最新解一元二次方程及一元二次不等式练习题--
一元二次方程练习题
1. 解下列方程:(1)2(1)
9x -=; (2)2(21)3x +=;
(3)2(61)250x --=. (4)281(2)16x -=.
2. 用直接开平方法解下列方程:
(1)25(21)
180y -=; (2)21(31)644x +=;
(3)26(2)
1x +=; (4)2()(00)ax c b b a -=≠,≥
3. 填空
(1)28x
x ++( )=(x + )2.(2)223x x -+( )=(x - )2. (3)2b y y a
-+( )=(y - )2. 4. 用适当的数(式)填空: 23x x -+ (x =-
2);2x px -+ =(x - 2) 23223(x x x +-=+
2)+
. 5. 用配方法解方程. 23610x x --= 22540x x --=
6. 关于x 的方程22291240x a ab b ---=的根1x = ,2x =
. 7. 用适当的方法解方程(1)23(1)
12x +=; (2)2410y y ++=;
(3)2884x
x -=; (4)2310y y ++=.
(5)
()9322=-x ; (6)162=-x x ;
一元二次不等式
2.一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>与相应的函数2(0)y ax bx c a =++>、相应的方程2
0(0)ax bx c a ++=>之间
3、解一元二次不等式步骤:
1、把二次项的系数变为正的。(如果是负,那么在不等式两边都乘以-1,把系数变为正)
2、解对应的一元二次方程。(先看能否因式分解,若不能,再看△,然后求根)
3、求解一元二次不等式。(根据一元二次方程的根及不等式的方向)
一、解下列一元二次不等式:
1、0652>++x x
2、0652≤--x x
3、01272<++x x
4、0672≥+-x x
5、0122<--x x
6、0122>-+x x
7、2230x x --+≥ 8、0262≤+--x x 9、0532>+-x x
10、0142562≤++x x 11、0941202≤+-x x 11、(2)(3)6x x +-<
11、
x 2-4x+1 3x 2-7x+2
≤1
二、填空题
1、不等式220mx mx +-<的解集为R ,则实数m 的取值范围为 ;
2、若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对一切x R ∈恒成立,则a 的取值范围是______________.
一元一次不等式培优带答案.doc
初一数学培优讲义—不等式(答案) 一、例题选讲 4 x m8 x 1 例 1、已知关于x 的方程:37,当m为某些负整数时,方程的解为负整数,试求负整数m的最大值。 4 x m 1,可得 m 4 x 1 解:原方程化简整理得:2121 4 x 因为 m为负整数,所以21必为小于-1的负整数 4 x1, x 21,即x 5 1 所以214 4 4 x 而要使 21为负整数,x必是21的倍数,所以x 的最大值为 -21 因为当 x 取最大值时, m也取得最大值,所以m的最大值为 -3 4 x 例 2、已知 m、n 为实数,若不等式 (2m-n) x+3m-4n<0 的解集为9 , 求不等式 (m-4n) x+2m-3n>0 的解。 解:由 (2m-n) x+3m-4n<0 得: (2m-n) x<4n-3m , 2m n 0 (1) x 4 4n 3m 4 (2) 9 ,所以有2m n 9 因为它的解集为 n 7 m 由(2) 得8 代入(1) 得 m<0 n 7 m 5m x 5m 把8 代入(m-4n) x+2m-3n>0 得 2 8 1 1 x x ∵ m<0 ∴ 4 所以,不等式 (m-4n) x+2m-3n>0 的解集为 4 例 3、解不等式: (1) (2x+1)2-7<(x+m)2+3x (x-1) (2) x 4 2x 3 1 解: (1) 原不等式可化为: (7-2m) x
初中数学 一元二次不等式解法
2.3.2 一元二次不等式解法 二次函数y=x2-x-6的对应值表与图象如下: x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6 由对应值表及函数图象(如图2.3-1)可知 当x=-2,或x=3时,y=0,即x2-x=6=0; 当x<-2,或x>3时,y>0,即x2-x-6>0; 当-2<x<3时,y<0,即x2-x-6<0. 这就是说,如果抛物线y= x2-x-6与x轴的交点是(-2,0)与(3,0),那么一元二次方程 x2-x-6=0 的解就是 x1=-2,x2=3; 同样,结合抛物线与x轴的相关位置,可以得到 一元二次不等式 x2-x-6>0 的解是 x<-2,或x>3; 一元二次不等式 x2-x-6<0 的解是
-2<x<3. 上例表明:由抛物线与x轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集. 那么,怎样解一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)呢? 我们可以用类似于上面例子的方法,借助于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象来解一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0). 为了方便起见,我们先来研究二次项系数a>0时的一元二次不等式的解. 我们知道,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0),设△=b2-4ac,它的解的情形按照△>0,△=0,△<0分别为下列三种情况——有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解,相应地,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点(如图2.3-2所示),因此,我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)与ax2+bx+c<0(a>0)的解. (1)当Δ>0时,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴有两个公共点(x1,0)和(x2,0),方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根x1和x2(x1<x2),由图2.3-2①可知 不等式ax2+bx+c>0的解为 x<x1,或x>x2; 不等式ax2+bx+c<0的解为 x1<x<x2. (2)当Δ=0时,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴有且仅有一个公共点,方程ax2+bx+c =0有两个相等的实数根x1=x2=-b 2a,由图2.3-2②可知不等式ax2+bx+c>0的解为 x≠-b 2a; 不等式ax2+bx+c<0无解.
