三角函数解各类问题的十种方法

三角函数解各类问题的十种方法

１ 凑角法

一些求值问题通过观察角之间的关系，并充分利用角之间的关系，往往是凑出特殊角，可以实现顺利解答．

例１ 求tan 204sin 20?+?的值．

２ 降幂法

一些涉及高次三角式的求值问题，往往借助已知及22

sin cos 1αα+=，或降幂公式221cos 21cos 2sin ,cos 22

αααα-+==等借助降幂策略解答． 例２ 若2cos cos 1αα+=，求26sin sin αα+的值．

涉及非单角形式的三角函数问题，有时也需要考虑降幂进而化为一个角的三角函数形式解答，遇到“高次”问题就特别注意联想“降幂法”解答．

３ 配对法 根据一些三角式的特征，适当进行配对，有时可以实现问题的顺利解答．

例３ 已知(0,)2x π

∈，且222cos cos 2cos 31x x x ++=，求x 的值．

评注 三角函数中的正弦函数与余弦函数是一对互余函数，有很多对称的结论，如22sin cos 1θθ+=等，因此在解决一些三角求值，求证等问题时，可以构造对偶式，实施配对策略，尝试进行巧妙解答．

４ 换元法

很多给值求值问题都是给的单角的某一三角函数值，但有时会出现给出复合角的三角函数值求值的问题，此时，利用换元法可以将问题转化为熟悉的已知单角的三角函数值求值问

题．例４ 求sin 75cos 4515ααα+?++?+?（）（）（）的值．

５ 方程法 有时可以根据已知构造所求量的方程解答．

例５ 若33cos sin 1x x =+，试求sin x 的值．

评注 将已知转化为关于sin x 的方程是解题的关键．方程的思想方法是解答诸多三角函数问题的基本大法，如求三角函数的解析式等问题．一般地，若题目中有n 个需要确定的未知数，则只要构造n 个方程解答即可．

６ 讨论法

涉及含有参数或正负情形的三角问题，往往需要借助讨论法进行解答．

例６ 已知ABC !中，54sin ,cos 135

A B ==，求cos C ． 评注 分类讨论是将问题化整为零，进而化难为易的重要思想方法，一般含有绝对值的三角函数问题，涉及未确定象限的角的问题等，都要首先考虑“讨论”！

７ 平方法

分析已知和所求，有时借助“取平方”的方法可以实现顺利解题

例７ 已知sin sin sin 0αβγ++=，cos cos cos 0αβγ++=，求cos()αβ-的值． 评注 学习数学要掌握一些基本的操作技能，而“取”就是其中的重要一种，除了“取平方”外，常见的还有“取对数”，“取倒数”等操作，需要注意体会．本题就是借助平方关系实现整体消元后解答的．

８ 猜想法

有时根据已知数据的特征进行必要的猜想，能更好的解决求值问题．

例８

已知sin cos αα+=α为第二象限角，则sin α= ． 评注

实际上，将sin cos αα+=

22sin cos 1αα+=联立所得二元二次方程

组只有两组解，即1sin ,cos 2αα==

或1cos ,sin 2αα==，依题意只可取前者．学习数学，要培养对数据的敏感性，能根据数据特征进行积极联想，进而适当猜想，能有效提高解题速度，而且猜想是一种重要的推理形式，并不是“胡猜乱想”，要紧扣已知和所求进行．

９ 图象法

有时候，借助图象才能更好的解决对应的三角函数问题．

例９ 已知函数()sin 1(1)f x A x A =+>的图象与直线y A =在x 轴右侧的与x 轴距离最近的相邻三个交点的横坐标成等比数列，求实数A 的值．

１０ 比例法

借助比例的性质，有时可以实现快速解答三角函数问题．

例１０ 求证 2(cos sin )cos sin 1sin cos 1sin 1cos αααααααα

-=-++++．= 三角函数解各类问题答案

例1. 解析 原式sin 202sin 40sin 202sin(6020)cos 20cos 20?+??+?-?==?? sin 202(sin 60cos 20cos60sin 20)

cos 20?+??-??==?

