幂级数及泰勒展开习题解答
幂级数及泰勒展开
一、求下列幂级数的收敛区间
1. 1
2(21)n
n x n n ∞
=-∑
解：12(21)
lim
lim 12(1)(21)
n n n n a n n a n n +→∞
→∞-==++ 1R ?=
当1x =时，因 2111
2(21)2(1)n n n n n n =<-+-， 所以1
12(21)n n n ∞
=-∑收敛，
当1x =-时， 1(1)2(21)
n
n n n ∞
=--∑绝对收敛，
? 收敛区间为[1,1]-。
2. 1
1
n n n -∞
=
解：11lim 2n n n n
a a +→∞==
2R ?=
当2x =
时，1
n
n ∞
=为收敛的交错级数，
当2x =-时，
111
n n n n -∞
∞===-发散， ? 收敛区间为(2,2]-。 3. 1(1)32n n n n n n x x ∞
=??
-+????
∑
解：11
1
1
(1)32lim
lim 3(1)32
n n n n n
n n n n
n a a ++++→∞
→∞-+==-+ 13R ?=， 当13x =±时，通项不趋于零，? 收敛区间为11,33??
- ???
。
4. 1
(23)(1)21n
n
n x n ∞
=---∑
解：121lim
lim 121
n n n n a n a n +→∞
→∞-==+ 1R ?=
故当231x -<，即12x <<时级数绝对收敛。
当1x =时， 11(1)(1)11
1, 21212-1
2n n n n n n n n ∞
∞==--??=> ?--??∑∑发散，
当2x =时， 1
(1)21n
n n ∞
=--∑为收敛的交错级数，
? 收敛区间为(1,2]。
5.
1
ln(1)
(1)1n n n x n ∞
=+-+∑ 解：1ln(2)(1)lim
lim 1(2)ln(1)
n n n n a n n a n n +→∞
→∞++==++ 1R ?=
故当11x -<，即02x <<时级数绝对收敛。 当0x =时，因为
1
ln(1)ln lim lim lim 01
1n x x n x x n x →∞→+∞→+∞+===+，
2
ln 1ln ln(2)ln(1)
()()0() 3 21
x x n n f x f x x e n x x n n -++'=?=<>?≥<++时， 所以 1
(1)ln(1)
1n n n n ∞
=-++∑收敛，
当2x =时，因为当2n ≥时ln(1)11
112n n n n +>>++ 所以1
ln(1)1n n n ∞
=++∑发散，
? 收敛区间为[0,2)。
6. 211(1)(1)4
n
n n
n x n ∞
-=--∑
解：212
1211(1)41lim lim 1
(1)(1)44n n n n n n n n
u x n x u x n ++-+→∞→∞-==--+ 故当
2
111124
x x -
11(1)1(1)(11)42n n n n
n n n n -∞
∞-==----=∑∑为收敛的交错级数， 当3x =时， 21
11(1)1(1)(31)4
2n n n n
n n n n ∞
∞-==---=∑∑为收敛的交错级数， ? 收敛区间为[1,3]-。
二、求下列幂级数的收敛区间并求和函数
1. 121
1
(1)21n n n x n +-∞
=--∑
解：212
121(21)lim lim (21)n n n n n n
u x n x u x n ++-→∞→∞-==+
故当2
11x x 时，级数发散。
当1x =-时， 121
11(1)(1)(1)2121
n n n n n n n +∞
∞
-==---=--∑∑为收敛的交错级数，
当1x =时， 1
1
(1)21n n n +∞
=--∑为收敛的交错级数，
? 收敛区间为[1,1]-。
令121
1
(1)()(0)021n n n x S x S n +-∞
=-=?=-∑ 1222201
11
()(1)()(0)arctan 11()arctan (1).
x n n n S x x S x S dt x x t
S x x x ∞
+-='?=-=
?-==++?=≤∑? 2.
21
1
2n n nx
∞
-=∑
解：212
121(22)lim lim 2n n n n n n
u x n x u x n ++-→∞→∞+== 故当2
11x x 时，级数发散。
当1x =-时，
21
11
2(1)
2n n n n n ∞
∞
-==-=-∑∑发散，
当1x =时，
1
2n n ∞
=∑发散，
? 收敛区间为(1,1)-。
令21
1
()2(0)0n n S x nx
S ∞
-==
?=∑
2
21
220
11
2
22
()212()(||1).11x
x
n n
n n x S t dt nt
dt x x x x
S x x x x
∞
∞
-==?===
-'???==< ?--??∑∑??
