高等代数教案第一章基本概念

高等代数教案第一章基本概念
高等代数教案第一章基本概念

第一章

基本概念

一 综述 1.本章是本门课程所需要的最基本概念(集合、映射、整数的一些性质、数环和数域)和方法(数学归纳法、反证法).所需位置不同,可根据课时安排及进度分散处理.如集合、整数的一些整除性质、数学归纳法、数环和数域可先讲,映射可放在线性空间前讲.

2.从内容上讲,除集合中的卡氏积的概念及数环、数域的概念外,其它内容是学生在中学数学当中熟知的,只不过是将有关内容的系统化、理论化(如整数的整除性、映射、数学归纳法,其在中学中熟知其一些事实,今在理论上加以严密论证).

3.新的知识点是集合的卡氏积、数环、数域的概念,数学归纳法作为定理的论证.

4.学习本部分的难点是:从概念出发进行推理论证,这需要从具体例子引导训练,逐步培养.

二 重点、难点

1. 重点在于所有基本概念,特别是引入的新概念.

2. 难点是可逆映射、整数的整除性、数学归纳法本身的证明.

1.1 集 合

一 教学思考

1.集合可以作为不定义的概念来处理,有些教材上给出了一个简单刻化.

2.确定一个集合A,就是要确定哪些是集合的元素,哪些不是集合的元素.说明一个集合包含哪些元素时,常用“列举法”、“示性法”(描述法).

3.中学代数大部分的内容是计算,因此一开始遇到证明题时,往往不知从何入手,此需注意培养学生的推理能力,这里应通过证明“集合相等”来加强这方面的训练.

4.为稍拓宽知识,可讲解一下补集、幂集等概念.

二 重点、要求

1.重点、难点:卡氏积的概念及从概念出发(集合相等、子集等)进行推理.

2.要求:使学生了解有关集合的刻化及运算,培养推理能力.

三 教学过程

1.集合:简称集,在此是一个不定义的原始概念,通常可给出如下描述性的解释:即所谓集合,是指由某些确定的事物(或具有某种性质的事物)组成的集体.其中每个事物称为这个集合的元素. 常用大写字母A 、B 、C 表示集合,用小写字母a 、b 、c 表示集合的元素.

若a 是集合A 的元素,就说a 属于A,记作A a ∈,或者说A 包含a.

若a 不是集合A 的元素,就说a 不属于A,记作a ?A,或者说A 不包含a.

常采用两种方法:

(1)列举法:列出集合的所有元素(包括利用一定的规律列出无限集)的方法.如{} ,3,2,1=A .

(2)示性法(描述法):给出集合所具有的特征性质.如{}043|2=-+=x x x B 表示方程0432=-+x x 的解集.

2.集合的分类(按所含元素的个数分):

有限集:只含有有限多个元素的集合.

无限集:由无限多个元素组成的集合.

空集:不含任何元素的集合.用Φ表示.

约定:Φ是任何集合的子集.

3.集合间的关系:

(1) 设A 、B 是两个集合.

子集:若A 的每个元素都是B 的元素,则称A 是B 的子集.(即若""B x A x ∈?∈?).记作B

A ?

(读作A 属于B );或者A B ?(读作B 包含A ).

相等:若集合A 和B 是由完全相同的元素组成的,则称A 与B 相等,记为A=B.

(2)性质:(由定义易得)

A )A A ?;(反身性)

B )若

C A C B B A ????,;(传递性)

C )B A ?且A B ??A=B.(反对称性)

4.几个常用的数集(略)

5.集合的运算(由两个集合得到一个新的集合)——交、并、补、卡氏积:

设A 、B 是两个集合

(1)并:由A 的一切元素和B 的一切元素组成的集合叫做A 与B 的并集,简称并.记作B A .

即{}B x A x x B A ∈∈=或,| .

(2)交:由集合A 与B 的公共元素组成的集合,叫做A 与B 的交集,简称交.记作B A .

即{}B x A x x B A ∈∈=但,| .

(3)余(差、补):由一切属于A 而不属于B 的元素组成的集合,叫做B 在A 中的余(补)集,或称为A 与B 的差集.记作A-B.

即{}B x A x x B A ?∈=-,|.

(4)积(卡氏积):由一切元素对),(b a 所成的集合称为A 与B 的笛卡儿积(简称为积).其中第一个位置的元素取自A,第二个位置的元素取自B.记为B A ?.即{}B b A a b a B A ∈∈=?,|),(.

1.2 映 射

一 教学思考

1.映射是近代数学中的一个基本概念.为使本部分内容更加系统化,可作必要的调整及层次化,按映射的概念(包括相等)及例子、映射的合成、几种特殊的映射来处理.

2.概念多且成系列,注意 帮助学生弄清概念的实质(包括概念的转述、注释、否定概念的描述、以及新概念与已有概念的联系,如映射的合成是函数与函数的合成的概念的推广),注意训练从定义验证有关问题(给定一个法则是否为映射、分辨一个映射是不是单射、满射、可逆映射)的方法,语言要准确、清楚、有条理.同时初步领会怎样举例——包括正例和反例(内容与作业中皆有此问题).

二 内容、重点、要求

1. 内容:映射、单、满、双(可逆)映射的概念、映射的合成等.

2. 重点:映射及有关概念,举例及由定义验证有关问题的方法.

3. 要求:理解并记住上述概念,学会举例与用定义的条件进行验证问题的方法.

三 教学过程

1.概念与例子

定义 1. 设A 、B 是两个非空集合,A 到B 的一个映射指的是一个对应法则,通过这个法则,对于,x A y B ?∈?∈与它唯一对应.

例子:

(1)对,,Z n Z ∈?令n n f 2)(=.

(2){}2

)(,.0|,x x f R x x x B R A =∈?≥==. (3){

}14,43,32,21:.,4,3,2,1 f B A ==. (4)*

设A 是任一集合,对x x f A x =∈?)(,.

这是A 到自身的一个映射(称为A 的变换),称为恒等映射(此为恒等变换),记为A j .

定义2. 设B A g B A f →→:,:都是A 到B 的映射,若对,A x ∈?都有)()(x g x f =,则称映射f 与g 相等,记为g f =.

如:2,:;,:x x R R g x x R R f

→→.有g f =.

2.映射的合成 (1)定义3. 设C B g B A f →→:,:是两个映射,对A x ∈?,有B x f ∈)(,从而C x f g ∈))((,这样,对,A x ∈?就有C 中唯一的))((x f g 与之对应,就得到A 到C 的一个映射,这个映射是由:f A B →和C B g →:所决定的,称为f 与g 的合成.记作f g .

即:))((,:x f g x C A f g →.

例子:x x R R g x x R R f sin ,:;,:2 →→ .则

x x R R g f x x R R f g 22sin ,:;sin ,: →→.

(2)映射合成满足结合律:

设,:,:,:D C h C B g B A f →→→则由合成映射的定义可得D A →的两个映射:f g h f g h )(),(,则f g h f g h )()(=.

3.几类特殊映射

定义4. 设,:B A f →对,A x ∈?有B x f ∈)(,则所有这样的象所作成B 的子集,用)(A f 表示,即{}A x x f A f ∈=|)()(,叫做A 在f 下的象,或叫做映射f 的象.

