特殊四边形动点问题的解题方法—图解法

特殊四边形动点问题的解题方法—图解法

区铁基

摘要：图解法数学思想依据是数形结合思想。它的应用能使复杂问题简单化、抽象问题具体化。特殊四边形的几何问题，很多困难源于问题中的可动点。如何合理运用各动点之间的关系，同学们往往缺乏思路，常常导致思维混乱。实际上求解特殊四边形的动点问题，关键是是利用图解法抓住它运动中的某一瞬间，寻找合理的代数关系式，确定运动变化过程中的数量关系，图形位置关系，分类画出符合题设条件的图形进行讨论，就能找到解决的途径，有效避免思维混乱。本文试论从三个方面探究特殊四边形动点问题的解题方法—图解法。以提高同学们的解题能力。

关键词：图解法；动态图形；静态图形；化“动”为“静”。

一、单动点问题

“数学是思维科学，数学教学是数学思维的教学”[1]。图解法数学思想依据是数形结合思想。而特殊四边形的几何问题，很多困难源于问题中的可动点。如何合理运用各动点之间的关系，同学们往往缺乏思路，常常导致思维混乱。实际上求解特殊四边形的动点问题，关键是要充分发挥空间想象的能力，不要被“动”所迷惑，而是要“动”中求“静”，化“动”为“静”，抓住它运动中的某一瞬间，寻找合理的代数关系式，确定运动变化过程中的数量关系，图形位置关系，通过点动带线动，利用图解法，分类画出符合题设条件的图形进行求解，就能找到解决的途径，有效避免思维混乱。 如图1所示，已知 ABCD 中，AD=4cm ，CD=6cm ，∠A=450

，点P 从点A 沿射线 AB 运动，速度为1cm/s ，若设运动时间为t(s)，连接PC ，当t 为何值时△PBC 为等 腰三解形？

本题以平行四边形为背景，结合特殊角，等腰三角形，勾股定理等知识编制 而成，当动点

P 沿射线AB 运动时，探求等腰三角形的几种情况。

通常人们都是在给出的原始动态图形中进行求解。同学们往往缺乏思路, 导致运算混乱。而我是利用图解法，通过点P 动带线动，抓住等腰三角形的腰与底的分类从动态图形中画出四种不同的静态图形进行求解，化“动”为“静”。

解：1， 如图2所示，当BP=BC 时△PBC 为等腰三角形

则：6－t=4 ∴2， 如图3所示，当BP=BC 时△PBC 为等腰三角形 则：t －6=4 ∴t=10(s) 3，

如图4所示，当CB=CP 时△PBC 为等腰三角形

∵ ABCD ∴∠CBP=∠A=450

,BC=AD=4

∵CB=CP ∴∠

BPC=∠CBP=450

∴∠BCP=1800-450-450=900

在Rt △BCP 中

24442

2

=+=BP

)()246(s t +=∴

4， 如图5所示，当PB=PC 时△PBC 为等腰三角形

∵ ABCD ∴∠CBP=∠A=450

,BC=AD=4

∵PB=PC ∴∠BCP=∠CBP=450

∴∠BPC=1800-450-450=900

在Rt △BPC 中设PB=PC=x, D D D

A

D D

则x 2+x 2=42

22=，x 解得

)()226(s t +=∴

综上所述当t=2(s)或t=10(s)或t=(6+42)(s)或t=(6+22)(s)时△PBC 为等腰三角形。

动态几何题,是指以几何知识和几何图形为背景,渗透运动变化观点的一类试题，揭示了“运动”与“静止”、“一般”与“特殊”的内在联系，以及在一定条件下可以互相转化的辩证关系，通过几何图形的运动变化，使学生经历由观察、想象、推理等发现、探索的过程，是中考数学试题中，考查学生的创新意识、创新能力的重要题型，解决这类问题的关键是善于探索动点的运动特点和规律，抓住变化中图形的性质与特征，化动为静，以静制动，从一般位置与特殊位置的比较中发现解题的方法和思路，或根据运动过程中的特殊位置,进行合理的分类[2]。

二、双动点问题

如图6所示， OABC 的顶点O 为坐标原点，A 点在x 轴正半轴上，∠COA=450

，OA=4cm ，OC= cm,点P 从C 点出发沿CB 方向，以1cm/s 的速度向点B 运动，点Q 从A 点同时出发沿AO 方向，以2cm/s 的速度向原点O 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动。 1，求点C ，B 的坐标

2，从运动开始，经过多少时间，四边形OCPQ 是平行四边形，

3，在点P,Q 运动的过程中，四边形OCPQ 有可能成为直角梯形吗？若能，求出运动时间，若不能，请说明理由，

本题同样也是以平行四边形为背景，但它是以双动点为载体的动点问题，我是在2010-2011学年广东省广州市白云区八年级（下）期末数学试题中第23题改编而成的一道题。在平时的教学中，开始我也是在题目给出的原始动态图形中进行解题讲解，发现效果很差，特别是双动点问题，学生不理解。后来我同样也是利用图解法，根据平行四边形，直角梯形的特征与性质分类画出以双动点P ，Q 为边的平行四边形和直角梯形进行讲解效果很好。

解：从动态图形中分类画出两种静态图形进行讨论： 1，如图6所示，过点C 作CE ⊥x 轴于点E 在Rt △OCE 中，∵∠COA ＝45°，

∴∠OCE ＝90°－45°＝45°，

∴EO=EC 设EO= x 由勾股定理得，222)2(=+x x

解得x 1=1 x 2=－1（舍去） ∴C 点的坐标为C （1，1），

∵CB ＝OA ，∴B 点的坐标为B （5，1）； 2，如图7所示，∵CP ∥OQ ， 要使四边形OCPQ 是平行四边形， 只需CP ＝OQ ，而OQ ＝OA －AQ ．

