线性代数选择填空计算题解读

(一)单项选择题

1．设A ，B 为n 阶方阵，且()E AB =2

，则下列各式中可能不成立的是（ ）

(A )1-=B A (B)1-=B ABA (C)1

-=A BAB (D)E BA =2)( 2．若由AB=AC 必能推出B=C （A ，B ，C 均为n 阶矩阵）则A 必须满足（ ） (A)A ≠O (B)A=O (C )0≠A (D) 0≠AB 3．A 为n 阶方阵，若存在n 阶方阵B ，使AB=BA=A ，则（ ） (A) B 为单位矩阵 (B) B 为零方阵 (C) A B

=-1

(D ) 不一定

4．设A 为n ×n 阶矩阵，如果r(A)

(A) A 的任意一个行（列）向量都是其余行（列）向量的线性组合 (B) A 的各行向量中至少有一个为零向量

(C )A 的行（列）向量组中必有一个行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合 (D)A 的行（列）向量组中必有两个行（列）向量对应元素成比例 5．设向量组s ααα,,2,1 线性无关的充分必要条件是

(A) s ααα,,2,1 均不为零向量

(B) s ααα,,2,1 任意两个向量的对应分量不成比例 (C) s ααα,,2,1 中有一个部分向量组线性无关

(D )

s ααα,,2,1 中任意一个向量都不能由其余S-1个向量线性表示

6．向量组的秩就是向量组的 (A) 极大无关组中的向量 (B) 线性无关组中的向量

(C ) 极大无关组中的向量的个数 (D) 线性无关组中的向量的个数 7．下列说法不正确的是( ) (A ) 如果r 个向量r ααα,,2,1 线性无关，则加入k 个向量k βββ,,2,1 后，

仍然线性无关 (B) 如果r 个向量r ααα,,2,1 线性无关，则在每个向量中增加k 个向量后所得向量组仍然线性无关 (C)如果r 个向量r ααα,,2,1 线性相关，则加入k 个向量后，仍然线性相关

(D)如果r 个向量r ααα,,2,

1 线性相关，

则在每个向量中去掉k 个分量后所得向量组

仍然线性相关

8．设n 阶方阵A 的秩r

(B) 任意r 个行向量均可构成极大无关组 (C) 任意r 个行向量均线性无关

(D) 任一行向量均可由其他r 个行向量线性表示 9．设方阵A 的行列式0=A ，则A 中

(A) 必有一行（列）元素为零 (B) 必有两行（列）成比例

(C ) 必有一行向量是其余行（列）向量的线性组合 (D) 任一行向量是其余行（列）向量的线性组合

10．设A 是m ×n 矩阵，齐次线性方程组AX=0仅有零解的充分必要条件是( ) (A )A 的列向量线性无关 (B)A 的列向量线性相关 (C)A 的行向量线性无关 (D)A 的行向量线性相关

11．n 元线性方程组AX=b ，r （A ，b ）

(A)无穷多组解 (B)有唯一解 (C)无解 (D )不确定 12．设A ，B 均为n 阶非零矩阵，且AB ＝Ｏ，则A 和B 的秩（ ） (A) 必有一个等于零 (B)一个等于n ，一个小于n (C) 都等于n (D ) 都小于n 13．设向量组321,,ααα线性无关，则下列向量组中，线性无关的是

(A) 133221,,αααααα-++

(B) 3213221,,ααααααα++++ (C ) 1332213,32,2αααααα+++

(D)

321321321553,222,ααααααααα-++-++

14．向量组s ααα,,,21 线性无关的充分条件是 (A)s ααα,,,21 均不为零向量

(B)s ααα,,,21 中任意两个向量的分量均不成比例

(C )s ααα,,,21 中任意一向量均不能由其余s-1个向量线性表示 (D)s ααα,,,21 中有一部分向量线性无关

15．当向量组m ααα,,,21 线性相关时, 使等式02211=+++m m k k k ααα 成立的常数

m k k k ,,,21 为( )

(A)任意一组常数

(B)任意一组不全为零的常数 (C )某些特定的不全为零的常数 (D)唯一一组不全为零的常数 16．下列命题正确的是( )

(A) 若向量组线性相关, 则其任意一部分向量也线性相关 (B) 线性相关的向量组中必有零向量

(C) 向量组中部分向量线性无关, 则整个向量组必线性无关 (D ) 向量组中部分向量线性相关, 则整个向量组必线性相关 17．设向量组s ααα,,,21 的秩为r ，则 (A) 必定r