例2. 解析 由2cos cos 1αα+=，得1cos 2α-+=，1cos 2α--=（舍去）．由2cos cos 1αα+=，又可得22cos 1cos sin ααα=-=，

则263sin sin cos cos αααα+=+，又由2cos cos 1αα+=，得2cos 1cos αα=-，

故322cos cos cos (1cos )cos (2cos )2cos cos 3cos 1ααααααααα+=+=-=-=-，

代值可得26sin sin αα+= 例3．解析 设222cos cos 2cos 3m x x x =++，令222sin sin 2sin 3n x x x =++，则3m n +=，cos2cos4cos6m n x x x -=++，其中，2cos62cos 31x x =-，

cos2cos4cos(3)cos(3)2cos cos3x x x x x x x x

+=-++=，2cos3(cos cos3)1m n x x x -=+-，

又cos cos3cos(2)cos(2)2cos cos2x x x x x x x x +=-++=，

故4cos cos2cos31m n x x x -=-，故

可解得1cos cos 2cos3(22)0(1)4

x x x m m =-==Q ．则cos 0x =，或cos20x =，或cos30x =，又(0,)2x π

∈，则6x π

=或4x π

=．

例4. 解析 令15αβ+?=，则原式sin(60)cos(30)βββ=+?++?-

(sin cos 60cos sin 60)(cos cos30sin sin 30)0βββββ=?+?+?-?-=．

例5. 解析 令cos sin x x t =+，则21cos sin (1)2

x x t =

-，[t ∈．由已知，有

2

221(cos sin )(cos sin cos sin )(1)12t x x x x x x t --++=+=，即3232(1)(2)0t t t t --=+-=，得1t =-，或2t =（舍去）．即cos sin 1x x =+，又22sin cos 1x x +=，整理可得2sin sin 0x x +=，解得sin 0x =或sin 1x =-．

例6. 解析 由5sin 13A =，得12cos 13A =±．当12cos 13

A =-时，因为,A

B 是AB

C !的内角，需要满足0A B π<+<，有0A B ππ<<-<，而余弦函数在区间(0,)π是减函

数，得cos cos()cos A B B π>-=-，但124cos cos 135

A B =-

<-=，故此情形不合题意． 可以验证12cos 13A =符合题意，故33cos cos()sin sin cos cos 65C A B A B A B =-+=-=- 例7．解析 有sin sin sin αβγ+=-，cos cos cos αβγ+=-，两式两边平方后对

应相加，可得2222(sin sin 2sin sin )(cos cos 2cos cos )αβαβαβαβ+++++

22(sin )(cos )1γγ=-+-=，即1cos()2

αβ-=-．

例8．解析 由sin 0,cos 0αα><及22221

sin cos 1,()(122

αα+=+-=，可得1sin 2

α=． 例9. 解析 如右图，设三个交点的坐标为(,)B b A ，(,)C c A ，(,)D d A ，由三角函数图象的对称性，则有22b c ππ+=?=，3232

c d ππ+=?

=，有b c π=-，3d c π=-，又222()(3)34c bd c c c c ππππ==--=-+，解得34c π=．故函数图象经过3(,)4A π，

代入可得2A =+．

例10. 解析 若cos 0α=（或sin 0α=），因为sin 1(cos 1),αα≠-≠-或，故sin 1α=，或cos 1α=，验证可知等式成立．

若cos 0α≠，则由2cos (1sin )(1sin )ααα=+-，2sin (1cos )(1cos )ααα=+-及比例性质a c a c b d b d +==+，可得cos 1sin 1sin cos 1sin cos 1sin cos αααααααα

--+==+++． sin 1cos 1sin cos 1cos sin 1sin cos αααααααα

-+-==+++，代入等式左边可知所证成立．