=0的大于3的两个根

∴?????

????>>--

>+-=?<<0

)3(3212011616102mf m m m m m ∴0＜m ＜432-

故当0＜m ＜

4

3

2-时，满足题意条件的m 存在 例2.对于函数f (x )，若存在x 0∈R ,使f (x 0)=x 0成立，则称x 0为f (x )的不动点 已知函数f (x )=ax 2+(b +1)x +(b –1)(a ≠0)

（1）若a =1,b =–2时，求f (x )的不动点；

（2）若对任意实数b ，函数f (x )恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围； （3）在（2）的条件下，若y =f (x )图象上A 、B 两点的横坐标是函数f (x )的不动点，且A 、B 关于直线y =kx +

1

212

+a 对称，求b 的最小值

解 （1）当a =1,b =–2时，f (x )=x 2–x –3，

由题意可知x =x 2–x –3，得x 1=–1,x 2=3

故当a =1,b =–2时，f (x )的两个不动点为–1,3

（2）∵f (x )=ax 2+(b +1)x +(b –1)(a ≠0)恒有两个不动点， ∴x =ax 2+(b +1)x +(b –1)，

即ax 2+bx +(b –1)=0恒有两相异实根 ∴Δ=b 2–4ab +4a ＞0(b ∈R )恒成立

于是Δ′=(4a )2–16a ＜0解得0＜a ＜1

故当b ∈R ，f (x )恒有两个相异的不动点时，0＜a ＜1

（3）由题意A 、B 两点应在直线y =x 上，设A (x 1,x 1),B (x 2,x 2) 又∵A 、B 关于y =kx +

1

212

+a 对称

∴k =–1 设AB 的中点为M (x ′,y ′)

∵x 1,x 2是方程ax 2+bx +(b –1)=0的两个根

∴x ′=y ′=

a

b

x x 2221-

=+， 又点M 在直线1212++-=a x y 上有1

21

222

++=-

a a

b a b ， 即a

a a a

b 1211

22

+

-

=+-

=

∵a ＞0，∴2a +a 1≥22当且仅当2a =a

1

即a =22∈(0,1)时取等号，

故b ≥–

2

21，得b

(2)初中体现

所谓方程思想，是指在求解数学问题时，从题中的已知量和未知量之间的数量关系入手，找出相等关系，运用数学符号语言将相等关系转化为方程（或方程组），再通过解方程（组）使问题获得解决。方程思想是中学数学中非常重要的数学建模思想之一，在初中数学中的应用十分广泛。方程型综合题，主要以一元二次方程根的判别式、根与系数的关系为背景，结合代数式的恒等变形、解方程（组）、解不等式（组）、函数等知识．其基本形式有：求代数式的值、求参数的值或取值范围、与方程有关的代数式的证明。

举例

例3、如图，抛物线ｙ＝－x 2＋px ＋q 与ｘ轴交于Ａ、Ｂ两点，与ｙ轴交于Ｃ点，若

∠ACB ＝90O ，且tan ∠CAO －tan ∠ABO=2。(1)求Q 的值，(2)求此抛物线的解析式。(3)设平行于x 轴的直线交抛物线于Ｍ、Ｎ两点。若以ＭＮ为直径的圆恰好与x 轴相切，求

此圆的半径。 例4、如图，D 、E 分别是三角形ABC 的AC 、AB 边上的点，BD 、CE 相交于点O ，若三角形OCD 的面积是2，三角形OBE 的面积是3，三角形OBC 的

面积是4，求四边形ADOE 的面积。

y O

A B x

C

解：连接AO 并延长交BC 于F 。设S △AOE 为x ，S △AOD 为y 。

因为△ABF 与△ACF 同高，所以S △ABF:S △ACF=底之比=BF:CF=2BF:2CF 。①

同理S △OBF:S △OCF=底之比=BF:CF 。②

由①和②得S △ABF:S △ACF=S △OBF:S △OCF=（S △ABF-S △OBF ）:（S △ACF-S △OCF ）=S △AOB:S △AOC 。 所以S △AOB:S △AOC=S △OBF:S △OCF

同理，S △BOA:S △BOC=S △OAD:S △OCD 。即（3+x ）:4=y:2 同理，S △COA:S △COB=S △OAE:S △OBE 。即（y+2）:4=x:3

