人教中考数学压轴题专题锐角三角函数的经典综合题附答案
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG ＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米．
【答案】553
【解析】
【分析】
如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可．
【详解】
解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．
∵AM⊥CD，
∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°，
∴四边形OQMP是矩形，
∴QM＝OP，
∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°，
∴△COD是等边三角形，
∵OP⊥CD，
∠COD＝30°，
∴∠COP＝1
2
∴QM＝OP＝OC?cos30°＝3
∵∠AOC＝∠QOP＝90°，
∴∠AOQ＝∠COP＝30°，
∴AQ＝1
OA＝5（分米），
2
∴AM＝AQ＋MQ＝5＋3
∵OB∥CD，
∴∠BOD＝∠ODC＝60°
在Rt △OFK 中，KO ＝OF?cos60°＝2（分米），FK ＝OF?sin60°＝23（分米）， 在Rt △PKE 中，EK ＝22EF FK -＝26（分米）， ∴BE ＝10?2?26＝（8?26）（分米），
在Rt △OFJ 中，OJ ＝OF?cos60°＝2（分米），FJ ＝23（分米），
在Rt △FJE′中，E′J ＝2263-（2）
＝26， ∴B′E′＝10?（26?2）＝12?26， ∴B′E′?BE ＝4．
故答案为：5＋53，4．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
2．如图，△ABC 内接于⊙O ，2,BC AB AC ==，点D 为AC 上的动点，且10
cos B =. (1)求AB 的长度；
(2)在点D 运动的过程中，弦AD 的延长线交BC 的延长线于点E ，问AD?AE 的值是否变化？若不变，请求出AD?AE 的值；若变化，请说明理由.
(3)在点D 的运动过程中，过A 点作AH ⊥BD ，求证：BH CD DH =+.
【答案】(1) 10AB ；(2) 10AD AE ?=；（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）过A 作AF ⊥BC ，垂足为F ，交⊙O 于G ，由垂径定理可得BF=1，再根据已知结合RtΔAFB 即可求得AB 长；
（2）连接DG ，则可得AG 为⊙O 的直径，继而可证明△DAG ∽△FAE ，根据相似三角形的
性质可得AD?AE=AF?AG，连接BG，求得AF=3，FG=1
3
，继而即可求得AD?AE的值；
（3）连接CD，延长BD至点N，使DN=CD，连接AN，通过证明△ADC≌△ADN，可得AC=AN，继而可得AB=AN，再根据AH⊥BN，即可证得BH=HD+CD.
【详解】（1)过A作AF⊥BC，垂足为F，交⊙O于G，
∵AB=AC，AF⊥BC，∴BF=CF=
1
2
BC=1，
在RtΔAFB中，BF=1，∴AB=
10
cos10
BF
B
==
；
（2）连接DG，
∵AF⊥BC，BF=CF，∴AG为⊙O的直径，∴∠ADG=∠AFE=90°，
又∵∠DAG=∠FAE，∴△DAG∽△FAE，
∴AD：AF=AG：AE，
∴AD?AE=AF?AG，
连接BG，则∠ABG=90°，∵BF⊥AG，∴BF2=AF?FG，
∵AF=22
AB BF
-=3，
∴FG=1
3
，
∴AD?AE=AF?AG=AF?（AF+FG）=3×10
3
=10；
（3）连接CD，延长BD至点N，使DN=CD，连接AN，
∵∠ADB=∠ACB=∠ABC，∠ADC+∠ABC=180°，∠ADN+∠ADB=180°，
∴∠ADC=∠ADN，
∵AD=AD，CD=ND，
∴△ADC≌△ADN，
∴AC=AN，
∵AB=AC，∴AB=AN，
∵AH⊥BN，
∴BH=HN=HD+CD.
【点睛】本题考查了垂径定理、三角函数、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等，综合性较强，正确添加辅助线是解题的关键.
3．如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，点F在射线CM上,∠AEF=90°，AE=EF，过点F作射线BC的垂线，垂足为H，连接AC．
(1) 试判断BE与FH的数量关系，并说明理由；
(2) 求证：∠ACF=90°；
(3) 连接AF，过A，E，F三点作圆，如图2. 若EC=4，∠CEF=15°，求的长.
图1 图2
【答案】（1）BE="FH" ；理由见解析
（2）证明见解析
（3）=2π
【解析】
试题分析：（1）由△ABE≌△EHF（SAS）即可得到BE=FH
（2）由（1）可知AB=EH，而BC=AB，FH=EB，从而可知△FHC是等腰直角三角形，∠FCH 为45°，而∠ACB也为45°，从而可证明
（3)由已知可知∠EAC=30°，AF是直径，设圆心为O，连接EO，过点E作EN⊥AC于点N，则可得△ECN为等腰直角三角形，从而可得EN的长，进而可得AE的长，得到半径，得到所对圆心角的度数，从而求得弧长
试题解析：（1）BE=FH．理由如下：
∵四边形ABCD是正方形∴∠B=90°，
∵FH⊥BC ∴∠FHE=90°
又∵∠AEF=90°∴∠AEB+∠HEF="90°" 且∠BAE+∠AEB=90°
∴∠HEF=∠BAE ∴∠AEB=∠EFH 又∵AE=EF
∴△ABE≌△EHF（SAS）
∴BE=FH
(2)∵△ABE≌△EHF
∴BC=EH，BE=FH 又∵BE+EC=EC+CH ∴BE="CH"
∴CH=FH
∴∠FCH=45°，∴∠FCM=45°
∵AC是正方形对角线，∴∠ACD=45°
∴∠ACF=∠FCM +∠ACD =90°
（3）∵AE=EF，∴△AEF是等腰直角三角形
△AEF外接圆的圆心在斜边AF的中点上．设该中点为O．连结EO得∠AOE=90°
过E 作EN ⊥AC 于点N
Rt △ENC 中，EC=4，∠ECA=45°，∴EN=NC=
Rt △ENA 中，EN =
又∵∠EAF=45° ∠CAF=∠CEF=15°（等弧对等角）
∴∠EAC=30° ∴AE=
Rt △AFE 中，AE=
= EF ，∴AF=8
AE 所在的圆O 半径为4，其所对的圆心角为∠AOE=90° =2π·4·（90°÷360°）=2π
考点：1、正方形；2、等腰直角三角形；3、圆周角定理；4、三角函数
4．如图，已知，在
O 中，弦AB 与弦CD 相交于点E ，且AC BD =.
（1）求证：AB CD =；
（2）如图，若直径FG 经过点E ，求证：EO 平分AED ∠；
（3）如图，在（2）的条件下，点P 在CG 上，连接FP 交AB 于点M ，连接MG ，若
AB CD ⊥，MG 平分PMB ∠，2MG =，FMG ?的面积为2，求O 的半径的长.
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）O 的半径的长为10.
【解析】 【分析】
(1) 利用相等的弧所对的弦相等进行证明；
（2）连接AO 、DO ，过点O 作OJ AB ⊥于点J ，OQ CD ⊥于点Q ，证明
AOJ DOQ ???得出OJ OQ =，根据角平分线的判定定理可得结论；
（3）如图，延长GM 交
O 于点H ，连接HF ，求出2FH =，在HG 上取点L ，使
HL FH =，延长FL 交O 于点K ，连接KG ，求出22FL =，设HM n =，则有
22LK KG n ==
，2222
FK FL LK n =+=+，再证明KFG EMG HMF ∠=∠=∠，从而得到tan tan KFG HMF ∠=∠，
KG HF
FK HM
=，再代入LK 和FK 的值可得n=4,再求得FG 的长，最后得到圆的半径为10． 【详解】
解：（1）证明：∵AC BD =，∴AC CB BD CB +=+， ∴AB CD =， ∴AB CD =.
