抽样区间估计与样本容量计算释疑

抽样区间估计与样本容量计算释疑

抽样推断是统计学的基本方法之一，也是统计学原理的重点学习内容之一。抽样调查特点、抽样平均误差影响因素、抽样参数估计、抽样样本容量确定等构成了这一章的重点内容，而其中的参数估计与样本容量确定则是计算的重点。本文拟通过案例与初学者谈谈如何进行抽样估计，如何确定样本容量。

[例1]某市统计部门为了解全市居民年消费支出情况，从全市20万户居民中随机抽取1000户居民进行调查，经计算平均每户年生活费支出为1.8万元，标准差0.9万元。

要求：⑴以95.45%(t=2)的概率保证程度估计户均生活费支出的区间。 ⑵估计全市居民消费总支出区间。

[解题过程]已知

户均年支出区间：[1.8-0.056,1.8+0.056]万元=[1.744,1.856]万元 全市居民消费总支出区间：20万户×[1.744,1.856]万元=[3.488,3.712]亿元

[几点说明]（1）一般而言，抽样区间估计的基本步骤是：点估计、平均误差、极限误差、置信区间。本例就是标准的均值参数区间估计题型。由于样本均值与标准差是已知的，所以无需计算点估计值。（2）本题计算时，必须注意“方差”与“标准差”的区别，不要将标准差当作方差来使用。（3）社会经济问题抽样调查一般都是采用不重复抽样的，只有当总体单位总数N 未知或n/N 的比重很低时，才可以采用重复抽样平均误差公式来计算平均误差。（4）估计总量指标时，可直接将样本均值的区间乘上全及总体单位总数N 即可。

[例2]某企业为了解本市居民对某类保健品的看法，采用简单随机抽样方式，从全市居民户中随机抽取500人进行调查结果如下：

要求：以95%的可靠性估计全市居民中“喜欢”该产品的比率（t=1.96）。

1000,200000,2,9.0,8.1=====n N t x σ万元平均误差028.0%)5.01(1000

81.0)1(2=-=-=N n n x σμ万元

极限误差056.0028.02=?==?x x t μ

[解题过程]已知

喜欢该类保健品者的比率置信区间为：

[64%-4.21%,64%+4.21%]=[59.79%,68.21%]

[几点说明]（1）本例是标准的成数区间估计题型。其基本步骤同样是：点估计、平均误差、极限误差、置信区间。（2）成数区间估计时最容易犯的错误就是：将N 、n 、n 1相混淆。其实，若用文字表述，应该是“从N 中随机抽取n 个单

位进行观察，有n 1个单位是（具有某种特征）……”。并且，不要将抽样估计中提

供的“可靠性水平”当作公式中的P 来使用。“可靠性水平”值在计算时没有其它用途，只告诉我们概率密度t 的具体取值。（3）本例没有提供全市居民总人数，所以N 可视作“无穷大”。所以采用重复抽样的平均误差公式计算抽样误差。

[例3]某企业拟采用抽样技术对当天生产的5000件电子产品的耐用时间进行测试，要求有99%的可靠性（t=2.58）使耐用时间的误差范围不超过20小时。根据生产规格要求，这类电子产品耐用时数的标准差不超过150小时。问：至少应该抽取多少件产品进行质量检查（分别重复抽样与不重复抽样两种情况）。

[解题过程]已知N=5000，t=2.58，Δx =20,σ=150

[几点说明]（1）本例是样本容量确定的标准题型之一。样本容量确定其实是极限误差计算（参数估计）的反问题，因此其公式就是根据极限误差与平均误差之间的关系推导而来的。因为Δx =t μx ,等式两边平方，即有Δx 2=t 2μx 2，在简单随机抽样情况之下，Δx 2=t 2σ2/n ，从而有上述的公式。（2）对于成数的抽样估计，

是非标志的方差σp 2=P(1-P),故只要将上述公式中的方差改为P （1-P ）即可。（3）

样本容量估计时，计算结果总是取整数，小数点无论是否达到0.5均应该进位，故本列中374.4与348.3均进位，分别成为375与349。（4）在样本容量确定时，允许误差或误差范围均是指极限误差Δ。

[例4]某市质量技术监督部门拟对市场上某类牛奶制品的质量（合格率）进行检查，要求在95%的可靠性之下(t=1.96)，合格率的误差范围不超过1%。根据最近三次同类检查，这类产品的合格率分别为98.9%、98.2%、97.8%。问至少应该抽多少件产品进行检验？若允许误差扩大1倍，则应该抽取多少件进行检验？

%

64500/320/320

,96.1,50011======n n p n t n 点估计%15.2021466.0500

36.064.0)1(==?=-=n p p p μ平均误差%21.40215.096.1=?==?p p t μ极限误差()件重复抽样时的样本容量3754.37420