(B) 向量组中任意小于r 个向量部分组无关 (C) 向量组中任意r 个向量线性无关 (D ) 向量组任意r+1个向量线性相关

18．若s ααα,,,21 为n 维向量组，且秩(s ααα,,,21 )=r, 则 (A) 任意r 个向量线性无关 (B ) 任意r+1个向量线性相关

(C) 该向量组存在唯一极大无关组

(D) 该向量组在s>r 时, 由若干个极大无关组 19．向量组s ααα,,,21 线性无关的充分条件是 (A) s ααα,,,21 均为非零向量

(B) s ααα,,,21 中任意两个向量的分量不成比例 (C ) s ααα,,,21 中任意一个向量不能被其余向量线性表示 (D)

s ααα,,,21 中有一个部分组线性无关

20．设A 为n 阶方阵, 且r(A)=r

(C)任意r 个行向量构成极大无关组

(D)任意一个行向量都能被其他r 个行向量线性表示 21．A 是m ×n 矩阵, r(A)=r 则A 中必( )

(A)没有等于零的r-1阶子式至少有一个r 阶子式不为零 (B )有不等于零的r 阶子式所有r+1阶子式全为零 (C)有等于零的r 阶子式没有不等于零的r+1阶子式 (D)任何r 阶子式都不等于零任何r+1阶子式都等于零 22．能表成向量()1,0,0,

01=α,()1,1,1,02=α,()1,1,1,13=α的线性组合

的向量是（ ） (A) ()1,1,0,

0 (B )()0,1,1,2 (C)()1,0,1,3,2- (D)()0,0,0,0,0

23．已知()3,2,

11=α, ()2,1,32-=α,()x ,3,23=α 则x=

（ ）时321,,ααα线性相关。

(A) 1 (B)2 (C) 4 (D ) 5

24．向量组()4,2,1,

11-=α,()2,1,3,02=α,()14,7,033=α

()0,2,1,14-=α的秩为

（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4

25．矩阵A 在( ) 时可能改变其秩

(A) 转置 (B) 初等变换

(C) 乘一个可逆方阵 (D ) 乘一个不可逆方阵 26．设A 为n 阶方阵,且0=A ，则

(A) A 中任一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合 (B) A 必有两行（列）对应元素乘比例

(C ) A 中必存在一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合 (D) A 中至少有一行（列）向量为零向量

27．向量组s ααα,,,21 线性相关的充要条件是( ) (A) s ααα,,,21 中有一零向量

(B) s ααα,,,21 中任意两个向量的分量成比例 (C ) s ααα,,,21 中有一向量是其余向量的线性组合 (D)

s ααα,,,21 中任意一个向量均是其余向量的线性组合

28．若向量β可由向量组s ααα,,,21 线性表出,则( )

(A) 存在一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,使等式s s k k k αααβ+++= 2211成立 (B) 存在一组全为零的数s k k k ,,,21 ,使等式s s k k k αααβ+++= 2211成立 (C )向量s αααβ,,,,21 线性相关 (D) 对β 的线性表示不唯一

29．设A 是m ×n 矩阵，AX=0是非齐次线性方程组AX=b 所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是

(A) 若AX=0仅有零解，则AX=b 有唯一解 (B) 若AX=0有非零解，则AX=b 有无穷多个解 (C) 若AX=b 有无穷多个解，则AX=0仅有零解 (D ) 若AX=b 有无穷多个解，则AX=0有非零解

30．要使????? ??=2011ζ,???

?? ??-=1102ζ都是线性方程组AX=0的解，只要系数矩阵A 为

(A ) ()1,1,2- (B) ???? ??-110102 (C) ????

??-210201 (D) ????

?

??---110224110

31．设矩阵n m A ?的秩为r(A)=m

(B)A 的任意个m 阶子式不等于零

(C)A 通过初等变换, 必可化为(m I ,0)的形式

(D )非齐次线性方程组AX=b 一定有无穷多组解

32．非齐次线性方程组AX=b 中未知数的个数为n ，方程个数为m ，系数矩阵A 的秩为r ，则（ ）

(A ) r=m 时, 方程组AX=b 有解 (B) r=n 时, 方程组AX=b 有唯一解 (C) m=n 时, 方程组AX=b 有唯一解 (D) r

33．设一个n 元齐次线性方程组的系数矩阵的秩r(A)=n-3, 且321,,ηηη为此方程组的三个线性无关的解, 则( )是此方程组的基础解系 (A)321,,ηηη

(B)133221,,ηηηηηη--- (C )321211,,ηηηηηη+++ (D)233121,,ηηηηηη+--

34．已知321,,ααα是齐次线性方程组AX=0的基础解系，那么基础解系还可以是（ ） (A) 332211αααk k k ++ (B )

133221,,αααααα+++

(C)

,,3221αααα--

(D),,,233211αααααα-+-

35．向量组r ααα,,,21 线性无关，且可由向量组s βββ,,,21 线性表示，则 r(r ααα,,,21 )必( )r(s βββ,,,21 )

