第十七章 勾股定理教案

第十七章勾股定理

17.1 勾股定理

教学目标

1.了解勾股定理的文化背景,了解利用拼图验证勾股定理的方法.

2.能说出勾股定理,并能应用其进行简单的计算.

教学重难点

【重点】探索和验证勾股定理,并能应用其进行简单的计算.

【难点】用拼图的方法验证勾股定理.

教学过程

一、导入

国际数学家大会是最高水平的全球性数学学科学术会议,被誉为数学界的“奥

运会”.2002年在北京召开了第24届国际数学家大会.此图案就是大会会徽的图案.

[设计意图]勾股定理揭示的是特殊三角形的三边关系,从探索等腰直角三角形三

边关系入手,揭示直角三角形的三边关系,体现了由特殊到一般的数学研究方法.

1.探索勾股定理

(1)探索等腰直角三角形三边之间的关系.

师:这个地面图案中有大大小小、各种“姿势”的正方形.毕达哥拉斯在这些正方形中发现了什么呢?(出示教材图17.1 - 2)

(1)问题提出:在图17.1 - 2中,是以等腰直角三角形三边为边长的三个正方形.这三个正方形面积之间存在怎样的关系?三个正方形之间的面积关系说明了什么?

(2)学生活动:质疑、猜测、探索、交流三个正方形面积之间的关系.

学生的探索方法可能是:通过数正方形内等腰直角三角形个数的办法,得出两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积.

(3)教师总结:通过直接数等腰直角三角形的个数,或者用割补的方法将小正方形中的等腰直角三角形补成一个大正方形,得出结论:小正方形的面积之和等于大正方形的面积,也就是等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.

追问:在图17.1 - 2中,如果选取更大的等腰直角三角形,按照同样的方法作三个

正方形,这三个正方形的面积关系还一样吗?如图所示.

[设计意图]这个探索活动是学习、探索勾股定理的基础.借助三个正方形面积

之间的关系,探索等腰直角三角形三边的数量关系,这是本活动的出发点.提出追问

的问题,有助于学生的认识上升到整个直角三角形的一般性的高度,也为学生有个

性的创意活动搭建了平台.

2.勾股定理的证明

教师提问:对于任意直角三角形三边之间应该有什么关系?

教师引导学生猜想:如果直角三角形两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么

a2+b2=c2.

追问:以上直角三角形的边长都是具体的数值,一般情况下,如果直角三角形的两

直角边长分别为a,b,斜边长为c,我们的猜想仍然成立吗?

思路一

(出示教材图17.1 - 5)让学生剪4个全等的直角三角形,拼成如图所示的图形,利

用面积证明.

图中大正方形的面积是c2,直角三角形的面积是ab,中间正方形的面积为(b-a)2,则有c2=ab×4+(b-a)2,即a2+b2=c2.

教师适时介绍:这个图案是公元3世纪汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的,人们称它为“赵爽弦图”.赵爽根据此图指出:四个全等的直角三角形(朱实)可以按如图所示围成一个大正方形,中间部分是一个小正方形(黄实).我们刚才用割的方法证明使用的就是这个图形.

教师在学生归纳基础上总结:直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方.中国人称它为“勾股定理”,外国人称它为“毕达哥拉斯定理”.

[设计意图]通过拼图活动,调动学生思维的积极性,为学生提供从事数学活动的机会,发展学生的形象思维,使学生对定理的理解更加深刻,体会数学中数形结合的思想.通过对赵爽弦图的介绍,了解我国古代数学家对勾股定理的发现及证明所做出的贡献,增强民族自豪感.通过了解勾股定理的证明方法,增强学生学习数学的自信心.

思路二

学生利用拼图游戏验证定理,并思考:能用右图证明这个结论吗?

已知:在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC,∠ABC,∠ACB的对边分别为a,b,c.

求证:a2+b2=c2.

(1)让学生准备多个三角形模型,最好是有颜色的纸,让学生拼摆不同的形状,利用面积相等进行证明.

(2)拼成如图所示,其等量关系为4×ab+(b-a)=c2,化简可证.

(3)发挥学生的想象能力拼出不同的图形,进行证明.

教师指导学生验证.

我们证明了以上结论的正确性,我们就可称之为定理,这就是著名的“勾股定理”.

请同学们用不同的表达方式(文字语言、符号语言)表述这一定理.

勾股定理的名称介绍:3000多年前,我国古代有一个叫商高的人说:“把一根直尺折成直角,两端连接得一直角三角形,勾广三,股修四,弦隅五.”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边(勾)的长是3,长的直角边(股)的长是4,那么斜边(弦)的长是5.因为勾股定理内容最早出现在商高的话中,所以又称“商高定理”.一千多年后,西方的毕达哥拉斯证明了此定理,因此又叫“毕达哥拉斯定理”,当时毕达哥拉斯学派为了纪念这一发现,杀了一百头牛庆功,故而还叫“百牛定理”.一个定理有如此多的“头衔”,可见勾股定理的不凡.

[设计意图]通过拼图活动,充分调动学生的积极性,进一步激发学生的求知欲;通过借助不同图形探索证明,提高学生思维的活跃性;通过对赵爽弦图的介绍,了解我国古代数学家对勾股定理的发现及证明所做出的贡献,增强民族自豪感.

思路三

1876年,美国总统伽菲尔德利用下图验证了勾股定理.你也能完成证明过程吗?