(1)满射: 定义5. 设B A f →:是一映射,若B A f =)(,则称f 是A 到B 上的一个映射,也称f 是一个满射.

(2)单射: 定义 6. 设B A f →:是一个映射,若对A x x ∈?21,,只要21x x ≠,就有)()(21x f x f ≠,则称f 是A 到B 的一个单射,简称单射.

(3)双射(1-1对应):定义7. 若B A f →:既是单射又是满射,即

1)若 A x x x x x f x f ∈?=?=212121,,)()(;

2)B A f =)(.

则称f 是A 到B 的一个双射.

特别若f 是A 到A 上的一个1-1对应,就称f 为A 的一个一一变换;有限集A 到自身的双射称为A 的一个置换.

如:A j 是A 的一个一一变换,同样B j 是B 的一个一一变换.由映射合成及相等:若:f A B →,则有,A B f j f j f f == .

TH1.2.1令:f A B →是一个映射,则:下述两条等价:1)f 是双射;2)存在:g B A →使得,A B g f j f g j == .且2)成立时,其中的g 由f 唯一决定.

(4)可逆映射及其逆映射

定义8. 设:f A B →,若存在:g B A →,使得,A B g f j f g j == ,则称f 是可逆映射,且称g 为f 的逆映射.

求其逆的方法

由定理知::f A B →可逆?f 是双射.而验证双射有具体方法,所以可先证f 可逆(双射),再求其逆.而由TH1证知f 可逆时其逆唯一为:,g B A y x → (若())f x y =(即对y B ∈,找在f 下的原象).

(5)代数运算

引例:我们常说整数加法是整数的一个“代数运算”.其意思是说对任一对整数(,)a b ,有确定的唯一一个整数(通过相加)与之对应,用映射的观点来说整数加法是Z Z Z ?→的一个映射::(,)a b a b ++ .同样实数乘法亦然.一般地:

定义9. 设A 是一个非空集合,我们把A A A ?→的一个映射叫做集合A 的一个代数运算.若集合A 有代数运算σ,也说A 对σ封闭.

1.3 数学归纳法

一 教学思考

1. 本节主要介绍了数学证明中的一种非常重要的方法——数学归纳法;对于该内容学生不感陌生,因在中学内容中曾会应用.问题在于数学归纳法自身的理论证明,为此需要一个原理——(自然数集的)最小数原理.

2. 本节主要讲清最小数原理(给出分析证明及必要的说明),以及在此基础上的数学归纳法的证明.但更重要的是归纳法的解释——从特殊认识一般的思想方法,及数学归纳法应用中的关键(第二步)的突破.

二 内容、重点、要求

1. 内容:最小数原理、数学归纳法(第一、第二).

2. 重点:数学归纳法的证明、应用,归纳思想的建立.

3. 要求:了解最小数原理、理解数学归纳法的证明、掌握数学归纳法的应用.

三 教学过程

引言:现实生活中经常使用这种方法:即首先考察、研究某些个别特殊的事物,再由这些事物总结和抽象出带有一般性规律和结论.这样的方法叫归纳法.

1. 数学归纳法的基础——自然数集的一个基本性质:最小数原理

最小数原理:自然数集N *的任一非空子集S 必含有一个最小数,即a S ?∈,对,c S ?∈都有a c ≤.

2. 数学归纳法

TH1.3.1(第一数学归纳法)设有一个与自然数n 有关的命题()P n ,若满足下列两条:1)当1n =时()P n 成立;2)假设n k =时成立,则当1n k =+时也成立.

则命题()P n 对于一切自然数n 都成立.

TH1.3.2(第二数学归纳法原理)设有一个与自然数n 有关的命题()P n ,若满足下列两条:1)当1n =时()P n 成立;2)假设命题对于一切小于k 的自然数都成立时,命题对于k 也成立.

则命题()P n 对于一切自然数n 都成立.

1.4 整数的一些整除性质

一 教学思考

1. 整数的性质是学生熟知的,本节只是将其系统化、理论化.主要从整除的定义、性质、带余除法,最大公因数及性质,互素三方面作了介绍.新的问题是有些概念较之在中学的概念有所区别,理论证明中运用最小数原理还不适应.

2. 本节的目的主要为在多项式部分有与之平行的内容,助于学生对多项式类似内容的理解.作为自身的内容,需要将该部分层次化得清晰些.

二 内容、重难点、要求

1. 内容:整数的整除性、带余除法、最大公因数及性质、互素.

2. 重难点:带余除法、最大公因数的性质定理的证明.

3. 要求:掌握有关概念、证明整除的方法、反证法的运用.

三 教学过程

引言: 整除是研究整数性质的最基本的概念,从这个基本概念出发引进带余除法和辗转相除法,然后利用这两个工具建立了最大公因数(和最小公倍数)的理论(进一步证明了非常有用的算术基本定理),这些都是初等数论的基本内容.

注意:本节所述的概念在小学、中学是熟知的事实,但未加以严格的叙述,因而不要盲目地相当然,

要从中体会严格的推理论述.此与多项式相应的问题平行,到时应对照学习.

1. 整除、带余除法

(1)整除

A )定义1. 设,a b Z ∈,若d Z ?∈使得b ad =,则称a 整除b (或b 被a 整除).用符号|a b 表示.这时a 叫做b 的一个因数,而b 叫做a 的一个倍数.若a 不整除b (即对,d Z ad b ?∈≠),记作|a b .

B )整除的性质:

1)|,||a b b c a c ?; (传递性)

2)|,||();a b a c a b c ?+

3)|,|a b c Z a bc ?∈?;

4)由2)、3)|,,1,2,3,,|i i i i a b c Z i n a bc ?∈=?∑ ;

5)1|,|0,|()a a a a a Z ±±?∈;由此任意整数a 有因数1,a ±±,它们称为a 的平凡因数;

6)若||a b a b ?±±;

7)|a b 且|b a a b ?=或a b =-.(对称性)

(2) 带余除法

“整除”是整数间的一种关系,任意两个整数可能有这种关系,可能没有这种关系,一般地有:

TH1.4.1(带余除法) 设,a b Z ∈,且0a ≠;那么,q r Z ?∈使得b aq r =+ 且0r a ≤≤.满足上述条件的,q r 是唯一的.

2. 最大公因数、互素

(1)最大公因数

A )定义2. 设,,a b Z d Z ∈∈,若d 满足:1)|d a 且|d b (即d 是a 与b 的一个公因数);2)若c Z ∈且|,||c a c b c d ?(即d 能被a 与b 的任一个公因数整除).则称d 为a 与b 的一个最大公因数.

最大公因数的概念可推广至有限个整数.

B )最大公因数的存在性(及求法)

TH1.4.2 任意n (2)n ≥个整数12,,,n a a a 都有最大公因数;若d 为12,,,n a a a 的一个最大公因数,则d -也是;12,,,n a a a 的两个最大公因数至多相差一个符号.

C )性质

TH1.4.3 设d 为12,,,n a a a 的一个最大公因数,那么12,,,n t t t Z ?∈ 使得1122n n d t a t a t a =+++ .

略证:若120n a a a ==== ,则0d =,从而对i t Z ?∈都有11220n n t a t a t a =+++ ;若i a 不全为0,由证明过程知结论成立.