（2）证明：如图，连接AO 、DO ，过点O 作OJ AB ⊥于点J ，OQ CD ⊥于点Q ，
∴90AJO DQO ∠=∠=?，11
22
AJ AB CD DQ ===， 又∵AO DO =， ∴AOJ DOQ ???， ∴OJ OQ =，
又∵OJ AB ⊥，OQ CD ⊥，
∴EO 平分AED ∠.
（3）解：∵CD AB ⊥，∴90AED ∠=?，
由（2）知，1
452
AEF AED ∠=
∠=?， 如图，延长GM 交O 于点H ，连接HF ，
∵FG 为直径，∴90H ∠=?，1
22
MFG S MG FH ?=??=， ∵2MG =，∴2FH =，
在HG 上取点L ，使HL FH =，延长FL 交O 于点K ，连接KG ，
∴45HFL HLF ∠=∠=?，45KLG HLF ∠=∠=?， ∵FG 为直径，∴90K ∠=?，
∴9045KGL KLG KLG ∠=?-∠=?=∠，∴LK KG =， 在Rt FHL ?中，222FL FH HL =+，22FL = 设HM n =，2HL MG ==，
∴GL LM MG HL LM HM n =+=+==， 在Rt LGK ?中，222LG LK KG =+，22
LK KG ==
，2
222
FK FL LK n =+=， ∵GMP GMB ∠=∠，∵PMG HMF ∠=∠，∴HMF GMB ∠=∠， ∵1
452
AEF AED ∠=
∠=?， ∴45MGF EMG MEF ∠+∠=∠=?，45MGF KFG HLF ∠+∠=∠=?， ∴KFG EMG HMF ∠=∠=∠， ∴tan tan KFG HMF ∠=∠，
∴
KG HF
FK HM
=，
∴22
22222
n n
n =
+
，4n =， ∴6HG HM MG =+=，
在Rt HFG ?中，222FG FH HG =+，210FG =，10FO =. 即
O 的半径的长为10.
【点睛】
考查了圆的综合题，本题是垂径定理、圆周角定理以及三角函数等的综合应用，适当的添加辅助线是解题的关键．
5．已知：如图，AB 为⊙O 的直径，AC 与⊙O 相切于点A ，连接BC 交圆于点D ，过点D 作⊙O 的切线交AC 于E ． （1）求证：AE ＝CE
（2）如图，在弧BD 上任取一点F 连接AF ，弦GF 与AB 交于H ，与BC 交于M ，求证：∠FAB +∠FBM ＝∠EDC ．
（3）如图，在（2）的条件下，当GH ＝FH ，HM ＝MF 时，tan ∠ABC ＝
34
，DE ＝394时，N
为圆上一点，连接FN 交AB 于L ，满足∠NFH +∠CAF ＝∠AHG ，求LN 的长．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）4013
13
NL = 【解析】 【分析】
（1）由直径所对的圆周角是直角，得∠ADC ＝90°，由切线长定理得EA ＝ED ，再由等角的余角相等，得到∠C ＝∠EDC ，进而得证结论.
（2）由同角的余角相等，得到∠BAD ＝∠C ，再通过等量代换，角的加减进而得证结论. （3）先由条件得到AB ＝26，设HM ＝FM ＝a ，GH ＝HF ＝2a ，BH ＝
4
3
a ，再由相交弦定理得到GH ?HF ＝BH ?AH ，从而求出FH ，BH ，AH ，再由角的关系得到△HFL ∽△HAF ，从而求出HL ，AL ，BL ，FL ，再由相交弦定理得到LN ?LF ＝AL ?BL ，进而求出LN 的长. 【详解】 解：
（1）证明：如图1中，连接AD．
∵AB是直径，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵EA、ED是⊙O的切线，
∴EA＝ED，
∴∠EAD＝∠EDA，
∵∠C+∠EAD＝90°，∠EDC+∠EDA＝90°，∴∠C＝∠EDC，
∴ED＝EC，
∴AE＝EC．
（2）证明：如图2中，连接AD．
∵AC是切线，AB是直径，
∴∠BAC＝∠ADB＝90°，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，∠CAD+∠C＝90°，∴∠BAD＝∠C，
∵∠EDC＝∠C，
∴∠BAD＝∠EDC，
∵∠DBF＝∠DAF，
∴∠FBM+∠FAB＝∠FBM+∠DAF＝∠BAD，∴∠FAB+∠FBM＝∠EDC．
（3）解：如图3中，
由（1）可知，DE＝AE＝EC，∵DE＝39
4
，
∴AC＝39
2
，
∵tan∠ABC＝3
4
＝
AC
AB
，
∴
39 32 4AB =,
∴AB＝26，
∵GH＝FH，HM＝FN，设HM＝FM＝a，GH＝HF＝2a，BH＝4
3
a，∵GH?HF＝BH?AH，
∴4a2＝4
3a（26﹣
4
3
a），
∴a＝6，
∴FH＝12，BH＝8，AH＝18，
∵GH＝HF，
∴AB⊥GF，
∴∠AHG＝90°，
∵∠NFH+∠CAF＝∠AHG，
∴∠NFH+∠CAF＝90°，
∵∠NFH+∠HLF＝90°，
∴∠HLF＝∠CAF，
∵AC∥FG，
∴∠CAF＝∠AFH，
∴∠HLF＝∠AFH，
∵∠FHL＝∠AHF，
∴△HFL∽△HAF，
∴FH2＝HL?HA，
∴122＝HL?18，
∴HL＝8，
∴AL＝10，BL＝16，FL22
FH HL
+＝13
∵LN ?LF ＝AL ?BL ， ∴413?LN ＝10?16， ∴LN ＝
4013
. 【点睛】
本题考查了圆的综合问题，涉及到的知识有：切线的性质；切线长定理；圆周角定理；相交弦定理；相似三角形性质与判定等，熟练掌握圆的相关性质是解题关键.
6．如图，已知二次函数2
12
y x bx c =
++的图象经过点A （-3，6），并与x 轴交于点B （-1，0）和点C ，顶点为点P ． （1）求这个二次函数解析式；
（2）设D 为x 轴上一点，满足∠DPC =∠BAC ，求点D 的坐标；
（3）作直线AP ，在抛物线的对称轴上是否存在一点M ，在直线AP 上是否存在点N ，使AM +MN 的值最小？若存在，求出M 、N 的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）点C 坐标为（3，0），点P （1，-2）；（2）点P （7，0）；（3）点N （-
75，14
5）． 【解析】 【分析】
（1）将点A 、B 坐标代入二次函数表达式，即可求解； （2）利用S △ABC = 12×AC×BH= 12×BC×y A ，求出sinα= 222105
BH AB ==，则tanα= 12，在△PMD 中，tanα=
MD
PM 12
22x =+，即可求解； （3）作点A 关于对称轴的对称点A′（5，6），过点A′作A′N ⊥AP 分别交对称轴与点M 、交AP 于点N ，此时AM+MN 最小，即可求解． 【详解】
（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式得：
9
633
2
1
2
b
b c
?
=-+
??
?
?=--+
??
，解得：
1
3
2
b
c
=-
?
?
?
=-
??
