三角函数解答题精选

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三角函数解答题精选

1. 求函数y=sinx+cosx+1的最值及取得最值时相应x 的值.

解：由y=sinx +cosx +1

得y=2sin(x+

4

π

)+1……………………2分 ∴y max =2+1………………4分

y min =－2+1……………………………6分 由x+4

π

=2k π+

2

π

得x=2k π+4

π

(k ∈Z) 即x=2k π+

4

π

(k ∈Z)时，y 取最大值2+1 (9)

分 由x+

4

π

=2k π－

2

π

即x=2k π－

4

3π时y 取最小值1－2……………………12分

2. 已知函数.2

32

1

)3

(,2)0(,cos sin cos 2)(2+

==+=πf f x x b x a x f 且

（1）求f (x )的最大值与最小值； （2）若απα求),2,0(,0)(∈=a f 的值.

解：（1）由f (0)=2a =2, 得a =1 ,2,4

32

1

)3

(=+

=b b a f 得π…………（3分）

∴f (x )=2cos 2x +2sin x cos x =sin2x +cos2x +1=1)4

2sin(2++π

x …………（5分）

∴f (x )的最大值是12+，最小值是21-

.………………（6分）

（2）∵,2

2)4

2sin(01)4

2sin(2,0)(-

=+

?=++

=π

απ

αα得f .……（8分）

).

12(4

743232

),2,0()10(,2

4

,4

524

24

24

2分或或或分或或 παπαπαπαπαππαππαπππαπππα=

=

=

=

∴∈∈+

=-

=∴∈+

=+

-

=+

∴Z k k k Z

k k k

3. 已知函数)0.(2

3cos

3cos sin )(2

>++

-?=a b a x a x x a x f

（1）R x ∈，写出函数的单调递减区间；

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（2）设)(],2

,

0[x f x π

∈的最小值是－2，是大值是3，求实数b a ,的值.

解：（1）b x x x a x f ++

-?=)2

3cos

3cos (sin )(2

b x

x a ++

+?

-

?=)2

32

2c o s 132s i n 2

1

(=b x a +-?)3

2sin(π

…………4分

)(,,0x f R x a ∈> 的递减区间是)](12

11,12

5[Z k k k ∈++ππππ…………6分

（2）]3

2,

3

[3

2],0[2]2

,

0[ππ

π

ππ

-

∈-

∴∈∴∈x x x ………………………7分

]1,2

3[)3

2sin(-

∈-∴π

x ………………………………………………………9分

∴函数)(x f 的最小值是22

3-=+-

b a ……………………………………10分

最大值3=

+b a ………11分 解得23,2-==b a ……12分

4. 求函数)6cos(

sin sin

2

x x x y -+=π

的周期和单调增区间．

解 )s i n 6

s i n c o s 6

(c o s s i n s i n 2x x x x y π

π

++=

x x x cos sin 2

3sin 232

+=x

x 2sin 4

3)2cos 1(4

3+-=

)2cos 4

3

2sin 4

3(

43x x -

+=)3

2sin(2

343π

+

+

=x ．

…… 6分

∴ 函数的周期 π

π==2

2T ． ……………… 8分 当 2

2π

π-

k ≤3

2π

+

x ≤2

2π

π+

k ，即 12

5ππ-

k ≤x ≤12

π

π+

k (k ∈Z ) 时函数

单调增加，即函数的增区间是 [12

5ππ-k ，12

π

π+

k ] (k ∈Z )．…… 12分

5. 已知函数2

35cos 35cos sin 5)(2

+-=x x x x f

（Ⅰ）求f(x)的最小正周期； （Ⅱ）求f(x)的递增区间.

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解：（Ⅰ）2

35cos 35cos sin 5)(2+

-=x x x x f

)

3

sin

2cos 3

cos

2(sin 52cos 352sin 2

52

352

2cos 13

52sin 25ππx x x x x

x -=-=

+

+-=

)3

2sin(5π

-

=x …………………………4分

∴最小正周期T=

ππ=2

2 ……………………………………6分

（Ⅱ）由题意，解不等式ππ

π

ππ

k x k 22

3

222

+≤

-

≤+-

……………………8分

得 )(12

512

Z k k x k ∈+≤

≤+-

ππππ

)(x f ∴的递增区间是)](12

5,

12

[Z k k k ∈++-

ππππ

………………12分

6. 已知函数)(,2cos sin 8cos 23)(4

2

x f x

x

x x f 求--=

的定义域，判断它的奇偶性，并求其

值域. 解：x

x

x x

x

x x f 2cos sin

8sin

212cos sin

8)sin

1(23)(4

2

4

2

-+=

---=

)

9.()(),()(,)()

7}.(,4

2

,|{,4

2,2

2,02cos )

4(.1sin

42cos )

sin

21)(sin 41(2

2

2

分是偶函数且的定义域关于原点对称因为分且所以函数的定义域为

解得得由分x f x f x f x f z k k x R x x z k k x k x x x x

x x ∴=-∈+

≠

∈∈+≠

+≠≠+=-+=

π

ππ

ππ

π

)

12(}.