(2)互素

定义3. 设,a b Z ∈,若(,)1a b =,则称,a b 互素;一般地设12,,,n a a a Z ∈ ,若12(,,,)1n a a a = ,则称12,,,n a a a 互素.

TH1.4.4 n 个整数12,,,n a a a 互素12,,,n t t t Z ??∈ 使得11221n n t a t a t a +++= . 3. 素数及其性质

(1)定义4. 一个正整数1p >叫做一个素数,若除1,p ±±外没有其他因数.

(2)性质

1)若p 是一个素数,则对a Z ?∈有(,)a p p =或(,)1a p =.

(注意转换为语言叙述,证易;略)

2)a Z ?∈且0,1a ≠±;则a 可被某一素数整除.

3)TH1.4.5 设p 是一个素数,,a b Z ∈,若|p ab ,则|p a 或|p b .

1.5 数环和数域

一 教学思考

1. 数环、数域是本章引入的两个新概念,其是鉴于很多数学问题不仅与所讨论的范围(数集)有关,而且与数集所满足的运算有关.也就是说需论及所具有的运算.为体现这个问题,引入了数环、数域的概念.

2. 数环、数域简而言之是分别关于加、减、乘和加、减、乘、除封闭的非空数集,这可知之联系与区别,且由于对于不同的运算的封闭性,可讨论各自具有的简单性质.

3. 本节内容简洁,不难理解,需要注意的是:一、“任意数域都包含有理数域”的证法——归谬法;二、给定一个数集验证是否是数环、数域;三、关于数环、数域的深入的问题——因数环、数域都是数集,而集合有所谓的运算:交、并,那么问题是数环、数域的交、并是否仍是之?从中体会“从定义出发加以验证”以及举例证明的方法.

二 教学过程

1. 概念

定义1. 设S C ?且S ≠Φ,若对,a b S ?∈都有,,a b a b ab S +-∈,则称S 是一个数环.

定义2. 设F 是一个数环,若1)F 含有一个非0数;2)若,a b F ∈且0b ≠,则

a F

b ∈.则称F 是一个数域.

例子:1)整数集为数环,有理数集、实数集、复数集为数域.

2)取定a Z ∈,令{}|S na n Z =∈,S 为数环.

3){}

2|,,1S a bi a b Z i =+∈=- 是数环.

4){}

,F a a b Q =+∈ 是数域.

2. 性质

1)设S 是一个数环,则0S ∈.

2)设F 是一个数域,则0,1F ∈.

3)有理数域是最小的数域(在集合包含意义下)

TH1.5.1 任何数域都包含有理数域Q .

教学大纲-厦门大学高等代数

教学大纲 一.课程的教学目的和要求 通过这门课的学习,使学生掌握高等代数的基本知识,基本方法,基本思路,为进一步学习专业课打下良好的基础,适当地了解代数的一些历史,一些背景。 要突出传授数学思想和数学方法,让学生尽早地更多地掌握数学的思想和方法。突出高等代数中等价分类的思想,分解结构的思想,同构对应的思想,揭示课程内部的本质的有机联系。 二.课程的主要内容: 代数学是研究代数对象的结构理论与表示方法的一门学科。代数对象是在一个集合上定义若干运算,且满足若干公理所构成的代数系统,线性空间则是数学类专业本科生所接触和学习的第一个代数对象。本课程力求突出代数学的思想和方法。 《高等代数》分为两个部分主要内容。一部分是基本工具性质的,包括多项式,行列式,矩阵初步,二次型。既然是工具性质的,因而除了多项式内容外,也是数学专业以外的理科、工科、经管类《线性代数》的内容,以初等变换为灵魂的矩阵理论是这部分内容的核心。另外一部分是研究线性空间的结构,这是研究代数结构的起点和模型,也是《高等代数》有别于《线性代数》之所在。《高等代数》从三个角度进行研究。从元素的角度看,研究向量间的线性表示,线性相关性,基向量;从子集角度看,研究子空间的运算和直和分解;从线性空间之间的关系来研究线性空间结构,就是线性映射,线性变换,线性映射的像与核,Jordan 标准形对应的空间分解。而欧氏空间则是具体的研究空间的例子。在研究线性空间中,始终贯穿着几何直观和矩阵方法的有机结合,矩阵的相似标准形和对应的线性空间分解则是这种有机结合的生动体现和提升,因而是本课程的精华内容。 本课程力求突出几何直观和矩阵方法的对应和互动。我们强调矩阵理论,把握简洁和直观的代数方法,同时重视线性空间和线性映射(变换)的主导地位和分量,从几何观点理解和把握课程内容。 三.课程教材和参考书: 教材:林亚南编著,高等代数,高等教育出版社,第一版 参考书:1. 姚慕生编著,高等代数(指导丛书),复旦大学出版社,第二版 2. 北京大学数学系编,高等代数,高等教育出版社,北京(1987) 3. 张禾瑞、郝炳新,高等代数,高等教育出版社,北京(1999)

高等数学基本知识

一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫集合(简称集)。集合具有确定性(给定集合的元素必须是确定的)和互异性(给定集合中的元素是互不相同的)。比如“身材较高的人”不能构成集合,因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合,用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素,就说a属于A,记作:a∈A,否则就说a不属于A,记作:a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集(或自然数集)。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法:把集合的元素一一列举出来,并用“{}”括起来表示集合 ⑵、描述法:用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集:一般地,对于两个集合A、B,如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素,我们就说A、B有包含关系,称集合A为集合B的子集,记作A B(或B A)。。 ⑵相等:如何集合A是集合B的子集,且集合B是集合A的子集,此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样,因此集合A与集合B相等,记作A=B。 ⑶、真子集:如何集合A是集合B的子集,但存在一个元素属于B但不属于A,我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集:我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作,并规定,空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系,可以得到下面的结论: ①、任何一个集合是它本身的子集。即A A ②、对于集合A、B、C,如果A是B的子集,B是C的子集,则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”,这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。(在求并集时,它们的公共元素在并集中只能出现一次。) 即A∪B={x|x∈A,或x∈B}。 ⑵、交集:一般地,由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。 即A∩B={x|x∈A,且x∈B}。 ⑶、补集: ①全集:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集。通常记作U。

高等代数北大版课程教案-第5章二次型

第五章 二次型 §1 二次型的矩阵表示 一 授课内容:§1 二次型的矩阵表示 二 教学目的:通过本节的学习,掌握二次型的定义,矩阵表示,线性 替换和矩阵的合同. 三 教学重点:矩阵表示二次型 四 教学难点:二次型在非退化下的线性替换下的变化情况. 五 教学过程: 定义:设P 是一数域,一个系数在数域P 中的n x x x ,,,21 的二次齐次多项式 n n n x x a x x a x a x x x f 11211221112122),,,( n n x x a x a 2222222 (2) n nn x a (3) 称为数域P 上的一个n 元二次型,或者,简称为二次型. 例如:2 3 322231212 13423x x x x x x x x x 就是有理数域上的一个3元二次型. 定义1 设n x x x ,,,21 ,n y y y ,,,21 是两组文字,系数在数域P 中的一组关系式 n nn n n n n n n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 (4) 称为n x x x ,,,21 到n y y y ,,,21 的一个线性替换,或则,简称为线性替换.如果系数行列式 0 ij c ,那么线性替换(4)就称为非退化的. 二次型的矩阵表示:

令 ji ij a a ,j i 由于 i j j i x x x x ,那么二次型(3)就可以写为 n n n x x a x x a x a x x x f 112112211121),,,( n n x x a x a x x a 2222221221 …+2 2211n nn n n n n x a x x a x x a n i n j j i ij x x a 11 (5) 把(5)的系数排成一个n n 矩阵 nn n n n n a a a a a a a a a A 21 22221 112 11 它称为二次型(5)的矩阵.因为ji ij a a ,n j i ,,2,1, ,所以 A A . 我们把这样的矩阵称为对称矩阵,因此,二次型(5)的矩阵都是对称的. 令 n x x x X 21,于是,二次型可以用矩阵的乘积表示出来, n x x x AX X 2 1 nn n n n n a a a a a a a a a 21 22221 11211 n x x x 21 n nn n n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x 221 122221 21121211121 n i n j j i ij x x a 11. 故 AX X x x x f n ),,,(21 .