解这个方程组即可。解得x=4.2，y=3.6。所以所求四边形面积=x+y=8。 例5、正方形的边长为a ，以各边为直径在正方形内画半圆，则所围成的图

形阴影部分的面积是____． （设每一个叶片的面积为x ，“高脚杯 ”面积为y ）

例6、在直角坐标系中，抛物线y=x 2+mx-243m (m ＞0)与x 轴交于A 、B

两点。若点A 、B 到原点的距离分别为OA 、OB,且满足3

2

11=-OA OB ,则m 的值为

思路点拨：设A （x 1,0）,B(x 2,0),把OA 、OB 用x 1 ，x 2的式子表示，建立m 的方程。

1. 2 函数思想

函数的思想方法就是用联系和变化的观点看待或揭示数学对象之间的数量关系。能充分利用函数的概念、图象和性质去观察分析并建立相应的函数模型解决问题。方程与函数联系密切，我们可以用方程思想解决函数问题，也可以用函数思想讨论方程问题。在确定函数解析式中的待定系数、函数图像与坐标的交点等问题时，常将问题转化为解方程和解方程组。

(1)高中体现

举例：例1、实数k 为何值时，方程kx 2+2|x|+k=0有实数解？ 解：运用函数的思想解题，变形得 由方程可得k ＝2

12x x +-

方程有解时k 的了值范围就是函数f （x ）＝2

12x x +-的值域，显然－1≤f(x)≤0

故－1≤k ≤0即为所求。

例2、有一组数据)(,,,:2121n n x x x x x x <<<ΛΛ的算术平均值为10，若去掉其中最大的一个，余下数据的算术平均值为9；若去掉其中最小的一个，余下数据 的算术平均值为11

（1）求出第一个数1x 关于n 的表达式及第n 个数n x 关于n 的表达式;

（2）若n x x x ,,,21Λ都是正整数，试求第n 个数n x 的最大值，并举出满足题目要求且n x 取到最大值的一组数据

解（1） 依条件得：???

??-=+++-=+++=+++-)3()1(11)

2()1(9)1(1032

12121n x x x n x x x n

x x x n n n ΛΛΛ由)2()1(-得：

9+=n x n ，又由)3()1(-得：n x -=111

（2）由于1x 是正整数，故 1111≥-=n x ，101≤≤?n ，故19

9≤+=n x n 当n =10

时, 11=x ，1910=x ，80932=+++x x x Λ, 此时，

62=x ,73=x ,84=x ,95=x ,116=x ,127=x ,138=x ,149=x

例3、已知二次函数f (x )=ax 2+bx （a ，b 为常数，且a ≠0）满足条件：

f (x －1)=f (3－x )且方程f (x )=2x 有等根

（1）求f (x )的解析式；

（2）是否存在实数m ,n （m

解：(1)∵方程ax 2+bx －2x=0有等根，∴△=(b －2)2=0，得b=2。 由f(x －1)=f(3－x)知此函数图像的对称轴方程为x=－a

b

2=1，得a=－1， 故f(x)=－x 2+2x

(2)∵f(x)=－(x －1)2+1≤1，∴4n ≤1，即n 41 而抛物线y=－x 2+2x 的对称轴为x=1，∴当n ≤4

1

时，f(x)在[m,n]上为增函数。

若满足题设条件的m,n 存在，则?

??==n n f m

m f 4)(4)(

即?????=+-=+-n

n n m m m 424222

???

?-==-==2020n n m m 或或又m

∴m=－2,n=0，这时，定义域为[－2，0]，值域为[－8，0]

由以上知满足条件的m,n存在,m=－2,n=0

（2）初中体现

函数思想的实质是剔除问题的非本质特征，用联系和变化的观点研究问题，转化为函数来解决问题。函数型主要是几何与函数相结合型、坐标与几何方程与函数相结合型综合问题．主要是以函数为主线，建立函数的图象及性质、方程的有关理论的综合．解题时要注意函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化．例如函数图象与x轴交点的横坐标即为相应方程的根；点在函数图象上即点的坐标满足函数的解析式等．函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的主要考查对象，由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合能力．例4．某农机租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型20台，乙型30台.现将这50台联合收割机派往A、B两地区收割小麦，其中30台派往A地区，20台派往B地区．

两地区与该农机租赁公司商定的每天的租赁价格见下表：

（1）设派往A地区x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y(元)，求y与x间的函数关系式，并写出x的取值范围；

