三角函数解答题 专题
三角函数解答题
1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sinA?sinB sinC
=
a?c a+b
．
（1）求角B 的大小；
（2）若b ＝6，且AC 边上的中线长为4，求△ABC 的面积． .解；（1）因为
sinA?sinB sinC
=
a?c a+b
=
a?b c
所以a 2+c 2﹣b 2＝ac ， 由余弦定理可得，cos B =a 2+c 2?b 2
2ac
=1
2
，
所以B =1
3π；
（2）设AC 的中点D ，由余弦定理可得，BD 2+AD 2?AB 2
2BD?AD
=
?
BD 2+CD 2?BC 2
2BD?CD ，
即
42+32?c 22×3×4
=?
42+32?a 22×3×4
，
整理可得，a 2+c 2＝50， 因为a 2+c 2﹣b 2＝ac ，b ＝6， 所以ac ＝14，
所以S =1
2
acsinB =1
2
×14×
√3
2
=
7√32
2．在△ABC 中，∠BAC ＝120°，sin ∠ABC =√21
7
，D 是线段CA 延长
线上一点，且AD ＝2AC ＝4． （1）求sin ∠ACB 的值； （2）求BD 的长． .解：（1）∵sin ∠ABC =
√21
7
，可得cos ∠ABC =√1?(
√217
)2
=
2√7
7
，
∴sin∠ACB＝sin（180°﹣∠BAC﹣∠ABC）＝sin（60°﹣∠ABC）
＝sin60°cos∠ABC﹣cos60°sin∠ABC=√3
2×2√7
7
?1
2
×√21
7
=√21
14
．
（2）∵由正弦定理AB
sin∠ACB =AC
sin∠ABC
，可得AB=AC?sin∠ACB
sin∠ABC
=
2×√21
14
√21
7
=1，
∴由余弦定理可得：
BD=2+AD2?2AB?AD?cos∠BAD=
√12+42?2×1×4×1
2
=√13．
3．在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，a，a，若2aaaa A＝aaaa B+aaaa A．
（1）求角A；
（2）若2a＝a+a，且△ABC的外接圆半径为1，求△ABC的面积．.解：（1）因为2c cos A＝a cos B+b cos A．
由正弦定理得2sin C cos A＝sin A cos B+sin B cos A，从而可得2sin C cos A ＝sin C，
又C为三角形的内角，所以sin C≠0，于是cosA=1
2
，
又A为三角形内角，因此A=π
3
；
（2）设△ABC的外接圆半径为R，则R＝1，a=2RsinA=√3，
由余弦定理得a2=b2+c2?2bccosπ
3
=(b+c)2?3bc，即3＝12﹣3bc，
所以bc＝3．所以△ABC的面积为：S=1
2bcsinA=3√3
4
．
4．已知△ABC外接圆的半径为R，其内角A，B，C的对边长分别为
a ，
b ，
c ，若2R （sin 2B ﹣sin 2A ）＝（a +c ）sin C ． （Ⅰ）求角B ；
（Ⅱ）若b =√7，c ＝2，求sin A 的值．
.解：（1）因为2R （sin 2B ﹣sin 2A ）＝（a +c ）sin C ． 所以2R ?2R （sin 2B ﹣sin 2A ）＝2R （a +c ）sin C ． 集b 2﹣a 2＝ac +c 2， 由余弦定理可得，cos B =a 2+c 2?b 2
2ac
=?1
2
，
∵0＜B ＜π， ∴B =
2π3
；
（2）∵b =√7，c ＝2， 由正弦定理可得，b sinB
=
c sinC
，
所以sin C =
√21
7
， 因为b ＞c ，故C 为锐角，cos C =
2√7
7
， 所以sin A ＝sin （B +C ）＝sin B cos C +sin C cos B =
√32
×
2√77
?1
2
×
√217
=
√21
14
5．已知函数f （x ）＝2sin （x +π
3
）cos x ，x ∈R ．
（1）求函数f （x ）的最小正周期；
（2）当x ∈[?π
4
，π
4]时，求函数f （x ）的最大值与最小值．
.（1）解：f （x ）＝2sin （x +π3
）cos x ＝2（1
2
sin x +
√3
2
cos x ）cos x ＝
sin x cos x +√3cos 2x =
12
sin2x +√3
?
1+cos2x
2
=
1
2sin2x +√32cos2x +√3
2=sin （2x +π
3）+√3
2
，
故函数f （x ）的最小正周期T ＝π．
（2）当x∈[?π
4，π
4
]时，
?π
2≤2x≤π
2
，?π
6
≤2x+π
3
≤5π
6
，
即当2x+π
3=π
2
时，函数取得最大值，f(x)max=1+√3
2
，
当2x+π
3=?π
6
时，函数取得最小值，f(x)min=√3?1
2
．
6．在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a，b，c，c＝2．
（1）若b＝2，sin(A+B)=6sin2C
2
，求sin A；
（2）若BC，AC边上的高之比为2：1，求△ABC面积的最大值．
.解：（1）sin(A+B)=6sin2C
2
=3（1﹣cos C），
∴sin C＝3﹣3cos C，
∵sin2C+cos2C＝1，
∴cos C=4
5
，cos C＝1（舍去），
∴sin C=3
5
，∴b＝c＝2，∴B＝C，
∴sin A＝sin（B+C）＝sin2c＝2sin C cos C＝2×3
5×4
5
=24
25
；
（2）∵BC，AC边上的高之比为2：1，∴a：b＝1：2，即b＝2a，
由余弦定理可得c2＝a2+b2﹣2ab cos C，∴4＝5a2﹣4a2cos C，
∴cos C=5a 2?4
4a2
，∵C是锐角，
∴cos C=5a 2?4
4a ＞0，即a2＞4
5
，
∴sin C=2C=√?9a4+40a2?16
4a
，
∴S △ABC =12ab sin C =14√?9a 2+40a 2?16=1
4√?9(a 2?
209
)2
+
2569
，
当a 2=
209
，即a =
2√5
3
时，△ABC 面积的最大值为4
3
．
7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos A sin B ＝sin A +2sin C ． （1）求角B 的大小；
（2）若a ＝2，△ABC 的面积为2√3，求b ．
.解：（1）∵2cos A sin B ＝sin A +2sin C ＝sin A +2sin （A +B ）＝sin A +2sin A cos B +2sin B cos A ， ∴sin A +2sin A cos B ＝0， ∵sin A ≠0，
∴1+2cos B ＝0，解得cos B =?1
2，
∵B ∈（0，π）， ∴B =
2π3
．
（2）∵a ＝2，△ABC 的面积为2√3， ∴1
2
ac sin B =1
2
×2×c ×sin
2π3
=2√3，解得c ＝4，
∴由余弦定理
b 2＝a 2+
c 2﹣2ac cos B ，可得
b =
√22+42?2×2×4×(?12
)=2√7．
8．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，且满cos2A ?cos2B =2sin(π
3
+A)sin(π
3
?A)．
（1）求角B 的值；
（2）若b =√3≤a ，求a ?1
2
c 的取值范围，
.解：（1）∵cos2A ?cos2B =2sin(π3
+A)sin(π
3
?A)=2
（
√32cos A +12sin A ）（√3
2cos A +12sin A ）＝2（34cos 2A ?14sin 2A ）=32
×
1+cos2A 2
?12
×
1?cos2A 2=1
2
+cos2A ，
∴解得cos2B =?12
，可得2cos 2B ﹣1=?1
2
，
∴可得cos 2B =14
，∴cos B ＝±1
2
，
∵B ∈（0，π），∴B =π3
或2π
3
．
（2）∵b =√3≤a ，
∴由（1）可得B =π
3，由正弦定理
a sinA
=
b sinB
=
c sinC
=
√3
√3
2
=2，可得
a ＝2sin A ，c ＝2sin C ，
∴a ?1
2c ＝2sin A ﹣sin C ＝2sin A ﹣sin （
2π3
?A ）＝2sin A ﹣
sin 2π3
cos A +cos 2π3
sin A =3
2
sin A ?