数学系《高等代数》课程教学大纲

数学系《高等代数》课程教学大纲 学时:153学时学分:9 适用专业:数学与应用数学 执笔人:储茂权审定人:殷晓斌 说明: 1、课程的性质、地位和任务 本课程是高等师范院校以及综合性大学数学和应用数学专业的一门重要基础课程,它的任务是使学生初步掌握基本的、系统的代数知识和抽象的、严格的代数方法,以加深对初等数学的理解,并为进一步学习打下基础,要求学生掌握数域上一元多项式的因式分解理论以及多元多项式和对称多项式的基本知识;掌握行列式,矩阵和线性方程组中的基本理论和方法,掌握实二次型、线性空间、线性变换的基本理论和常用的数学方法。 2、课程教学的基本要求 (1)掌握数域和一元多项式的概念、整除的概念。对数域上一元多项式的因式分解及唯一定理及证明的思想有较深刻的认识。熟练掌握一元多项 式的带余除法和辗转相除法;多项式函数和重因式的基本知识;掌握有 关复数域、实数域和有理数域上的一元多项式的基本结果和基本方法; 掌握多元多项式的基本知识并能将对称多项式表为初等对称多项式的多 项式。 (2)掌握行列式的基本性质和计算;线性方程组的基本理论;矩阵的概念、运算、分块矩阵的初等变换和初等矩阵;二次型和标准形、规范形和正定性,掌握 -矩阵的基本知识,矩阵相似的条件,矩阵的Jordan标准形的基本知识;线性空间中向量的线性相关性,线性空间的维数、基和向量的坐标,基变换和坐标变换,线性子空间的基本知识;掌握欧氏空间的基本知识;熟练掌握线性变换的定义、运算和线性变换的矩阵;掌握线性变换的特征值和特征向量,值域和核、不变子空间等基本知识。 3、课程教学改革 (1)注重能力的培养 本课程教学中,在讲授有关内容的基本概念、基本理论和基本方法的同时,应注重培养学生的运算能力,运用获取的基本知识和基本技能去分析问题和解决问题的能力,同时注意培养抽象思维能力和逻辑推理能力,逐步提高自学和创新能力。 (2)注重本课程与其它课程的联系 《高等代数》是数学系的重要基础课程之一,它的基础地位不仅表现在它

高等代数北京大学第三版北京大学精品课程

第一学期第一次课 第一章 代数学的经典课题 §1 若干准备知识 1.1.1 代数系统的概念 一个集合,如果在它里面存在一种或若干种代数运算,这些运算满足一定的运算法则,则称这样的一个体系为一个代数系统。 1.1.2 数域的定义 定义(数域) 设K 是某些复数所组成的集合。如果K 中至少包含两个不同的复数,且K 对复数的加、减、乘、除四则运算是封闭的,即对K 内任意两个数a 、b (a 可以等于b ),必有 K b a b K ab K b a ∈≠∈∈±/0时,,且当,,则称K 为一个数域。 例1.1 典型的数域举例: 复数域C ;实数域R ;有理数域Q ;Gauss 数域:Q (i) = {b a +i |b a ,∈Q },其中i =1-。 命题 任意数域K 都包括有理数域Q 。 证明 设K 为任意一个数域。由定义可知,存在一个元素0≠∈a K a ,且。于是 K a a K a a ∈= ∈-=10, 。 进而∈?m Z 0>, K m ∈+??++=111。 最后,∈?n m ,Z 0>, K n m ∈,K n m n m ∈-=-0。这就证明了Q ?K 。证毕。 1.1.3 集合的运算,集合的映射(像与原像、单射、满射、双射)的概念 定义(集合的交、并、差) 设S 是集合,A 与B 的公共元素所组成的集合成为A 与B 的交集,记作B A ?;把 A 和 B 中的元素合并在一起组成的集合成为A 与B 的并集,记做B A ?;从集合A 中去掉属于B 的那些元素之后 剩下的元素组成的集合成为A 与B 的差集,记做B A \。 定义(集合的映射) 设A 、B 为集合。如果存在法则f ,使得A 中任意元素a 在法则f 下对应B 中唯一确定的元素(记做)(a f ),则称f 是A 到B 的一个映射,记为 ). (, :a f a B A f → 如果B b a f ∈=)(,则b 称为a 在f 下的像,a 称为b 在f 下的原像。A 的所有元素在f 下的像构成的B 的子集称为A 在f 下的像,记做)(A f ,即{}A a a f A f ∈=|)()(。 若,'A a a ∈≠?都有),'()(a f a f ≠ 则称f 为单射。若 ,B b ∈?都存在A a ∈,使得b a f =)(,则称f 为满射。如果f 既是单射又是满射,则称f 为双射,或称一一对应。 1.1.4 求和号与求积号

高等代数最重要的基本概念汇总

第一章 基本概念 1.5 数环和数域 定义1 设S 是复数集C 的一个非空子集,如果对于S 中任意两个数a 、b 来说,a+b,a-b,ab 都在S 内,那么称S 是一个数环。 定义2 设F 是一个数环。如果 (i )F 是一个不等于零的数; (ii )如果a 、b ∈F,,并且b 0≠, a F b ∈,那么就称F 是一个数域。 定理 任何数域都包含有理数域,有理数域是最小的数域。 第二章 多项式 2.1 一元多项式的定义和运算 定义1 数环R 上的一个文字的多项式或一元多项式指的是形式表达式 ()1 2012n n a a x a x a x ++++L , 是非负整数而012,,,n a a a a L 都是R 中的数。 项式()1中,0a 叫作零次项或常数项,i i a x 叫作一次项,一般,i a 叫作i 次项的系数。 定义2 若是数环R 上两个一元多项式()f x 和()g x 有完全相同的项,或者只差一些系数 为零的项,那么就说()f x 和()g x 就说是相等 ()()f x g x = 定义3 n n a x 叫作多项式2012n n a a x a x a x ++++L ,0n a ≠的最高次项,非负整数n 叫作 多项式2012n n a a x a x a x ++++L ,0n a ≠的次数。 定理2.1.1 设()f x 和()g x 是数环R 上两个多项式,并且()0f x ≠,()0g x ≠,那么 ()i 当()()0f x g x +≠时, ()()()()()()()()0 max ,;f x g x f x g x ? +≤?? ()ii ()()()()()()()0 f x g x f x g x ? =?+?。 多项式的加法和乘法满足以下运算规则: 1) 加法交换律: ()()()()f x g x g x f x +=+;