，故：抛物线的表达式为：y=
1
2
x2-x-
3
2
，
令y=0，则x=-1或3，令x=0，则y=-
3
2
，
故点C坐标为（3，0），点P（1，-2）；
（2）过点B作BH⊥AC交于点H，过点P作PG⊥x轴交于点G，
设：∠DPC=∠BAC=α，
由题意得：AB10，AC2BC=4，PC2，
S△ABC=
1
2
×AC×BH=
1
2
×BC×y A，
解得：BH2
sinα=
BH
AB
22
210
=
5
，则tanα=
1
2
，
由题意得：GC=2=PG，故∠PCB=45°，
延长PC，过点D作DM⊥PC交于点M，
则MD=MC=x，
在△PMD中，tanα=
MD
PM22
x+
1
2
，
解得：x2CD2x=4，
故点P（7，0）；
（3）作点A关于对称轴的对称点A′（5，6），
过点A′作A′N⊥AP分别交对称轴与点M、交AP于点N，此时AM+MN最小，
直线AP表达式中的k值为：8
4-
=-2，则直线A′N表达式中的k值为
1
2
，
设直线A′N的表达式为：y=1
2
x+b，
将点A′坐标代入上式并求解得：b=7
2
，
故直线A′N的表达式为：y=1
2
x+
7
2
…①，
当x=1时，y=4，
故点M（1，4），
同理直线AP的表达式为：y=-2x…②，
联立①②两个方程并求解得：x=-7
5
，
故点N（-7
5
，
14
5
）．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等知识，其中（3），利用对称点求解最小值，是此类题目的一般方法．
7．超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在到万丰路（直线AO）的距离为120米的点P处．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为5秒且∠APO＝60°，∠BPO＝45°．
（1）求A、B之间的路程；
（2）请判断此车是否超过了万丰路每小时65千米的限制速度？请说明理由．（参考数据：2 1.414,3 1.73
≈≈）．
【答案】
【小题1】73.2
【小题2】超过限制速度．
【解析】
AB=-73.2 (米)．…6分
解：（1）100(31)
(2) 此车制速度v==18.3米/秒
8．如图，建筑物上有一旗杆，从与相距的处观测旗杆顶部的仰角为，观测旗杆底部的仰角为，求旗杆的高度.（参考数据：
,，）
【答案】旗杆的高度约为.
【解析】
【分析】
在Rt△BDC中，根据tan∠BDC=求出BC，接着在Rt△ADC中，根据
tan∠ADC==即可求出AB的长度
【详解】
解：∵在Rt△BDC中，tan∠BDC==1，∴BC=CD= 40m
在Rt△ADC中，tan∠ADC==
∴tan50°= =1.19
∴AB7.6m
答：旗杆AB的高度约为7.6m.
【点睛】
此题主要考查了三角函数的应用
9．
如图，△ABC中，AC＝BC＝10，cosC＝3
5
，点P是AC边上一动点（不与点A、C重合），
以PA长为半径的⊙P与边AB的另一个交点为D，过点D作DE⊥CB于点E．
（1）当⊙P与边BC相切时，求⊙P的半径．
（2）连接BP交DE于点F，设AP的长为x，PF的长为y，求y关于x的函数解析式，并直接写出x的取值范围．
（3）在（2）的条件下，当以PE长为直径的⊙Q与⊙P相交于AC边上的点G时，求相交所得的公共弦的长.
【答案】（1）
40
9
R=;（2）2
5
880
320
x
y x x
x
=-+
+
（3）505
-
【解析】【分析】
（1）设⊙P与边BC相切的切点为H，圆的半径为R，连接HP，则HP⊥BC，cosC＝3
5
，则
sinC＝4
5
，sinC＝
HP
CP
＝
10
R
R
-
＝
4
5
，即可求解；
（2）首先证明PD∥BE，则EB BF
PD PF
=，即：20
2
4
588
x y
x
x
x
-+
--
=，即可求解；
（3）证明四边形PDBE为平行四边形，则AG＝EP＝BD，即：AB＝DB+AD＝AG+AD＝5
【详解】
（1）设⊙P与边BC相切的切点为H，圆的半径为R，
连接HP，则HP⊥BC，cosC＝3
5
，则sinC＝
4
5
，
sinC＝HP
CP
＝
10
R
R
-
＝
4
5
，解得：R＝
40
9
；
（2）在△ABC中，AC＝BC＝10，cosC＝3
5
，
设AP＝PD＝x，∠A＝∠ABC＝β，过点B作BH⊥AC，
则BH＝ACsinC＝8，
同理可得：CH＝6，HA＝4，AB＝45，则：tan∠CAB＝2，BP＝22
8+(4)
x-＝2880
x x
-+，
DA＝25
x，则BD＝45﹣25x，
如下图所示，PA＝PD，∴∠PAD＝∠CAB＝∠CBA＝β，
tanβ＝2，则cosβ
5，sinβ
5
，
EB ＝BDcosβ＝（45﹣25
x ）×5＝4﹣25
x ，
∴PD ∥BE ，
∴EB BF
PD PF
=，即：202
4588x y x x
x y
-+--=，
整理得：y ＝
25x
x 8x 803x 20
-++；
（3）以EP 为直径作圆Q 如下图所示，
两个圆交于点G ，则PG ＝PQ ，即两个圆的半径相等，则两圆另外一个交点为D ， GD 为相交所得的公共弦， ∵点Q 是弧GD 的中点， ∴DG ⊥EP ， ∵AG 是圆P 的直径， ∴∠GDA ＝90°， ∴EP ∥BD ，
由（2）知，PD ∥BC ，∴四边形PDBE 为平行四边形， ∴AG ＝EP ＝BD ，
∴AB ＝DB+AD ＝AG+AD ＝5 设圆的半径为r ，在△ADG 中， AD ＝2rcosβ5DG 5
AG ＝2r ， 5＝52r 51
+， 则：DG 5
50﹣5 相交所得的公共弦的长为50﹣5 【点睛】
本题考查的是圆知识的综合运用，涉及到解直角三角形、勾股定理等知识，其中（3），要关键是根据题意正确画图，此题用大量的解直角三角形的内容，综合难度很大．
10．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，．点为轴上一动点，过点且垂直于轴的直线分别交直线及抛物线于点，．
（1）填空：点的坐标为，抛物线的解析式为；
（2）当点在线段上运动时（不与点，重合），
①当为何值时，线段最大值，并求出的最大值；
②求出使为直角三角形时的值；
（3）若抛物线上有且只有三个点到直线的距离是，请直接写出此时由点，，，构成的四边形的面积．
【答案】（1），；
（2）①当时，有最大值是3；②使为直角三角形时的值为3或；（3）点，，，构成的四边形的面积为：6或或.
【解析】
【分析】
（1）把点A坐标代入直线表达式y＝，求出a＝?3，把点A、B的坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）①设：点P（m，），N（m，）求出PN值的表达式，即可求解；②分∠BNP＝90°、∠NBP＝90°、∠BPN＝90°三种情况，求解即可；
（3）若抛物线上有且只有三个点N到直线AB的距离是h，则只能出现：在AB直线下方抛物线与过点N的直线与抛物线有一个交点N，在直线AB上方的交点有两个，分别求解即可．
【详解】
解：（1）把点坐标代入直线表达式，
解得：，则：直线表达式为：，令，则：，
则点坐标为，
将点的坐标代入二次函数表达式得：，
把点的坐标代入二次函数表达式得：，
解得：，
故：抛物线的解析式为：，
故：答案为：，；
（2）①∵在线段上，且轴，
∴点，，
∴，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴当时，有最大值是3，
②当时，点的纵坐标为-3，
把代入抛物线的表达式得：，解得：或0（舍去），∴；
当时，∵，两直线垂直，其值相乘为-1，
设：直线的表达式为：，
把点的坐标代入上式，解得：，则：直线的表达式为：，
将上式与抛物线的表达式联立并解得：或0（舍去），
当时，不合题意舍去，
故：使为直角三角形时的值为3或；
（3）∵，，
在中，，则：，，
∵轴，
∴，
若抛物线上有且只有三个点到直线的距离是，
则只能出现：在直线下方抛物线与过点的直线与抛物线有一个交点，在直线上方的交点有两个.