√3
2
cos A =√3sin （A ?π6
）
， ∵b ≤a ， ∴π
3
≤A ＜
2π3
，π6
≤A ?π6
＜π
2
，
∴a ?12c ∈[√3
2
，√3）．
9．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b （a 2+c 2﹣b 2）＝a 2c cos C +ac 2cos A ． （1）求角B 的大小； （2）若△ABC 外接圆的半径为
2√3
3
，求△ABC 面积的最大值．
.解：（1）因为b （a 2+c 2﹣b 2）＝ca 2cos C +ac 2cos A ， ∴2abc cos B ＝ac 2cos C +ac 2cos A ， 即2b cos B ＝a cos C +c cos A
由正弦定理可得，2sin B cos B ＝sin A cos C +sin C cos A ＝sin （A +C ）＝sin B ， 所以cos B =1
2，
因为B ∈（0，π），所以B =1
3
π；
（2）由正弦定理可得，b ＝2R sin B =
2√33
×2×
√3
2
=2，
由余弦定理可得，b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ， 即a 2+c 2﹣ac ＝4， 因为a 2+c 2≥2ac ，
所以4＝a 2+c 2﹣ac ≥ac ，当且仅当a ＝c 时取等号，即ac 的最大值4，
所以△ABC 面积S =1
2acsinB =√3
4
ac ≤√3即面积的最大值√3．
10．已知函数f(x)=sin(2x +π6)+12cos 2(x ?π
6
)．
（1）求f （x ）的最小正周期以及f(π
12
)的值；
（2）若g(x)=f(π2
?x)，求g （x ）在区间[?π4
，π
6
]的最值．
.解：（1）函数f(x)=sin(2x +π6
)+12
cos 2(x ?π
6
)
＝sin （2x +π6
）+1
2
×
1+cos(2x?π3
)
2
＝（√3
2
sin2x +12
cos2x ）+14
（12
cos2x +√3
2sin2x ）+14
=
5√38sin2x +58
cos2x +1
4
=54
sin （2x +π6
）+14
；
所以f （x ）的最小正周期为T =2π2=π，
f(π
12
)=5
4
sin （2×
π12+π6
）+14
=54
×
√32
+14=
5√3+28；
（2）由g(x)=f(π2
?x)=54
sin[（π﹣2x ）+π6
]+14
=54
sin （2x ?π6
）+14
，
当x ∈[?π4
，π6
]时，2x ?π6
∈[?
2π3
，π
6
]，
所以sin （2x ?π6
）∈[﹣1，12
]， 所以5
4
sin （2x ?π
6
）+1
4
∈[﹣1，7
8
]，
所以g （x ）在区间[?π4
，π6
]的最小值为﹣1，最大值为7
8
．
11．已知函数f(x)=2sinxsin(x +π3
)?1
2
．
（Ⅰ）若f （x +φ）为偶函数，且φ∈（0，π），求φ；
（Ⅱ）在△ABC 中，角A 满足f （A ）＝1，sin B ＝2sin C ，a ＝2，求△ABC 的面积．
.解：（Ⅰ）f(x)=2sinx(1
2sinx +
√3
2
cosx)?1
2=sin 2x +
√3sinxcosx ?12=
1?cos2x
2
+
√3
2sin2x ?1
2
=sin(2x ?π6
)，
则f(x +φ)=sin(2x +2φ?π
6
)，
由f （x +4）为偶函数可知f(0+φ)=sin(2φ?π
6
)=±1，所以2φ?
π6
=π
2
+kπ(k ∈Z)，
解得φ=π3
+kπ2
(k ∈Z)．
又因为φ∈（0，π），所以φ=π3
或56
π．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(A)=sin(2A ?π
6
)=1?A =π
3
，sin B ＝2sin C ?b
＝2c ，
所以由余弦定理得cosA =
b 2+
c 2?a 2
2bc
?c =23√3，b =4
3
√3，
所以△ABC 的面积S =1
2bcsinA =1
2×4
3√3×2
3
√3×
√3
2
=2
3
√3．
12．在平面四边形ABCD 中，∠ABC =π2
，∠DAC =2∠ACB ，∠ADC =
π3
．
（1）若∠ACB =π6
，BC =√3，求BD ；
（2）若DC=√3AB，求cos∠ACB．
.解：（1）如右图，∠ABC=π
2，∠DAC=2∠ACB，∠ADC=π
3
，∠
ACB=π
6
，BC=√3，
可得∠DAC=π
3
，
在直角三角形ABC中，AB＝BC tanπ
6=1，AC=BC
cosπ
6
=2，
可得△DAC为边长为2的等边三角形，
在△ABD中，∠DAB=2π
3
，可得BD=√AB2+AD2?2AB?AD?cos∠DAB=
√1+4?2×1×2×(?1
2
)=√7；
（2）如右图，设AB＝x，则DC=√3x，∠ACB＝α，则∠DAC＝2α，
在直角三角形ABC中，AC=AB
sinα=x
sinα
，
在△ACD中，由正弦定理可得AC
sin∠ADC =CD
sin2α
，
即
sinα?√3
2=√3x
sin2α
=√3x
2sinαcosα
，
化简可得cosα=3
4
，
即cos
∠ACB=3
4
．
13．△ABC 的内角A ，B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量m →
=（c ﹣a ，sin B ），n →
=（b ﹣a ，sin A +sin C ）且m →
∥n →
． （1）求C ；
（2）若√6c +3b =3a ，求sin A ．
.解：（1）∵向量m →
=（c ﹣a ，sin B ），n →
=（b ﹣a ，sin A +sin C ）且m →
∥
n →
，
∴（c ﹣a ）（sin A +sin C ）＝（b ﹣a ）sin B ，由正弦定理可得（c ﹣a ）（a +c ）＝（b ﹣a ）b ， ∴a 2
+b 2
﹣c 2
＝ab ，∴cos C =a 2+b 2?c 2
2ab
=
ab 2ab
=1
2
，
∵C ∈（0，π）， ∴C =π
3．
（2）由（1）可得B =2π3
?A ，由题设及正弦定理可得：√6sin C +3sin
（2π3?A ）＝3sin A ， 即
√22
+
√3
2cos A +12
sin A ＝sin A ，可得sin （A ?π
3
）=
√2
2
， 由于0＜A ＜2π3
，?π3
＜A ?π3
＜π
3
，
∴cos （A ?π3
）=√2
2，∴sin A ＝sin （A ?π3+π3
）＝sin （A ?π3
）cos π
3
+cos
（A ?π
3
）sin π
3
=
√6+√2
4
． 14．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan A （2cos C
﹣sin A ）＝cos A ﹣2sin C ． （1）求角B 的大小；
（2）若角B 为锐角，b ＝1，△ABC 的面积为√3
4
，求△ABC 的周长． .解：（1）∵tan A （2cos C ﹣sin A ）＝cos A ﹣2sin C ， ∴2sin A cos C ﹣sin 2A ＝cos 2A ﹣2cos A sin C ．
化简得sinAcosC +cosAsinC =1
2
，即sin(A +C)=1
2
，
∴sin(π?B)=12
，即sinB =1
2
．
∴B =π6
或B =
5π6
．
（2）∵B 是锐角， ∴B =π
6，
由S △ABC =1
2
acsinB =
√3
4
，得，ac =√3．
在△ABC 中，由余弦定理得b 2=a 2+c 2?2accosB =(a +c)2?2ac ?√3ac ，
∴(a +c)2=1+2√3+3=(1+√3)2， ∴a +c =1+√3， ∴△ABC 的周长为2+√3．
15．在△ABC 中，已知内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且b ＝1，
a cosA
=
√3
sinB
． （Ⅰ）求角A ；