(完整word版)高等代数教案北大版第六章.doc

授课内容教学时数教学目标教学重点教学难点 教学方法与 手段 教 学 过 程 第六章线性空间第一讲集合映射 2授课类型讲授通过本节的学习, 掌握集合映射的有关定义、运算, 求和号与乘积号的定义 集合映射的有关定义 集合映射的有关定义 讲授法启发式 1.集合的运算 , 集合的映射 ( 像与原像、单射、满射、双射 ) 的概念 定义 : ( 集合的交、并、差 ) 设S是集合 , A与B的公共元素所组成的集合 成为 A 与 B 的交集,记作A B ;把 A 和B中的元素合并在一起组成的集合成 为 A 与 B 的并集,记做 A B ;从集合 A中去掉属于 B 的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为 A 与B的差集,记做A B . 定义 : ( 集合的映射 ) 设 A B 为集合 . 如果存在法则 f , 使得 A 中任意元素 、 a 在法则f下对应B中唯一确定的元素( 记做f (a) ), 则称f是A到B的一个映射 , 记为 f : A B, a f (a). 如果 f (a) b B , 则 b 称为a在 f 下的像,a称为 b 在 f 下的原像. A 的所有元素在 f 下的像构成的 B 的子集称为 A 在 f 下的像,记做 f ( A) ,即f ( A) f ( a) | a A . 若 a a' A, 都有 f (a) f (a'), 则称 f 为单射.若 b B, 都存在a A , 使得f (a) b ,则称 f 为满射 . 如果f既是单射又是满射, 则称f为双射 , 或称一一对应 . 2.求和号与求积号 (1)求和号与乘积号的定义

为了把加法和乘法表达得更简练 , 我们引进求和号和乘积号 . 设给定某个数域 K 上 n 个数 a 1, a 2 , , a n , 我们使用如下记号 : n n a 1 a 2 a n a i , a 1a 2 a n a i . i 1 i 1 当然也可以写成 a 1 a 2 a n a i , a 1 a 2 a n a i . 1 i n 1 i n (2) 求和号的性质 容易证明 , n n n n n n m m n a i a i , (a i b i ) a i b i , a ij a ij . i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 j 1 j 1 i 1 事实上 , 最后一条性质的证明只需要把各个元素排成如下形状 : a 11 a 12 a 1 m a 21 a 22 a 2 m a n1 a n2 a nm 分别先按行和列求和 , 再求总和即可 . 讨论、练习与 作业 课后反思

高等代数课程的基本内容与主要方法

2010年第2期 牡丹江教育学院学报 No 12,2010 (总第120期) JOU RN A L OF M U D AN JIA N G CO LL EG E OF EDU CA T IO N Serial N o 1120[收稿日期]2009-10-25 [作者简介]戴立辉(1963-),男,江西乐安人,闽江学院教授,研究方向为矩阵论;林大华(1959-),男,福建福州人,闽江学院副教授,研究方向为代数学;吴霖芳(1979-),女,福建永安人,闽江学院讲师,硕士,研究方向为微分方程;陈翔(1980-),男,福建连江人,闽江学院讲师,硕士,研究方向为代数环论。 [基金项目]/十一五0国家课题/我国高校应用型人才培养模式研究0数学类子课题项目(F IB070335-A2-03)。 高等代数课程的基本内容与主要方法 戴立辉 林大华 吴霖芳 陈 翔 (闽江学院,福建 福州 350108) [摘 要] 对高等代数的基本内容与主要方法进行归纳和总结,使其所涉及的知识点之间的相互关系清晰明了,同时体现高等代数课程要求学生掌握的知识体系。 [关键词] 高等代数;基本内容;主要方法[中图分类号]O 15 [文献标识码]A [文章编号]1009-2323(2010)02-0146-03 高等代数是高等学校数学专业的一门必修的专业基础课程,它是由多项式理论和线性代数两部分组成。多项式部分以一元多项式的因式分解理论为中心,线性代数部分主要包括行列式、线性方程组、矩阵、二次型、线性空间、线性变换、K -矩阵与若尔当标准形、欧几里得空间等。 通过高等代数课程的教学,要求学生掌握一元多项式及线性代数的基本知识和基础理论,熟悉和掌握抽象的、严格的代数方法,理解具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辨证关系,提高抽象思维、逻辑推理及运算能力。根据我们多年的教学经验,本文拟对高等代数的基本内容与主要方法进行归纳和总结,使其所涉及的知识点之间的相互关系清晰明了,同时也体现出了高等代数课程要求学生掌握的知识体系。 一、多项式 一元多项式理论主要讨论了三个问题:整除性理论,因式分解理论和根的理论。其中整除性是基础,因式分解是核心。 (一)基本内容 1.整除性理论)))整除,最大公因式,互素。 2.因式分解理论)))不可约多项式,典型分解式,重因式。 3.根的理论)))多项式函数,根的个数,根与系数的关系。 (二)主要方法 1.多项式除多项式的带余除法。 2.用辗转相除法求两个多项式的最大公因式,最大公因式的判别法。 3.两多项式互素的判别法。 4.不可约多项式的判别法,多项式标准分解式求法,重因式的判别法。 5.多项式函数值的求法,x -c 除多项式f (x )的综合除法,多项式按x -x 0的方幂展开的方法。 6.多项式根的判别法,多项式重根的判别法。 7.整系数多项式有理根的求法,艾森斯坦判断法。二、行列式 行列式是线性方程组理论的一个重要组成部分,是一种重要的数学工具。 (一)基本内容 n 级排列及其性质,n 级行列式的概念,行列式的性质,行列式的计算,克拉默规则。 (二)主要方法 1.求一个排列的逆序数的方法。 2.行列式的计算方法:定义法,性质法,化为三角形行列式的方法,降级法(按一行或一列展开法、拉普拉斯展开法),化为范得蒙行列式的方法,递推法,加边法,数学归纳法,拆项法。 3.一些特殊行列式的计算方法)))三角形行列式,ab 型行列式,范得蒙行列式,爪型行列式,三对角行列式。 4.克莱姆规则。三、线性方程组 /线性方程组0这部分在理论上解决了线性方程组有解的判定、解的个数及求法、解的结构等。 (一)基本内容 1.向量的线性关系)))n 维向量,向量的线性运算,线性组合,线性表出,线性相关,线性无关,极大线性无关组,向量组等价,向量组的秩。 2.矩阵的秩)))矩阵的秩=矩阵行(列)向量组的秩,即矩阵的行(列)秩=矩阵不为零的子式的最大级数,初等变换不改变矩阵的秩,用初等变换计算矩阵的秩。 3.线性方程组的解的情形)))线性方程组有解的判定,线性方程组解的个数,齐次线性方程组解的情形。 4.线性方程组解的结构)))齐次线性方程组的基础解系,齐次线性方程组解的表示,非齐次线性方程组解的表示。