（2）若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79600元，说

明有多少种分派方案，并将各种方案设计出来；

（3）如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高，请你为光华农机租赁公司提出一条合理建议．

解：（1）若派往A地区的乙型收割机为x台，则派往A地区的甲型收割机为(30－x)台；派往B地区的乙型收割机为（30－x）台，派往B地区的甲型收割机为（x－10）台．∴y＝1600x＋1800(30－x)＋1200(30－x)＋1600(x－10)＝200x＋74000．x的取值范围是：10≤x≤30(x是正整数)．

（2）由题意得200x＋74000≥79600，

解不等式得x≥28.由于10≤x≤30，∴x取28，29，30这三个值，

∴有3种不同分配方案．

①当x＝28时，即派往A地区甲型收割机2台，乙型收割机28台；派往B地区甲型收割机18台，乙型收割机2台．

②当x＝29时，即派往A地区甲型收割机1台，乙型收割机29台；派往B地区甲型收割机19台，乙型收割机1台．

③当x＝30时，即30台乙型收割机全部派往A地区；20台甲型收割机全部派往B地区．

（3）由于一次函数y＝200x＋74000的值y是随着x的增大而增大的，所以，当x＝30时，y取得最大值.如果要使农机租赁公司这50台联合收割机每天获得租金最高，只需x＝30，此时，y＝6000＋74000＝80000．建议农机租赁公司将30台乙型收割机全部派往A地区；20台甲型收割要全部派往B地区，可使公司获得的租金最高．

2.1数形结合思想

数学是研究数量关系和空间形式的一门科学，每个几何图形中都要蕴涵着一定的数量关系，而数量关系常常又可以通过图形的直观性作出形象的描述。数形结合思想就是把代数、几何知识相互转化，相互利用的一种解题思想。

运用数形结合思想解题的三种类型及思维方法：

①“由形化数” ：就是借助所给的图形，仔细观察研究，提示出图形中蕴含的数量关系，反映几何图形内在的属性。

②“由数化形” ：就是根据题设条件正确绘制相应的图形，使图形能充分反映出它们相应的数量关系，提示出数与式的本质特征。

③“数形转换” ：就是根据“数”与“形”既对立，又统一的特征，观察图形的形状，分析数与式的结构，引起联想，适时将它们相互转换，化抽象为直观并提示隐含的数量关系。

例1、已知点P(x ，y )在不等式???x －2≤0，

y －1≤0，x +2y －2≥0

表示的平面区域上运动，则z ＝x －y 的取值范

围是

例2、已知二次函数y=f 1(x)的图象以原点为顶点且过点(1,1),反比例函数y=f 2(x)的图象与直线y=x 的两个交点间距离为8,f(x)= f 1(x)+ f 2(x).

(1) 求函数f(x)的表达式；(2) 证明:当a>3时,关于x 的方程f(x)= f(a)有三个不同的实数解. 解：(1)由已知,设f 1(x)=ax 2,由f 1(1)=1,得a=1, ∴f 1(x)= x 2. 设f 2(x)=

x

k

(k>0),它的图象与直线y=x 的交点分别为 A(k ,k )B(－k ,－k )

由AB =8,得k=8,. ∴f 2(x)=

x 8.故f(x)=x 2+x

8

.………………………………6分 (2) 【证法一】f(x)=f(a),得x 2+x 8=a 2+a

8

,

即

x 8=－x 2+a 2+a

8. 在同一坐标系内作出f 2(x)=x

8

和 f 3(x)= －x 2+a 2+

a

8 的大致图象,其中f 2(x)的图象是以坐标轴为渐近线,且位于第一、三象限的双曲线, f 3(x)与的图象是以(0, a 2+

a

8

)为顶点,开口向下的抛物线. 因此, f 2(x)与f 3(x)的图象在第三象限有一个交点, 即f(x)=f(a)有一个负数解.

又∵f 2(2)=4, f 3(2)= －4+a 2+

a 8 当a>3时,. f 3(2)－f 2(2)= a 2+a

8

－8>0,

∴当a>3时,在第一象限f 3(x)的图象上存在一点(2,f(2))在f 2(x)图象的上方. ∴f 2(x)与f 3(x)的图象在第一象限有两个交点,即f(x)=f(a)有两个正数解. 因此,方程f(x)=f(a)有三个实数解. ………………………………14分 【证法二】由f(x)=f(a),得x 2+x 8=a 2+a

8, 即(x －a)(x+a －ax

8

)=0,得方程的一个解x 1=a. 方程x+a －

ax

8

=0化为ax 2+a 2x －8=0, 由a>3,△=a 4+32a>0,得

x 2=a a a a 23242+--, x 3=a

a

a a 23242++-,

∵x 2<0, x 3>0, ∴x 1≠ x 2,且x 2≠ x 3.