（Ⅱ）若a ＝2，求△ABC 的面积． .解：（Ⅰ）∵a
cosA
=
√3
sinB
?a sin B =√3cos A ，
∵
a sinA
=
b sinB
?a sin B ＝b sin A ；
∵b＝1；
所以：√3cos A＝sin A?tan A=√3?A=π
3
．（三角形内角）
（Ⅱ）因为a2＝b2+c﹣22bc cos A?c2﹣c﹣3＝0?c=1+√13
2
；（负值舍）；
∴S△ABC=1
2bc sin A=√3+√39
8
．
16．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，?π
2＜φ＜π
2
）的
最小正周期是π，且当x=π
6
时，f（x）取得最大值2．（1）求f（x）的解析式；
（2）作出f（x）在[0，π]上的图象（要列表）．
.解：（1）因为函数f（x）的最小正周期是π，
所以ω＝2．
又因为当x=π
6
时，f（x）取得最大值2．
所以A＝2，同时2×π
6+φ＝2kπ+π
2
，k∈Z，
φ＝2kπ+π
6
，k∈Z，
因为?π
2＜φ＜π
2
，
所以φ=π
6
，
所以f（x）＝2sin（2x+π
6
）．（2）因为x∈[0，π]，
所以2x+π
6∈[π
6
，13π
6
]，
列表如下：
2x+π
6π
6
π
2
π3π
2
2π13π
6
x0π
65π
12
2π
3
11π
12
π
f（x）120﹣201
描点、连线得图象：
17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b+c ＝a cos B+√3a sin B．
（1）求角A；
（2）若a＝2√3，求△ABC的面积的最大值．
.解：（1）由题意及正弦定理得sin B+sin C＝sin A cos B+√3sin A sin B，∵A+B+C＝π，
∴sin C＝sin（A+B），
sin B+sin（A+B）＝sin A cos B+√3sin A sin B，
化简得sin B（√3sin A﹣cos A﹣1）＝0，
∵sin B＞0，
∴√3sin A﹣cos A﹣1＝0，
∴sin（A?π
6）=1
2
，
∵0＜A＜π，
∴A=π
3
，
（2）∵a＝2√3，
∴由余弦定理cosA=b 2+c2?a2
2bc
得1
2
=b2+c2?12
2bc
，bc＝b2+c2﹣12，
∴bc＝b2+c2﹣12≥2bc﹣12，（当且仅当b＝c），
∴bc≤12，
∴S△ABC=1
2bcsinA=√3
4
bc≤3√3，
∴△ABC的面积的最大值为3√3．
18．如图，在四边形ABCD中，∠D＝2∠B，AC＝BC，AD＝2，CD ＝6．
（Ⅰ）当△ACD的面积最大时，求△ABC的面积；
（Ⅱ）若cosB=√3
3
，求AB．
.解：（Ⅰ）由S△ACD=1
2AD?CD?sin∠ADC知当∠ADC=π
2
时，S△ACD
最大，
此时AC=2+CD2=2√10，B=π
4
，
此时△ABC为等腰直角三角形S△ABC=1
2
AC?BC=20；
（Ⅱ）cosD=cos2B=2cos2B?1=?1
3
，
由余弦定理AC2＝CD2+AD2﹣2CD?AD cos D＝48
所以AB2＝AC2+BC2﹣AC?BC cos∠ACB＝64，AB＝8
19．已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，a cos C+√3c sin A ＝b+c．
（1）求A；
（2）若a=√3，b+c＝3，求b，c．
.解：（1）因为a cos C+√3c sin A＝b+c．
由正弦定理可得，sin A cos C+√3sin C sin A＝sin B+sin C＝sin（A+C）+sin C，
展开可得，sin A cos C+√3sin C sin A＝sin A cos C+sin C cos A+sin C，
因为sin C≠0，
所以√3sinA?cosA=1，
即sin（A?π
6）=1
2
，
∴A?π
6=π
6
或A?π
6
=5π
6
（舍），
故A=1
3
π；
（2）因为a=√3，b+c＝3，
由余弦定理可得，1
2=b2+c2?3
2bc
=(b+c)2?2bc?3
2bc
=3?bc
bc
，
解可得，bc＝2，
所以{b=1
c=2或{
b=2
c=1．
20．已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a sin （A+C）=bsin(A+π
3
)．
（1）求角A的大小；
（2）若三边b，a，c的长成等比数列，△ABC的面积为√3，求a，b，c的长．
.解：（1）因为a sin（A+C）=bsin(A+π
3
)．
所以a sin B＝b sin（A+1
3
π），
故sin A sin B＝sin B sin（A+1
3
π），
所以sin A＝sin（A+1
3π）=1
2
sinA+√3
2
cosA，
所以tan A=√3，∴A=1
3
π，
（2）由题意可得，1
2bcsinA=√3
4
bc=√3，
∴bc＝4，
∵a2＝bc＝4，∴a＝2，
由余弦定理可得，a2=b2+c2?2bc×cos1
3
π=b2+c2﹣bc，
∴b2+c2＝8，
所以（b﹣c）2＝b2+c2﹣2bc＝0，所以b＝c，
故b＝c＝2．
21．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且（sin A ﹣sin B）2＝sin2C﹣sin A sin B．
（Ⅰ）求C；
（Ⅱ）若c＝1，△ABC的周长是否有最大值？如果有，求出这个最大值，如果没有，请说明理由．
.解：（Ⅰ）△ABC中，由（sin A﹣sin B）2＝sin2C﹣sin A sin B，
得sin2A+sin2B﹣sin2C＝sin A sin B，
由正弦定理得a2+b2﹣c2＝ab；
所以cos C=a 2+b2?c2
2ab
=ab
2ab
=1
2
，
又C∈（0，π），所以C=π
3
；
（Ⅱ）当c＝1时，△ABC的周长有最大值，且最大值为3，理由如下：
由正弦定理得，a
sinA =b
sinB
=c
sinC
=1
sinπ
3
=
√3
，
所以a =
√3
sin A ，b =
√3
sin B ，
所以a +b =√3
sin A +√3
sin B =
√3
[sin A +sin （
2π3
?A ）]=
√3
（3
2sin A +
√3
2cos A ）＝2sin （A +π6
）； 因为0＜A ＜
2π3
，所以π6
＜A +π6
＜
5π
6
，
所以当A +π6
=π2
，即A =π3
时，a +b 取得最大值为2， 所以△ABC 的周长有最大值，最大值为3．
22．已知向量m →
∥n →
，且m →
=(sinA ，1
2
)，n →
=(3，sinA +√3cosA)，
其中A 是△ABC 的内角． （1）求角A 的大小
（2）若BC ＝2，求△ABC 面积S 的最大值． .解：（1）因为m →
∥n →
，
所以sin(sinA +√3cosA)?3
2=0，
所以sin 2A +√3sinAcosA ?3
2
=0，
所以
1?cos2A
2
+
√3
2
sin2A ?3
2
=0，
即sin （2A ?π6
）＝1， 因为0＜A ＜π， 所以A =π
3；
（2）由余弦定理可得，a 2＝4＝b 2+c 2﹣bc ≥2bc ﹣bc ＝bc ，当且仅当b ＝c 时取等号， 所以bc ≤4，
所以S △ABC =1
2bcsinA =
√34
bc ≤√3，即面积的最大值√3．
23．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c ，若满足b
（sin A+sin B）﹣a（sin A+sin B﹣sin C）＝c sin C．
（1）求角B的大小；
（2）若b＝6，求△ABC面积的取值范围．
.解：（1）因为b（sin A+sin B）﹣a（sin A+sin B﹣sin C）＝c sin C．由正弦定理可得，ab+b2﹣a2﹣ab+ac﹣c2＝0，
即a2+c2﹣b2＝ac，
由余弦定理可得，cos B=1
2
，
所以B=1
3
π，
（2）由a2+c2﹣b2＝ac可得a2+c2＝ac+36≥2ac，
∴ac≤36，
∴S△ABC=1