当过点的直线与抛物线有一个交点，
点的坐标为，设：点坐标为：，
则：，过点作的平行线，
则点所在的直线表达式为：，将点坐标代入，
解得：过点直线表达式为：，
将拋物线的表达式与上式联立并整理得：，
，
将代入上式并整理得：，
解得：，则点的坐标为，
则：点坐标为，则：，
∵，，∴四边形为平行四边形，则点到直线的距离等于点到直线的距离，
即：过点与平行的直线与抛物线的交点为另外两个点，即：、，
直线的表达式为：，将该表达式与二次函数表达式联立并整理得：
，解得：，
则点、的横坐标分别为，，
作交直线于点，
则，
作轴，交轴于点，则：，，
，
锐角三角函数单元测试题
锐角三角函数单元测试题 1、已知Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA= 4 3，BC=8，则AC 等于（ ） A ．6 B ．323 C ．10 D ．12 2、已知∠A 是锐角，且sinA= 3 2 ，那么∠A 等于（ ） A ．30°B ．45° C ．60° D ．75° 4、化简2)130(tan - ＝（ ）。A 、3 31- B 、13- C 、133 - D 、13- 5、在Rt △ABC 中，∠C ＝900 ，∠A 、∠B 的对边是a 、b ，且满足02 2=--b ab a ，则tanA 等于（ ） A 、1 B 、 251+ C 、251- D 、2 5 1± 6、如图1所示，△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，若BD ：AD=1：4，则tan ∠BCD 的值是（ ）A ．1 4 B ． 13 C ．1 2 D ．2 (1) (2) (3) 7、如图2所示，已知⊙O 的半径为5cm ，弦AB 的长为8cm ，P?是AB?延长线上一点，?BP=2cm ，则tan ∠OPA 等于（ ） A ． 32 B ．23 C ．2 D ．1 2 8、如图3，起重机的机身高AB 为20m ，吊杆AC 的长为36m ，?吊杆与水平线的倾角可以从30°转到80°，则这台起重机工作时吊杆端点C 离地面的最大高度和离机身的最远水平距离分别是（ ） A ．（30+20）m 和36tan30°m B ．（36sin30°+20）m 和36cos30°m C ．36sin80°m 和36cos30°m D ．（36sin80°+20）m 和36cos30°m 9、王英同学从A 地沿北偏西60o方向走100m 到B 地，再从B 地向正南方向 走200m 到C 地，此时王英同学离A 地 （ ） A 350m B 100 m C 150m D 3100m 一、 填空题 1、在△ABC 中，若│sinA-1│+（3 -cosB ）=0，则∠C=_______
人教版中考数学压轴题 易错题自检题学能测试试卷
一、中考数学压轴题 1．已知：在平面直角坐标系中，抛物线2 23y ax ax a =--与x 轴交于点A ，B （点B 在 点A 的右侧），点C 为抛物线的顶点，点C 的纵坐标为-2． （1）如图1，求此抛物线的解析式； （2）如图2，点P 是第一象限抛物线上一点，连接AP ，过点C 作//CD y 轴交AP 于点 D ，设点P 的横坐标为t ，CD 的长为m ，求m 与t 的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，点E 在DP 上，且ED AD =，点F 的横坐标大于3，连接EF ，BF ，PF ，且EP EF BF ==，过点C 作//CG PF 交DP 于点G ，若 72 8 CG AG = ，求点P 的坐标． 2．“阅读素养的培养是构建核心素养的重要基础，重庆十一中学校以‘大阅读’特色课程实施为突破口，着力提升学生的核心素养．”全校师生积极响应和配合，开展各种活动丰富其课余生活．在数学兴趣小组中，同学们从书上认识了很多有趣的数．其中有一个“和平数”引起了同学们的兴趣．描述如下：一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x ，十位上和个位上的数字之和为y ，如果x y =，那么称这个四位数为“和平数”． 例如：1423，14x =+，23y =+，因为x y =，所以1423是“和平数”． （1）直接写出：最小的“和平数”是________，最大的“和平数”是__________； （2）求同时满足下列条件的所有“和平数”： ①个位上的数字是千位上的数字的两倍； ②百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数； （3）将一个“和平数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将百位上与千位上的数字交换位置，称交换前后这两个“和平数”为“相关和平数”． 例如：1423于4132为“相关和平数” 求证：任意的两个“相关和平数”之和是1111的倍数． 3．定义：如果一个三角形一条边上的高与这条边的比值是3：5，那么称这个三角形为“准黄金”三角形，这条边就叫做这个三角形的“金底”． （概念感知） （1）如图1，在ABC 中，12AC =，10BC =，30ACB ∠=?，试判断ABC 是否是“准黄金”三角形，请说明理由．
(新)中考数学--选择题压轴题(含答案)
题型一选择题压轴题 类型一选择几何压轴题 1?如图，四边形ABCD是平行四边形，ZBCD=I20o , AB = 2, BC = 4,点E是直线BC上的点，点F是直线CD上的点，连接AF, AE, EF,点M, N分别是AF, EF 的中点，连接MW则MN的最小值为（） 2.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点0, AB = 4, AC = 2√TT,若直线1满足：①点A到直线1的距离为2；②直线1与一条对角线平行；③直线1与菱形ABCD的边有交点，则符合题意的直线1的条数为（） 3?如图，在四边形ABCD 中，AD/7BC, AB=CD, AD = 2, BC = 6, BD = 5.若点P 在四边形ABCD的边上，则使得APBD的面积为3的点P的个数为（） -√3 （第2（第3
4?如图，点M是矩形ABCD的边BC, CD上的动点，过点B作BN丄AM于点P,交
矩形ABCD 的边于点N,连接DP.若AB=4, AD = 3,则DP 的长的最小值为（ ) A. √T3-2 5?如图，等腰直角三角形ABC 的一个锐角顶点A 是。（）上的一个动点，ZACB= 90° ,腰AC 、斜边AB 分别交Oo 于点E, D,分别过点D, E 作OO 的切线，两线 交于点F,且点F 恰好是腰BC 上的点，连接O C, （）D, OE.若Θ0的半径为2,则 OC 的长的最大值为（ ） 6.如图，在矩形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F 在AD 边上，点M, N 分别是 CD, BC 边上的动点?若AB=AF 二2, AD 二3,则四边形EFMN 周长的最小值是（ ） 7.如图，OP 的半径为1,且点P 的坐标为（3, 2）,点C 是OP 上的一个动点, 点A, B 是X 轴上的两点，且OA=OB, AC 丄BC,则AB 的最小值为（ ） √TT √T3 C. √5+l +√13 √2+2√5 ÷√5 √2+1 O B （第5 （第6 （第7（第8
中考数学专题训练函数综合题人教版
中考数学专题训练（函数综合） 1．如图，一次函数b kx y +=与反比例函数 x y 4 = 的图像交于A 、B 两点，其中点A 的横坐标为1， 又一次函数b kx y +=的图像与x 轴交于点()0,3-C . （1）求一次函数的解析式； （2）求点B 的坐标. 2．已知一次函数y=（1-2x ）m+x+3图像不经过第四象限，且函数值y 随自变量x 的减小而减小。 （1）求m 的取值范围； （2）又如果该一次函数的图像与坐标轴围成的三角形面积是 ，求这个一次函数的解析式。 3. 如图，在平面直角坐标系中，点O 为原点，已知点A 的坐标为（2，2）， 点B 、C 在x 轴上，BC =8，AB=AC ，直线AC 与y 轴相交于点D ． （1）求点C 、D 的坐标； （2）求图象经过B 、D 、A 三点的二次函数解析式及它的顶点坐标． 4．如图四，已知二次函数 2 23y ax ax =-+的图像与x 轴交于点A 与y 轴交于点C ，其顶点为D ，直线DC 的函数关系式为y kx b =+ 又tan 1OBC ∠=． （1）求二次函数的解析式和直线DC 的函数关系式； （2）求ABC △的面积． （ 图四）