3.
1
(1)n
n n n x
∞
=+∑
解：1(1)(2)
lim
lim 1(1)
n n n n a n n a n n +→∞
→∞++==+ 1R ?=
当1x =时，
1
(1)n n n ∞=+∑发散；当1x =-时，1
(1)(1)
n
n n n ∞
=+-∑发散，
? 收敛区间为(1,1)-。
令1
()(1)(0)0n
n S x n n x
S ∞
==
+?=∑
1
2
1
1
1
1
22
22
1223
()(1)1(1)2()(||1).(1)(1)x
x
n
n n n n n n n S t dt n n t dt nx
x
nx
x x x x x x x x x
S x x x x ∞
∞
∞
+-===∞=?=+==''????=== ? ?--????
'???==< ?--??
∑∑∑??∑
4.
221
(21)2n n n x n ∞
-=-∑
解：22
122(21)2lim lim 2(1)(21)n n n n n n
u x n n x u x n n +-→∞→∞+==+-
故当2
11x x 时，级数发散。
当1x =±时， 11211122n n n n n ∞
∞==-??
=- ??
?∑∑（通项不趋于零）发散， ? 收敛区间为(1,1)-。
令221
211()(0)22n n n S x x S n ∞
-=-=
?=∑ 22212110
11
1211
2
1
211111
()()(0),(0)0222()(||1)1x
x
n n n n n n n n n S t dt t dt x x S x x S n n x n x x
S x x x x ∞
∞∞--===∞
-=-?===≠='?==<-∑∑∑??
∑@
21120211()(0)ln(1)12
1
()ln(1)
2
x
t S x S dt x t S x x ?-==---?=--?
2222
ln(1)1ln(1)
0 , ()212x x x S x x x
x '??--?≠=-=+ ?-??时 故
222
1ln(1)
, 0||112()1 , 02
x x x x S x x ?-+<
211
1111111()121212n n n n n n S x x x x n x n x x n ∞
∞
∞--===?
?=-=-=- ?--??∑∑∑ 三、求下列级数的和
1.
221
11
12322323n
n n
n n n n n n -∞∞
∞
======??
∑∑ 也可以考虑利用幂级数
1
21
11(||1)1(1)
n n n n x nx
x x x x ∞
∞-==''
????===< ? ?--????∑∑
? 1
211221213
3
3332113n n n n n n -∞
∞==??
==
=
?
????- ???
∑∑ 2. 1111
(1)11
1(1)(21)(21)22121n n n n n n n n -∞
∞-==-??=-- ?-+-+??∑∑
1
1111111(1)
(1)(1)221221n n n n n k n n ∞∞--===---=--+∑∑ 1
121111(1)(1)221221
n k n k n k ∞∞-===-----∑∑
1
111
(1)212
n n n ∞
-==---∑
1arctan12
142
π
=-
=-
四、利用直接展开法将下列函数展开成幂级数 1.()(0,1)x
f x a a a =>≠ 解：()
()()(ln ) (0)(ln )n x n n n f
x a a f a =?=
()0
(0)(ln )!!n n n n
n n f a x x n n ∞
∞==?=∑
∑， 1ln lim
lim 01
n n n n a a R a n +→∞
→∞==?=+∞+故该级数的收敛区间为(,)-∞+∞。再由 (1)11
111()(ln )(ln )lim |()|lim lim lim ||0(1)!(1)!
(1)!n x n n n n n n n n n x f x a a a R x x x M x n n n θθ++++++→∞→∞→∞→∞==≤=+++ 因x
a θ有界，
11
(ln )||(1)!n n a x n +++是收敛级数0
(ln )!n n n a x n ∞
=∑()x -∞<<+∞的一般项，所以对任意的x 上式均成立。?x
a =0
(ln )!n n
n a x n ∞
=∑()x -∞<<+∞。 2. ()sin
2
x
f x =
解：()()210, 211()sin (0)sin (1)22222, 212
n n k
n n k n k
n x n f x f n k ππ+=????