2acsinB=√3
4
ac≤9√3，
故△ABC面积的取值范围（0，9√3]．
24．如图，已知函数y＝2sin（πx+φ）（x∈R，其中0≤φ≤π
2
）的图象与y轴交于点（0，1）．
（1）求φ的值；
（2）求函数y＝2sin（πx+φ）的单调递增区间；
（3）求使y≥1的x的集合．
.解：（1）因为函数图象过点（0，1），所以2sin φ＝1，即sin φ=1
2
．因
为0≤φ≤π
2
，
所以φ=
6
．
（2）∵由（1）得y＝2sin（πx+π
6），∴?π
2
+2kπ≤πx+π
6
≤π
2
+2kπ，
（k∈Z）单调递增，即?2
3+2k≤x≤1
3
+2k，（k∈Z）单调递增，
故y＝2sin（πx+π
6）在[?2
3
+2k，1
3
+2k]单调递增．
∵π
2+2kπ≤πx+π
6
≤3π
2
+2kπ，（k∈z）单调递减，即1
3
+2k≤x≤4
3
+2k，
（k∈Z）单调递减
故y＝2sin（πx+π
6）在[1
3
+2k，4
3
+2k]单调递减；
（3）由y≥1，可得2sin（πx+π
6）≥1，所以π
6
+2kπ≤πx+π
6
≤5π
6
+2kπ，
（k∈Z），解得2k≤x≤2k+2
3
（k∈Z）．
故当y≥1的解集为[2k，2k+2
3
]（k∈Z）．
25．在△ABC中，内角A、B、C对边分别是a、b、c，已知sin2B＝sin A sin C．
（1）求证：0＜B≤π
3
；
（2）求2sin2A+C
2
+sin B﹣1的取值范围．
.解：（1）由正弦定理可得，a
sinA =b
sinB
=c
sinC
=2R，
∵sin2B＝sin A sin C．∴b2＝ac，
由余弦定理可得，cos B=a 2+c2?b2
2ac
≥2ac?ac
2ac
=1
2
，
因为0＜B＜π，
所以0＜B≤1
3
π；
（2）2sin2A+C
2
+sin B﹣1＝﹣cos（A+C）+sin B
＝cos B+sin B=√2sin(B+π
4
)，
∵0＜B ≤3
π，
∴π4
＜B +π4
≤
7π12
，
∴1＜√2sin(B +π4
)≤√2， 2sin 2
A+C 2
+sin B ﹣1的范围（1，√2]．
26．已知f （x ）＝2√3sin x cos x ﹣2cos （x ?π4
）cos （x +π4
）． （Ⅰ）求f （x ）的最小正周期和单调递增区问；
（Ⅱ）当x ∈[0，π]时，若f （x ）∈（﹣1，1]，求x 的取值范围． .解：（Ⅰ）f （x ）＝2√3sin x cos x ﹣2cos （x ?π
4
）cos （x +π
4
），
=√3sin2x ﹣2cos （x +π4
?π2
）cos （x +π
4
），
=√3sin2x ﹣2sin （x +π4）cos （x +π
4
），
=√3sin2x ﹣sin （2x +π
2
）， =√3sin2x ﹣cos2x ， ＝2（√3
2
sin2x ?1
2
cos2x ），
＝2sin （2x ?π
6
），
∴T =
2π2
=π，
由?π2
+2k π≤2x ?π6
≤π2
+2k π，k ∈Z ，
故函数f （x ）的单独递增区间为：[?π
6
+k π，π
3
+k π]，k ∈Z ，
（Ⅱ）∵f （x ）∈（﹣1，1]， ∴﹣1＜2sin （2x ?π
6）≤1，
∴?12
＜sin （2x ?π6
）≤1
2
，
∴?π6
+2k π＜2x ?π6
≤5
6
π+2k π，
∴k π＜x ≤π
2
+k π，
中考数学锐角三角函数-经典压轴题含答案解析
中考数学锐角三角函数-经典压轴题含答案解析 一、锐角三角函数 1．某地是国家AAAA 级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享誉巴渠，被誉为 “小九寨”．端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”，昂首向天，望穿古今．一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离．他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD ，想法测出了尾部C 看头顶B 的仰角为40o ，从前脚落地点D 看上嘴尖A 的仰角刚好60o ，5CB m ＝, 2.7CD m ＝．景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是3m ．于是，他们很快就算出了AB 的长．你也算算？（结果精确到0.1m ．参考数据：400.64400.77400.84sin cos tan ?≈?≈?≈，，.2 1.41,3 1.73≈≈） 【答案】AB 的长约为0.6m ． 【解析】 【分析】 作BF CE ⊥于F ，根据正弦的定义求出BF ，利用余弦的定义求出CF ，利用正切的定义求出DE ，结合图形计算即可． 【详解】 解：作BF CE ⊥于F ， 在Rt BFC ?中， 3.20BF BC sin BCF ?∠≈＝， 3.85CF BC cos BCF ?∠≈＝， 在Rt ADE ?E 中， 3 1.73tan 3AB DE ADE ===≈∠， 0.200.58BH BF HF AH EF CD DE CF ∴+＝﹣＝，＝＝﹣＝ 由勾股定理得，22BH AH 0.6(m)AB =+≈， 答：AB 的长约为0.6m ．
【点睛】 考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 2．如图，PB为☉O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交☉O于点A，连接PA，AO.并延长AO交☉O于点E，与PB的延长线交于点D． (1)求证：PA是☉O的切线； (2)若=，且OC=4，求PA的长和tan D的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）PA =3，tan D=. 【解析】 试题分析: （1）连接OB，先由等腰三角形的三线合一的性质可得：OP是线段AB的垂直平分线，进而可得：PA=PB，然后证明△PAO≌△PBO，进而可得∠PBO=∠PAO，然后根据切线的性质可得∠PBO=90°，进而可得：∠PAO=90°，进而可证：PA是⊙O的切线； （2）连接BE，由，且OC=4，可求AC，OA的值，然后根据射影定理可求PC的值，从而可求OP的值，然后根据勾股定理可求AP的值． 试题解析：（1）连接OB，则OA=OB， ∵OP⊥AB，∴AC=BC， ∴OP是AB的垂直平分线，∴PA=PB， 在△PAO和△PBO中，∵，∴△PAO≌△PBO（SSS） ∴∠PBO=∠PAO，PB=PA， ∵PB为⊙O的切线，B为切点，∴∠PBO=90°，∴∠PAO=90°，即PA⊥OA， ∴PA是⊙O的切线； （2）连接BE，
三角函数经典例题
经典例题透析 类型一：锐角三角函数 本专题主要包括锐角三角函数的意义、锐角三角函数关系及锐角三角函数的增减性和特殊角三角函数值，都是中考中的热点．明确直角三角形中正弦、余弦、正切的意义，熟记30°、45°、60°角的三角函数值是基础，通过计算器计算知道正弦、正切随角度增大而增大，余弦随角度增大而减小． 1．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，已知，BC=2，那 么( ) A．B．C．D． 思路点拨：由于∠ABC在Rt△ABC和Rt△BCD中，又已知AC和BC，故只要求出AB或CD即可． 解析： 解法1：利用三角形面积公式，先用勾股定理求出 ，∴． ∴． 解法2：直接利用勾股定理求出， 在Rt△ABC中，．答案：A 总结升华：求直角三角形中某一锐角三角函数值，利用定义，求出对应两边的比即可． 2．计算：(1)________； (2)锐角A满足，则∠A=________． 答案：(1)；(2)75°. 解析：(1)把角转化为值．(2)把值转化为角即可． (1)．