5．已知在直角坐标系中，点A 的坐标是（-3，1），将线段OA 绕着点O 顺时针旋转90° 得到OB . (1)求点B 的坐标； (2)求过A 、B 、O 三点的抛物线的解析式； (3)设点B 关于抛物线的对称轴λ的对称点为C ，求△ABC 的面积。 6．如图，双曲线x y 5 = 在第一象限的一支上有一点C （1，5），过点C 的直线)0(>+-=k b kx y 与x 轴交于点A （a ，0）、与y 轴交于点B . (1)求点A 的横坐标a 与k 之间的函数关系式； (2)当该直线与双曲线在第一象限的另一交点D 的横坐标是9时，求△COD 的面积. 7．在直角坐标系中，把点A （－1，a ）（a 为常数）向右平移4个单位得到点A '，经过点A 、A '的抛物线2y ax bx c =++与y 轴的交点的纵坐标为2． （1）求这条抛物线的解析式； （2）设该抛物线的顶点为点P ，点B 为)1m ，（，且3 锐角三角函数 1．把Rt △ABC 各边的长度都扩大3倍得Rt △A ′B ′C ′，那么锐角A ，A ′的余弦值的关系为（ ） A ．cosA=cosA ′ B ．cosA=3cosA ′ C ．3cosA=cosA ′ D ．不能确定 2．如图1，已知P 是射线OB 上的任意一点，PM ⊥OA 于M ，且PM ：OM=3：4，则cos α的值等于（ ） A ．34 B ．43 C ．45 D ．35 图1 图2 图3 图4 图5 3．在△ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，则下列各项中正确的是（ ） A ．a=c ·sin B B ．a=c ·cosB C ．a=c ·tanB D ．以上均不正确 4．在Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA=23 ，则tanB 等于（ ） A ．35 B ．53 C ．255 D ．52 5．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=5，AB=13，则sinA=______，cosA=______，?tanA=_______． 6．如图2，在△ABC 中，∠C=90°，BC ：AC=1：2，则sinA=_______，cosA=______，tanB=______． 7．如图3，在Rt △ABC 中，∠C=90°，b=20，c=202，则∠B 的度数为_______． 8．如图4，在△CDE 中，∠E=90°，DE=6，CD=10，求∠D 的三个三角函数值． 9．已知：α是锐角，tan α=724 ，则sin α=_____，cos α=_______． 10．在Rt △ABC 中，两边的长分别为3和4，求最小角的正弦值为 10．如图5，角α的顶点在直角坐标系的原点，一边在x 轴上，?另一边经过点P （2，23），求角α的三个三角函数值． 12．如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，BD ⊥AC 于D ，∠CBD=α，AB=3，?BC=4，?求sin α，cos α，tan α的值． 解直角三角形 一、填空题 1． 已知cosA=2 3，且∠B=900-∠A ，则sinB=__________． 一、中考数学压轴题 1．如图，在等边△ABC 中，AB =BC =AC =6cm ，点P 从点B 出发，沿B →C 方向以1．5cm/s 的速度运动到点C 停止，同时点Q 从点A 出发，沿A →B 方向以1cm/s 的速度运动，当点P 停止运动时，点Q 也随之停止运动，连接PQ ，过点P 作BC 的垂线，过点Q 作BC 的平行线，两直线相交于点M ．设点P 的运动时间为x （s ），△MPQ 与△ABC 重叠部分的面积为y （cm 2）（规定：线段是面积为0的图形）． （1）当x = （s ）时，PQ ⊥BC ； （2）当点M 落在AC 边上时，x = （s ）； （3）求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围． 2．如图，已知抛物线y ＝2ax bx c ++与x 轴交于A 3,0-（），B 33,0（）两点，与y 轴交于点C 0,3（）． （1）求抛物线的解析式及顶点M 坐标； （2）在抛物线的对称轴上找到点P ，使得PAC 的周长最小，并求出点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、C 重合）．过点 D 作D E //PC 交x 轴于点E ．设CD 的长为m ，问当m 取何值时， PDE ABMC 1 S S 9 =四边形． 3．如图所示，在平面直角坐标系中，点(),C m m 在一三象限角平分线上，点(),0B n 在x 轴上，且2n -2n -，点A 在y 轴的正半轴上；四边形AOBC 的面积为6 （1）求点A 的坐标； （2）P 为AB 延长线上一点，//PQ OC ，交CB 延长线于Q ，探究OAP ∠、ABQ ∠、 Q ∠的数量关系并说明理由； （3）作AD 平行CB 交CO 延长线于D ，BE 平分CBx ∠，BE 反向延长线交CO 延长线 中考数学压轴题解题技巧 数学综压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的，集中体现知识的综合性和方法的综合性，多数为函数型综合题和几何型综合题。 函数型综合题：是给定直角坐标系和几何图形，先求函数的解析式，再进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。 几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式，求函数的自变量的取值范围，最后根据所求的函数关系进行探索研究。一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形，四边形是平行四边形、菱形、梯形等，或探索两个三角形满足什么条件相似等，或探究线段之间的数量、位置关系等，或探索面积之间满足一定关系时求x的值等，或直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求函数的自变量的取值范围主要是寻找图形的特殊位置（极端位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。 解中考压轴题技能：中考压轴题大多是以坐标系为桥梁，运用数形结合思想，通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。关键是掌握几种常用的数学思想方法。 一是运用函数与方程思想。以直线或抛物线知识为载体，列（解）方程或方程组求其解析式、研究其性质。 二是运用分类讨论的思想。对问题的条件或结论的多变性进行考察和探究。 三是运用转化的数学的思想。由已知向未知，由复杂向简单的转换。中考压轴题它是对考生综合能力的一个全面考察，所涉及的知识面广，所使用的数学思想方法也较全面。因此，可把压轴题分离为相对独立而又单一的知识或方法组块去思考和探究。 解中考压轴题技能技巧： 一是对自身数学学习状况做一个完整的全面的认识。根据自己的情况考试的时候重心定位准确，防止“捡芝麻丢西瓜”。所以，在心中一定要给压轴题或几个“难点”一个时间上的限制，如果超过你设置的上限，必须要停止，回头认真检查前面的题，尽量要保证选择、填空万无一失，前面的解答题尽可能的检查一遍。 二次函数综合题型精讲精练 主讲：姜老师 题型一：二次函数中的最值问题 例1：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx+c 经过A （﹣2，﹣4），O （0，0），B （2，0）三点． （1）求抛物线y=ax 2+bx+c 的解析式； （2）若点M 是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM 的最小值． 解析：（1）把A （﹣2，﹣4），O （0，0），B （2，0）三点的坐标代入y=ax 2+bx+c 中，得 解这个方程组，得a=﹣，b=1，c=0 所以解析式为y=﹣x 2+x ． （2）由y=﹣x 2+x=﹣（x ﹣1）2+，可得 抛物线的对称轴为x=1，并且对称轴垂直平分线段OB ∴OM=BM ∴OM+AM=BM+AM 连接AB 交直线x=1于M 点，则此时OM+AM 最小 过点A 作AN ⊥x 轴于点N ， 在Rt △ABN 中，AB== =4 ， 因此OM+AM 最小值为 ． 方法提炼：已知一条直线上一动点M 和直线同侧两个固定点A 、B ，求AM+BM 最小值的问题，我们只需做出点A 关于这条直线的对称点A ’，将点B 与A ’连接起来交直线与点M ，那么A ’B 就是AM+BM 的最小值。同理，我们也可以做出点B 关于这条直线的对称点B ’，将点A 与B ’连接起来交直线与点M ，那么AB ’就是AM+BM 的最小值。应用的定理是：两点之间线段最短。 A A B B M 或者 M A ’ B ’ 例2：已知抛物线1C 的函数解析式为2 3(0)y ax bx a b =+-<，若抛物线1C 经过点(0,3)-，方程 230ax bx a +-=的两根为1x ，2x ，且124x x -=。 （1）求抛物线1C 的顶点坐标. （2）已知实数0x >，请证明：1x x + ≥2,并说明x 为何值时才会有1 2x x +=. （3）若抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线2C ，设1(,)A m y ，2(,)B n y 是2 C 上的两个不同点，且满足：0 90AOB ∠=，0m >，0n <.请你用含有m 的表达式表示出△AOB 的面积S ， 第四章《锐角三角函数》单元测试题 一．选择题（共10小题） 1．利用计算器求sin30°时，依次按键，则计算器上显示的结果是 （） A．0.5 B．0.707 C．0.866 D．1 2．Rt△ABC中，∠C=90°，已知cosA=，那么tanA等于（） A．B．C．D． 3．已知sinα?cosα=，45°＜α＜90°，则cosα﹣sinα=（） A．B．﹣C．D．± 4．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（） A．B．C．D． 5．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosB等于（） A．B．C．D． 6．△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，如果a2+b2=c2，那么下列结论正确的是（） A．bcosB=c B．csinA=a C．atanA=b D． 7．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，下列等式中不一定成立的是（） A．b=atanB B．a=ccosB C．D．a=bcosA 8．如果∠A为锐角，且sinA=0.6，那么（） A．0°＜A≤30°B．30°＜A＜45°C．45°＜A＜60°D．60°＜A≤90° 9．若锐角α满足cosα＜且tanα＜，则α的范围是（） A．30°＜α＜45°B．45°＜α＜60°C．60°＜α＜90°D．30°＜α＜60° 10．下面四个数中，最大的是（ ） A ． B ．sin88° C ．tan46° D ． 二．填空题（共8小题） 11．用“＞”或“＜”号填空： 0． 12．已知∠A 为锐角，且，那么∠A 的范围是 ． 13．在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=，则tanA= ． 14．如上图，∠AOB 是放置在正方形网格中的一个角，则cos ∠AOB 的值 是 ． 15．如图，当小杰沿坡度i=1：5的坡面由B 到A 行走了26米时，小杰实际上升高度 AC= 米．（可以用根号表示） 16．如图，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC ，E 为垂足，若cosB=，EC=2，P 是AB 边上的一个动点，则线段PE 的长度的最小值 是 ． 17．如图1是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图2所示的几何图形，已知BC=BD=15cm ，∠CBD=40°，则点B 到CD 的距离为 cm （参考数据 sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，结果精确到0.1cm ，可用科学计算器）． 18．如图，为了测量楼的高度，自楼的顶部A 看地面上的一点B ，俯角 为30°，已知地面上的这点与楼的水平距离BC 为30m ，那么楼的高度AC 为 m （结果保留根号）． 三．解答题（共8小题） 19．在△ABC 中，∠B 、∠C 均为锐角，其对边分别为b 、c ， 求证：=． 第16题 第17题 一、中考数学压轴题 1．AB 是O 直径，,C D 分别是上下半圆上一点，且弧BC =弧BD ，连接,AC BC ， 连接CD 交AB 于E ， （1）如图(1)求证：90AEC ∠=?； （2）如图(2)F 是弧AD 一点，点,M N 分别是弧AC 和弧FD 的中点，连接FD ，连接 MN 分别交AC ，FD 于,P Q 两点，求证：MPC NQD ∠=∠ （3）如图(3)在(2)问条件下，MN 交AB 于G ，交BF 于L ，过点G 作GH MN ⊥交AF 于H ，连接BH ，若,6,BG HF AG ABH ==?的面积等于8，求线段MN 的长度 2．如图，已知抛物线y ＝2ax bx c ++与x 轴交于A 3,0-（），B 33,0（）两点，与y 轴交于点C 0,3（）． （1）求抛物线的解析式及顶点M 坐标； （2）在抛物线的对称轴上找到点P ，使得PAC 的周长最小，并求出点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、C 重合）．过点 D 作D E //PC 交x 轴于点E ．设CD 的长为m ，问当m 取何值时， PDE ABMC 1 S S 9 =四边形． 3．我们知道，平面内互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，如果两条数轴不垂直，而是相交成任意的角ω（0°＜ω＜180°且ω≠90°），那么这两条数轴构成的是平面斜坐标系，两条数轴称为斜坐标系的坐标轴，公共原点称为斜坐标系的原点，如图1，经过平面内一点P 作坐标轴的平行线PM 和PN ，分别交x 轴和y 轴于点M ，N ．点 M、N在x轴和y轴上所对应的数分别叫做P点的x坐标和y坐标，有序实数对（x，y）称为点P的斜坐标，记为P（x，y） （1）如图2，ω＝45°，矩形OABC中的一边OA在x轴上，BC与y轴交于点D， OA＝2，OC＝1． ①点A、B、C在此斜坐标系内的坐标分别为A，B，C． ②设点P（x，y）在经过O、B两点的直线上，则y与x之间满足的关系为． ③设点Q（x，y）在经过A、D两点的直线上，则y与x之间满足的关系为． （2）若ω＝120°，O为坐标原点． ①如图3，圆M与y轴相切原点O，被x轴截得的弦长OA＝23，求圆M的半径及圆心M的斜坐标． ②如图4，圆M的圆心斜坐标为M（23，23），若圆上恰有两个点到y轴的距离为1，则圆M的半径r的取值范围是． 4．在学习了轴对称知识之后，数学兴趣小组的同学们对课本习题进行了深入研究，请你跟随兴趣小组的同学，一起完成下列问题． (1)（课本习题）如图①，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE=CD．求证：DB=DE (2)（尝试变式）如图②，△ABC是等边三角形，D是AC边上任意一点，延长BC至E，使CE=AD． 求证：DB=DE． (3)（拓展延伸）如图③，△ABC是等边三角形，D是AC延长线上任意一点，延长BC至E，使CE=AD请问DB与DE是否相等? 并证明你的结论． 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除 2017年中考数学选择题压轴题汇编（1） 2a的解为正数，且使关于的分式方程y的不等（2017重庆）若数a使关于x1．4?? x?11?xy?2y???1?23的解集为y，则符合条件的所有整数a的和为（）式组 2???????0y?2a? A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】A 【解析】①解关于x的分式方程，由它的解为正数，求得a的取值范围． 2a 4??x?11?x去分母，得2－a＝4（x－1） 去括号，移项，得4x＝6－a 6?a 1，得x＝系数化为46?a6?a≠1，解得a且a≠2；6?，且，∴x≠1∵x且00?? 44②通过求解于y的不等式组，判断出a的取值范围． y?2y???1?32 ?????0y?2a?解不等式①，得y；2???a；解不等式②，得y ∵不等式组的解集为y，∴a；2??2??③由a且a≠2和a，可推断出a的取值范围，且a≠2，符合条件的所有整数6?a6??2?2??a为－2、－1、0、1、3、4、5，这些整数的和为10，故选A．2．（2017内蒙古赤峰）正整数x、y满足（2x－5）（2y－5）＝25，则x＋y等于（）A．18或10 B．18 C．10 D．26 【答案】A， 【解析】本题考查了分解质因数，有理数的乘法法则和多项式的乘法，能列出满足条件的等式是解题的关键． 由两数积为正，则这两数同号．∵25＝5×5＝（－5）×（－5）＝1×25＝（－1）×（－25）只供学习与交流． 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除 又∵正整数x、y满足（2x－5）（2y－5）＝25， ∴2x－5＝5，2y－5＝5或2x－5＝1，2y－5＝25 解各x＝5，y＝5或x＝3，y＝15． ∴x＋y＝10或x＋y＝18． 故选A. x?a?0?3．（2017广西百色）关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则正数a?2x?3a?0?的最小值是（） 2 D．．1 B．2 CA． 3 3B. 【答案】3a3a＜x≤a，因为该解集中至少5个整数解，所以a比至少【解析】不等式组的解集为??223a+5，解得a≥2 a≥．