=+?==?- ?=+??
?? ()212100(0)(1)!2
(21)!n n
n n n n n f x x n n ∞
∞++==-?=+∑
∑， 由 2321123212(21)!
lim lim 02(23)!n n n n n n n n
u x n R u n x +++++→∞→∞+==?=+∞+故该级数的收敛区间为(,)-∞+∞。再由
2323232323
sin ||22lim |()|lim lim 02(23)!2(23)!
n n n n n n n x n x x R x x n n θπ++++→∞→∞→∞+??+ ?
??=≤=++ 因2323||2(23)!n n x n +++为绝对收敛级数2121
0(1)2
(21)!n
n n n x n ∞
++=-+∑()x -∞<<+∞的一般项，所以 对任意的x 上式均成立。?sin 2
x =
2121
0(1)2
(21)!n
n n n x n ∞
++=-+∑()x -∞<<+∞。 五、使用间接展开法将下列函数展开成幂级数
常用幂级数展式：
（1）0, ()!
n
x
n x e x n ∞
==-∞<<+∞∑
（2）21
sin (1)
, ()(21)!n n
n x x x n +∞
==--∞<<+∞+∑ （3）20
cos (1), ()(2)!n
n
n x x x n ∞
==--∞<<+∞∑ （4）0
(1)(1)
(1)1, (11)!
n n n x x x n α
ααα∞
=?-??-++=+
-<<∑
L
22
1(5) , (11)
11 (1), (11)11 (1), (11)1n n n n n n n
n x x x x x x x x x ∞
=∞
=∞
==-<<-=--<<+=--<<+∑∑∑
（6）1
1ln(1)(1)
, (11)n
n n x x x n
∞
-=+=
--<≤∑ （7）2121101
arctan (1)(1), (11)2121n n n
n n n x x x x n n +-∞
∞
-===-=--≤≤+-∑∑ 基本方法：代数法，即代换；利用幂级数性质. 对复杂函数可以先求导看是否为幂级数展式
已知的简单函数，再积分可得原函数的幂级数展式。
1．2
()x f x e -=
解：由0()!
n t
n t e t n ∞
==-∞<<+∞∑，令2
t x =-得
2
20
(1)()!n
x n
n x e
x n ∞
-==--∞<<+∞∑。
2. ()sin 2f x x =
解：由21
sin (1)
()(21)!n n
n t t t n +∞
==--∞<<+∞+∑，令2t x =得 21
(2)sin 2(1)()(21)!n n
n x x x n +∞
==--∞<<+∞+∑。
3. 2
()sin f x x =
解：由20
cos (1)
()(2)!n n
n t t t n ∞
==--∞<<+∞∑，及()21
sin 1cos 22x x =-令2t x =得 222
101
1(2)(2)sin 1(1)(1)()2(2)!2(2)!n n n n n n t t x x n n ∞∞
+==??=--=--∞<<+∞?????∑∑。 4. ()arctan f x x =
解：22
1()(1)(11)1n n
n f x x x x ∞='==--<<+∑?
21220000
1arctan (1)(1)(11)121n x
x n n n n n x x dt t dt x t n +∞∞====-=--≤≤++∑∑??
1x =±时，均为收敛的交错级数。 5. 1
()52f x x
=-
解：由01(||1)1n n t t t ∞
==<-∑及111()252515
f x x x
==--，令25t x =得 01225(), (1||)52552
n
n n f x x x x x ∞
=??
==
6. ()ln(f x x =
11
13(21)(21)!!1(1)1(1)(11)24(2)(2)!!n n
n n n n n n t t t n n ∞∞==???--=+-+--<≤???∑∑L @L ，得
21(21)!!()1(1)(||1)(2)!!n n n n f x x x n ∞
=-'===+-≤∑?
(
20
0121
1
(21)!!ln (1)(2)!!
(21)!!(1)(||1)
(21)(2)!!x
x n
n
n n n n n x x t n n x x x n n ∞
=∞
+=-==+--=+-≤+∑?
