第二章第4节

第4节　匀变速直线运动的速度与位移的关系

1．当物体做匀速直线运动时，物体的位移为x＝______.当物体做变速直线运动时，可用平均速度求解物体的位移，即x＝______.

2．匀变速直线运动的物体的位移与速度满足关系式：__________________________.

该关系式适用于匀加速和匀减速直线运动，且该公式为矢量式，在规定正方向后可用

________表示x和a的方向．

3．描述一段匀变速直线运动共有5个物理量：初速度v0、末速度v、加速度a、位移x、时间t，如果问题中的已知量和未知量都不涉及时间，利用______________求解，往往会使问题变得简单、方便．

4．如图1所示，一辆正以8 m/s的速度沿直线行驶的汽车，突然以1 m/s2的加速度加速行驶，则汽车行驶了18 m时的速度为________ m/s.

图1

5．现在的航空母舰上都有帮助飞机起飞的弹射系统，已知“F－A15”型战斗机在跑道上加速时产生的加速度为4.5 m/s2，起飞速度为50 m/s.若该飞机滑行100 m时起飞，则弹射系统必须使飞机具有的初速度为( )

A．30 m/s B．40 m/s

C．20 m/s D．10 m/s

6．汽车在平直公路上以20 m/s的初速度开始做匀减速直线运动，最后停止．已知加速度的大小为0.5 m/s2，求汽车通过的路程．

【概念规律练】

知识点一　利用v2－v＝2ax求位移

1．在全国铁路第六次大提速后，火车的最高时速可达250 km/h，若某列车正以216 km/h 的速度匀速行驶，在列车头经路标A时，司机突然接到报告要求紧急刹车，因前方1 000 m处有障碍物还没有清理完毕，若司机听到报告后立即以最大加速度a＝2 m/s2刹车，问该列车是否发生危险？

知识点二　利用v2－v＝2ax求速度

2．一物体从斜面顶端由静止开始匀加速下滑，它到达斜面底端时的速度是m/s，则经过斜面中点时的速度是________ m/s.

3．汽车以10 m /s 的速度行驶，刹车后的加速度大小为3 m/s 2，求它向前滑行12.5 m 后的瞬时速度．

知识点三　位移中点速度的计算

4．一个做匀加速直线运动的物体，通过A 点的瞬时速度是v 1，通过B 点的瞬时速度是v 2，那么它通过A 、B 中点的瞬时速度是( ) A. B.

v 1＋v 22v 2－v 12

C. D.

v 2－v 212v 2＋v 21

【方法技巧练】

一、匀变速直线运动基本公式的应用

5．一物体从斜面上某点由静止开始做匀加速直线运动，经过3 s 后到达斜面底端，并在水平地面上做匀减速直线运动，又经9 s 停止，则物体在斜面上的位移与水平面上的位移之比是( ) A ．1∶1 B ．1∶2 C ．1∶3 D ．13∶1 6．物体从静止开始做匀加速直线运动，加速度为1 m/s 2，求： (1)物体在2 s 内的位移；

(2)物体在第2 s 内的位移；

(3)物体在第二个2 s 内的位移．

二、追及问题的解题技巧

7．小车从静止开始以1 m /s 2的加速度前进，车后相距x 0＝25 m 处，与车运动方向相同的某人同时开始以6 m/s 的速度匀速追车，问能否追上？若追不上，求人、车间的最小距离为多少？

1．物体从长为L 的光滑斜面顶端开始下滑，滑到底端的速率为v .如果物体以v 0＝的初速

度从斜面底端沿斜面上滑，上滑时的加速度与下滑时的加速度大小相同，则可以达到的最大距离为( ) A. B. L 2L 3C. D.L L

22．物体的初速度为v 0，以加速度a 做匀加速直线运动，如果要使物体速度增加到初速度的n 倍，则物体发生的位移为( )

A. B.

(n 2－1)v 2

n 2v 202a C. D.

(n －1)v 202a (n －1)2v 20

2a 3.

图2

如图2所示，物体A 在斜面上由静止匀加速滑下x 1后，又匀减速地在水平面上滑过x 2后停下，测得x 2＝2x 1，则物体在斜面上的加速度a 1与在水平面上的加速度a 2的大小关系为( ) A ．a 1＝a 2 B ．a 1＝2a 2

C ．a 1＝a 2

D ．a 1＝4a 2

4．某物体做初速度为零的匀加速直线运动，当其运动速度等于其末速度的时，剩余的路程

占其全程的( ) A. B. 1323C. D. 1989

5．物体由静止做匀加速直线运动，第3 s 内通过的位移是3 m ，则( ) A ．第3 s 内平均速度是3 m/s B ．物体的加速度是1.2 m/s 2 C ．前3 s 内的位移是6 m D ．3 s 末的速度是3.6 m/s

6．一个做匀加速直线运动的物体，先后经过A 、B 两点的速度分别是v 和7v ，经过AB 的时间是t ，则下列判断中错误的是( ) A ．经过A 、B 中点的速度是4v B ．经过A 、B 中间时刻的速度是4v