一元二次不等式练习题含答案
一元二次不等式练习 一、选择题 1.设集合S ={x |-5 5.不等式x(x-a+1)>a的解集是{} x|x<-1或x>a,则( ) A.a≥1 B.a<-1 C.a>-1 D.a∈R 6.已知函数f(x)=ax2+bx+c,不等式f(x)>0的解集为{} x|-3 一元一次不等式培优训练题 1、解不等式252133x -+-≤+≤- 2.求下列不等式组的整数解2(2)83373(2)82x x x x x x +<+??-≥-??-+>? 3、解不等式:(1) 0)2)(1(<+-x x (2) 0121>+-x x 4、对于1x ≥的一切有理数,不等式 ()12 x a a -≥都成立,求a 的取值范围。 5、已知1x =是不等式组()()352,2 3425x x a x a x -?≤-???-<+-? 的解,求a 的取值范围. 6、如果35x a =-是不等式 ()11233 x x -<-的解,求a 的取值范围。 7、若不等式组841,x x x m +<-?? >?的解集为3x >,求m 的取值范围。 8、如果不等式组237,635x a b b x a -? - 的解集为522x <<,求a 和b 的值。 9、不等式组?????<-<-6 22131m x m x 的解集是36+ 10、已知关于x 的不等式()12a x ->的解在2x <-的范围内,求a 的取值范围。 11、已知关于x 的不等式组010 x a x ->?? ->?,的整数解共有3个,求a 的取值范围。 12、已知关于x的不等式组 321 x a x -≥ ? ? -≥- ? 的整数解共有5个,求a的取值范围。 13、若关于x的不等式组 2145, x x x a ->+ ? ? > ? 无解,求a的取值范围。 14、设关于x的不等式组 22 321 x m x m -> ? ? -<- ? 无解,求m的取值范围 一元二次不等式及其解法 1.一元一次不等式解法 任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后,都可以化为ax>b(a≠0)的形式. 当a>0时,解集为;当a<0时,解集为. 2.一元二次不等式及其解法 (1)我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为__________不等式. (2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解,一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的________. (3)一元二次不等式的解: (1)化分式不等式为标准型.方法:移项,通分,右边化为0,左边化为 f(x) g(x) 的形式. (2)将分式不等式转化为整式不等式求解,如: f(x) g(x) >0?f(x)g(x)>0; f(x) g(x) <0 ?f(x)g(x)<0; f(x) g(x) ≥0 ? ?? ? ??f(x)g(x)≥0, g(x)≠0; f(x) g(x) ≤0 ? ?? ? ??f(x)g(x)≤0, g(x)≠0. (2014·课标Ⅰ)已知集合A={x|x2-2x-3≥0},B={x|-2≤x<2},则A∩B=( ) A.[-2,-1] B.[-1,2) C.[-1,1] D.[1,2) 解:∵A ={x |x ≥3或x ≤-1},B ={x |-2≤x <2},∴A ∩B ={x |-2≤x ≤-1}=[-2,-1].故选A . 设f (x )=x 2 +bx +1且f (-1)=f (3),则f (x )>0的解集为( ) A.{x |x ∈R } B.{x |x ≠1,x ∈R } C.{x |x ≥1} D.{x |x ≤1} 解:f (-1)=1-b +1=2-b ,f (3)=9+3b +1=10+3b , 由f (-1)=f (3),得2-b =10+3b , 解出b =-2,代入原函数,f (x )>0即x 2 -2x +1>0,x 的取值围是x ≠1.故选B. 已知-12<1 x <2,则x 的取值围是( ) A.-2 一元一次不等式组练习题 一、选择题 1、已知方程? ??