数学基本概念

基本概念 第一章数和数的运算一概念(一)整数 1整数的意义:自然数和0都是整数。2自然数: 我们在数物体的时候,用来表示物体个数的1,2,3……叫做自然数。一个物体也没有,用0表示。0也是自然数。3计数单位 一(个)、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这样的计数法叫做十进制计数法。4数位:计数单位按照一定的顺序排列起来,它们所占的位置叫做数位。5数的整除 整数a除以整数b(b≠0),除得的商是整数而没有余数,我们就说a 能被b整除,或者说b能整除a。如果数a能被数b(b≠0)整除,a就叫做b的倍数,b就叫做a的约数(或a的因数)。倍数和约数是相互依存的。 因为35能被7整除,所以35是7的倍数,7是35的约数。 一个数的约数的个数是有限的,其中最小的约数是1,最大的约数是它本身。例如:10的约数有1、2、5、10,其中最小的约数是1,最大的约数是10。 一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的倍数是它本身。3的倍数有:3、6、9、12……其中最小的倍数是3,没有最大的倍数。 个位上是0、2、4、6、8的数,都能被2整除,例如:202、480、304,都能被2整除。。个位上是0或5的数,都能被5整除,例如:5、30、405都能被5整除。。

一个数的各位上的数的和能被3整除,这个数就能被3整除,例如:12、108、204都能被3整除。一个数各位数上的和能被9整除,这个数就能被9整除。 能被3整除的数不一定能被9整除,但是能被9整除的数一定能被3整除。 一个数的末两位数能被4(或25)整除,这个数就能被4(或25)整除。例如:16、404、1256都能被4整除,50、325、500、1675都能被25整除。 一个数的末三位数能被8(或125)整除,这个数就能被8(或125)整除。例如:1168、4600、5000、12344都能被8整除,1125、13375、5000都能被125整除。能被2整除的数叫做偶数。不能被2整除的数叫做奇数。 0也是偶数。自然数按能否被2整除的特征可分为奇数和偶数。 一个数,如果只有1和它本身两个约数,这样的数叫做质数(或素数),100以内的质数有:2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。一个数,如果除了1和它本身还有别的约数,这样的数叫做合数,例如4、6、8、9、12都是合数。 1不是质数也不是合数,自然数除了1外,不是质数就是合数。如果把自然数按其约数的个数的不同分类,可分为质数、合数和1。

高等代数习题

高等代数习题 第一章基本概念 §1.1 集合 1、设Z是一切整数的集合,X是一切不等于零的有理数的集合.Z是不是X的子集? 2、设a是集A的一个元素。记号{a}表示什么? {a} A是否正确? 3、设 写出和 . 4、写出含有四个元素的集合{ }的一切子集. 5、设A是含有n个元素的集合.A中含有k个元素的子集共有多少个? 6、下列论断那些是对的,那些是错的?错的举出反例,并且进行改正. (i) (ii) (iii) (iv) 7.证明下列等式: (i)

(ii) (iii) §1.2映射 1、设A是前100个正整数所成的集合.找一个A到自身的映射,但不是满射. 2、找一个全体实数集到全体正实数集的双射. 3、是不是全体实数集到自身的映射? 4.设f定义如下: f是不是R到R的映射?是不是单射?是不是满射? 5、令A={1,2,3}.写出A到自身的一切映射.在这些映射中那些是双射? 6、设a ,b是任意两个实数且a

9、设是映射,又令,证明 (i)如果是单射,那么也是单射; (ii)如果是满射,那么也是满射; (iii)如果都是双射,那么也是双射,并且 10.判断下列规则是不是所给的集合A的代数运算: 集合 A 规则 1 2 3 4 全体整数 全体整数 全体有理数 全体实数 b a b a+ → |) , ( §1.3数学归纳法 1、证明: 2、设是一个正整数.证明 ,是任意自然数. 3、证明二项式定理: 这里 , 是个元素中取个的组合数.

高等代数教学改革研究

龙源期刊网 https://www.360docs.net/doc/fc7699126.html, 高等代数教学改革研究 作者:陈林 来源:《科技视界》2012年第26期 【摘要】高等代数是高等院校数学专业的主干课程,该门课程的教学改革对整个数学专业学生的教学质量的提高以及培养目标的完成都起着主导作用。本文在分析目前高等代数课程教与学的基础上,为高等代数的课程内容、教学方法、指导思想和教育观念进行改革。 【关键词】高等代数;教学内容;教学方法;改革 0 引言 高等代数这门课程是各高等院校数学专业学生的必修课,它不仅仅是中学数学理论的延续,而且还是整个现代数学大厦的基石。通过对这门课程的系统的学习,有助于学生养成严谨的处事习惯,增强学生逻辑推理能力,培养学生的数学抽象思维能力。绝大多数大中专院校将高等代数课程列为研究生入学考试的必考科目之一。 但是,目前高等代数的主要内容,在文革之前就已经确定了,还基本上是沿用前苏联的高等代数内容体系。近年来,国内许多学者对高代的内容进行大量的革新尝试,但其中几道丝线基本内容变动不大,仍然难以适应日新月异的科学技术发展的趋势,难以发挥高等代数作为自然科学原动力的作用,不能适应目前教学、科研的诸多需求。况且,近30年来,数学的理论分支发展迅猛,新思想、新知识、新研究方法不断涌现,更加强调理论的适应性,即如何提高生产力和更多的创造经济价值。但现行的高等代数教材的内容过分强调数学的纯理论性,往往是直接突兀的给出一个定义或一个定理,而没有关于这个定义或定理形成过程的介绍,同时缺乏讨论这些数学理论的发展和应用。在传统的高等代数课程教学中,往往只注重向学生灌输知识,课堂教学基本上还是“教材+粉笔+黑板”模式。从而难以提高学生的学习积极性,学生很难在认识上有所突破。 总之,为了应对数学理论日益迅猛的发展形势,为了紧跟时代发展的脚步,为了遵循我国教育发展的规律,为了提高办学质量、培养新时代的创新型人才,必须对高等代数课程的指导思想、内容以及教学方法进行改革。 1 指导原则 1.1 突出师范特色 大部分师范院校学生毕业后是进中学和小学参加教书。许多师范院校的毕业生工作以后感到大学里学到的东西在中学里用不到。因此,作为师范院校高等代数课程的内容要坚持师范性与学术性的统一,重点要突出师范性。必须将该课程的教学内容由学术型向教育学术型转化,

高等代数北大版教案-第6章线性空间

第六章 线性空间 §1 集合映射 一 授课内容:§1 集合映射 二 教学目的:通过本节的学习,掌握集合映射的有关定义、运算,求和号 与乘积号的定义. 三 教学重点:集合映射的有关定义. 四 教学难点:集合映射的有关定义. 五 教学过程: 1.集合的运算,集合的映射(像与原像、单射、满射、双射)的概念 定义:(集合的交、并、差) 设S 是集合,A 与B 的公共元素所组成的集合成为A 与B 的交集,记作B A ?;把A 和B 中的元素合并在一起组成的集合成为A 与B 的并集,记做B A ?;从集合A 中去掉属于B 的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为A 与B 的差集,记做B A \. 定义:(集合的映射) 设A 、B 为集合.如果存在法则f ,使得A 中任意元素a 在法则f 下对应B 中唯一确定的元素(记做)(a f ),则称f 是A 到B 的一个映射,记为 ).(,:a f a B A f → 如果B b a f ∈=)(,则b 称为a 在f 下的像,a 称为b 在f 下的原像.A 的所有元素在f 下的像构成的B 的子集称为A 在f 下的像,记做)(A f ,即 {}A a a f A f ∈=|)()(. 若,'A a a ∈≠?都有),'()(a f a f ≠ 则称f 为单射.若 ,B b ∈?都存在 A a ∈,使得b a f =)(,则称f 为满射.如果f 既是单射又是满射,则称f 为 双射,或称一一对应. 2.求和号与求积号 (1)求和号与乘积号的定义 为了把加法和乘法表达得更简练,我们引进求和号和乘积号. 设给定某个数域K 上n 个数n a a a ,,,21 ,我们使用如下记号:

