最优化大作业 外点法

用外点法求解函数

问题分析 外点法为序列无约束最优化方法，其基本思想为将条件函数吸收到目标函数中进行求解。其在数学上的直观理解是拉格朗日乘子法：

[]()()()[]?

?????+=∑=m i i x g M x f M X T 12,0min min ;min ，

[]M X T ;min 为总代价，()x f 为价格，()()[]∑=m

i i x g M 1

2

,0min 为罚款。即在经济学上总代价为价格和罚款的和。此时

()()[]()

()()()m i x g x g x g x g i i i i ~1000,0min 22=?≥???=，当，当

称[]()()∑=++=m i i x g M x f M X T 1

;为增广目标函数，通常取

()()()()???≤≥=+0002x g x g x g x g i i i i 当当

算法实现步骤

1.给定初始点0X ，初始惩罚因子1r ，维数n 迭代精度ε和递增系数1>C ；

2.构造外点惩罚函数),(k k r X P ；

3.选用无约束优化方法来求解惩罚函数极小点，即，

),(min ),(k k k r X P r X P =

4.检验是否满足迭代终止条件

ε≤--1k k X X 或ε≤--)()(1k k X f X f 若满足转6，若不满足转5；

5.令

1+

→k

r

r

C k，转2；

6.输出最优解，迭代终止。

注：程序所用语言为MATLAB，程序中无约束优化部分通过求导实现。

M文件如下：

tic

clc

%c ê?3??μ￡?eps?a?êDí?ó2??μ

if nargin==1

eps=1.0e-5;

elseif nargin<1

error('')

return

end

syms m

[x1,x2]=solve('-1+2*m*(x1+x2-1)=0','1+2*m*(x2-1)+2*m*(x1+x2-1)=0');

t=1;k=1;

x1=limit(x1,m,t);

x2=limit(x2,m,t);

bound=max(eval(x2(1))-1,eval(x1(2)+x2(2))-1);

while -bound>eps

t=10*t;k=k+1;

[x1,x2]=solve('-1+2*m*(x1+x2-1)=0','1+2*m*(x2-1)+2*m*(x1+x2-1)=0');

x1=limit(x1,m,t);

x2=limit(x2,m,t);

bound=max(eval(x2(1))-1,eval(x2(2))-1,eval(x1(1)+x2(1))-1,eval(x1(2)+ x2(2))-1);

end

x1=eval(x1);x2=eval(x2);

f1=-x1(1) +x2(1);

f2=-x1(2)+x2(2);

if f1

disp(sprintf('the final x is [%f %f]',x1(1),x2(1)));

disp(sprintf('the final function value is %f',f1));

else

disp(sprintf('the final x is [%f %f]',x1(2),x2(2)));

disp(sprintf('the final function value is %f',f2));

end

disp(sprintf('the times used to recursion is %f',k))

toc

调用方式如下

syms x1 x2 m

T=-x1+x2+ m*( x2-1)^2+m*(x1+x2-1)^2;

waidian(T,eps);

function s=waidian(T,eps)

程序中无约束优化部分通过调用“牛顿法”完成

代码如下；

tic

clear all;close all;clc

syms x1 x2

m=1;x0=[1;0];eps=1.0e-5;

T=-x1+x2+ m*( x2-1)^2+m*(x1+x2-1)^2;

c=10;k=1;

while 1

s=newton1(T,x0,eps);%调用newton法

x1=s(1);x2=s(2);

if m*( x2-1)^2+m*(x1+x2-1)^2>eps

m=c*m;k=k+1;syms x1 x2

T=-x1+x2+ m*( x2-1)^2+m*(x1+x2-1)^2;

else

disp(sprintf('the final result is [%f %f]',x1,x2));

disp(sprintf('the function value is %f', -x1+x2);

disp(sprintf('the times used to recursion is %f',k)); break;

end

end

toc

实验结果如下：

由上述结果可知当迭代8次时能够达到终止条件，此时, 函数得到最优解1.求解完成。