(A)大于等于 (B)大于 (C)小于 (D )小于等于

36．设n 元齐次线性方程组AX=0的通解为k （1，2，…，n ）T

，那么矩阵A 的秩为（ ） (A) r(A)=1 (B ) r(A)=n-1 (C) r(A)=n (D)以上都不是 110．向量组的秩就是向量组的 (A) 极大无关组中的向量 (B) 线性无关组中的向量

(C ) 极大无关组中的向量的个数 (D) 线性无关组中的向量的个数

37．一个向量组中的极大线性无关组（ ）

(A)个数唯一 (B) 个数不唯一 (C )所含向量个数唯一 (D) 所含向量个数不唯一

38．设n 维向量组r ααα,,,21 (Ⅰ)中每一个向量都可由向量组s βββ,,,21 (Ⅱ)线性表出,且有r>s, 则( )

(A) (Ⅱ)线性无关 (B) (Ⅱ)线性相关 (C) (Ⅰ)线性无关 (D ) (Ⅰ)线性相关 39．设n ααα,,,21 是n 个m 维向量，且n>m, 则此向量组n ααα,,,21 必定( ) (A ) 线性相关 (B) 线性无关 (C) 含有零向量 (D) 有两个向量相等 40．矩阵A 适合条件（ ）时，它的秩为r

(A)A 中任何r+1列线性相关 (B) A 中任何r 列线性相关

(C) A 中有r 列线性无关 (D ) A 中线性无关的列向量最多有r 个

41．已知矩阵A=???

?

? ??040020001，则R （A ）=（ ）

(A)0 (B)1 (C )2 (D)3

42．若m ×n 阶矩阵A 中的个列线性无关 则A 的秩（ ）

(A)大于m (B)大于n (C )等于n (D) 等于m

43．若矩阵A 中有一个r 阶子式D ≠0，且A 中有一个含D 的r+1阶子式等于零，则一定有R （A ）（ ）

(A ) ≥r (B)＜r (C)=r (D) =r+1 44．要断言矩阵A 的秩为r ，只须条件（ ）满足即可 (A) A 中有r 阶子式不等于零 (B) A 中任何r+1阶子式等于零

(C) A 中不等于零的子式的阶数小于等于r

(D ) A 中不等于零的子式的最高阶数等于r

45．设m ×n 阶矩阵A ，B 的秩分别为21,r r ，则分块矩阵（A ，B ）的秩适合关系式（ ） (A ) 21r r r +≤ (B) 21r r r +≥ (C) 21r r r += (D) 21r r r = 46．R(A)=n 是n 元线性方程组AX=b 有唯一解( )

(A)充分必要条件 (B) 充分条件 (C ) 必要条件 (D) 无关的条件 47．矩阵A=?

??

?

??--1111的特征值为0,2, 则3A 的特征值为( ) (A) 2,2; (B ) 0,6; (C) 0,0; (D) 2,6; 48．A=?

??

?

??--1111的特征值为2,2， 则2

22A A I +--的特征值为（ ） (A) 2,2; (B ) –2,-2; (C) 0,0; (D) –4,-4; 49．AP P B 1

-=,0λ是A,B 的一个特征值, α是A 的关于0λ的特征向量, 则B 的关于0λ的

特征向量是( ) (A)

α (B) αP (C ) α1-P (D) αP '

50．n 阶矩阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件是（ ） (A) 矩阵A 有n 个特征值

(B ) 矩阵A 有n 个线性无关的特征向量 (C) 矩阵A 的行列式0≠A (D) 矩阵A 的特征多项式没有重根

51．A 满足关系式O E A A =+-22

，则A 的特征值是

(A) λ=2 (B) λ= －1 (C ) λ= 1 (D) λ= －2是

52．已知－2是A=???

?

? ??----b x 2222

220的特征值，其中b ≠0的任意常数，则x=（ ） (A) 2 (B) 4 (C) －2 (D ) －4

53．已知矩阵A=???

?

? ??----x 44174

147有特征值12,3321===λλλ，则x=（ ） (A) 2 (B) － 4 (C) －2 (D ) 4

54．设A 为三阶矩阵，已知0=+E A ，02=+E A ，03=+E A ，则=+E A 4 (A ) 6 (B) － 4 (C) －2 (D)4

55．A 为n 阶矩阵，且I A =2

，则

(A) A 的行列式为1 (B) A 的特征值都是1 (C )A 的秩为n (D)A 一定是对称矩阵

56. 设A 为三阶矩阵，有特征值为1，-1，2，则下列矩阵中可逆矩阵是（ ） (A) E-A (B) E+A (C) 2E-A (D ) 2E+A 57. 已知A 为n 阶可逆阵, 则与A 必有相同特征值的矩阵是( )

(A) 1

-A (B)2

A (C ) T

A (D) *

A 58．已知A 为三阶矩阵，r(A)=1, 则λ=0( )

(A)必是A 的二重特征根 (B ) 至少是A 的二重特征根 (C) 至多是A 的二重特征根 (D)一重,二重,三重特征根都可能

（二）计算题与填空题

1．0653

=+-I A A ，则=-1

A

（ ） （()

I A 56

12

--

） 2． ????? ??=101020101A ，,2I A I AX +=+则=X （ ） （???