(2)由，得， ∴．∴A=75°． 总结升华： 已知角的三角函数，应先求出其值，把角的关系转化为数的关系，再按要求进行运算．已知一个三角函数值求角，先看看哪一个角的三角函数值为此值，在锐角范围内一个角只对应着一个函数值，从而求出此角． 3．已知为锐角，，求． 思路点拨：作一直角三角形，使为其一锐角，把角的关系转化为边的关系，借助勾 股定理，表示出第三边，再利用三角函数定义便可求出，或利用求出 ，再利用，使可求出． 解析： 解法1：如图所示，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=，由，可设，． 则， ∴． 解法2：由，得 ， ∴． 总结升华：知道一锐角三角函数值，构造满足条件的直角三角形，根据比的性质用一不为0的数表示其两边，再根据勾股定理求出第三边，然后用定义求出要求的三角函数值．或 利用，来求．
三角函数练习题及答案
创作编号：BG7531400019813488897SX 创作者： 别如克* 三角函数 一、选择题 1．已知 α 为第三象限角，则 2 α 所在的象限是( )． A ．第一或第二象限 B ．第二或第三象限 C ．第一或第三象限 D ．第二或第四象限 2．若sin θcos θ＞0，则θ在( )． A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第一、四象限 D ．第二、四象限 3．sin 3π4cos 6π5tan ??? ??3π4－＝( )． A ．－ 4 3 3 B ． 4 3 3 C ．－ 4 3 D ． 4 3 4．已知tan θ＋θtan 1 ＝2，则sin θ＋cos θ等于( )． A ．2 B ．2 C ．－2 D ．±2 5．已知sin x ＋cos x ＝51 (0≤x ＜π)，则tan x 的值等于( )． A ．－ 4 3 B ．－ 3 4 C ． 4 3 D ． 3 4 6．已知sin α ＞sin β，那么下列命题成立的是( )． A ．若α，β 是第一象限角，则cos α ＞cos β B ．若α，β 是第二象限角，则tan α ＞tan β C ．若α，β 是第三象限角，则cos α ＞cos β D ．若α，β 是第四象限角，则tan α ＞tan β
7．已知集合A ＝{α|α＝2k π±3π2，k ∈Z }，B ＝{β|β＝4k π±3 π2，k ∈Z }，C ＝ {γ|γ＝k π± 3 π 2，k ∈Z }，则这三个集合之间的关系为( )． A ．A ?B ?C B ．B ?A ?C C ．C ?A ?B D ．B ?C ?A 8．已知cos (α＋β)＝1，sin α＝31 ，则sin β 的值是( )． A ．3 1 B ．－3 1 C ． 3 2 2 D ．－ 3 2 2 9．在(0，2π)内，使sin x ＞cos x 成立的x 取值范围为( )． A ．??? ??2π ，4π∪??? ??4π5 ，π B ．?? ? ??π ，4π C ．?? ? ??4π5 ，4π D ．??? ??π ，4π∪??? ? ?23π ，4π5 10．把函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有点向左平行移动3 π 个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的2 1 倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( )． A ．y ＝sin ??? ? ? 3π － 2x ，x ∈R B ．y ＝sin ?? ? ??6π ＋ 2x ，x ∈R C ．y ＝sin ??? ? ? 3π ＋ 2x ，x ∈R D ．y ＝sin ??? ? ? 32π ＋ 2x ，x ∈R 二、填空题 11．函数f (x )＝sin 2 x ＋3tan x 在区间??? ???3π4π ，上的最大值是 ． 12．已知sin α＝ 552，2 π ≤α≤π，则tan α＝ ． 13．若sin ??? ??α ＋ 2π＝53，则sin ?? ? ??α － 2π＝ ． 14．若将函数y ＝tan ??? ? ? 4π ＋ x ω(ω＞0)的图象向右平移6π个单位长度后，与函数y ＝tan ??? ? ? 6π ＋ x ω的图象重合，则ω的最小值为 ． 15．已知函数f (x )＝21(sin x ＋cos x )－2 1 |sin x －cos x |，则f (x )的值域是 ． 16．关于函数f (x )＝4sin ??? ? ? 3π ＋ 2x ，x ∈R ，有下列命题：
三角函数经典解题方法与考点题型
三角函数经典解题方法与考点题型(教师) 1．最小正周期的确定。 例1 求函数y =s in (2co s|x |)的最小正周期。 【解】 首先，T =2π是函数的周期（事实上，因为co s(-x )=co s x ，所以cos |x |=co s x ）；其次，当且仅当x =k π+ 2 π 时，y =0（因为|2co s x |≤2<π）, 所以若最小正周期为T 0，则T 0=m π, m ∈N +，又s in (2co s0)=s in 2≠s in (2co s π)，所以T 0=2π。 过手练习 1.下列函数中，周期为 2π 的是 （ ） A ．sin 2x y = B ．sin 2y x = C ．cos 4 x y = D ．cos 4y x = 2.()cos 6f x x πω?? =- ?? ? 的最小正周期为 5 π ，其中0ω>，则ω= 3.（04全国）函数|2 sin |x y =的最小正周期是（ ）. 4.（1）（04北京）函数x x x f cos sin )(=的最小正周期是 . （2）（04江苏）函数)(1cos 22R x x y ∈+=的最小正周期为（ ）. 5.(09年广东文)函数1)4 (cos 22 -- =π x y 是 ( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为π的偶函数 C. 最小正周期为 2 π的奇函数 D. 最小正周期为2π 的偶函数 6.（浙江卷2）函数的最小正周期是 . 2．三角最值问题。 例2 已知函数y =s inx +x 2cos 1+，求函数的最大值与最小值。 【解法一】 令s inx =??? ??≤≤=+ππ θθ4304 sin 2cos 1,cos 22 x , 则有y =).4 sin(2sin 2cos 2π θθθ+ =+ 因为 ππ 4304≤≤，所以ππ θπ≤+≤4 2， 所以)4 sin(0π θ+≤≤1， 所以当πθ43=，即x =2k π-2 π (k ∈Z )时，y m in =0， 当4 π θ= ，即x =2k π+ 2 π (k ∈Z )时，y m ax =2. 2 (sin cos )1y x x =++
三角函数经典题目(带答案)
三角函数经典题目练习 1.已知α123 1、已知角 2、P (x ,5则sin 1、已知2、函数(f 3、已知 象限1. 已知π2 2.设0≤α是 . sin αtan x 若<0___. 5 3 sin +-= m m θ，524cos +-=m m θ（πθπ<<2），则 =θ________. 1tan tan αα，是关于x 的方程2230x kx k -+-=的 个实根，且παπ2 7 3<<，则ααsin cos +的值 . 0)13(22=++-m x x 的两根为 ()πθθθ2,0,cos ,sin ∈，求（1）m =_______ （2）θθθθtan 1cos cot 1sin -+-=________. α )4 15 tan(325cos ππ-+= . θθθθcos sin cos sin -+=2,则sin(θ-5π)·sin ?? ? ??-θπ23= α终边上P （－4，3）， ) 2 9sin()211cos() sin()2 cos(απαπαπαπ +---+= . 已知锐角α终边上一点P 的坐标是（2sin2,-2cos2)，α= . sin163°·sin223°+sin253°·sin313°= . =-+θ θtan 1tan 1_________ tan 20tan 4020tan 40?+????= α∈(0, 2π)，若sin α=5 3 ，则2cos(α+4π)= . 3 36 cos = ?? ? ??-απ，则?? ? ??+απ6 5cos =______，)6 5απ -- =_____．.