高等代数教学大纲

中国海洋大学本科生课程大纲 课程属性:学科基础 课程性质:必修 一、课程介绍 1.课程描述: 高等代数是数学科学学院各专业的重要专业必修基础课,是学习其它数学课程的主要先修课之一。高等代数的内容主要包含两个模块:第一模块,方程和方程组的求解问题,主要内容有:多项式、行列式、线性方程组、矩阵、二次型;第二模块,线性空间相关理论,主要内容有:线性空间、线性变换、λ-矩阵、欧几里得空间。高等代数内容包含理工科所开设的线性代数的主要内容。 2.设计思路: 开设高等代数课程的目的是:一方面,使数学院本科生在中学所学初等代数的基础上继续学习更加高深的代数学知识,使其掌握系统的经典代数内容,为学习其它数学课程(如数值代数、近世代数、计算方法等等)提供坚实的代数基础知识;另一方面,通过本课程的学习,逐步培养学生的数值计算能力、逻辑分析能力和抽象思维能力,提高学生在数学思想、数学方法方面的修养。 19世纪以前的代数研究内容主要是解方程和方程组以及由此产生的相关理论,称为经典代数;19世纪以后的代数主要研究一些抽象代数结构,如群、环、域、模等,称为抽象代数或近世代数。高等代数课程的内容主要是经典代数内容,涵盖学习其它数学课程所要求的基本的代数基础知识。 - 2 -

高等代数的内容基本按照经典代数的发展编排的,主要有两条主线:第一,方程和方程组求解问题,第二,线性空间相关理论。第一条主线的主要内容有:多项式理论——对应高次方程,其求解需要降次,需研究多项式的因式分解;行列式理论——求解线性方程组的主要工具之一;线性方程组理论——解的判定与求法;矩阵理论——解线性方程组时用到的矩阵运算与性质;二次型理论——二次齐次方程的化简与对称矩阵。第二条主线的主要内容多是解析几何中内容的推广,主要有:线性空间——几何空间的推广与抽象;线性变换——线性空间中点的运动的描述;λ-矩阵——证明线性变换的矩阵与其标准形相似;欧几里得空间——带有长度、夹角与距离等度量性质的线性空间,是几何空间的推广。 3.课程与其他课程的关系: 先修课程:无; 并行课程:数学分析、空间解析几何; 后置课程:近世代数。高等代数与近世代数内容恰好实现对接,完整体现了代数学的基本内容,联系密切。 二、课程目标 本课程目标是:一方面使学生系统地掌握经典代数的内容,包括多项式、线性方程组、矩阵、二次型、线性空间、线性变换、欧几里得空间等,为学习其它数学课程打下坚实的代数知识基础;另一方面,通过本课程的学习,培养学生的数值计算能力、逻辑分析能力和抽象思维能力,提高学生运用数学思想、数学方法分析问题、解决问题的能力。 到课程结束时,学生应达到以下几方面要求: (1)知识掌握良好。会判断多项式的可约性,能计算两多项式的最大公因式;会计算行列式;会判定线性方程组是否可解,掌握线性方程组解的结构;熟练掌握矩阵的各种运算;可将二次型化为标准形;掌握线性空间基底理论以及子空间的运算;会写线性变换的矩阵,会判定矩阵是否对角化、准对角化,并能求出其相应对角形与准 - 2 -

高等代数《高等代数》教学大纲

《高等代数》课程教学大纲 Advanced Algebra 执笔人:颜昌元编写日期:2012.7 一、课程基本信息 1.课程编号: 07010112,07010113 2.课程性质/类别:专业基础课/ 必修课 3.学时/学分:160 学时/ 10 学分 4.适用专业:数学与应用数学、信息与计算科学、统计学 二、课程教学目标及学生应达到的能力 《高等代数》是大学数学专业三门重要基础课程之一。因其内容的抽象性和理论的结构化及应用之广泛,既是数学在其它学科应用的必需基础课程,又是数学修养的核心课程。 该课程的教学目标是使学生掌握代数基本知识和理论,逐步培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力,使学生获得较熟练的演算技能与初步的应用能力,为后续专业课程的学习打下基础,适当了解代数的一些历史与背景。 该课程应突出传授数学思想和数学方法,突出高等代数中等价分类、结构分解、同构对应的思想,揭示课程内部本质的有机联系。 在教学过程中根据具体教学内容,帮助学生体会人类认识客观世界的一般规律:从具体个例提升到抽象本质再应用到一般情形,及本课程中体现的唯物主义辩证法;帮助学生体会本课程统一性、简单性、对称性、整齐性、不变性、奇异性等数学的内在美。 三、课程教学内容与基本要求 本课程开课时间:第一学年(共两学期),共160 学时;其中,第一学期,每周5学时,共80学时;第二学期,每周5学时,共 80学时。 (一)多项式 (20 学时) 1.主要内容: (1)数域 (2)一元多项式 (3)整除的概念 (4)最大公因式 (5)因式分解定理 (6)重因式 (7)多项式函数 (8)复系数与实系数多项式的因式分解 (9)有理系数多项式

高等数学基本知识大全

高等数学

一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫集合(简称集)。集合具有确定性(给定集合的元素必须是确定的)和互异性(给定集合中的元素是互不相同的)。比如“身材较高的人”不能构成集合,因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合,用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素,就说a属于A,记作:a∈A,否则就说a不属于A,记作:a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集(或自然数集)。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法:把集合的元素一一列举出来,并用“{}”括起来表示集合 ⑵、描述法:用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集:一般地,对于两个集合A、B,如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素,我们就说A、B有包含关系,称集合A为集合B的子集,记作A B(或B A)。。 ⑵相等:如何集合A是集合B的子集,且集合B是集合A的子集,此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样,因此集合A与集合B相等,记作A=B。 ⑶、真子集:如何集合A是集合B的子集,但存在一个元素属于B但不属于A,我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集:我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作,并规定,空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系,可以得到下面的结论: ①、任何一个集合是它本身的子集。即A A ②、对于集合A、B、C,如果A是B的子集,B是C的子集,则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”,这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。(在求并集时,它们的公共元素在并集中只能出现一次。) 即A∪B={x|x∈A,或x∈B}。 ⑵、交集:一般地,由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。 即A∩B={x|x∈A,且x∈B}。 ⑶、补集: ①全集:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集。通常记作U。