15058.222

2222≈=?=?=x t n σ()件量不重复抽样时的样本容3493.34815058.220500015058.250002

222

2222

22≈=?+???=+?=σσt N Nt n x

[解题过程]已知t=1.96，Δp =1%,P=97.8%

当允许误差扩大1倍时，即Δp =2%，于是样本容量：

[几点说明]（1）本例是成数估计时的样本容量确定。虽然实际的质量检验肯定是采用不重复抽样的，但由于市场上该类产品数量未知，可视作无穷大，故采用重复抽样的样本容量公式。（2）本例的关键是公式中P 的选择。题中提供了三次同类检查的合格率资料，但一般不能用三者平均数作为P 。样本容量确定时通常采取“保守原则”，因此应该取“最大方差”，题中提供的三次调查合格率，其方差分别为98.9%（1-98.9%）=0.010879、98.2%(1-98.2%)=0.011784、97.8%(1-97.8%)=0.021516，故取P=97.8%时方差达到最大，据之计算得出的样本容量也最大，据之作出的调查估计也是“最保守”从而也是最可靠的。（3）但必须注意的是，此例表面上看是取三个合格率的最小者作为P ，但切不可据之类推，以为永远是最小的那个比率。例如，本例若改为对“不合格率“的估计，则前三次调查的不合格率是1.1%、1.8%、2.2%，若错误地认为应该取三者中的小者，就会取P=1.1%，但据之计算的方差却不是最大而是最小。此时取P=2.2%才可达到“方差最大”。其实，P=50%时成数方差达到最大值，因此，应该取最接近50%的那个比率作为样本容量公式中的P 。（4）对于例3资料，其实也存在着“最大方差”原则问题，即当资料中给出了近几次类似调查的样本方差，则也应该取其中最大者作为公式中的方差σ。（5）当同一次调查需要对两个以上的项目（如平均值与成数）进行估计时，应该分别计算这些项目的必要样本容量，然后取其中之大者作为最终确定的抽样单位数。

[例5]对于简单随机重复抽样，在其它条件不变的情况之下，（1）抽样单位数（样本容量）分别增加1倍、3倍、减少25%、50%，则抽样平均误差分别如何变化；（2）反之，若抽样允许误差缩小20%、50%、扩大50%、100%，则抽样单位数（样本容量）应该如何变化？

[解题过程]（1）设改变要求之前的样本容量为n 旧，平均误差记为μ旧，则当样本容量分别增加1倍、3倍、减少25%、50%时，相应的n 将分别为：

n=2n 旧、n=4n 旧、n=0.75n 旧、n=0.5n 旧，相应抽样平均误差分别为：

即样本容量扩大一倍，平均误差减少29.29%。

()件样本容量8276.82601

.0022.0978.096.1)1(2222≈=??=?-=p P P t n ()件2077.20602

.0022.0978.096.1)1(2222≈=??=?-=p P P t n 旧

旧旧μσσσμ7071.02

12222====n n n

即样本容量扩大3倍，抽样平均误差减少50%。

即样本容量减少25%，抽样平均误差扩大15.47%。

即样本容量减少50%，抽样平均误差扩大41.42%。

（2）设改变要求之前的允许误差记为Δ旧，相应的样本容量记为n 旧，则当

抽样允许误差缩小20%、50%、扩大50%、100%，时，相应的Δ分别为： Δ=0.8Δ旧，Δ=0.5Δ旧，Δ=1.5Δ旧，Δ=2Δ旧，，相应样本容量为：

即允许误差减少20%，样本单位数应该扩大0.5625倍。

即允许误差减少一半，样本单位数应该扩大3倍。

即允许误差扩大50%，样本单位数可以减少55.56%。

即允许误差扩大1倍，样本单位数可以减少75%。

[几点说明]（1）本题是测试学生对样本容量与抽样平均误差（或极限误差）之间数量关系掌握的熟练程度。因此，本题关键是搞清楚在重复简单随机抽样情况之下，样本容量与平均误差、极限误差之间的公式关系。（2）本题还必须正确理解统计学中 “扩大了”、“减少了”的真实含义，注意与“扩大到”、“减少到”之间的本质差别。“扩大了一倍”等价于“是原来的二倍”，“减少了20%”等价于“是原来的80%”，貌似简单，却总有不少初学者搞错，因此必须引以重视。

旧旧

旧μσσσμ5.021422

2

====n n n 旧

旧旧μσσσμ1547.175.01

75.022

2

====n n n 旧

旧

旧μσσσμ4142.15.015.0222====n n n ()

旧旧n t t n 5625.18.022

2222=?=?=σσ()

旧旧n t t n 45.022

2222=?=?=σσ()

旧旧n t t n 4444.05.122

2222=?=?=σσ()

旧旧n t t n 25.0222

2222=?=?=σσ