设经过t 秒后，四边形OCPQ 是平行四边形，

则有t ＝4－2t ，解得t ＝

34

（秒）． 即当运动开始后，经过3

4

秒时，四边形OCPQ 是平行四边形；

３，可以．

如图8所示，∵CP ∥OQ ，要使四边形ＯＣＰＱ是直角梯形，

2

只需PQ ⊥x 轴，即点P 的横坐标与点Q 的横坐标相同即可． 点P 的横坐标为t +1，点Q 的横坐标为4－2t ， 得t +1＝4－2t ，解得t ＝1（秒），

所以当开始运动到1秒时，四边形OCPQ 是直角梯形；

三、多动点问题

有一些比较抽象的题目，学生感到无从下手，原因是学生缺乏画图帮助解题的意识，如果根据题意转换成辅助图，就会化难为易，使问题直观化和形象化，降低学生思考问题的难度[3]。

如图9所示，在矩形ABCD 中，BC=24cm ，P ，Q ，M ，N 分别从A ，B ，C ，D 出发沿AD ，BC ，CB ，DA 方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ=xcm(x ≠0)，则AP=2xcm ，CM=3xcm ，DN=x 2cm ． 1，当x 为何值时，以PQ ，MN 为两边，以矩形的边 （AD 或BC ）的一部分为第三边构成一个三角形； 2，当x 为何值时，以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形 是平行四边形；（结果用根号表示）

3，以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形能否为等腰梯形?

如果能，求x 的值；如果不能，请说明理由．

本题我是从2009年淄博市中考题中最后一道题的第25题改编而成。它是以矩形为背景，4个动点为

载体的动点问题。第（1）小题的必须条件是点P ，N 重合且点Q ，M 不重合，此时AP+ND=AD ，即2x+x 2=24cm ，BQ+M C ＜BC ，即x+3x ＜24cm ，或者点Q ，M 重合点P ，N 不重合，此时AP+N D ＜AD ，即cm x x 2422<+，BQ+MC=BC ，即x+3x=24cm ，所以可以根椐这两种情况来求解x 的值。而第2小题是要把P ，N 两点分两种情况讨论：（1）点P 在点N 的左侧，（2）点P 在点N 的右侧。第3小题是利用等腰梯形同一底上的两条高的特征进行讨论判断。

同样如果单独利用题中给出的原始图形进行解题讲解，学生基本不理解，感觉是非常难的一道题，但我还是利用图解法，分类画出符合题设条件的相关图形进行解题讲解，化“动”为“静”，学生很乐意接受，效果也很好。特别是第3问，如果不分类画出相关图形，学生根本不明白。 解：从动态图形中分类画出五种静态图形进行讨论： 1，当点P 与点N 重合或点Q 与点M 重合时，以PQ ，

MN 为两边，以矩形的边（AD 或BC ）的一部分为 第三边可能构成一个三角形．

（1）如图10所示，当点P 与点N 重合时， 由2422=+x x ,得)(6421舍去-==x x

因为BQ +CM =x+3x=4x=16＜24，此时点Q 与点M 不重合．所以x=4符合题意．

（2）当点Q 与点M 重合时， x+3x=24 ∴x=6

此时24362>==x DP ，不符合题意． 故点Q 与点M 不能重合．所以所求x 的值为4．

2，由1知，点Q 只能在点M 的左侧，

（1）如图11所示，当点P 在点N 的左侧时，

由)2(24)3(242x x x x +-=+-，解得120()2x x ==舍去，． 当x=2时四边形PQMN 是平行四边形．

图9

D 图

10

图

11

）如图12所示，当点P在点N的右侧时，

由24

)

2(

)

3

(

242-

+

=

+

-x

x

x

x，

解得．)

(

57

3

57

3

2

1

舍去

-

-

=

+

-x

x

当57

3+

-

=

x时四边形NQMP是平行四边形．

所以当57

3

2+

-

=

=x

x或时，

以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．

3，如图13所示，过点Q，M分别作AD的垂线，垂足分别为点E，F．

由于2x＞x，所以点E一定在点P的左侧．

如图14所示，若以P，Q，M，N为顶点的四边形是等腰梯形，

则点F一定在点N的右侧，且PE=NF，

即x

x

x

x3

22-

=

-．

解得2

)

(

2

1

=

=x

x舍去．

由于当x=2时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，

所以以P，Q，M，N为顶点的四边形不能为等腰梯形．

总之特殊四边形动点问题，无论是单动点，双动点，还是多动点，利用图解法，善于探索动点的运动特点和规律，分类画出符合题设条件的图形进行讨论。在分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置），寻找合理的代数关系式，确定运动变化过程中的数量关系，图形位置关系，就能找到解决的途径，有效避免思维混乱。

参考文献：

[1] 陶维林，数学教学是思维的教学[J]，数学通报， 2008年3期。

[2] 袁亚平， 2010年中考数学中的动态几何压轴题赏析[J]，中学数学， 2010年16期。

[3] 郑大江，画画就明白—图解法在解题中的作用[J]，《中学生物学》， 2012年05期。

作者简介：

区铁基：中学一级教师，华南师范大学数学专科毕业，从事初中数学教学和研究36年。

图12

图13图14