人教版八年级下数学18.1.2平行四边形判定学案设计

《平行四边形的判定》学案1

一、课前预习新知

（一）预习目标：

通过回顾以前所学的平行四边形知识与初步自学课本，感知平行四边形的判定，能写出平行四边形性质的逆命题

（二）预习内容：

１．平行四边形的定义：

２．平行四边形的性质：

３．平行四边形性质的逆命题是：

【答案】：

１．两组对边分别平行的四边形是平行四边形．

２．(1)从边看：两组对边分别平行，两组对边分别相等．

(2)从角看：两组对角分别相等，四组邻角互补．

(3)从对角线看：对角线互相平分．

３．两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

对角线互相平分的四边形是平行四边形．

二、课内探究新知

（一）学习目标

1．通过设置问题，建立数学模型，?体会平行四边形的判定来源实际生活．

2．掌握平行四边形的判定定理及推论；会用平行四边形的判定方法进行简单的推理．3．理解三角形中位线的概念，掌握三角形中位线定理．能熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算．

学习重点：平行四边形各种判定方法及其应用，尤其是根据不同条件能正确地选择判定方法；理解并应用三角形中位线定理．

学习难点：平行四边形的判定定理与性质定理的综合应用；理解三角形中位线定理的推导，感悟几何的思维方法．

（二）学习过程

核对预习学案中的答案，并收集自学中疑问及困惑，掌握学生的学习情况。

平行四边形判定的学习：

１．情景问题：我给刚学完平行四边形性质的侄女提了一个问题，你们能解决吗？

问题：给你四根木条做边围成一个四边（每两根是等长的），它的形状是固定的吗？

２．验证：

（1）两组对边相等的四边形是平行四边形吗？

已知：如图，AB＝CD，AD＝BC．求证：四边形ABCD是平行四边形．

（２）两组对角分别相等的四边形是平行四边形吗？

如图，已知：．求证：．

（３）对角线互相平分的四边形是平行四边形吗？

已知：如图，OA=OC，OB=OD．

求证：四边形ABCD为平行四边形．

判定方法：

文字语言：

（1）定义：

（2）

（3）

（4）

符号语言：

【答案】：

（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

（2）判定定理一：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

（3）判定定理二：两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

（4）判定定理三：对角线互相平分的四边形是平行四边形．

符号语言

1．∵AB∥CD，AD∥BC

∴四边形ABCD是平行四边形

2． ∵AB ＝CD ，AD ＝BC ∴四边形ABCD 是平行四边形

3． ∵,BAD BCD ABC ADC ∠=∠∠=∠

∴四边形ABCD 是平行四边形 4． ∵AO ＝CO ，BO ＝DO

∴四边形ABCD 是平行四边形 ３．练习： 1．如图（1），若AD=8cm, AB=4cm ，那么BC= cm, CD= cm 时，四边形ABCD 是平行四边形；

2．如图（2），AD=BC=16, AB=CD=15,CF=DE=9，图中有哪些互相平行的线段？ 3．如图（3），若AC=10cm, BD=8cm ，则AO= cm, DO= cm 时，则四边形ABCD 为平行四边形．

【答案】：

（1）8、4 （２）AD ∥BC 、 AB ∥CD （３）５、４

４．例题

例1：如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 、F 分别是OA OC 与的中点，并且AE ＝CF ．求证：四边形BFDE 是平行四边形．

变式（1）：由例题中的特殊点E 、F 推广到较一般的，若AE =CF ，结论有改变吗？为什么？

变式（2）：若E 、F 移至OA 、OC 的延长线上，且AE =CF ，结论有改变吗？为什么？

变式（3）：若E 、F 、G 、H 分别为AO 、CO 、BO 、DO 的中点，四边形EGFH 为平行

四边形吗？为什么？

变式（4）：若变式（3）的条件成立，那么EF 、GH 有什么位置关系？

变式（5）：在上题中，以图中的四点为顶点，尽可能多地画出平行四边形．

【答案】：

例1： ∵四边形ABCD 是平行四边形

∴,OA OC OB OD ==∵E 、F 是的OA OC 与的中点 ∴OE OF =∴四边形BFDE 是平行四边形 变式（１）：∵四边形ABCD 是平行四边形

∴,OA OC OB OD ==∵AE =CF ∴OE OF =∴四边形BFDE 是平行四边形 变式（2）：∵四边形ABCD 是平行四边形

∴,OA OC OB OD ==∵AE =CF ∴OE OF =∴四边形BFDE 是平行四边形 变式（3）：∵四边形ABCD 是平行四边形

∴,OA OC OB OD ==∵E 、F 、G 、H 分别为AO 、CO 、BO 、DO 的中点∴OE OF =∴四边形BFDE 是平行四边形 变式（4）：互相平分

5．巩固练习（答案见课件１）：如图，在平行四边形ABCD 中，已知AE 、CF 分别是DAB ∠、BCD ∠的角平分线，试说明四边形AFCE 是平行四边形．

探究问题2：

取两根等长的木条AB 、CD ，将它们平行放置，再用两根木条BC 、AD 加固，得到的四边形ABCD 是平行四边形吗？

（即“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”吗？）

C

A F

D

B E

1．

已知：

求证：

证明：

2．归纳：

3．几何语言表述：

巩固练习：

1．能判定一个四边形是平行四边形的条件是( )．

(A)一组对边平行，另一组对边相等(B)一组对边平行，一组对角互补

(C)一组对角相等，一组邻角互补(D)一组对角相等，另一组对角互补

2．□ABCD的对角线的交点在坐标原点，且AD平行于x轴，若A点坐标为(－1，2)，则C点的坐标为( )．

A．(1，－2) B．(2，－1) C．(1，－3) D．(2，－3)