大5，即?2111122＝n－m－2，则－的值等于（4．（2017四川眉山）已知m＋n ）44mn1D．－ 1 C．B0 ．－A．1 4C 【答案】11112222，m＋1)n＋(－1)m＝0，从而＝－2即1)1)由题意，【解析】得(m＋m＋＋(n－n ＋＝0，(24421111 ＝－1．＝n2，所以－＝－2nm2－端午节前夕，在东昌湖举行的第七届全民健身运动会龙舟比赛中，甲、乙．（2017聊城）5之前的函数关系式如图所示，下列两队与时间500米的赛道上，所划行的路程(min)my()x 说法错误的是（）到达终点．乙队比甲队提前A0.25min 时，此时落后甲队．当乙队划行B110m15m 中考数学专题训练函数综合题专题 1. 如图，一次函数y kx b y 4 与反比例函数x 的图像交于 A 、B 两点，其中y 点A的横坐标为1，又一次函数y （1）求一次函数的解析式； （2）求点 B 的坐标. kx b 的图像与x 轴交于点C3,0 . A C O x B 2. 已知一次函数y=（1-2x）m+x+3 图像不经过第四象限，且函数值y 随自变量x 的减小而减小。（1）求m 的取值范围； （2）又如果该一次函数的图像与坐标轴围成的三角形面积是 4.5 ，求这个一次函数的解析式。 y 2 1 -1 O -1 1 2 x 图 2 3. 如图，在平面直角坐标系中，点O 为原点，已知点 A 的坐标为（2，2），点B、C 在x 轴上，BC=8，AB=AC ，直线 y 1 / 22 D A ° AC 与 y 轴相交于点 D ． （ 1）求点 C 、D 的坐标； （ 2）求图象经过 B 、D 、 A 三点的二次函数解析式及它的顶点坐标． 4. 如图四， 已知二次函数 y ax 2 2ax 3 的图像与 x 轴交于点 A ，点 B ，与 y 轴交于点 C ，其顶点为 D ，直线 DC 的函数关系式为 y kx b ，又 tan OBC 1． y （ 1）求二次函数的解析式和直线 DC 的函数关系式； D （ 2）求 △ ABC 的面积． C （ 图 四 ） A O B x 5. 已知在直角坐标系中，点 A 的坐标是（ -3， 1），将线段 OA 绕着点 O 顺时针旋转 90 得到 OB. y 2 / 22 A x (1)求点B 的坐标；(2) 求过A、B、O 三点的抛物线的解析式；(3)设点B 关于抛物线的对称轴的对称点为C，求△ABC 的面积。 y 6．如图，双曲线0）、与y 轴交于点5 x 在第一象限的一支上有一点 B. C（1，5），过点C 的直线y kx b( k 0) 与x 轴交于点A（a， (1) 求点A 的横坐标 a 与k 之间的函数关系式； (2) 当该直线与双曲线在第一象限的另一交点 D 的横坐标是9 时，求△COD 的面积. y B C D O A x 第 6 题 3 / 22 新初中数学锐角三角函数的经典测试题及答案 一、选择题 1．如图，在Rt ABC V 中，90ACB ∠=?，3 tan 4 B =，CD 为AB 边上的中线，CE 平分ACB ∠，则 AE AD 的值（ ） A ． 35 B ． 34 C ． 45 D ． 67 【答案】D 【解析】 【分析】 根据角平分线定理可得AE ：BE ＝AC ：BC ＝3:4，进而求得AE ＝ 3 7 AB ，再由点D 为AB 中点得AD ＝ 12AB ，进而可求得AE AD 的值． 【详解】 解：∵CE 平分ACB ∠， ∴点E 到ACB ∠的两边距离相等， 设点E 到ACB ∠的两边距离位h ， 则S △ACE ＝ 12AC·h ，S △BCE ＝12 BC·h ， ∴S △ACE ：S △BCE ＝ 12AC·h ：1 2 BC·h ＝AC ：BC ， 又∵S △ACE ：S △BCE ＝AE ：BE ， ∴AE ：BE ＝AC ：BC ， ∵在Rt ABC V 中，90ACB ∠=?，3tan 4 B =， ∴A C ：BC ＝3:4， ∴AE ：BE ＝3:4 ∴AE ＝ 3 7 AB ， ∵CD 为AB 边上的中线， ∴AD ＝ 1 2 AB ， ∴ 3 6 717 2 AB AE AD AB ==， 故选：D ． 【点睛】 本题主要考查了角平分线定理的应用及三角函数的应用，通过面积比证得AE ：BE ＝AC ：BC 是解决本题的关键． 2．如图，某地修建高速公路，要从A 地向B 地修一条隧道（点A ，B 在同一水平面上）．为了测量A ，B 两地之间的距离，一架直升飞机从A 地起飞，垂直上升1000米到达C 处，在C 处观察B 地的俯角为α，则AB 两地之间的距离约为（ ） A ．1000sin α米 B ．1000tan α米 C ． 1000 tan α 米 D ． 1000 sin α 米 【答案】C 【解析】 【分析】 在Rt △ABC 中，∠CAB=90°，∠B=α，AC=1000米，根据tan AC AB α=，即可解决问题． 【详解】 解：在Rt ABC ?中，∵90CAB ∠=o ，B α∠=，1000AC =米， ∴tan AC AB α=， ∴1000 tan tan AC AB αα = =米． 故选：C ． 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 3．如图，对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A 落在EF 上的点A′处，并使折痕经过点B ，得到折痕BM ，若矩形纸片的宽AB=4，则折痕BM 的长为( ) 初三中考数学函数综合 题汇总 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 2 初三中考函数综合题汇总 1、抛物线bx ax y +=2（0≠a ）经过点)4 9 1(，A ，对称轴是直线2=x ，顶点是D ，与x 轴正半轴的 交点为点B ． （1）求抛物线bx ax y +=2（0≠a ）的解析式和顶点D 的坐标； （2）过点D 作y 轴的垂线交y 轴于点C ，点M 在射线BO 上，当以DC 为直径的⊙N 和以MB 为半径的⊙M 相切时，求点M 的坐标． 2、如图，已知二次函数mx x y 22+-=的图像经过点B （1,2），与x 轴的另一个交点为A ，点B 关于抛物线对称轴的对称点为C ，过点B 作直线BM ⊥x 轴垂足为点M ． （1）求二次函数的解析式； （2）在直线BM 上有点P （1， 2 3 ），联结CP 和CA ，判断直线CP 与直线CA 的位置关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，在坐标轴上是否存在点E ，使得以A 、C 、P 、E 角梯形，若存在，求出所有满足条件的点E 3、如图，直线AB 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，O 是坐标原点，A （-3，0）且sin ∠ABO=5 3 ，抛物 线y =ax 2+bx +c 经过A 、B 、C 三点，C （-1，0）. （1）求直线AB 和抛物线的解析式； （2）若点D （2，0），在直线AB 上有点P ，使得△ABO 和△ADP 相似，求出点P 的坐标； 第24题 3 （3）在（2）的条件下，以A 为圆心，AP 长为半径画⊙A ，再以D 判断⊙A 和⊙D 的位置关系，并说明理由. 4、已知平面直角坐标系xOy （如图7），抛物线c bx x y ++=221（1）求该抛物线顶点P 的坐标； （2）求CAP ∠tan 的值； （3）设Q 是（1）中所求出的抛物线的一个动点，点Q 的横坐标为t ， 当点Q 在第四象限时，用含t 的代数式表示△QAC 的面积. 5、以点P 为圆心PO 长为半径作圆交x 轴交于点A 、O 两点，过点A 作直线AC 交y 轴于点C ,与圆 P 交于点B ，5 3 sin = ∠CAO (1) 求点C 的坐标；(2) 若点D 是弧AB 的中点，求经过A 、D 、O 三点的抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的解析式；(3) 若直线)0(≠+=k b kx y 经过点)0,2(M ，当直线 )0(≠+=k b kx y 与圆P 相交时，求 b 的取值范围． 图 人教版中考数学压轴题24道：二次函数专题 1．如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B，C两点，与x轴另一交点为A．点P以每秒个单位长度的速度在线段BC上由点B向点C运动（点P不与点B和点C重合），设运动时间为t秒，过点P作x轴垂线交x轴于点E，交抛物线于点M． （1）求抛物线的解析式； （2）如图①，过点P作y轴垂线交y轴于点N，连接MN交BC于点Q，当＝时，求t的值； （3）如图②，连接AM交BC于点D，当△PDM是等腰三角形时，直接写出t的值． 2．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点．