?∑
7. 1()ln
1x
f x x
+=- 解：22
2()2(11)1n
n f x x x x ∞
='==-<<-∑? 21200
12ln
2(11)1121n x n x x dt x x t n +∞=+==-<<--+∑?。 六、在指定点处将下列函数展开成幂级数 1. 2()ln , x f x x ==在处 解：由1
1
ln(1)(1)
(11)n
n n t t t n
∞
-=+=
--<≤∑及 22ln ln(22)ln 21ln 2ln 122x x x x --????
=+-=+=++ ? ?
???
?，令22x t -=得
()11
11
222ln ln 2(1)ln 2(1)(04)2n
n n n n
n n x x x x n n ∞∞
--==-??
?-??=+-=+-<≤?∑∑。 2. 1(), x
x f x e ==在处 解：10
(1)()!n
x
x n x e e e
e x n ∞-=-=?=-∞<<+∞∑。
七、求函数2
()ln(1)f x x x =+在0x =处的n 阶导数(2)n > 解：22
1
10
0()(1)
(1)k k k k k k x x f x x
k k
+∞
∞--===-=-∑∑ ()
1
22
(2)(1)(3)()(1)n k k n
k n k k k n f
x x k
∞-+-=-+++-=
-?∑
L
()3
3!
(0)(1)(1)(1)(3)!2
n n n n f n n n n --=-=----。 八、设有两条抛物线21y nx n =+和2
1(1)1y n x n =+++，记它们的交点横坐标的绝对值为
n a
（1）求n a 的表达式
（2）求这两条抛物线所围成的图形的面积n S （3）求级数
1n
n n
S a ∞
=∑的和 解：（1
）n a =
;
（2
）22
3114(1)13n
n a n n a S nx n x dx a n n -??=
+-+-== ?+?
??; （3）由111111
11lim lim lim 11(1)(1)1(1)n n
n n n n k k n n k k k k n n ∞
→∞→∞→∞===????==-=-= ? ?++++????
∑∑∑，得 21114414
.33(1)3n n
n n n n
S a a n n ∞
∞∞======+∑∑∑
幂级数部分习题课
常用幂级数展式：
（1）0, ()!
n
x
n x e x n ∞
==-∞<<+∞∑
（2）21211
01
sin (1)
(1), ()(21)!(21)!n n n
n n n x x x x n n +-∞
∞
-===-=--∞<<+∞+-∑∑ （3）20
cos (1)
, ()(2)!n
n
n x x x n ∞
==--∞<<+∞∑ （4）0
(1)(1)
(1)1, (11)!
n n n x x x n α
ααα∞
=?-??-++=+
-<<∑
L
22
1(5) , (11)
11 (1), (11)11 (1), (11)1n n n n n n n n x x x x x x x x x ∞
=∞
=∞
==-<<-=--<<+=--<<+∑∑∑
（6）1
1ln(1)(1)
, (11)n
n n x x x n
∞
-=+=
--<≤∑ （7）2121101
arctan (1)(1), (11)2121n n n
n n n x x x x n n +-∞
∞
-===-=--≤≤+-∑∑ 基本方法：代数法，即代换；利用幂级数性质. 对复杂函数可以先求导看是否为
幂级数展式已知的简单函数，再积分可得原函数的幂级数展式。
补充例题
一、把下列函数展成x 的幂级数
1. 2
()9x
f x x =+
解：2212
222001
()(1)(1), (33)99
93313n
n n n n n n x x
x x x f x x x x +∞∞
+==??=
==-=--<< ?+????
+ ???
∑∑。
2. ()arctan f x x x =-解：由
2210
()arctan 1arctan (1),(11)
21n n n x f x x x x
x x n +∞
='=+
+==--≤≤+∑
及(0)0f =?
22
()()(1), (11)(21)(22)n x
n
n x f x f t dt x n n +∞
='==--≤≤++∑?
。
3. 111
()ln arctan 412
x f x x x x +=
+-- 解：由424
1
111111
()11,(11)411211n n f x x x x x x x ∞
=??'=++-=-=-<< ?+-+-??∑ 及(0)0f =?
41
1
()(), (11)41n x
n x f x f t dt x n +∞
='=
=-<<+∑?