【知二求多】 1、已知cos ??? ??-2βα= -54,sin ??? ? ? -2αβ=135,且 0<β<2π<α<π,则cos 2 βα+=____. 2已知tan α=43,cos(α+β)=-14 11 , α、β为锐角， 则cos β=______. 【方法套路】 1、设2 1sin sin =+βα，31 cos cos =+βα，则 )cos(βα-=___ . 2.已知ββαcos 5)2cos(8++=0，则 αβαtan )tan(+= . 3,41)sin(,31)sin(=-=+βαβα则___tan tan =βα 【给值求角】 1tan α=7 1 ,tan β=3 1,α,β均为锐角，则 α+2β= . 2、若sinA= 55,sinB=10 10,且A,B 均为钝角, 则A+B= . 【半角公式】 1α是第三象限，2524 sin - =α，则tan 2 α= . 2、已知01342 =+++a ax x （a >1）的两根为αtan ， βtan ，且α,∈β ??-2 π,?? ? 2π, 则2 tan βα+=______ 3若 cos 22π2sin 4αα=- ? ?- ? ? ?，则cos sin αα+= . 4、若??????∈27,25ππα，则 ααsin 1sin 1-++= 5x 是第三象限角 x x x x x x x x cos sin 1cos sin 1cos sin 1cos sin 1-++++ ++-+=______ 【公式链】 1=+++οοοοΛ89sin 3sin 2sin 1sin 2222_______ 2sin10o sin30o sin50o sin70o=_______ 3（1+tan1o ）（1+tan2o ）…（1+tan45o ）=_______ 六、给值求角 已知3 1 sin - =x ，写出满足下列关系x 取值集合 ] 3,5[)3()2(]2,0[)1(πππ--∈∈∈x R x x 七、函数性质 【定义域问题】 1. x x y sin 162+-=定义域为_________ 2、1)3 2tan(-- =π x y 定义域为_________ 【值域】 1、函数y ＝2sin ???? πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为__________ 2、若函数g (x )＝2a sin x ＋b 的最大值和最小值分别为6和2，则|a |＋b 的值为________ 3、函数x x y sin 2sin 1+-= 的值域 4、函数x x y cos 1sin 21+-=的值域 5、函数x x y sin 2cos -=的值域 【解析式】 1、已知函数f (x )＝3sin 2ωx －cos 2ωx 的图象关于直 线x ＝π 3 对称，其中ω∈????－12，52.函数f (x )的解析式为________． 2、已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π 2 ) 的图象在y 轴上的截距为1，在相邻两最值点(x 0， 2)，??? ?x 0＋32，－2(x 0＞0)上f (x )分别取得最大值和最小值．则所得图像的函数解析式是________ 3.将函数sin y x =的图像上所有的点右移 10 π 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是___________ 4、()()sin f x A x h ω?=++(0,0,)2A π ω?>>< 的图象 如图所示，求函数)(x f 的解析式；
高中三角函数综合题及答案
三角函数习题 1．在ABC ?中,角A ． B ．C 的对边分别为a 、b 、c,且满足(2a-c)cosB=bcos C ． (Ⅰ)求角B 的大小; (Ⅱ)设()()()2411m sin A,cos A ,n k,k ,==>u r r 且m n ?u r r 的最大值是5,求k 的值 2．在ABC ?中,已知内角A ． B ．C 所对的边分别为a 、b 、c ,向 量 (2sin ,m B =r ,2cos 2,2cos 12B n B ??=- ???r ,且//m n r r ? (I)求锐角B 的大小; (II)如果2b =,求ABC ?的面积ABC S ?的最大值 3．已知??? ? ??-=23,23a ,)4cos ,4(sin x x ππ=,x f ?=)(? (1)求)(x f 的单调递减区间? (2)若函数)(x g y =与)(x f y =关于直线1=x 对称,求当]3 4,0[∈x 时,)(x g y =的最大值? 4．设向量(sin ,cos ),(cos ,cos ),a x x b x x x R ==∈,函数()()f x a a b =?+ (I)求函数()f x 的最大值与最小正周期; (II)求使不等式3()2 f x ≥成立的x 的取值集合? 5 ．已知函数2π()2sin 24f x x x ??=+ ???，ππ42x ??∈???? ，． （1）求)(x f 的最大值和最小值； （2）2)(<-m x f 在ππ42x ??∈???? ，上恒成立，求实数m 的取值范围．
6．在锐角△ABC 中,角A ． B ．C 的对边分别为a 、b 、c,已知.3tan )(222bc A a c b =-+ (I)求角A; (II)若a=2,求△ABC 面积S 的最大值? 7．在锐角ABC ?中，已知内角A ． B ．C 所对的边分别为a 、b 、c ，且(tanA －tanB)＝1＋tanA·tan B ． (1)若a 2－ab ＝c 2－b 2，求A ． B ．C 的大小； (2)已知向量m ρ＝(sinA ，cosA)，n ρ＝(cosB ，sinB)，求｜3m ρ－2n ρ｜的取值范围． 三角函数习题答案 1.【解析】:(I)∵(2a -c )cos B =b cos C , ∴(2sin A -sin C )cos B =sin B cos C ． 即2sin A cos B =sin B cos C +sin C cos B =sin(B +C ) ∵A +B +C =π,∴2sin A cos B =sinA ． ∵01,∴t =1时,m n ?u r r 取最大值. 依题意得,-2+4k +1=5,∴k = 2 3. ? 2.【解析】:(1) //m n r r 2sinB(2cos 2B 2-1)=-3cos2B
三角函数的易错点以及典型例题与高考真题
三角函数的易错点以及典型例题与真题 1.三角公式记住了吗两角和与差的公式________________； 二倍角公式:_________________ 万能公式 ______________正切半角公式____________________；解题时本着“三看”的基本原则来进行:“看角,看函数,看特征”,基本的技巧有:巧变角,公式变形使用,化切割为弦,用倍角公式将高次降次。 万能公式： (1) (sinα)2 +(cosα)2 =1 (2)1+(tanα)2=(secα)2 (3)1+(cotα)2=(cscα)2 (4)对于任意非直角三角形,总有 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC （证明：利用A+B=π-C ） 同理可得证,当x+y+z=n π(n ∈Z)时,该关系式也成立 由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 可得出以下结论： (5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1 (6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2) (7)(cosA ）2+(cosB ）2+(cosC ）2=1-2cosAcosBcosC (8)（sinA ）2+（sinB ）2+（sinC ）2=2+2cosAcosBcosC (9)设tan(A/2)=t sinA=2t/(1+t^2) （A≠2kπ+π，k∈Z） tanA=2t/(1-t^2) （A≠2kπ+π，k∈Z） cosA=(1-t^2)/(1+t^2) （A≠2kπ+π，且A≠kπ+(π/2) k∈Z） 2.在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗正切函数在整个定义域内是否为单调函数你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗 3.在三角中，你知道1等于什么吗（x x x x 2222tan sec cos sin 1-=+=
(完整版)三角函数大题专项(含答案)