-=++=+②①m 1y 2x m 31y x 2满足0y x <+,则( ) A. 1m -> B. 1m > C. 1m -< D. 1m < 2、若不等式组? ??+>+<+1m x 1x 59x 的解集为2x >,则m 的取值范围是( ) A. 2m ≤ B. 2m ≥ C. 1m ≤ D. 1m > 3、若不等式组? ??>+>-01x 0 x a 无解,则a 的取值范围是( ) A. 1a -≤ B. 1a -≥ C. 1a -< D. 1a -> 4、如果不等式组? ??<->-m x x x )2(312的解集是x <2,那么m 的取值范围是( ) A 、m=2 B 、m >2 C 、m <2 D 、m≥2 5、如果不等式组2223 x a x b ?+???-≥的解集是01x <≤,那么a b +的值为 . 6、若不等式组0,122x a x x +??->-? ≥有解,则a 的取值范围是( ) A .1a >- B .1a -≥ C .1a ≤ D .1a < 7、若不等式组530,0x x m -??-? ≥≥有实数解,则实数m 的取值范围是( ) A.m ≤53 B.m <53 C.m >53 D.m ≥53 8、关于x 的不等式组?????x +152>x -3 2x +23<x +a 只有4个整数解,则a 的取值范围是 ( ) A. -5≤a ≤-143 B. -5≤a <-143 C. -5<a ≤-143 D. -5<a <-143 二、填空题 1、关于x 的不等式组12x m x m >->+???的解集是1x >-,则m = . 如何解一元二次不等式,例如:x?2+2x+3≥0. 请大家写出解题过程和思路 解:对于高中“解一元二次不等式”这一块, 通常有以下两种解决办法: ①运用“分类讨论”解题思想; ②运用“数形结合”解题思想。 以下分别详细探讨。 例1、解不等式x2 -- 2x -- 8 ≥ 0。 解法①:原不等式可化为: (x -- 4) (x + 2) ≥ 0。 两部分的乘积大于等于零, 等价于以下两个不等式组: (1)x -- 4 ≥ 0 或(2)x -- 4 ≤ 0 x + 2 ≥ 0 x + 2 ≤ 0 解不等式组(1)得:x ≥ 4(因为x ≥ 4 一定满足x ≥ -- 2,此为“同大取大”) 解不等式组(2)得:x ≤ -- 2(因为x ≤ --2 一定满足x ≤ 4,此为“同小取小”) ∴不等式x2 -- 2x -- 8 ≥ 0的解为:x ≥ 4 或x ≤ -- 2。 其解集为:( -- ∞,-- 2 ] ∪[ 4,+ ∞)。 解法②:原不等式可化为: [ (x2 -- 2x + 1) -- 1 ] -- 8 ≥ 0。 ∴(x -- 1)2 ≥ 9 ∴x -- 1 ≥ 3 或x -- 1 ≤ -- 3 ∴x ≥ 4 或x ≤ -- 2。 ∴原不等式的解集为:( -- ∞,-- 2 ] ∪[ 4,+ ∞)。 解法③:如果不等式的左边不便于因式分解、不便于配方, 那就用一元二次方程的求根公式进行左边因式分解, 如本题,用求根公式求得方程x2 -- 2x -- 8 = 0 的两根为x1 = 4,x2 = -- 2,则原不等式可化为:(x -- 4) (x + 2) ≥ 0。下同解法①。 体会:以上三种解法,都是死板板地去解; 至于“分类讨论”法,有时虽麻烦,但清晰明了。 下面看“数形结合”法。 解法④:在平面直角坐标系内,函数f(x) = x2 -- 2x -- 8 的图像 开口向上、与x 轴的两交点分别为(-- 2,0) 和(4,0), 显然,当自变量的取值范围为x ≥ 4 或x ≤ -- 2 时, 图像在x 轴的上方; 当自变量的取值范围为-- 2 ≤ x ≤ 4 时,图像在x 轴的下方。 ∴当x ≥ 4 或x ≤ -- 2 时,x2 -- 2x -- 8 ≥ 0, 即:不等式x2 -- 2x -- 8 ≥ 0的解为:x ≥ 4 或x ≤ -- 2。 顺便说一下,当-- 2 ≤ x ≤ 4 时,图像在x 轴的下方,即:x2 -- 2x -- 8 ≤ 0,∴不等式x2 -- 2x -- 8 ≤ 0 的解为:-- 2 ≤ x ≤ 4 。其解集为:[ -- 2,4 ]。 