。
4. 2
3
4
()ln(1)f x x x x x =++++
解：5
2
3
4
51()ln(1)ln
ln(1)ln(1)(1)1x f x x x x x x x x x
-=++++==---≠- 而
555
1
1
1
1
1
1()ln(1)(1)
,(11)()ln(1)(1),(11)n n
n n n n
n
n n n x x x x n n x x
x x n n
∞
∞
-==∞
∞
-==--=-=--≤<--=-=--≤<∑∑∑∑
故
54111
(1)(),(11)n n n n
n n n x x x f x x x n n n ∞
∞∞
===-=-+=-≤<∑∑∑。 二、把下列函数在指定点展成幂级数 1. ()ln f x x =在1x =处 解：1
1
(1)()ln ln[1(1)](1)
,(02)n
n n x f x x x x n
∞
-=-==+-=-<≤∑ 2. 21
()32
f x x x =
++在1x =处
解：111
()(1)(2)12
f x x x x x =
=-++++
100
111111(1)(1)(1),(13)112(1)222212
n
n n n n n n x x x x x x ∞∞
+==--??===-=--<< ?-++-??+∑∑ 1
00111111(1)(1)(1),(24)123(1)333313
n
n n n n n n x x x x x x ∞∞
+==--??===-=--<< ?-++-??+∑∑故
110
1
1()(1)(1),(13)23n n n n n f x x x ∞
++=??=----<< ???∑
3. ()1x d e e f x dx x ??
-= ?-??
在1x =处
解： 1
1
01
(1)(1)!1!n x n x
x n n x e e x e ee
e e n x n -∞
∞
-==---==?=-∑∑?
2
2(1)()(1)1(2)!
x n n d e e x f x e x dx x n n -∞
=??--==≠ ?--??∑。 4. ()sin f x x =在4
x π=处
解：由
sin sin 44sin
cos cos sin cos sin 4444244x x x x x x πππ
πππππ????=+- ???
?????????
?????=-+-=-+- ? ? ? ??????????
???
及
21
020
4sin (1)()
4(21)!4cos (1)()
4(2)!n n n n
n n x x x n x x x n ππππ+∞=∞=?
?- ?????-=--∞<<+∞ ?+???
?- ?????-=--∞<<+∞ ???∑∑?
212044sin (1)2(21)!(2)!n n
n n x x x n n ππ+∞=??????--?? ? ???????
=-+??
+????
()x -∞<<+∞ 三、幂级数求和
步骤：1. 求出给定级数的收敛区间； 2. 两种途径：
适当变形?逐项积分 ?常见函数之幂级数（,sin ,cos ,ln(1),x
e x x x +几何级数等）?逐 项求导?得和函数
适当变形?逐项求导?常见函数之幂级数（,sin ,cos ,ln(1),x e x x x +几何级数等）?逐项积分?得和函数 1．
20
(21)!n
n n x n ∞
=+∑ 解：由2123!lim
lim ||0(1)!21n n n n
u n n x u n n +→∞
→∞+==++，可知R =+∞，故收敛区间为(,)-∞+∞， 设20
(21)()!n
n n S x x n ∞
=+=
∑，逐项积分得
22120
00
()!!n n
x
x n n x x S t dt x xe n n +∞
∞
=====?∑∑?
222()()(12)()x x S x xe x e x '==+-∞<<+∞。
2. 2(1)
n
n x n n ∞
=-∑
解：由1(1)
lim
lim 1(1)n n n n
a n n a n n +→∞
→∞-==+，得1R =，进一步可确定收敛区间为：[1,1]- 设2
()(1)n
n x S x n n ∞
==-∑，逐项求导得
10
21()ln(1)()ln(1)(1)ln(1)(||1)
1n n
x n n x x S x x S x t dt x x x x n n
-∞
∞=='===--?=--=---<-∑∑?
3. 121
22
1(1)(21)!2
n n n n x n -∞
--=--∑
解：由222
12(21)!2lim lim ||0(21)!2n n n
n n n
u n x u n -+→∞→∞-==+，可知R =+∞，故收敛区间为(,)-∞+∞，
21
1121
22
11(1)(1)()22sin ,()(21)!2(21)!22
n n n n n n n x x
S x x x n n ---∞∞
--==--??===-∞<<+∞ ?--??
∑∑
4.