?? ??201030102）

3．????? ??=101041003A ，则()=--1

2I A （ ） （?

???

? ??-20001100221）

4.()()(),01,50,31321t

T

T

t t t

-=-=-=ααα =t ( )时, 向量组321,,ααα

线性无关. 5．设()()(),112,231,5121T

T T k

-=-==ααβ=k （ ）时β可被向量

组21,αα线性表出。 （-8）

6.设()21,,1αα-=?n A r n n 是0=AX 的两个不同的解, 则0=AX 的通解是( ). (A)1αk (B)2αk (C)()21αα-k (D)()21αα+k (B)

7.()T

111-=ξ是????

? ??---=20135

212a A 的特征向量,则()()==b a ,. (-1,-3) 8．设()()()().111,111,111,22

1321T

T

T

T

-=-==-=αααβ则β是否为

向量组321,,ααα的线性组合？ （是） 9．

(),3210T =α(),13221T =β(),21212T -=β

().21123T --=β 则β是否为的线性组合？ （不是）

10． 确定b a ,为何值时，使下列非齐次线性方程组有解，并求其所有解.

??????

?=+++=+-+-=+--=+--b

x x x x x ax x x x x x x x x x x 432143214

32143217107141253032. 答： 当4,1=-=b a 时，解为

?

??????

??-+??????? ??-+???

????

?

??2017023100212121c c ，其中

21,c c 为任意非零常数; 当4,1=-≠b a 时，解为

?

?????? ??-+???

????

? ??2017002121k ，其中k 为任意常数; 方程组不存在唯一解.

11．已知11111

1111A -??

?

=- ? ?-??

，矩阵X 满足*12A X A X -=+，其中*A 是A 的伴随矩阵，求矩阵X .

答 ：11010114101X ?? ?= ? ???

12． 求下列矩阵的特征值与特征向量. （1）????? ??--102010201

(2)

????

?

??-----112202213.

答案： (1) 1231,1,3λλλ==-=，

对应于11=λ的全部特征向量是()10,1,0T

k ，01≠k ；

对应于12-=λ的全部特征向量是()21,0,1T

k ，02≠k ； 对应于33=λ的全部特征向量是()31,0,1T

k -，03≠k . (2) 1230,1,λλλ===

对应于01=λ的全部特征向量是???

?

? ??1111k ，1k 为非零常数；

对应于132==λλ的全部特征向量为

???

?

? ??-+????? ??12002132k k ，23,k k 是不同时为零的常数； 13．设0322=--E A A ，求(2)n n ≥阶方阵A 的特征值.。

答案：121,3λλ=-=

14．

三阶矩阵A 的特征值为3,2,1321===λλλ,则()21

*

1

,,;A A

A A A +=--的特征值

为( ). (6; ;31,21,

1 ;2,3,6 2,.3

19,214) 15．向量组

321,,ααα线性无关，c b a ,,满足什么关系时，向量组

133221,,αααααα---c b a 必线性相关． （1=abc ） 16设矩阵????? ??=k k A 1012101有一个特征向量为???

?

?

??-121，求k 及A 的三个特征值.

答案：3=k ，A 的三个特征值为1,3,4. 17．已知向量组

()()()()()T T T T T a 7,4,0,3,6,,1,1,8,3,2,1,7,5,1,1,1,2,1,254321=-=-=--==ααααα

的秩为3，求a 及该向量组的一个极大无关组. 答案：421,,,2ααα=a 为一个极大无关组.

18.设,2B B =B I A +=.証明：A 可逆.

19. 设向量组()()()k k k ,1,1,1,2,1,1,,1321-=+=-=ααα， (1) k 为何值时，21,αα线性相关？线性无关？ (2) k 为何值时，321,,ααα线性相关？线性无关？

(3) 当321,,ααα线性相关时，将3α表示为21,αα的线性组合. 答案：(1) 2-=k 时线性相关，2-≠k 时线性无关；

(2) 2,1--=k 或2时线性相关；1-≠k 且2-≠k 且2≠k 时线性无关； (3) 当1-=k 时，2130ααα?+=；当2=k 时， 2134

345ααα+

-=. 20设,11221

032

1???

?

? ??--=A 使得方程组b AX =总有解的b 是( ). (????

? ??-+??

????????-+????? ??123112201321k k k )

.