领悟:对于ax2 + bx + c >0 型的二次不等式,其解为“大于大根或小于小根”; 对于ax2 + bx + c <0 型的二次不等式,其解为“大于小根且小于大根”。例2、解不等式x2 + 2x + 3 >0。 在实数范围内左边无法进行因式分解。 配方得:(x + 1)2 + 2 >0。 无论x 取任何实数,(x + 1)2 + 2 均大于零。 ∴该不等式的解集为x ∈R。 用“数形结合”考虑, ∵方程x2 + 2x + 3 = 0的根的判别式△<0, ∴函数f(x) = x2 + 2x + 3 的图像与x 轴无交点且开口向上。 即:无论自变量x取任意实数时,图像恒位于x 轴的上方。 ∴不等式x2 + 2x + 3 >0的解集为x ∈R。 一元二次不等式测试题及答案 一、选择题 1.如果不等式ax 2 +bx+c<0(a ≠0)的解集为空集,那么( ) A .a<0,Δ>0 B .a<0,Δ≤0 C .a>0,Δ≤0 D .a>0,Δ≥0 2.不等式(x+2)(1-x)>0的解集是( ) A .{x|x<-2或x>1} B .{x|x<-1或x>2} C .{x|-2<x<1} D .{x|-1<x<2} 3.设f(x)=x 2 +bx+1,且f(-1)=f(3),则f(x)>0的解集是( ) A .),3()1,(+∞?--∞ B .R C .{x|x≠1} D .{x|x=1} 4.不等式(x+5)(3-2x)≥6的解集为( ) A.{x|x ≤-1或x≥ 29} B. {x|-1≤x≤29 } C.{x|x ≥1或x≤-29} D. {x|-2 9 ≤x≤1} 5.设一元二次不等式ax 2 +bx+1>0的解集为{x|-1≤x≤3 1},则ab 的值是( ) A.-6 B.-5 C.6 D.5 6.已知M={x|x2-2x -3>0},x |x2 +ax+b ≤0},若M ∪N =R ,M∩N=(3,]4,则a+b =( ) A.7 B.-1 C.1 D.-7 7.已知集合M ={x| x 2-3x -28≤0}, N={ x 2 -x -6>0},则M ∩N 为( ) A.{x|-4≤x<-2或3<x≤7} B .{x|-4<x≤-2或3≤x<7} C .{x|x≤-2或x>3} D .{x|x<-2或x≥3} 8.已知集合M ={x| 3 x 0x 1≥(-) },N ={y|y=3x2 +1,x∈R},则M ∩N =( ) A.? B. {x|x≥1} C.{x|x>1} D.{x| x≥1或x<0} 二.填空题 9、有三个关于x 的方程: ,已知其中至少 有一个方程有实根,则实数a 的取值范围为 10.若二次函数y=ax 2 +bx+c(x ∈R)的部分对应值如下表: x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6 则不等式ax 2 +bx+c>0的解集是 。 11.若集合A={x∈R|x2 -4x+3<0},B={x∈R|(x-2)(x-5)<0},则A∩B=_______________________________. 12.关于x 的方程x 2+ax+a 2 -1=0有一正根和一负根,则a 的取值范围是 . 三.解答题: 13、①不等式(a 2 -1)x 2 -(a-1)x-1 <0的解集为R ,求a 的取值范围。②若a 2 -4 17 a+1<0的解集为A ,求使不等式x 2 +ax+1>2x+a 在A a ∈时恒成立的x 的取值范围. 114、①已知不等式02>++c bx ax 的解集为)3,2(,求不等式02 <++a bx cx 的解集。 ②不等式ax 2+bx+c >0的解集为{x|α<x <β},其中0>β>α,求不等式cx 2+bx+a <0的解集。 115、已知A=,B=。 (1)若B A ,求a 的取值范围; (2)若A∩B 是单元素集合,求a 取值范围。 二元一次方程组培优训练题 ————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期:一元一次不等式培优训练题
一元二次不等式及其解法知识梳理及典型练习题(含答案)
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