(21)n
n n x
∞
=+∑
解：由123
lim
lim 121
n n n n a n a n +→∞
→∞+==+，得1R =，进一步可确定收敛区间为：(1,1)- 0
10112
()(21)2121121112(11)11(1)
n
n
n
n n n x n n n n S x n x nx x x nt dt x
x x x
x x x x x x x ∞
∞
∞
===∞-=∞
==+=+'??=+
?-??'??=+ ?-??'
+??=+=-<< ?---??∑∑∑∑?∑
【精品完整版】解析函数展开成幂级数的方法分析
解析函数展开成幂级数的方法分析 姓名：媛媛 学号：201100171431 专业：物理教育 指导教师：莉莉
解析函数展开成幂级数的方法分析 姓名 某某大学物理与电气信息工程学院 摘要：将解析函数展开成幂级数的方法不一，且比较复杂。本论文着重介绍了将解析函数展开成幂级数的几种方法以及分析。 关键词：解析函数，幂级数，展开，奇点等。 一前言 解析函数的应用及现状：解析函数边值问题和广义解析函数边值问题在奇异积分方程方面有广泛的应用，它们在弹性力学、流体力学方面也有重要的应用。这些方面的理论及其应用，主要是由苏联学者建立和发展起来的。自20世纪60年代以来，中国的数学工作者在这些方面也做了不少工作。 关于解析函数的不同定义在20世纪初被证明是等价的。基于魏尔斯特拉斯的定义，区域上的解析函数可以看作是其内任一小圆邻域上幂级数的解析开拓，关于解析开拓的一般定义是，f（z）与g（z）分别是D与D*上的解析函数，若DÉD*，且在D*上f（z）=g（z）。则称f（z）是g（z）由D*到D的解析开拓。解析开拓的概念可以推广到这样的情形：f（z）与g（z)分别是两个圆盘D1与D2上的幂级数，在D1∩D2上f（z)=g（z)则也称f与g互为解析开拓，把可以互为解析开拓的（f（z），Δ）的解析圆盘Δ全连起来，作成一个链。它们的并记作Ω，得到了Ω上的一个解析函数，称它为魏尔斯特拉斯的完全解析函数，这里可能出现这样的情形，在连成一个链的圆盘中，有一些圆盘重叠在一起，但在这些重叠圆盘的每一个上的解析函数都是不一样的，它们的每一个都称为完全解析函数的分支。这样的完全解析函数实际是一个多值函数。黎曼提出将多值解析函数中的那些重叠的圆盘看作是不同的“叶”，不使他们在求并的过程中只留下一个代表，于是形成了一种称为黎曼面的几何模型。将多值函数看作是定义于其黎曼曲面上的解析函数，这样多值解析函数变成了单值解析函数。解析函数的基本性质：解析函数的导函数仍然是解析函数；单连通域内解析
06-函数展开成泰勒级数的方法--间接展开法PPT
函数展开成幂级数的间接展开法
一、基本初等函数的间接展开法根据唯一性，利用常见展开式，通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等 方法，求展开式。 ?基本公式：).,( ,)!12()1(sin ). ,( , !).1,1( 1101 200 +∞-∞∈+-=+∞-∞∈=-∈=-∑∑∑∞=+∞=∞ =x n x x x n x e x x x n n n n n x n n ，
二、典型例题例1. )( 的幂级数展开成将x a x f x =由于令注意到解 . ln , ln a x u e a a x x ==).,( ,! 1!2112+∞-∞∈+++++=u u n u u e n u ),(!ln !2ln ln 122+∞-∞∈+++++=x x n a x a a x a n n x 代入上式得 将 ln a x u =
++-+-+-=+)! 12()1(!51!31sin 1253n x x x x x n n , ),( 时解：当+∞-∞∈x 例2、. cos )( 的幂级数展开成将x x x f =对上式逐项求导得 +-+-+-=)! 2()1(!41!211cos 242n x x x x n n
.11)( )1(:x x f +='解例3、. 的幂级数展开成将下列函数x ∑?? ∞ =-=+=+000)1(1)1ln( n x n n x dt t t dt x 则). 1,1( ,1 )1(10-∈+-=+∞=∑x x n n n n ).1,1( ,)1()(1111 0 -∈-=--=+∑∞=x x x x n n n 又.arctan )()2( ; )1ln()( (1)x x f x x f =+=板书