若x 1= x 3,即a=a

a

a a 23242++-,则3a 2=a a 324+, a 4=4a,

得a=0或a=34,这与a>3矛盾, ∴x 1≠ x 3.

故原方程f(x)=f(a)有三个实数解。

例3、设A={x||x|=kx+1},若A ∩R +=φ,A ∩R -≠φ,求实数k 的取值范围．

解法1:方程|x|=kx+1的解是函数y=|x|和y=kx+1交点的横坐标,结合图形知（如图2）,当直线y=kx+1在角α范围内时,方程有负根,且没有正根,故k ≥1．

解法2:由题意须01x x kx

1

x x kx >??

=+? ②无解． ①中k=-1时无解,1

1,011k x k k -≠-=<>-+时得; ②中k=1时无解,k ≠0时,若1

01,1x k k

=><-即则②有解,

所以, k ≥1．

另：两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．

例1 解不等式：13x x -+-＞4．

解法一：由01=-x ，得1=x ；由30x -=，得3x =； ①若1， 即24x -+＞4，解得x ＜0， 又x ＜1， ∴x ＜0；

②若12x ≤<，不等式可变为(1)(3)4x x --->， 即1＞4，

∴不存在满足条件的x ；

③若3x ≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->， 即24x -＞4， 解得x ＞4． 又x ≥3， ∴x ＞4．

综上所述，原不等式的解为x ＜0，或x ＞4．

解法二：如图1．1－1，1-x 表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|PA |，即|PA |＝|x －1|；|x －3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB |，即|PB |＝|x －3|．

所以，不等式13x x -+-＞4的几何意义即为

|PA |＋|PB |＞4． 由|AB |＝2，可知

图2

1

0 |x －1|

|x －3| 图1．1－1

点P 在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧．

x＜0，或x＞4．

二次函数的性质可以分别通过图2．2－3和图2．2－4直观地表示出来．因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．

例1 求二次函数y＝－3x2－6x＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，

y随x的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．解：∵y＝－3x2－6x＋1＝－3(x＋1)2＋4，

∴函数图象的开口向下；

对称轴是直线x＝－1；

顶点坐标为(－1，4)；

当x＝－1时，函数y取最大值y＝4；

当x＜－1时，y随着x的增大而增大；当x＞－1时，

y随着x的增大而减小；

采用描点法画图，选顶点A(－1，4))，与x轴交于点

B和C(，与y轴的交点为D(0，

1)，过这五点画出图象（如图2－5所示）．

说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确．

（2）初中体现

图2.2－5 图2.2-3 图2.2-4

例1、已知抛物线过点（4，6）（–2，6），在x 轴上截得的线段长为32，求函数解析式。

例2、已知抛物线c bx ax y ++=2

与直线4+=kx y 相交于A （1，m ），B （4，8），

与x 轴交于原点O 及C ，（1）求直线与抛物线解析式；（2）在x 轴上方是否存在点D ，使得OCB OCD S S ??=

2

1

，如果存在，请求出所有满足条件的点D ，若不存在，请说明理由。

3.1.1分类讨论思想

分类讨论思想就是要针对数学对象的共性与差异性，将其区分为不同种类，从而克服学生思维的片面性，有效地考查学生思维的全面性与严谨性。要做到成功分类，要注意两点：一是要有分类意识，善于从问题的情境中抓住分类的对象；二是找出科学合理的分类标准，满足不重不漏的原则。分类讨论的思想是一种重要的解题策略，对于培养学生思维的严密性，严谨性和灵活性以及提高学生分析问题和解决问题的能力无疑具有较大的帮助。然而并不是问题中一出现含参数问题就一定得分类讨论，如果能结合利用数形结合的思想，函数的思想等解题思想方法可避免或简化分类讨论，从而达到迅速、准确的解题效果。

(1)高中体现

参数广泛地存在于中学数学的各类问题中，也是近几年来高考重点考查的热点问题之一。以命题的条件和结论的结构为标准，含参数的问题可分为两种类型，。一种类型的问题是根据参数在允许值范围内的不同取值（或取值范围），去探求命题可能出现的结果，然后归纳出命题的结论；科学的分类满足两个条件：条件①保证分类不遗漏；条件②保证分类不重复。在此基础上根据问题的条件和性质，应尽可能减少分类。

绝对值的定义是： ??