3．如图，在□ABCD中，E、F分别是边AD、BC上的点，已知AE＝CF，AF与BE相交于点G，CE与DF相交于点H，求证：四边形EGFH是平行四边形．

4．已知：如图，△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连结AE、CF．求证：CF∥AE．

答案：1．Ｃ2．Ａ

3．思路１：根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形ＡＥＣＦ、ＢＥＤＦ是平行四边形，再根据定义判定四边形EGFH是平行四边形．

4．∵AF∥BE∴∠F AC=∠ECA∵D是AC的中点∴AD=CD∴△AFD≌△CED∴AF＝CE ∴四边形AFCE是平行四边形．

三角形中位线的学习：

问题一：1．将任意一个三角形分成四个面积相等的的三角形，你是如何切割的？

关键：（取三边的中点）

由学生代表发表自己的观点，并说明理由．

C

B

A D

2．连接任意两边中点的线段与第三边间有怎样的位置和大小关系？

已知：△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点．求证：DE ∥BC ，DE ＝

2

1

BC ． E

D C

A B

3．你能用文字表达这一结论吗？

讨论：⑴一个三角形有几条中位线？⑵三角形的中位线与中线一样吗？

问题2：如图，a ，b 是两条平行线，从直线a 上的任意一点A 向直线b 作垂线l ，垂足为点B ，我们得到线段AB ．按同样的作法，我们作出线段CD ．你能发现AB 与CD 的关系吗？

a

D b

A

B

C

结论：

定义：

例1：如图△ABC的边AB＝12，BC＝10，AC＝8，点D，E，F分别是△ABC的三边的中点．

⑴求连结各边中点所成的三角形的周长；

⑵以这些点为顶点，你能在图中画出多少个平行四边形．

C

例2：如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，AF是BC边上的中线，

⑴若EF＝5cm，则AB＝cm；若BC＝9cm，则DE＝cm．

⑵中线AF与中位线DE有什么特殊关系？证明你的结论．

F

C

当堂检测：

1．在△ABC中，D、E、F是三边的中点，AB＝7，BC＝6，AC＝10，则四边形DBEF 的周长为．

2．已知△ABC中的周长为50cm，D、E、F分别为△ABC中AB、BC、AC边上的中点，且DE＝8cm，EF＝10cm，则DF的长为cm．

3．已知第一个三角形的周长为a，它的三条中位线组成第二个三角形，其周长为；第二个三角形的三条中位线又组成第三个三角形，其周长为；以此类推，第2013个三角形的周长为．

4．如图，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分线CF 交AD于F，点E是AB的中点，连接EF．求证：EF∥BC．

F

A

B C

D E

５．如图，在四边形

ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别AB 、BC 、CD 、DA 的中点． 求证：四边形EFGH 是平行四边形．

H

G F

E

D

A

B

C

答案：1．13 2．7 3．12a ，14

a ，2012

12a

4．证明：（1）∵CF 平分∠ACB ， ∴∠ACF =∠DCF ．又∵DC=AC ， ∴CF 是△ACD 的中线，

∴点F 是AD 的中点．∵点E 是AB 的中点， ∴EF ∥BD ，即EF ∥BC ． ５．证明：连接AC ，

∵E 、F 分别是边AB 、BC 的中点， ∴EF ∥AC ，EF=

1

2AC ， ∵G 、H 分别是边CD 、DA 的中点， ∴GH ∥AC ，GH=

1

2

AC ， ∴GH ∥EF ，GH=EF ，

∴四边形GHEF 是平行四边形．

（三）课后练习

1．能判定四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）

A ．A

B ∥CD ，AD=B

C B ．∠A=∠B ，∠C=∠

D C ．AB=CD ，AD=BC D ．AB=AD ，CB=CD

2．如图，△ABC 中，∠ABC=∠BAC ，D 是AB 的中点，EC ∥AB ，DE ∥BC ，AC 与DE 交于点O ．下列结论中，不一定成立的是（ ）

A ．AC=DE

B ．AB=A

C C ．AD=EC

D ．OA=OE

3．如图所示，在□ABCD中，E，F分别为AB，DC的中点，连接DE，EF，FB，则图中共有________个平行四边形．

4．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥CB，且AD＞BC，BC=6cm，动点P，Q分别从A，C同时出发，P以1cm/s的速度由A向D运动，Q以2cm/s的速度由C向B运动，则________秒后四边形ABQP为平行四边形．

5．如图，在□ABCD中，AM=CN，求证：四边形MBND是平行四边形．

6．如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．求证：（1）△AFD≌△CEB；

（2）四边形ABCD是平行四边形．

7．如图所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AD于E，EF∥BC交AC于F，那么AE与CF相等吗？请验证你的结论．

参考答案：

1．C2．B3．4 4．2

5．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB=CD．

∵AM=CN，

∴AB-AM=CD-CN，即BM=DN且BM∥DN．

∴四边形MBND是平行四边形．

6．证明：（1）∵DF∥BE，

∴∠DFE=∠BEF．

又∵AF=CE，DF=BE，

∴△AFD≌△CEB（SAS）．

（2）由（1）知△AFD≌△CEB，

∴∠DAC=∠BCA，AD=BC，

∴AD∥BC．

∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．

7．解：AE=CF．

理由：过E作EG∥CF交BC于G，

∴∠3=∠C，

∵∠BAC=90°，AD⊥BC，

∴∠ABC+∠C=90°，∠ABD+∠BAD=90°，

∴∠C=∠BAD，

∴∠3=∠BAD，

又∵∠1=∠2，BE=BE，

∴△ABE≌△GBE（AAS），

∴AE=GE，

∵EF∥BC，EG∥CF，

∴四边形EGCF是平行四边形，

∴GE=CF，

∴AE=CF．