三角函数专项训练 1．在△ABC中，角A、B、C对应边a、b、c，外接圆半径为1，已知2（sin2A﹣sin2C）＝（a﹣b）sin B． （1）证明a2+b2﹣c2＝ab； （2）求角C和边c． 2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b sin A＝a cos（B﹣）．（Ⅰ）求角B的大小； （Ⅱ）设a＝2，c＝3，求b和sin（2A﹣B）的值． 3．已知α，β为锐角，tanα＝，cos（α+β）＝﹣． （1）求cos2α的值； （2）求tan（α﹣β）的值． 4．在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．（1）求cos∠ADB； （2）若DC＝2，求BC． 5．已知函数f（x）＝sin2x+sin x cos x． （Ⅰ）求f（x）的最小正周期； （Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，求m的最小值． 6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a sin A＝4b sin B，ac＝（a2﹣b2﹣c2） （Ⅰ）求cos A的值； （Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值 7．设函数f（x）＝sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣），其中0＜ω＜3，已知f（）＝0．（Ⅰ）求ω； （Ⅱ）将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）在[﹣，]上的最小值． 8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a＝5，c＝6，sin B＝
． （Ⅰ）求b和sin A的值； （Ⅱ）求sin（2A+）的值． 9．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sin B sin C； （2）若6cos B cos C＝1，a＝3，求△ABC的周长． 10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）＝8sin2．（1）求cos B； （2）若a+c＝6，△ABC的面积为2，求b． 11．已知函数f（x）＝cos（2x﹣）﹣2sin x cos x． （I）求f（x）的最小正周期； （II）求证：当x∈[﹣，]时，f（x）≥﹣． 12．已知向量＝（cos x，sin x），＝（3，﹣），x∈[0，π]． （1）若，求x的值； （2）记f（x）＝，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．13．在△ABC中，∠A＝60°，c＝a． （1）求sin C的值； （2）若a＝7，求△ABC的面积． 14．已知函数f（x）＝2sinωx cosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值； （2）求f（x）的单调递增区间． 15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c＝2a cos B．（1）证明：A＝2B； （2）若cos B＝，求cos C的值． 16．设f（x）＝2sin（π﹣x）sin x﹣（sin x﹣cos x）2．
高中数学三角函数经典练习题专题训练(含答案)
高中数高中数学三角函数经典练习题专题训练 姓名班级学号得分 说明： １、本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分100分。考试时间90分钟。 ２、考生请将第Ⅰ卷选择题的正确选项填在答题框内，第Ⅱ卷直接答在试卷上。考试结束后，只收第Ⅱ卷 第Ⅰ卷（选择题） 一．单选题（每题3分，共60分） 1．已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别为（） A．2，-B．2，-C．4，-D．4， 2．下列说法正确的个数是（） ①小于90°的角是锐角；
②钝角一定大于第一象限角； ③第二象限的角一定大于第一象限的角； ④始边与终边重合的角为0°． A．0B．1C．2D．3 3．若0＜y＜x＜，且tan2x=3tan（x-y），则x+y的可能取值是（）A．B．C．D． 4．已知函数y=tan（ωx）（ω＞0）的最小正周期为2π，则函数y=ωcosx的值域是（）A．[-2，2]B．[-1，1]C．[-，]D．[-，] 5．在△ABC中，sin2=（a、b、c分别为角A、B、C的对应边），则△ABC的形状为（） A．正三角形B．直角三角形 C．等腰直角三角形D．等腰三角形 6．已知函数f（x）=cosxsin2x，下列结论中错误的是（） A．f（x）既是偶函数又是周期函数 B．f（x）最大值是1 C．f（x）的图象关于点（，0）对称 D．f（x）的图象关于直线x=π对称 7．sin55°sin65°-cos55°cos65°值为（） A．B．C．-D．- 8．若角α终边上一点的坐标为（1，-1），则角α为（） A．2kπ+B．2kπ-C．kπ+D．kπ-，其中k∈Z
初中三角函数知识点总结及典型习题(含答案)
初三下学期锐角三角函数知识点总结及典型习题 1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。 2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)： 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 5、30°、45°、60°特殊角的三角函数值(重要) 6、正弦、余弦的增减性： 当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。 7、正切、的增减性： 当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大， 1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。 依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法) A 90B 90∠-?=∠?=∠+∠得由B A 邻边 A
2、应用举例： (1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。 仰角 铅垂线 水平线 视线 视线 俯角 (2)坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比)。用字母i表示，即 h i l =。坡度一般写成1:m 的形式，如1:5 i=等。 把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan h i l α ==。 3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC、OD的方向角分别是：45°、135°、225°。 4、指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OA、OB、OC、OD的方向角分别是：北偏东30°（东北方向），南偏东45°（东南方向）， 南偏西60°（西南方向），北偏西60°（西北方向）。 例1：已知在Rt ABC △中， 3 90sin 5 C A ∠== °，，则tan B的值为（） A． 4 3 B． 4 5 C． 5 4 D． 3 4 【解析】本题考查三角函数的定义和勾股定理，在RTΔABC中，∠C=90°，则sin a A c =，tan b B a = 和222 a b c +=；由 3 sin 5 A=知，如果设3 a x =，则5 c x =，结合222 a b c +=得4 b x =；∴ 44 tan 33 b x B a x ===，所以选A． 例2：10 4cos30sin60(2)(20092008) - ??+--=______． 【解析】本题考查特殊角的三角函数值．零指数幂．负整数指数幂的有关运算， 10 4cos30sin60(2)20092008) - ??+--= 3313 41 2222 ?? ??+--= ? ??， 故填 3 2． : i h l = h l α
三角函数习题及答案
第四章 三角函数 §4-1 任意角的三角函数 一、选择题： 1．使得函数lg(sin cos )y θθ=有意义的角在（ ） （Ａ）第一，四象限 （Ｂ）第一，三象限 （Ｃ）第一、二象限 （Ｄ）第二、四象限 ２．角α、β的终边关于У轴对称，（κ∈Ζ）。则 （Ａ）α＋β＝２κπ （Ｂ）α－β＝２κπ （Ｃ）α＋β＝２κπ－π （Ｄ）α－β＝２κπ－π ３．设θ为第三象限的角，则必有（ ） （Ａ）tan cot 2 2 θ θ （Ｂ）tan cot 2 2 θ θ （Ｃ）sin cos 2 2 θ θ （Ｄ）sin cos 2 2 θ θ ４．若4 sin cos 3 θθ+=-，则θ只可能是（ ） （Ａ）第一象限角 （Ｂ）第二象限角 （C ）第三象限角 （Ｄ）第四象限角 ５．若tan sin 0θθ 且0sin cos 1θθ+ ，则θ的终边在（ ） (A)第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 二、填空题： 6．已知α是第二象限角且4sin 5α= 则2α是第▁▁▁▁象限角，2 α 是第▁▁▁象限角。 7．已知锐角α终边上一点A 的坐标为（2sina3,-2cos3）,则α角弧度数为▁▁▁▁。 8．设1 sin ,(,)sin y x x k k Z x π=+ ≠∈则Y 的取值范围是▁▁▁▁▁▁▁。 9．已知cosx-sinx<-1，则x 是第▁▁▁象限角。 三、解答题： 10．已知角α的终边在直线y =上，求sin α及cot α的值。 11．已知Cos(α+β)+1=0, 求证：sin(2α+β)+sin β=0。 12．已知()()cos ,5n f n n N π +=∈，求?（1）+?（2）+?（3）+……+?（2000）的值。 §4-2 同角三角函数的基本关系式及诱导公式 一、选择题： 1．()sin 2cos 22ππ?? --- ??? 化简结果是（ ） （A ）0 （B ）1- （C ）2sin 2 ()2s i n 2 D - 2．若1 sin cos 5 αα+= ，且0απ ，则tan α的值为（ ） ()43A - ()34B - ()34C ()43D -或34 - 3. 已知1sin cos 8αα=，且42 ππ α ，则cos sin αα-的值为（ ）