?

??<-=>=)0()

0(0)

0(||a a a a a a

所以在解含有绝对值的不等式|log 3

1x|+|log 3

1 (3－x)|≥1时，就必须根据确

定log 3

1x ，

log 3

1（3－x ）正负的x 值1和2将定义域（0，3）分成三个区间进行讨论，

即0＜x ＜1，

1≤x ＜2，2≤x ＜3三种情形分类讨论。

例1、解关于x 的不等式：

例2、求函数的值域

例3，设首项为1，公比为q （q ＞0）的等比数列的前n 项和为S n ,又设T n ＝

1

+n n

S S ，n ＝1，2，·，求T n 解：当q ＝1时，S n ＝n ，T n ＝

1

+n n

, 1lim =∴∞→n n T

当q ≠1时，S n ＝

1

11

111111+++--=--=

--n n

n n n n

q

q T q

q S q

q 于是当0＜q ＜1时，1lim ,0lim =∴=∞

→∞

→n n n n T q 当q ＞1时，q

T q n

n n n 1lim ,01lim

=∴=∞→∞→ 综上所述，???

??>≤<=∞

→)1(1)

10(1lim q q

q T n n

（2）初中体现

分类讨论涉及全部初中数学的知识点，其关键是要弄清楚引起分类的原因，明确分类讨论的对象和标准，应该按可能出现的情况做到既不重复又不遗漏，分门别类加以讨论求解，再将不同结论综合归纳，得出正确答案，避免考虑不周全，思维定势化，否则就会掉入陷阱之中。如初中绝对值的概念，数学定理、公式、或运算性质、法则的分类；求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性；数学问题中含有字母变量，这些参变量的不同取值导致不同的结果的；较复杂或非常规的数学问题，若解含有参数的不等式、方程和函数等，需要采取分类讨论的解题策略来解决的。

).1(12

)

1(≠>--a x x a x

x x x cox cox x x y cot |

cot ||tan |tan |||sin |sin +

++=

举例

例1、解方程|x+2|+|3–x|=5

对于绝对值的问题，往往要对绝对值的符号内的对象区分为正数、负数、零三种，在每种情形下再分别处理。这一方程里出现了两个数的绝对值，即| x+2 |和|3 –x|，对于| x +2|应分为x= -2，x＜-2，x＞-2；对|3 –x| 应区分为x=3与x＞3，x＜3，把上述范围画在数轴上可见对这一问题应划分为以下三种情形分别处理：x＞-2，-2≤x≤3，x＞3。得解如下：

当x＜-2时，原方程为–(x+2)+3-x=5，得x= -2，这与x＜-2矛盾，故在x＜-2时方程无解。

当-2≤x≤3时，原方程为x+2+3-x=5恒成立，故满足-2≤x≤3的一切实数x都是此方程的解。

当x＞3时，原方程为x+2-(3 - x)=5，得x=3，这与x＞3矛盾，故在x ＞3时，方程无解。

综上所述，原方程的解为满足-2≤x≤3的任何实数。

例2、Rt△ABC中有两边为6和8,求第三边。

例3、等腰△ABC中有两边为3和4，求它的周长。

例4、⊙O中的弦AB把圆周分成1:3两部分，求AB弦所对的圆周角的度数。

例5、当平行弦在圆心的两侧时，两弦的距离为7cm，已知⊙O的半径OA=1，弦AB，AC的长分别是，求∠BAC的度数。

当数学问题中的条件，结论不明确或题意中含参数或图形不确定时，就应分类讨论，一方面可将复杂的问题分解成若干个简单的问题。另一方面恰当的

分类可避免丢值漏解，从而提高全面考虚问题的能力，提高周密严谨的数学素养。

通过对初高中数学教学衔接的研究发现，数学思想在数学教学上和学生的学习上有着十分重要的地位，它关系到学生对学习数学的兴趣、信心和效果，加强数学思想的教学和研究，专题进行讲练，分类进行思想方法的指导，一定会得到良好的效果。