常微分方程第四章答案

【篇一：常微分方程习题及评分标准答案】

一、选择题（每题3分）第一章：

1．微分方程y?xy2?y?0的直线积分曲线为（）

（a）y?1和y?x?1 （b）y?0和y?x?1 （c）y?0和y?x?1 （d）y?1和y?x?1 第二章：

2．下列是一阶线性方程的是（）

（a）dydx?x2

?y （b）d2ydy3dx2?(dx

)?xy?0（c）(

dy2dydydx)?xdx?xy2?0（d）dx

?cosy 3．下列是二阶线性方程的是（）

（a）d2ydy

dx2?x

dx?x2?y （b）(dydx)3?(dydx)2?xy?0 （c）(x?1)dy2

d2ydx?xy?0 （d）dx

2?cosycosx

4．下列方程是3阶方程的为（）

（a）y?x2?y3 （b）(

dydx

?xy?0 （c）(dydx)2?xd3y

dydx

3?y2?0（d）dx?cosy3 5．微分方程(

dydx)4?x(dydx)3?dy

?0的阶数为（）（a）1（b）2（c）3 （d）4

6．方程(dydx)3?xd2y

2?2y4?0的阶数为（）

（a）1 （b）2 （c）3（d）4 7．针对方程

dydx?x?y

x?y

，下列说法错误的是（）．（a）方程为齐次方程

（b）通过变量变换u?

可化为变量分离方程（c）方程有特解y?0

（d）可以找到方程形如y?

kx的特解y?(?1x 8．针对方程y??sin2(x?y?1)，下列说法错误的是（）．

（a）为一阶线性方程

（d）方程的通解为tan(x?y?1)?x?c 9．伯努利方程

?p(x)y?q(x)yndx

，它有积分因子为（）（a）e?(n?1)p(x)dx（b）e?np(x)dx （c）xe?(n?1)p(x)dx（d）xe?np(x)dx

10．针对方程

?y?y2(cosx?sinx)，下列说法错误的是（）．（a）方程为伯努利方程（b）通过变量变换z?y2可化为线性方程（c）方程有特解y?0 （d）方程的通解为y?1

cex?sinx

11．方程

dydx?xf(y

2)经过变量变换（）可化为变量分离方程。（a）u?xy（b）u?y （c）u?y

2（d）u?x2xx

12．方程x2

?f(xy)经过变量变换（）可化为变量分离方程。（a）u?xy（b）u?yy

x（c）u?x

2（d）u?x2y

13．微分方程ylnydx?(x?lny)dy?0是（）

（a）可分离变量方程（b）线性方程（c）全微分方程（d）伯努利方程 14．针对方程y2(1?y)?(2?y)2下面说法错误的是（）

（a）不显含x的形如f(y,y)?0的隐式方程（b）设2?y?yt，原方程消去y后可求解

（c）方程的通解为y?

?cx?c

（d）方程有特解y??2 15．方程m(x,y)d?x

为n(x,y)?dy其0中m(x,y),n(x,y)x,y的连续函数，如有

?m?n

??y?x

?1，则方程的积分因子为（） m

（a）?(x,y)?ey （b）?(x,y)?e?y （c）?(x,y)?ex

（d）?(x,y)?e?x 16. 若函数f(x)满足关系式 f(x)??

2x0

f()dt?ln2, 则等于f(x)?（） 2

x2xx2x

（a）eln2（b）eln2 （c）e?ln2 （d）e?ln2

第三章： 17．方程

?1?lnx满足条件y(1)?0的解的存在区间为（）。 dx

（a）(0,+ 18．已知方程

) （b）[0,+ ) （c）(1,+ ) （d）[1,+ )

?f(x,y)（其中f(x,y)为区域r上的连续函数），则利普希兹条件是保dx

证方程初值解唯一的（）条件．

（a）必要（b）必要非充分（c）充分（d）充分必要 19．利普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（）条件．（a）必要（b）必要非充分（c）充分（d）充分必要 20．方程

?x2?y2定义在矩形域r:?2?x?2,?1?y?1上，则经过点(0,0)的解存在唯dx

一区间为（）

1111

（a）[?1,1]（b）[?,]（c）[?2,2] （d）[?,]

2255

?x2?y2解存在区间为（） 21．方程dx

（a）[?1,1]（b）(??,??) （c）[?2,2] （d）[?,]

第四章：

22. 微分方程y?y?ex?1的一个特解应具有形式(式中a,b为常数)为（）（a） aex?b （b） axex?b （c） aex?bx (d) axex?bx 第五章：

23．初值问题x?2x?7tx?e?t?0,x(1)??7,x(1)?2与下列（）一阶方程组等价。

（a）x???01??7t2??x???0??7?