《高等代数》课程教学大纲

《高等代数》课程教学大纲 课程编号:090085、090022 总学时:162 学分:8 适用专业:数学与应用数学、信息与计算科学 课程类型:专业必修课 开课单位: 一、课程的性质、目的与任务 通过本课程的教学,使学生对高等代数乃至代数学的思想和方法有较深刻的认识, 提高他们的抽象思维、逻辑推理和运算的能力;使学生初步地掌握基本的、系统的代数知识和抽象的、严格的代数方法,进而加深对中学代数的理解;使学生能应用代数思想和方法去理解与处理有关的问题, 培养与提高代数的理论分析问题与解决问题的能力;使学生学习数学学科后续课程(如近世代数、离散数学、计算方法、偏微分方程、泛函分析等)提供一些所需要的基础理论和知识;使学生在智能开发、创新能力培养等方面获得重要的平台。 《高等代数》是数学与应用数学、信息与计算科学本科专业最重要的基础课程之一,是数学各专业报考研究生的必考课程之一,也是理论性、应用性很强的一门数学基础课。讲授本课程的目的主要在于培养学生的代数基础理论和思想素质,基本掌握代数中的论证方法, 获得较熟练的演算技能和初步应用的技巧, 提高分析问题、解决问题的能力,为进一步学习其它数学知识打下坚实的基础。 本课程的主要任务是通过教学的主要环节(课堂讲授与讨论、习题课、作业、辅导答疑等),使学生学习和掌握多项式理论、线性代数的代数理论(行列式、线性方程组、矩阵、λ矩阵)及线性代数的几何理论(线性空间、线性变换、欧氏空间)。 二次型、- 二、课程教学内容和基础要求 (1)理解多项式的定义,掌握最大公因式,互素,不可约多项式, 因式分解等有关的一系列性质。 (2)理解行列式的定义, 掌握行列式的基本运算性质和行列式的行(列)展开性质;理解向量组的线性相关性,掌握线性方程组的通解求法;理解矩阵的概念和运算,掌握矩阵的可逆、矩阵的分块、矩阵的等价关系的性质及应用;理解二次型的定义,掌握二次型的标准形的求法及正定二次型的一系列性质。 (3)理解线性空间的定义,掌握交空间、和空间及直和的判定及性质;理解线性变换的定义及简单性质,掌握线性变换在不同基下的矩阵的性质、线性变换的值域与核的应用问

专业课《高等代数》考研大纲和参考书目

专业课《高等代数》考研大纲和参考书目 参考教材及参考书:《高等代数》(第三版),北京大学编,高等教育出版社 《高等代数教程》(上、下册),王萼芳等编,清华大学出版社 课程内容(打*部分内容或章节要求重点掌握) 多项式: *整除概念,带余除法理论; 最大公因式定义及求法; *多项式互素的概念与性质; *因式分解定理和不可约多项式的性质; *复系数与实系数多项式的因式分解; 行列式: *行列式的定义; *行列式性质及按行按列展开法则,并用此计算行列式; Laplace定理; *克莱拇法则; *线性方程组: 消元法; 向量组的线性相关与线性无关性,向量组的极大无关组与秩; 矩阵的秩及求法; 线性方程组有解判别定理; 线性方程组基础解系、通解及解的结构; *矩阵: 矩阵线性运算,乘法,转置及运算律; 矩阵初等变换,初等矩阵; 逆矩阵极其存在条件,求逆矩阵; 分块矩阵运算; 二次型: *二次型的矩阵表示; 矩阵合同 *可逆线性变换化二次型为标准型; 惯性定理; *正定二次型判定; 线性空间 线性空间的定义与性质; *有限维线性空间的基与维数,向量坐标; *基变换与坐标变换; *子空间定义,维数与基、维数公式; *子空间的交与和,直和; 线性空间的同构; *线性变换 线性变换的运算,线性变换的矩阵

特征值与特征向量; 可对角化问题; 线性变换的值域与核; 不变子空间; 若尔当标准型的概念; 最小多项式; λ-矩阵 λ-矩阵等价标准型; *不变因子、行列式因子、初等因子的概念及其关系; *矩阵相似的条件; 若尔当标准型理论及求法; 欧氏空间 内积与欧氏空间定义,度量矩阵; 施密特正交化方法求标准正交基; *正交变换,对称变换; *对称矩阵的标准型及用正交线性替换化二次型为标准型; 酉空间介绍。

高等数学基础知识点归纳

第一讲函数,极限,连续性 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫集合(简称集)。集合具有确定性(给 定集合的元素必须是确定的)和互异性(给定集合中的元素是互不相同的)。比如“身材较高的人”不能构成集合,因为它的元素不是确定的。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集(或自然数集)。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集,记作N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集,记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集,记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集,记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法:把集合的元素一一列举出来,并用“{}”括起来表示集合 ⑵、描述法:用集合所有元素的共同特征来表示集合 集合间的基本关系 ⑴、子集:一般地,对于两个集合A、B,如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素,我们就 说A、B 有包含关系,称集合A 为集合B 的子集,记作A ?B。 ⑵、相等:如何集合A 是集合B 的子集,且集合B 是集合A 的子集,此时集合A 中的元素与集合B 中 的元素完全一样,因此集合A 与集合B 相等,记作A=B。 ⑶、真子集:如何集合A 是集合B 的子集,但存在一个元素属于B 但不属于A,我们称集合A 是集合 B 的真子集,记作A 。 ⑷、空集:我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作,并规定,空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系,可以得到下面的结论: ①、任何一个集合是它本身的子集。 ②、对于集合A、B、C,如果A 是B 的子集,B 是C 的子集,则A 是C 的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”,这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集:一般地,由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合称为A 与B 的并集。记作A ∪B。(在求并集时,它们的公共元素在并集中只能出现一次。) 即A∪B={x|x∈A,或x∈B}。 ⑵、交集:一般地,由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合称为A 与B 的交集。记作A ∩B。 即A∩B={x|x∈A,且x∈B}。 ⑶、全集:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集。 通常记作U。

高等代数最重要的基本概念汇总

第一章 基本概念 数环和数域 定义1 设S 是复数集C 的一个非空子集,如果对于S 中任意两个数a 、b 来说,a+b,a-b,ab 都在S 内,那么称S 是一个数环。 定义2 设F 是一个数环。如果 (i )F 是一个不等于零的数; (ii )如果a 、b ∈F,,并且b 0≠, a F b ∈,那么就称F 是一个数域。 定理 任何数域都包含有理数域,有理数域是最小的数域。 第二章 多项式 一元多项式的定义和运算 定义1 数环R 上的一个文字的多项式或一元多项式指的是形式表达式 ()1 2 012n n a a x a x a x +++ +, 是非负整数而012,,,n a a a a 都是R 中的数。 项式()1中,0a 叫作零次项或常数项,i i a x 叫作一次项,一般,i a 叫作i 次项的系数。 定义2 若是数环R 上两个一元多项式()f x 和()g x 有完全相同的项,或者只差一些系数 为零的项,那么就说()f x 和()g x 就说是相等 ()()f x g x = 定义3 n n a x 叫作多项式2 012n n a a x a x a x +++ +,0n a ≠的最高次项,非负整数n 叫作 多项式2 012n n a a x a x a x +++ +,0n a ≠的次数。 定理2.1.1 设()f x 和()g x 是数环R 上两个多项式,并且()0f x ≠,()0g x ≠,那么 ()i 当()()0f x g x +≠时, ()()()()()()()()0 max ,;f x g x f x g x ? +≤?? ()ii ()()()()()()()0 f x g x f x g x ? =?+?。

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