C ．前时间通过的位移比后时间通过的位移少1.5v t

t 2t

D ．前位移所需时间是后位移所需时间的2倍

x 2x

7．小球由静止开始运动，在第1 s 内通过的位移为1 m ，在第2 s 内通过的位移为2 m ，在第3 s 内通过的位移为3 m ，在第4 s 内通过的位移为4 m ，下列描述正确的是( ) A ．小球在这4 s 内的平均速度是2.5 m/s B ．小球在3 s 末的瞬时速度是3 m/s C ．小球在前3 s 内的平均速度是3 m/s D ．小球在做匀加速直线运动

8．一质点做匀减速直线运动，第5 s 末速度为v ，第9 s 末速度为－v ，则质点在运动过程中( )

A ．第7 s 末的速度为零

B ．5 s 内和9 s 内位移大小相等，方向相反

C ．第8 s 末速度为－2v

D ．5 s 内和9 s 内位移相等

题　号 1

2 3 4 5 6 7 8 答　案

9.时速0～100公里的加速时间是汽车基本的技术数据之一，它反映该车型加速性能的好坏，成为最能评定汽车性能的指标之一．一般以0～100 km /h 加速时间是否超过10 秒来衡量汽车加速性能的优劣．据报道，一辆新款国产汽车能在8秒内把汽车从静止加速到100 km/h ，则供汽车加速的平直公路长度至少为多大？

10．一辆汽车以72 km /h 行驶，现因故紧急刹车并最终停止运动．已知汽车刹车过程加速度的大小为5 m/s 2，则从开始刹车经过5 s ，汽车通过的距离是多少？

第4节　匀变速直线运动的速度与位移的关系

课前预习练 1．vt t

v 2．v 2－v ＝2ax 正负 2

03．v 2－v ＝2ax 2

04．10

解析　初速度v 0＝8 m /s ，位移x ＝18 m ，加速度a ＝1 m /s 2，根据v 2－v ＝2ax ，v ＝20v 2

0＋2ax ＝ m /s ＝10 m /s .

82＋2×1×185．B [设弹射初速度为v 0，由题意知x ＝100 m ，加速度a ＝4.5 m /s 2，末速度v ＝50 m /s ，

根据v 2－v ＝2ax ，v 0

＝＝ m /s ＝40 m /s .] 20v 2－2ax 502－2×4.5×1006．40 m

解析　汽车的加速度a ＝－0.5 m /s 2，末速度v ＝0，根据v 2－v ＝2ax 2

0x ＝ m ＝40 m . 0－202

2×(－5)课堂探究练

1．无危险

解析　设列车从刹车开始到停止运动滑行位移为x ，则v 0＝216 km /h ＝60 m /s ，v ＝0.

取列车前进方向为正方向，则a ＝－2 m /s 2.

由关系式v 2－v ＝2ax 得： 2

002－602＝－2×2x x ＝900 m

因x ＝900 m <1 000 m 所以，该列车无危险． 2．1

解析　根据匀变速直线运动的中间位移处的瞬时速度公式v 中＝得v 中＝ m /s

v 20＋v 22(2)2

＝1 m /s .

3．5 m /s

解析　设汽车的初速度方向为正方向，则v 0＝10 m /s ， a ＝－3 m /s 2，x ＝12.5 m

由推导公式v 2－v ＝2ax 得： 2

0v 2＝v ＋2ax ＝[102＋2×(－3)×12.5] m 2/s 2＝25 m 2/s 2 2

0所以v 1＝5 m /s ，v 2＝－5 m /s (舍去)

即汽车向前滑行12.5 m 后的瞬时速度大小为5 m /s ，方向与初速度方向相同．点评　匀变速直线运动的基本规律都是以矢量方程表示的，选用方程后注意选取正方向，确定好各个物理量的正负，由此将矢量运算转化为标量运算．在没有特殊说明的情况下，一般以初速度的方向为正方向．

4．D [由v 2－v ＝2ax 得 2

0对前半程有v －v ＝2a·① 2中

21x 2对后半程有v －v ＝2a·② 22中

x 2

①②联立可得：v 中＝ ]

v 21＋v

5．C [物体在斜面上运动时，v ＝3a 1，平均速度1＝a 1，x 1＝1t 1＝a 1；物体在水平面上

v 32v 9

运动时，2＝，x 2＝2t 2＝.

v 3a 12v 27a

所以x 1∶x 2＝1∶3.]