?et??,x(1)????2??

（b）x???10??0???7?

??7t?2??x???et??,x(1)???2?

?（c）x???01???7t?2??x???0???7?

?et??,x(1)???2??

（d）x???01???7t?2??x???0???et??,x(1)????7?

?2??

第六章：

?dx

??x24．线性驻定方程组???dt

?y的奇点(0,0)是（）

?dy??dt

?x?y（a）不稳定焦点（b）稳定结点（c）稳定焦点（d）鞍点?dx

?2x?25．线性驻定方程组???dt

7y的奇点(0,0)是（）

?dy??dt

?x?2y（a）不稳定焦点（b）稳定结点（c）稳定焦点（d）鞍点?dx??226．驻定方程组??x?y?x?dt

的线性近似方程为（）

?dy?x?y?y2??dt?dx??y?x?dx??y?x（a）???dt （b）???dt ?1

?dy??x?y?dy?dt??dt?x?y?1?dx??y?x?dx

??y?（c）?? （d）?x?1?dt?dt

?dy?

??dt?x?y?1?dy??dt

?x?y27．已知yx?2x，则方程的4阶差分为（）

（a）?4yx?24?2x （b）?4yx?2x （c）?4yx?34?2x

（d）?4yx?4?2x

28．已知yx?x5?3x2?x，则方程的6阶差分为（）

（a）?6yx?x2?1 （b）?6yx?9x?1 （c）?6yx?0 （d）?6yx?3x 补充差分

29．已知yx?2x，则方程的4阶差分为（）

（a）?4yx?24?2x （b）?4yx?2x （c）?4yx?34?2x

（d）?4yx?4?2x 30．已知yx?x5?3x2?x，则方程的6阶差分为（）（a）?6yx?x2?1（b）?6yx?9x?1（c）?6yx?0（d）?6yx?3x 二、填空题（每题3分）第二章：

?p(x)y的通解为（其中p(x)为x的连续函数）。 dxdy

?f(x)g(y)的方程称为y?y0使得g(y0)?0成立，则2．形如dx

1．方程

有为方程的解。 3．伯努利方程4．方程5．方程

?ysinx?y2tanx，立刻可以判断方程有特解为________________。dx

??2xy?4x的通解为。 dx

dyx

??的通解为y? dxy

6．m(x,y),n(x,y)为x,y的连续函数且有连续的一阶偏导数.方程

m(x,y)?dx

(n,x?)y为恰当方程的充要条件是dy________________.

n(x,y)?dy其0中m(x,y),n(x,y)x,y的连续函数，如有为

x7．方程m(x,y)d?

?m?n??y?x

?1，则方程有积分因子为?(x,y)?________________. m

8. 方程m(x,y)dx?n(x,y)dy?0有只含x的积分因子的充要条件是。

9. 方程m(x,y)dx?n(x,y)dy?0有只含y的积分因子的充要条件是。

【篇二：【精选习题】第四章高阶微分方程】

>4-1 证明线性非齐次方程的叠加原理：设x1(t),x2(t)分别是线性非齐次方程

dxdt

nnn

?a1(t)

n?1

dtd

n?1

???an?1(t)

dxdtdxdt

?an(t)x?f1(t)

dxdt

n?1

?a1(t)

n?1

???an?1(t)?an(t)x?f2(t)

的解，则x1(t)?x2(t)是方程

dxdt

?a1(t)

n?1

???an?1(t)

dxdt

?an(t)x?f1(t)?f2(t)（1）

的解。

证由题意，有

dxidt

?a1(t)

n?1

???an?1(t)

dxidt

?an(t)xi?fi(t)

(i?1,2)，

把x1(t)?x2(t)代入方程（1）的左端得左端= d(x1?x2)

dtdx1dt

nnn

?a1(t)

n?1

(x1?x2)dt

n?1

???an?1(t)

d(x1?x2)

?an(t)(x1?x2)

?a1(t)

dtd

n?1

???an?1(t)

dx1dtdx2dt

?an(t)x1]?