函数的幂级数展开
教案 函 数 的 幂 级 数 展 开 复 旦 大 学 陈纪修 金路 1． 教学内容 函数的幂级数（Taylor 级数）展开是数学分析课程中最重要的内容之一，也是整个分析学中最有力的工具之一。通过讲解将函数展开成幂级数的各种方法，比较它们的优缺点，使学生在充分认识函数的幂级数展开的重要性的基础上，掌握如何针对不同的函数选择最简单快捷的方法来展开幂级数，提高学生的计算与运算能力。 2．指导思想 （1）函数的幂级数（Taylor 级数）展开作为一个强有力的数学工具，在分析学中占有举足轻重的地位。通常的数学分析教科书往往注重于讲解幂级数的理论，而忽视了讲解将函数展开成幂级数的方法，这样容易造成学生虽然掌握了幂级数的基本理论，但在实际计算中，即使对于一个很简单的函数，在求它的幂级数展开时也会感到很困难，这种状况必须加以改变。 （2）求函数的幂级数展开是每个数学工作者时时会碰到的问题，虽然我们有函数的幂级数展开公式（见下面的（*）式），但一般来说，直接利用（*）式来求函数的幂级数展开往往很不方便，因此有必要向学生介绍一些方便而实用的幂级数展开方法，提高学生的实际计算能力，这也是我们在数学分析课程中推行素质教育的一个不可忽视的环节。 3. 教学安排 首先回顾在讲述幂级数理论时已学过的相关内容：设函数f (x )在 x 0 的某个邻域O (x 0, r )中能展开幂级数，则它的幂级数展开就是f (x ) 在x 0 的Taylor 级数： （*） ).,(,)(!) ()(00 00)(r x O x x x n x f x f n n n ∈-=∑∞ = 另外我们已得到了以下一些基本的幂级数展开式： (1) f (x ) = e x = ∑∞ =0! n n n x !!3!2132n x x x x n +++ +=+ …, x ∈(-∞, +∞)。 (2) f (x ) = sin x = ∑∞ =++-01 2! )12()1(n n n x n )! 12() 1(!5!31253+-+-+-=+n x x x x n n + …, x ∈(-∞, + ∞)。
常用函数的幂级数展开式
目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 1. 函数的幂级数展开法 (1) 直接展开法—利用泰勒公式; (2) 间接展开法—利用幂级数的性质及已知展开 2. 常用函数的幂级数展开式 x e ?1=) ,(∞+-∞∈x )1(ln x +?x =] 1,1(+-∈x x +2!21x +, ! 1 ΛΛ+++n x n 221x -331x +Λ+-441x 11 )1(++-+n n x n Λ+式的函数. 目录 上页 下页 返回 结束 Λ++-++! )12()1(1 2n x n n x sin ?x =!33x -!55x +Λ+-!77x x cos ?1=!22x - !44x +Λ+-!66x Λ+-+! )2()1(2n x n n m x )1(+?1=x m +2 ! 2)1(x m m -+Λ +ΛΛ++--+n x n n m m m ! )1()1(当m = –1 时x +11 ,)1(132ΛΛ+-++-+-=n n x x x x ) ,(∞+-∞∈x ) ,(∞+-∞∈x ) 1,1(-∈x )1,1(-∈x
目录上页下页返回结束 四、物体的转动惯量 设物体占有空间区域Ω, 有连续分布的密度函数.),, (z y x ρ该物体位于(x , y , z ) 处的微元v z y x y x d ),,()(2 2ρ+因此物体对z 轴的转动惯量: ???+=Ω ρz y x z y x y x I z d d d ),,()(2 2=z I d O x y z Ω对z 轴的转动惯量为 因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和, 故连续体的转动惯量可用积分计算. 目录上页下页返回结束 类似可得:???=Ω ρz y x z y x I x d d d ),,( ???=Ω ρz y x z y x I y d d d ),,( ???=Ω ρz y x z y x I O d d d ),,( )(22z y +)(22z x +)(222z y x ++对x 轴的转动惯量 对y 轴的转动惯量 对原点的转动惯量