高中数学(三角函数)练习题及答案
第一章 三角函数 一、选择题 1．已知 α 为第三象限角，则 2 α 所在的象限是( )． A ．第一或第二象限 B ．第二或第三象限 C ．第一或第三象限 D ．第二或第四象限 2．若sin θcos θ＞0，则θ在( )． A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第一、四象限 D ．第二、四象限 3．sin 3π4cos 6π5tan ??? ??3π4－＝( )． A ．－ 4 3 3 B ． 4 3 3 C ．－ 4 3 D ． 4 3 4．已知tan θ＋θtan 1 ＝2，则sin θ＋cos θ等于( )． A ．2 B ．2 C ．－2 D ．±2 5．已知sin x ＋cos x ＝51 (0≤x ＜π)，则tan x 的值等于( )． A ．－ 4 3 B ．－ 3 4 C ． 4 3 D ． 3 4 6．已知sin α ＞sin β，那么下列命题成立的是( )． A ．若α，β 是第一象限角，则cos α ＞cos β B ．若α，β 是第二象限角，则tan α ＞tan β C ．若α，β 是第三象限角，则cos α ＞cos β D ．若α，β 是第四象限角，则tan α ＞tan β 7．已知集合A ＝{α|α＝2k π±3π2，k ∈Z }，B ＝{β|β＝4k π±3 π2，k ∈Z }，C ＝ {γ|γ＝k π± 3 π 2，k ∈Z }，则这三个集合之间的关系为( )． A ．A ?B ?C B ．B ?A ?C C ．C ?A ?B D ．B ?C ?A 8．已知cos (α＋β)＝1，sin α＝3 1 ，则sin β 的值是( )．
高中三角函数公式大全及经典习题解答
高中三角函数公式大全及经典习题解答 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
用心辅导中心 高二数学 三角函数 知识点梳理: ⒈L 弧长=αR=nπR 180 S 扇=21L R=2 1R 2 α=3602R n ?π ⒉正弦定理： A a sin =B b sin =C c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） ⒊余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2 =a 2 +b 2 -2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= ⒋S ⊿=2 1a a h ?=2 1ab C sin =2 1bc A sin =2 1ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr =))()((c p b p a p p --- (其中)(2 1c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) ⒌同角关系： ⑴商的关系：①θtg =x y =θ θ cos sin =θθsec sin ? ② θθθ θθcsc cos sin cos ?=== y x ctg ③θθθtg r y ?== cos sin ④θθθθcsc cos 1sec ?== =tg x r ⑤θθθctg r x ?== sin cos ⑥θθθθsec sin 1csc ?== =ctg y r ⑵倒数关系：1sec cos csc sin =?=?=?θθθθθθctg tg ⑶平方关系：1csc sec cos sin 222222=-=-=+θθθθθθctg tg ⑷)sin(cos sin 22?θθθ++= +b a b a （其中辅助角?与点（a,b ） 在同一象限，且a b tg =?） ⒍函数y=++?)sin(?ωx A k 的图象及性质：（0,0>>A ω）
三角函数公式练习题及答案详解
三角函数公式 1．同角三角函数基本关系式 sin2α＋cos2α=1 sinα cosα =tanα tanαcotα=1 2．诱导公式 (奇变偶不变，符号看象限) （一）sin(π－α)＝___________ sin(π+α)＝ ___________ cos(π－α)＝___________ cos(π+α)＝___________ tan(π－α)＝___________ tan(π+α)＝___________ sin(2π－α)＝___________ sin(2π+α)＝___________ cos(2π－α)＝___________ cos(2π+α)＝___________ tan(2π－α)＝___________ tan(2π+α)＝___________ （二） sin(π 2 －α)＝____________ sin( π 2 +α)＝____________ cos(π 2 －α)＝____________ cos( π 2 +α)＝_____________ tan(π 2 －α)＝____________ tan( π 2 +α)＝_____________ sin(3π 2 －α)＝____________ sin( 3π 2 +α)＝____________ cos(3π 2 －α)＝____________ cos( 3π 2 +α)＝____________ tan(3π 2 －α)＝____________ tan( 3π 2 +α)＝____________ sin(－α)＝－sinα cos(－α)=cosα tan(－α)=－tanα公式的配套练习 sin(7π－α)＝___________ cos(5π 2 －α)＝___________ cos(11π－α)＝__________ sin(9π 2 +α)＝____________ 3．两角和与差的三角函数 cos(α+β)=cosαcosβ－sinαsinβcos(α－β)=cosαcosβ＋sinαsinβ
三角函数经典习题
三角函数经典练习题 1．在直角三角形中，两锐角为A 、B ，则B A sin sin （B ） A ．有最大值 2 1 和最小值0 B ．有最大值 2 1 ，但无最小值 C ．既无最大值也无最小值 D ．有最大值1，但无最小值 提示：A A A B A 2sin 2 1 cos sin sin sin = =，注意到角度的取值范围，所以选B ． 2．已知集合{|cos sin 02}E θθθθπ=<≤≤，，}sin tan |{θθθ<=F ，则F E I 是区间（A ） A ．)2 (ππ ， B ．)4 34(π π， C ．)2 3(π π， D ．)4 543( ππ， 提示：即}sin tan |{}4 54 | {θθθπ θπ θ<< 高考三角函数经典解答题及答案
1在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ，且.2 1222ac b c a =-+ （1）求B C A 2cos 2 sin 2 ++的值； （2）若b=2，求△ABC 面积的最大值． 解：(1) 由余弦定理：conB=1 4 sin 2 2 A B ++cos2B= -14 （2）由.4 15 sin ,41 cos = =B B 得 ∵b=2， a 2 +c 2 =12ac+4≥2ac,得ac ≤3 8,S △ABC =12acsinB ≤315(a=c 时取等号) 故S △ABC 的最大值为 3 15 2在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.cos cos 3cos B c B a C b -= （I ）求cosB 的值； （II ）若2=?BC BA ，且22=b ，求c a 和b 的值. 解：（I ）由正弦定理得C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===， 因此.3 1cos =B （II ）解：由2cos ,2==?B a 可得， 所以a ＝c ＝ 6 3已知向量m =()B B cos 1,sin -, 向量n = （2，0），且m 与n 所成角为π 3 ， 其中A 、B 、C 是ABC ?的内角。 (1)求角B 的大小; (2)求 C A sin sin +的取值范围。 解：（1）Θ m =()B B cos 1,sin -，且与向量n = （2，0）所成角为3 π ， 又Θπ<
（2）由（1）知，32π= B ，∴A+C= 3 π ∴C A sin sin +=)3sin(sin A A -+π =A A cos 23sin 21+ =)3 sin(A +π Θ 3 0π <