[

dx2dt

n?1

?a1(t)

n?1

???an?1(t)?an(t)x2]

?f1(t)?f2(t)?右端。

评注：线性非齐次方程的叠加原理用于求线性非齐次方程的特解，特别对于右端函数可以分解为几个简单函数之和时更加有用。

4-2 试验证方程

dxdtt

tdx

1?tdt

11?t

x?0 有基本解组t,e，并求方程

dxdt

1?tdt

?x?t?1

的通解。

证 1? 将t,et分别代入方程得 0?

?0；

1?t1?tt1ttt

e?e?e?0。

1?t1?t

又

?常数，因此t,e是方程的基本解组。

2 用常数变易法，令方程的特解具有以下形式

x(t)?c1(t)t?c2(t)e，

则

?(t)?0??tc1?(t)?ec2

， ?t

?(t)?t?1??c1?(t)?ec2

由此得

?c1?(t)??1

t ， ?

?(t)?t?c2

所以

c1(t)??t?c1,c2(t)??e

(t?1)?c2，

因而方程的通解为

x(t)?c1t?c2e?(t?1)。

评注：常数变易法是线性非齐次方程求特解的最基本的方法。但有时可根据方程的具体形式采用灵活的方法。将本例方程变形为(1?t) dxdt

dxdt

?x??(t?1)，容易发现它可

能具有形如二次多项式的特解，因此可设其有特解形如~x(t)?at

?bt?c，代入方程，

比较系数得a?c??1，b可任意取值，所以易求得一个特解为

~x(t)??(t?1)。

4-2 已知方程?x?0有基本解组e,e

t?t

，试求此方程适合初始条件

x(0)?1,x?(0)?0及x(0)?0,x?(0)?1的基本解组（称为标准基本解组，即有w(0)?1），

?的解。并由此求出方程的适合初始条件x(0)?x0,x?(0)?x0

解由于原方程有基本解组：et,e?t，所以通解为

x(t)?c1e?c2e，且x?(t)?c1e?c2e

，

将x(0)?1,x?(0)?0代入上式，求得c1?c2?

x1?

12e?

，由此得特解

?cht；

12,c2??

将x(0)?0,x?(0)?1代入上式，求得c1?

x2?

12e?

，由此得特解

?sht。

又

w(t)?

shtcht

?cht?sht?1?0，

所以cht和sht线性无关，因而cht，sht是标准基本解组，并由此得出方程的通解为x?c1cht?c2sht。

?代入得c1?x0,c2?x0?，因且x??c1sht?c2cht，将初始条件

x(0)?x0,x?(0)?x0

?sht。而满足这个初始条件的解为：x(t)?x0cht?x0

评注：标准基本解组是满足初始条件x(0)?1,x?(0)?0，及

x(0)?0,x?(0)?1的基本解组。

4-3 设xi(t)(i?1,2,?,n)是线性齐次方程

dxdt

?a1(t)

n?1

???an?1(t)

dxdt

?an(t)x?0

的任意n个解，它们所构成的朗斯基行列式记为w(t)。试证明w(t)满足一阶线性方程

w?(t)?a1(t)w(t)?0（1）

因而有w(t)?w(t0)e

??ta1(s)ds

,t,t0?(a,b)。

证将行列式的微分法则应用于w(t)，则所得的前n?1项的行列式都有两行相等，即

都等于零，于是有

x1?x1

w?(t)?

?x1

(n?2)(n)

x2?x2?x2

(n?2)(n) ????? ?????

xn?xn?xn

(n?2)(n)

，

x1x2xn

所以

w?(t)?a1(t)w(t) x1?x1

?x1

(n?2)(n)

x2?x2?x2

(n?2)(n) ????? ?????

xn?xn?xn

(n?2)(n)

x1?x1

?a1(t)

?x1x1

(n?2)(n?1)

x2?x2?x2x2

(n?2)(n?1) ????? ?????

xn?xn?xnxn (n?2)(n?1)

x1x2xn

x1?x1

(n)

x2?x2?x2

(n?1)

(n?2)

(n?1)

(n) ?????

(n)

xn?xn?xn

(n?2)

(n?1)

?x1

(n?2)

?a1x1x2?a1x2?a1xn

x1x1?

