小题狂做：导数的综合运用

小题狂做：导数的综合运用

基础训练题

1．直线9y x =与曲线3y x =所围成的图形的面积为 A ．

814 B ．81

2

C ．18

D ．36 解：由2

9,

y x y x

=??

=?得0x =或3x =±，由定积分的几何意义和图形的对称性可得，直线9y x =与曲线3y x =所围成的图形的面积为33243009181

2(9)d 2()|242

x x x x x -=-=?．选B ． 2．（2010辽宁，10）已知点P 在曲线4

e 1

x y =+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是

A ．[0,)4π

B ．[,)42ππ

C ．3(,]24ππ

D ．3[,)4

ππ

解：e 4(4)1(e )2e 1e 2e x x y -'=-?

=++++，由基本不等式可知1e 2e x x +≥．所以10y '-≤<，即1tan 0α-≤<，故34

π

απ≤<．选D ．

3．（2011陕西，6）函数()cos f x x =在[0,)+∞上

A ．没有零点

B ．有且仅有一个零点

C ．有且仅有两个零点

D ．有无穷多个零点

解：由cos [1,1]y x =∈-，可先研究区间[0,1]上的零点，因为()sin 0

f x x '>，知()f x 在[0,1]上单调递增，且(0)10f =-<，

(1)1cos10f =->，所以()f x 在[0,1]上有唯一零点；当1x >时，()cos 1cos 0f x x x >-≥，故函数()f x 在上[0,)+∞有且仅有一个零点．选B ．

4．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，(1)0f =，当0x >时，有2

()()

0xf x f x x '->成立，则

不等式()0f x >的解集为(1,0)

(1,)

-+∞．

解：依题意当()0f x >时，0x ≠，令()()(0)f x F x x x =≠，则2

()()

()xf x f x F x x

'-'=，依题意当0x >时，()0F x '>，函数()F x 在(0,)+∞上单调递增．

因为()()()

()()f x f x f x F x F x x x x

---=

===--，所以函数()F x 为偶函数．从而函数()F x 在(,0)-∞上单调递减． 当0x >时，原不等式()0()(1)1f x F x F x x ?

>?>?>；当0x <时，原不等式()

0()(1)10f x F x F x x

?的解集为(1,0)(1,)-+∞．

5．已知3()2f x x ax b =+-，如果()f x 的图象在切点(1,2)P -处的切线与圆22(2)(4)5x y -++=相切，那么32a b +=

7-．

解：依题意得(1)223f a b =-?-=-，又因为2()3f x x a '=+，所以()f x 的图象在点(1,2)-处的切线方程为2(3)(1)y a x +=+-，即

(3)50a x y a +---=

52a =-，所以1

4

b =，所以327a b +=-．

6．函数()ln(12)12x

f x x x

=+-

-的增区间为1(,)4-+∞．

解：函数定义域为1

(,)2

-+∞．因为()ln(12)12x f x x x =+-

+，所以2

14()(12)x

f x x +'=+．由()0f x '>，得14x >-，所以函数()f x 的增区间为1

(,)4

-+∞．

例题解析

例1 （2013全国新课标Ⅱ，10）已知函数32()f x x ax bx c =+++，则下列结论中错误的是 A ．0x ?∈R ，0()0f x = B ．函数()y f x =的图象是中心对称图形 C ．若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞上单调递减 D ．若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '=

解：选项A 中，因为函数()f x 的值域为R ，所以一定存在0x ∈R ，使0()0f x =．A 正确．选项B 中，三次函数32()f x x ax bx c =+++图象有对称中心是显然的．故B 正确．选项C 中，由于2()32f x x ax b '=++是二次函数，()f x 有极小值点0x ，必定有一个极大值点1x ，若10x x <，则在区间0(,)x -∞上不单调递减．故C 错误．选项D 中，若0x 是极值点，则一定有0()0f x '=．故D 正确．选C ．

例2 （2014辽宁，11）当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是

A ．[5,3]--

B ．9

[6,]8

-- C ．[6,2]-- D ．[4,3]--

解：当0x =时，32430ax x x -++≥变为30≥恒成立，即a ∈R ．当(0,1]x ∈时，3243ax x x ≥--，23

43

x x a x --≥

，所以23m a x

43x x a x ??--≥ ???．设243()x x x x ?--=，则4(9)(1)()0x x x x ?-+'=->，所以()x ?在(0,1]上单调递增，m ax ()(1)6x ??==-．所以6a ≥-．当[2,0)x ∈-时，2343x x a x --≤

，所以2min

43x x a x ??--≥ ???．同上设23

43

()x x x x ?--=，则4(9)(1)()x x x x ?-+'=-．当[2,1)x ∈--时，()0x ?'<；当(1,0)x ∈-时，()0x ?'>．所以当1x =-时，()x ?有极小值，即为最小值．而m ax ()(1)2x ??=-=-，所以2a ≤-．综上知62a -≤≤-．选C ．

例3 （2010新课标全国卷，13）设()y f x =为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0()1f x ≤≤，可以用随机模拟方法近似计算积分1

0()d f x x ?，先产生两组（每组N 个）区间[0,1]上的均匀随机数

12,,,N x x x 和12,,,N y y y ，由此得到N 个点(,)(

1,2,i i x y i N =．再数出其中满足

()(1,2,

,)i i y f x i N ≤=的点数1N ，那么由随机模拟方法可得积分1

0()d f x x ?的近似值为

1

N

．