3,51|{)(,4

2

,1sin

4)(2

分且的值域为且又≠≤≤∴∈+

≠

+=y y y x f z

k k x x x f ππ

7. 已知函数.,12sin sin

2)(

2

R x x x x f ∈-+=

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（1）求)(x f 的最小正周期及)(x f 取得最大值时x 的集合； （2）在给定的坐标系中画出函数)(x f 在],0[π上的图象. 解：（I ）x x x x x x x f 2cos 2sin )sin

21(2sin 12sin sin

2)(2

2

-=--=-+=

=)4

2sin(2π

-x ………………………………………………5分

所以)(x f 的最小正周期是π……………………………………………………6分

∈x R ，所以当∈+

=+

=-

k k x k x (83,2

24

2πππ

ππ

即Z ）时，)(x f 的最大值为2. 即)(x f 取得最大值时x 的集合为∈+

=k k x x ,8

3|{ππZ }……………………8分

（II ）图象如下图所示：（阅卷时注意以下3点）

1．最小值2)83(

=

πf ，

最小值2)87(-=πf .………………10分 2．增区间];,87[],83,

0[πππ

减区间]8

7,83[

π

π……………………12分 3．图象上的特殊点：（0，－1），（1,4π），（1,2π

），)1,(),1,4

3(

--ππ………14分 [注：图象上的特殊点错两个扣1分，最多扣2分] 8. 已知函数.,2

cos

32sin R x x x y ∈+

=

（1）求y 取最大值时相应的x 的集合；

（2）该函数的图象经过怎样的平移和伸变换可以得到)(sin R x x y ∈=的图象.

解：).3

2sin(

2π

+

=x y ……4分

（1）当},3

4|{.2Z k k x x x y ∈+

=∈=π

π最大……8分

（2）把)3

2si

n (2π

+

=x y 图象向右平移

π3

2，再把每个点的纵坐村为原来的

2

1，横坐标

不变.然后再把每个点的横坐标变为原来的2

1，纵坐标不变，即可得到x y sin =的

图象……12分

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9. 已知函数.,22sin 2sin

4)(2

R x x x x f ∈-+=

（1）求)(x f 的最小正周期及)(x f 取得最大值时x 的集合； （2）求证：函数)(x f 的图象关于直线8

π

-=x 对称

（1）解：x x x x x x x f 2cos 22sin 2)sin 21(22sin 222sin 2sin

2)(2

2

-=--=-+=

=)4

2sin(22π

-x ………………………………………………5分

所以)(x f 的最小正周期是π……………………………………………………6分 ∈x R ，所以当∈+

=+

=-

k k x k x (8

3,2

24

2πππππ即Z ）时，)(x f 的最大值为22.

即)(x f 取得最大值时x 的集合为∈+

=k k x x ,8

3|{ππZ }……………………8分

（2）证明：欲证函数)(x f 的图象关于直线8

π

-

=x 对称，只要证明对于任意R x ∈，

有)8

()8

(x f x f +-

=--

π

π

成立即可.

).

8

()8

(.2cos 22)22

sin(22]4

)8

(2sin[22)8

(;

2cos 22)22

sin(22]4

)8

(2sin[22)8

(x f x f x x x x f x x x x f +-

=--

∴-=+-

=-

+-

=+-

-=--

=-

--

=--ππππππππππ

从而函数)(x f 的图象关于直线8

π

-=x 对称.……14分

[注：如果学生用min ))((22)8

(x f f =-=-

π

；

或求出所有的对称轴方程，然后验证

8

π

-=x 是其中一条，则（2）中扣去2分]

10. 已知定义在区间]3

2,[ππ-上的函数)(x f y =的图象关于直线6

π

-

=x 对称，

当]3

2,

6

[ππ

-∈x 时，函数)2

2

,0,0()sin()(π

?π

ω?ω<

<-

>

>+=A x A x f ，其图象如图

所示.

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(1) 求函数)(x f y =在]3

2,[ππ-的表达式；

(2) 求方程2

2)(=x f 的解.