(n?1)

x2?x2?x2

(n?1)

(n?2)

(n?1)

??????????

(?a1xn

(n?1)

xn?xn?xn

(n?2)

(n?1)

?x1

(?a1x1

(n?2)

???anx1)?a1x1(?a1x2???anx2)?a1x2???anxn)?a1xn x1?x1

?x1

?a2x1?0

(n?2)

x2?x2?x2

?a2x2

(n?2)

?????

xn?xn?xn

(n?2)

???anx1???anx2???anxn

所以w?(t)?a1(t)w(t)?0。

这说明w(t)满足一阶线性齐次方程（1），因而有w(t)?ce

??ta1(s)ds

，当t?t0时，

c?w(t0)，所以w(t)?w(t0)e

??ta1(s)ds

。

评注：公式w(t)?w(t0)e

??ta1(s)ds

是著名的刘维尔（liouville）公式，反映了线性齐次

方程n个解与系数之间的关系。由此可得到重要结论：若线性齐次方程的n个解的朗斯基行列式在一点为零，则其朗斯基行列式恒为零，即朗斯基行列式或者恒为零，或者恒不为零。

??a1(t)x??a2(t)x?0的解，这里a1(t)和4-4假设x1(t)?0是二阶线性齐次方程?xa2(t)于区间[a,b]上连续，试证

1）x2(t)为方程的解的充分必要条件是w?[x1,x2]?a1w[x1,x2]?0；2）方程的通解可表为x(t)?x1[c1?

1x1

exp(??a1(s)ds)dt?c2]

其中c1,c2为任意常数，t0,t?[a,b]。

证 1）充分性。因为

w?[x1,x2]?

dx1?1dtx

x2?2x

??1x?1x

?2x?2xx1??1x

?x1??1x

?x1??1xx2?2xx2??2x

，

w?[x1,x2]?a1(t)w[x1,x2]?

x2??2x

?a1(t)

x1?1x

??1?a1(t)x?1x

??2?a1(t)x?2x

而x1(t)?0是已知方程的解，所以

x1?a2(t)x1

??2?a1(t)x?2x

?x1

1?a2(t)

??2?a1(t)x?2x

?2?a1(t)x?2?a2(t)x2?0，即x2(t)是方程的解。故有?x

必要性。因为w[x1,x2]为方程的解x1(t),x2(t)的朗斯基行列式， w?[x1,x2]?

x1??1xx1?1?a1(t)x

x2??2x

??1?a2(t)x1x

x2?2?a1(t)x

??2?a2(t)x2x

x1?1x

x2?2x

??a1(t)w[x1,x2]

??a1(t)

即w[x1,x2]满足w?[x1,x2]?a1w[x1,x2]?0。

2）设t0?[a,b]，x(t)是原方程不同于x1(t)的另一特解，不妨设它满足

【篇三：习题4[1].1解答(1)】

程

?x?y2通过点(0,0)的第三次近似解. dx

解:所给方程满足解的存在唯一性定理.

?0(x)?0,?1(x)?y0????x?(?0(x))??dx?x,

?22?2

??2(x)?y0???x?(?(x))dx?x?(x)dx?x?1?????

1215

x. 20

22??3(x)?y0???x?(?(x))dx?x?2??

21518111

x?x?x. 201604400

2.求方程

?x?y2通过点(1,0)的第二次近似解. dx

解:所给方程满足解的存在唯一定理.

??0(x)?y0?0,?1(x)?y0???x??(x)dx?xdx?x?, ???22

??121?2?121131511

??2(x)?y0???x??(x)dx?x?x??x?x?x?x?. ???????2??462030x 01???2?2

3.求初值问题

?x2?y2,y(?1)?0；r:x??1,y?1 dx

的解的存在区间，并求第二次近似解。给出在解的存在区间的误差估计. 解: (1) 由存在定理知,解的存在区间是x?1?h,其中h?min?a,而现在,a?1,b?1,m?maxx?y?4,故h?

??b??. m?

1. 4

(2)

??0(x)?y(?1)?0,?1(x)?y0???x??(x)dx?xdx?x?, ???33

?2?131?2?

?2(x)?y0????x??(x)??dx???x??3x?3??dx

?????x0?1?