（1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，P为抛物线上在第二象限内的一点，若△PAC面积为3，求点P的坐标； （3）如图2，D为抛物线的顶点，在线段AD上是否存在点M，使得以M，A，O为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B． （1）求抛物线解析式及B点坐标； （2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积； （3）如图2，若P点是半径为2的⊙B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位 置时，PC+PA 的值最小，请求出这个最小值，并说明理由． 4．已知函数y ＝（n 为常数） （1）当n ＝5， ①点P （4，b ）在此函数图象上，求b 的值； ②求此函数的最大值．（2）已知线段AB 的两个端点坐标分别为A （2，2）、B （4，2），当此函数的图象与线段 AB 只有一个交点时，直接写出n 的取值范围． （3）当此函数图象上有4个点到x 轴的距离等于 4，求n 的取值范围． 5．在平面直角坐标系 xOy 中（如图），已知抛物线 y ＝x 2 ﹣2x ，其顶点为A ． （1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A 的坐标，并说明它的变化情况； （2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点” ． ①试求抛物线y ＝x 2 ﹣2x 的“不动点”的坐标； ②平移抛物线y ＝x 2﹣2x ，使所得新抛物线的顶点 B 是该抛物线的“不动点”，其对称轴 与x 轴交于点C ，且四边形OABC 是梯形，求新抛物线的表达式． 年中考数学选择题压轴题汇编 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2 3 2017年中考数学选择题压轴题汇编（1） 1．（2017重庆）若数a 使关于x 的分式方程2411a x x +=--的解为正数，且使关于y 的不等式组()213220y y y a +?->???-≤? 的解集为y 2<-，则符合条件的所有整数a 的和为（ ） A ．10 B ．12 C ． 14 D ．16 【答案】A 【解析】①解关于x 的分式方程，由它的解为正数，求得a 的取值范围． 2411a x x +=-- 去分母，得2－a ＝4（x －1） 去括号，移项，得 4x ＝6－a 系数化为1，得x ＝ 64a - ∵x 0>且x≠1，∴64a -0>，且64 a -≠1，解得a 6<且a≠2； ②通过求解于y 的不等式组，判断出a 的取值范围． ()213220y y y a +?->???-≤? 解不等式①，得y 2<-； 解不等式②，得y ≤a ； ∵不等式组的解集为y 2<-，∴a 2≥-； ③由a 6<且a≠2和a 2≥-，可推断出a 的取值范围26a -≤<，且a≠2，符合条件的所有整数a 为－2、－1、0、1、3、4、5，这些整数的和为10，故选A ． 2．（2017内蒙古赤峰）正整数x 、y 满足（2x －5）（2y －5）＝25，则x ＋y 等于（ ） A ．18或10 B ．18 C ．10 D ．26 【答案】A ， 【解析】本题考查了分解质因数，有理数的乘法法则和多项式的乘法，能列出满足条件的等式是解题的关键． 由两数积为正，则这两数同号．∵25＝5×5＝（－5）×（－5）＝1×25＝（－1）×（－25） 一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．（6分）（2015?牡丹江）如图，抛物线y=x 2+bx+c 经过点A （﹣1，0），B （3，0）．请解答下列问题： （1）求抛物线的解析式； （2）点E （2，m ）在抛物线上，抛物线的对称轴与x 轴交于点H ，点F 是AE 中点，连接FH ，求线段FH 的长． 注：抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的对称轴是x=﹣ ． 【答案】（1）y=-2x-3；（2）． 【解析】 试题分析：（1）把A,B 两点坐标代入，求待定系数b,c ，进而确定抛物线的解析式；（2）连接BE ，点F 是AE 中点，H 是AB 中点，则FH 为三角形ABE 的中位线，求出BE 的长，FH 就知道了，先由抛物线解析式求出点E 坐标，根据勾股定理可求BE ，再根据三角形中位线定理求线段HF 的长． 试题解析：（1）∵抛物线y=x 2+bx+c 经过点A （﹣1，0），B （3，0），∴把A,B 两点坐标代入得： ，解得： ，∴抛物线的解析式是：y=-2x-3；（2）∵点 E （2，m ）在抛物线上，∴把E 点坐标代入抛物线解析式y=-2x-3得：m=4﹣4﹣3=﹣3，∴E （2，﹣3），∴BE= = ．∵点F 是AE 中点，点H 是抛物线的对称轴与 x 轴交点，即H 为AB 的中点，∴FH 是三角形ABE 的中位线，∴FH=BE=×= ．∴ 线段FH 的长 ． 考点：1．待定系数法求抛物线的解析式；2．勾股定理；3．三角形中位线定理． 2．如图，已知顶点为(0,3)C -的抛物线2(0)y ax b a =+≠与x 轴交于A ，B 两点，直线 y x m =+过顶点C 和点B ． 人教版九年级数学下册《锐角三角函数》测试题 (满分120分，时间120分钟) 一、选择题：（每小题3分，共30分） 1、等腰三角形底边长为10cm ，周长为36cm ，则底角的正弦值为（ ）。 A 、 185 B 、165 C 、1513 D 、13 12 2、在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，则锐角A 的三角函数值（ ） A 也扩大3倍 B 缩小为原来的 3 1 C 都不变 D 有的扩大，有的缩小 3、以直角坐标系的原点O 为圆心，以1为半径作圆。若点P 是该圆上第一象限内的一点，且OP 与x 轴正方向组成的角为α，则点P 的坐标为 （ ） A (cosα,1) B (1,sinα) C (sinα,cosα) D (cosα,sinα) 4、如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=8cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ，连结BD ，若cos ∠BDC=5 3，则BC 的长是 （ ） A 、4cm B 、6cm C 、8cm D 、10cm 5、已知a 为锐角，sina=cos500则a 等于（ ） A 20° B 30° C 40° D 50° 6、若tan(a+10°)=3，则锐角a 的度数是( ) A 、20° B 、30° C 、35° D 、50° 7、在△ABC 中，∠C=90°，则下列关系成立的是（ ） A. AC=ABsinA B. BC=ACsinB C. AC=ABsinB D. AC=BCtanA 8、小阳发现电线杆AB 的影子落在土坡的坡面CD 和地面BC 上，量得CD=8米，BC=20米，CD 与地面成30o角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为（ ） A ．9米 B ．28米 C ．()37+米 D.() 3214+米 9、已知sin α= 2 3，且α为锐角，则α=（ ）。 A 、75° B 、60° C 、45° D 、30° 10、如果∠A 是等边三角形的一个内角，那么cosA 的值等于（ ）。 A 、2 1 B 、 2 2 C 、 2 3 D 、1 二、填空题：（30分） 11、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝2，b ＝3，则cosA ＝ .，sinB ＝ ，tanB ＝ . 12、直角三角形ABC 的面积为24cm 2，直角边AB 为6cm ，∠A 是锐角，则sinA ＝ . 13、已知tan α＝ 12 5，α是锐角，则sin α＝ . 14、cos 2(50°＋α)＋cos 2(40°－α)－tan(30°－α)tan(60°＋α)＝ . 15、如图，机器人从A 点，沿着西南方向，行了个42单位，到达B 点后观察 到原点O 在它的南偏东60°的方向上，则原来A 的坐标为 .（结果保留根号）． 16、等腰三角形底边长10cm ，周长为36cm ，则一底角的正切值为 . 17、某人沿着坡度i=1:3的山坡走了50米，则他离地面 米高。 18、如图，在坡度为1：2 的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是 米。 19、在△ABC 中，∠ACB ＝90°，cosA= 3 ，AB ＝8cm ，则△ABC 的面积为 . x O A y B(完整版)锐角三角函数练习题及答案
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