（1）当],

[3

26

ππ

-∈x 时，函数)

,0,0()sin()(2

2

ππ

?ω?ω<<-

>>+=A x A x f ，观察图象易得：

3

,1,1π

?ω===A ，即],

[3

26

ππ

-∈x 时，函数)

sin()(3

π

+

=x x f ，由函数)

(x f y =的图象

关于直线

6

π

-=x 对称得，],[6

ππ--∈x 时，函数x

x f sin )(-=. ∴

??

??

?-

-∈--∈+=)

,[sin ]

,[)

sin()(6

3

26

3π

ππππx x x x x f .

（2）当

]

,

[3

2

6ππ-∈x 时，由2

2

3)s i n (=

+πx 得，12

512

4

34

3

πππππ=-=?=+x x x 或或；当

],[6

ππ--∈x 时，

由2

2sin

=

-x 得，4

4

3π

π-=-=x x 或.∴方程

2

2)(=

x f 的解集为}

,,,{12

512

4

4

3ππππ---

11. 已知函数()sin()cos()f x x x θθ=+++的定义域为R ，（1）当0θ=时，求()f x 的单

调区间；（2）若(0,)θπ∈，且sin 0x ≠，当θ为何值时，()f x 为偶函数．

解：（1）0θ=时，()sin cos )4

f x x x x π

=+=+

当 322,222

4

2

4

4

k x k k x k π

π

π

ππ

ππππ-<+

<+

-<<+

即 （k Z ∈）时()

f x 单调递增； 当3522,222

4

2

4

4

k x k k x k π

π

ππ

πππππ+<+

<+

+

<<+

即 （k Z ∈）时()

f x 单调递减；

（2）若()f x 偶函数，

则sin()cos()sin()cos()x x x x θθθθ+++=-++-+

即 sin()sin()cos()cos()x x x x θθθθ++-++--=0

2s i n

c o s

2s i n s i n x x θθ-=

2s i n (c o s s i n )

x θθ-=

c o s ()0

4

π

θ+

= (0,)θπ∈ 4

π

θ∴=，此时，()f x 是偶函数．

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1求函数y=sinx+cosx+1的最值及取得最值时相应x 的值.

2已知函数.2

32

1

)3

(,2)0(,cos sin cos 2)(2+

==+=πf f x x b x a x f 且

（1）求f (x )的最大值与最小值； （2）若απα求),2,0(,0)(∈=a f 的值.

3已知函数)0.(2

3cos

3cos sin )(2

>++

-?=a b a x a x x a x f

（1）R x ∈，写出函数的单调递减区间；

（2）设)(],2

,0[x f x π

∈的最小值是－2，是大值是3，求实数b a ,的值.

4求函数)6

cos(

sin sin 2x x x y -+=π

的周期和单调增区间．

5已知函数2

35cos 35cos sin 5)(2

+

-=x x x x f

（Ⅰ）求f(x)的最小正周期； （Ⅱ）求f(x)的递增区间.

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6 已知函数)(,2cos sin

8cos

23)(4

2

x f x

x

x x f 求--=的定义域，判断它的奇偶性，并求其值

域.

7已知函数.,12sin sin

2)(2

R x x x x f ∈-+=

（1）求)(x f 的最小正周期及)(x f 取得最大值时x 的集合；

（2）在给定的坐标系中画出函数)(x f 在],0[π上的图象

8已知函数.,2

cos

32

sin R x x x y ∈+=

（1）求y 取最大值时相应的x 的集合；

（2）该函数的图象经过怎样的平移和伸变换可以得到)(sin R x x y ∈=的图象.

9已知函数.,22sin 2sin

4)(2

R x x x x f ∈-+=

（1）求)(x f 的最小正周期及)(x f 取得最大值时x 的集合； （2）求证：函数)(x f 的图象关于直线8

π

-=x 对称

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10已知定义在区间]3

2,[ππ-上的函数)(x f y =的图象关于直线6

π

-

=x 对称，

当]3

2,6[ππ

-∈x 时，

函数)2

2

,0,0()sin()(π

?π

ω?ω<

<->>+=A x A x f ，其图象如图

所示.

(1) 求函数)(x f y =在]3

2,[ππ-的表达式；

(2) 求方程2

2)(=x f 的解.

11已知函数()sin()cos()f x x x θθ=+++的定义域为R ，（1）当0θ=时，求()f x 的单调区间；（2）若(0,)θπ∈，且sin 0x ≠，当θ为何值时，()f x 为偶函数．

x