131714111x?x?x?x?. 36318942

mlnhn?1

(3) 第n次近似解?n(x)与真解?(x)的误差估计公式为?n(x)??(x)?. (n?1)!

其中l为lipschitz常数,因

?2y?2,故可取l?2.则 ?y

ml2h34?22131

?2(x)??(x)??()?.

3!3!424

4.采用逐步逼近法求解初值问题

?x?y?1,y(0)?1. dx

解:显然方程右端函数满足定理4.1.1条件.按逐步逼近法公式,初值问题的各次近似解为

?0(x)?1,?1(x)?1??(x?1?1)dx?1?2x?x2

?2(x)?1??[x?(1?2x?x2)?1]dx?1?2x?

123213x?x 2!3!

?n(x)?1?2x?

3233

x???xn?xn?1 2!n!(n?1)!

3233

x???xn?xn?1?? 2!n!(n?1)!

原初值问题的解为?(x)?lim?n(x)?1?2x?

n??

?3ex?x?2.

5.验证：方程希兹条件.

解:因f(x,y)?y,故

f(x,y1)?f(x,y2)?y14?y2?y1?y2?y12?y2?y1?y2?ly1?y2

?y4的右端函数在条形区域：x???,y?b（b为正常数）上满足李普dx

其中l?4b,即f(x,y)?y在所讨论的条形区域上满足李普希兹条件

.这里不存在全平面适用的l. 6.验证：方程件。解:由f(x,y)34

dy?dx

x???,??

y???(??0)上满足李普希兹条

得

??可取李普希兹常数l?,则 ?yf(x,y1)?f(x,y2)? ?f(x,?)

?y1?y2?ly1?y2 ?y

故f(x,y)?7.求初值问题

?x?y3,y(0)?0解的存在区间. dx

解: 设r?(x,y)x?a,y?b,f(x,y)?x?y,则

(1) f(x,y)在r内连续;

(2) fy(x,y)?3y?3b,有界.

故原初值问题的解在x?h?min?a,

?b?

f(x,y)??a?b3上存在唯一. ??,m?maxr

?m?

即原初值问题的解在x?h?min?a,

b?b???

上存在唯一.下求. maxmina,??33?

?a?b??a?b?

b令g(b)?,则g(b

)在b?处取最大,

再利用a?解得a?3

a?b

从而h?

解的最大存在区间为x? 2dy11

?e?x?y2,y(0)?0的解在区间??x?上存在. dx22 8.证明初值问题

证明: 取矩形区域r?(x,y):x?2,y?b (1) 显然f(x,y)?e?x?y2在r上连续.

(2) ?(x,y1),(x,y2)?r,f(x,y1)?f(x,y2)?y1?y2?2by1?y2,即f(x,y)关于y满

足李普希兹条件,l?2b.

1b1

m?max?f(x,y)??1?b2,h?min(a,bm)?min(,)?.

r21?b22111

所以h?,即解的最大存在区间为??x?.

222

9.如果函数f(x,y)在带形区域??x??上连续且关于y满足李普希兹条件,试证明方程(4.1.1)满足条件y(x0)?y0的解在整个区间(?,?)上存在唯一. 提示:用逐步逼近法,取m?maxf(x,y0),与教材定理4.1.1类似. x?[?,?]

10.假设函数f(x,y)于(x0,y0)的邻域内是y的不增函数，试证方程y??f(x,y)满足条件

y(x0)?y0的解于x?x0的一侧最多只有一个。

证明:设?1(x),?2(x)都是方程满足?1(x0)??2(x0)?y0的解,现要证当x?x0时,

?(x)??1(x)??2(x)?0.用反证法.

设存在x1?x0使?(x1)?0,不妨设?(x1)?0.由?(x)的连续、可微

及?(x0)?0知,必有

0?[x0,x1)使?(0)?0,且当x?(0,x1]使?(x)?0.

又?(x)??1(x)??2(x)?

??f(x,?(x))?f(x,?(x))?dx,x?(,x]

当x?(0,x1]时,上式的左端?(x)?0;由于f(x,y)对y是不增函数,所以上式右端为非正,这是矛盾的.即不存在x1?x0使?(x1)?0.因此对x?x0有?(x)?0.

11．设f(x)定义于???x???，满足条件

f(x1)?f(x2)?nx1?x2