6．(1)2 m (2)1.5 m (2)6 m

解析　2 s 内的位移是前2 s 内的位移，第2 s 内的位移是第1 s 末到第2 s 末这1 s 内的位移；第二个2 s 内的位移是第2 s 末到第4 s 末这2 s 内的位移．

由匀变速直线位移公式x ＝v 0t ＋at 2

(1)x 1＝at ＝×1×22 m ＝2 m

122112

(2)第1 s 末的速度(第2 s 初的速度)v 1＝v 0＋at ＝1 m /s ，故第2 s 内位移x 2＝v 1t ＋at 2＝(1×1＋

×1×12) m ＝1.5 m 1

(3)第2 s 末的速度v 2＝v 0＋at ′＝1×2 m /s ＝2 m /s ，也是物体第二个2 s 的初速度，故物体

在第2个2 s 内的位移x 3＝v 2t ′＋at ′2＝(2×2＋×1×22) m ＝6 m

121

7．见解析

解析　解法一：物理法

人的速度只要大于车的速度，两者的距离就越来越小；人的速度小于车的速度，两者的距离就越来越大，那么，当两者速度相等时，是人追上车的临界条件．两者速度相等时，有v ＝

at ，t ＝＝ s ＝6 s ，人的位移：x 1＝vt ＝6×6 m ＝36 m ，车的位移x 2＝＝ m ＝18

v a 61v 20－0

622×1m ．x 2＋x 0＝18 m ＋25 m ＝43 m >x 1＝36 m ，因此人追不上车．最小距离为：Δx ＝x 2＋x 0－x 1＝43 m －36 m ＝7 m . 解法二：图象法

作出人与车的v －t 图象，如右图所示，可以看出人追车的最大距离就是图中有斜线部分的

三角形的面积，该面积所对应的位移x ＝ m ＝18 m <25 m ，说明人追不上车，人与车

6×6

的最小距离Δx min ＝x 0－x ＝25 m －18 m ＝7 m . 课后巩固练 1．C

2．A [设位移为x ，由题意知末速度为nv 0

由v 2－v ＝2ax 得： 20x ＝＝＝.

v 2－v 202a n 2v 20－v 202a (n 2－1)v 20

2a 选项A 正确．]

3．B 4.D

5．ABD [第3 s 内的平均速度＝＝ m /s ＝3 m /s ，A 正确；前3 s 内的位移x 3＝at ，前

v x t 3112

2秒内的位移x 2＝at ，故Δx ＝x 3－x 2＝at －at ＝3 m ，即a·32－a·22＝3 m ，解得a ＝1.2

1221223122121

m /s 2，选项B 正确；将a 代入x 3得x 3＝5.4 m ，C 错误；v 3＝at 3＝1.2×3 m /s ＝3.6 m /s ，D 亦正确．]

6．A [平均速度AB ＝＝4v ，即中间时刻的瞬时速度．

v 7v ＋v

2中点位移处的速度v ＝＝5v.

x 2(7v )2＋v 2

由Δx ＝a()2和7v ＝v ＋at ，可以判断C 对．

由＝t 1和＝·t 2得t 1＝2t 2.] x 25v ＋v 2x 25v ＋7v 2

7．A [由初速度为零的匀加速直线运动的规律知，第1 s 内，第2 s 内，第3 s 内，…第n s 内通过的位移之比为1∶3∶5∶…∶(2n －1)，而这一小球的位移分别为1 m,2 m,3 m ，…所以小球做的不是匀加速直线运动，匀加速直线运动的规律也就不适用于这一小球，所以B 、D 选项不正确．至于平均速度，4 s 内的平均速度

v 1＝＝＝2.5 m /s ，所以A 选项正确；3 s 内的平均速度

x 1＋x 2＋x 3＋x 4t 4 1 m ＋2 m ＋3 m ＋4 m 4 s v 2＝＝＝2 m /s ，所以C 选项不正确．]

x 1＋x 2＋x 3t 3 1 m ＋2 m ＋3 m 3 s

8．AD

9．111.2 m

解析　汽车的初速度v 0＝0，末速度v ＝100 km /h ＝27.8 m /s ，t ＝8 s a ＝＝ m /s 2＝3.475 m /s 2，根据v 2－v ＝2ax 得 v －v 0t 27.8－082

0x ＝＝ m ＝111.2 m .

v 2－v

202a

27.82－02×3.475本题还有两种方法，即根据x ＝t 或x ＝at 2来解，试试看，比较一下哪种方法最简单．

v 1

10．40 m

解析　本题应先分析清楚，汽车在5 s 内是正在刹车还是已经停车．若正在刹车，可用位移公式直接求；若停车时间t<5 s ，则刹车过程的距离即是所求的距离．设汽车由刹车开始至停止运动所用的时间为t 0，v 0＝72 km /h ＝20 m /s

由v ＝v 0＋at 0得：t 0＝＝ s ＝4 s .

v －v 0a

0－20

－5可见，该汽车刹车后经过4 s 就已经静止，后1 s 是静止的．因为汽车最终静止，可直接利

用0－v ＝2ax 求出刹车距离 2

0即x ＝＝ m ＝40 m .

v 2－v 2

2a 0－2022×(－5)

若用基本位移公式x ＝v 0t ＋at 2求，时间t 应取4 s 而不是5 s .