证明:以a,b为直角边,以c为斜边作两个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于ab.把这两个直角三角形拼成如图所示的形状,使A,E,B三点在一条直线上.

∵Rt△EAD≌Rt△CBE,

∴∠ADE=∠BEC.

∵∠AED+∠ADE=90°,

∴∠AED+∠BEC=90°.

∴∠DEC=180°-90°=90°.

∴△DEC是一个等腰直角三角形,它的面积等于c2.

又∵∠DAE=90°,∠EBC=90°,

∴AD∥BC.

∴四边形ABCD是一个直角梯形,它的面积等于(a+b)2.

∴(a+b)2=2×ab+c2.

∴a2+b2=c2.

学生思考后,教师再展示证明过程.

[设计意图]通过了解勾股定理的不同证明方法,丰富自己的知识;通过了解到古今中外无数人进行证明,激发学生学习数学的热情.

[知识拓展]解决直角三角形有关计算和证明的问题时,要注意:(1)求直角三角形斜边上的高常运用勾股定理和面积关系式联合求解.(2)要证明线段的平方关系,首先考虑使用勾股定理,从图中寻找或构造包含所证线段的直角三角形,利用等量代换和代数中的恒等变换进行论证.(3)由勾股定理的基本形式

a2+b2=c2可以得到一些变形关系式,如a2=c2-b2=(c+b)(c-b),b2=c2-a2=(c+a)(c-a)等.(4)在钝角三角形中,三角形三边长分别为a,b,c,若c为最大边长,则有a2+b2c2.

二.例题讲解

(补充)在直角三角形中,各边的长如图,求出未知边的长度.

[解题策略]在直角三角形中,已知两边长,求第三边长,应用勾股定

理求解,也可建立方程解决问题.

(补充)有两边长分别为3 cm,4 cm的直角三角形,其第三边长为 cm.

[解题策略]注意掌握勾股定理的表达式,分类讨论是解决此题的关键,难点在于容易漏解.

师生共同回顾本节课所学主要内容:

1.如果直角三角形两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c

2.即直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方.

2.注意事项:

(1)注意勾股定理的使用条件:只对直角三角形适用,而不适用于锐角三角形和钝角三角形.

(2)注意分清斜边和直角边,避免盲目代入公式致错.

(3)注意勾股定理公式的变形:在直角三角形中,已知任意两边长,可求第三边长,

三.巩固练习

1.如图所示,字母B所代表的正方形的面积是()

A.12

B.13

C.144

D.194

2.如图所示,若∠A=60°,AC=20 m,则BC大约是(结果精确到0.1 m) ()

A.34.64 m

B.34.6 m

C.28.3 m

D.17.3 m

3.在Rt△ABC中,∠C=90°.

(1)若a=3,b=4,则c=;

(2)若b=6,c=10,则a=;

(3)若a=5,c=13,则b=;

(4)若a=1.5,b=2,则c=.

四、板书设计

第1课时

1.探索勾股定理

2.勾股定理的证明

3.例题讲解

例1例2

五、作业布置

六、课后评价

17.1 勾股定理（2）

教学目标

1. 能说出勾股定理,能运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题

2.通过从实际问题中抽象出直角三角形这一模型,强化转化思想,培养学生解决现实问题的意识和能力.

3.经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程,进一步体会勾股定理的应用方法.

教学重难点

【重点】运用勾股定理解决实际问题

【难点】勾股定理的灵活运用.

教学过程

一、新课导入

电视的尺寸是屏幕对角线的长度.小华的爸爸买了一台29英寸(74 cm)的电视机,小华量电视机的屏幕后,发现屏幕只有58 cm长和46 cm宽.他觉得一定是售货员搞错了,你同意他的想法吗?你能解释是为什么吗?

引导学生回忆勾股定理的内容,学生再尝试解决上面的问题.

[设计意图] 让学生回忆勾股定理的内容,并注意文字语言、图形语言、符号语言的规范统一,尝试解决生活中的实际问题,以激发学生学习的兴趣和探究的欲望.

二、新知学习

1.木板进门问题

思路一

(1)分析导入一提出的问题.

教师在学生讨论基础上明确解决问题的方法:计算电视机对角线的长度,看是否为74 cm.

解:根据勾股定理,得≈74(cm).

因此,这台电视机符合规格.

(2)自学教材第25页例1.

教师提问:门框能通过薄木板的最大宽度是多少?

学生带着问题阅读题目,试写解答过程.

(3)变式练习:长方体盒内长、宽、高分别为3 cm,2.4 cm和1.8 cm,盒内可放的棍子最长为

cm.

本题需先求出长和宽组成的长方形的对角线长,为=(cm).这根最长的棍子和长方体的高,以及长和宽

组成的长方形的对角线组成了直角三角形,则棍子最长为=3(cm).

教师引导学生小结:遇到求木板进门或将物体放入立体图形内的问题,常常需要找到能通过(放入)物体的最大长度,与物体的长度比较大小,从而判断是否可以通过(放入).

[设计意图] 通过讲练结合,引导学生独立分析,自主学习,提高学生运用勾股定理解决简单问题的能力. 思路二

(教材例1)一个门框的尺寸如图所示,一块长3 m,宽2.2 m的长方形薄木

板能否从门框内通过?为什么?

[设计意图] 运用转化思想,将求门框的对角线的长转化为已知两直角边长求斜边

长,从而用勾股定理解决.

2.梯子靠墙问题

如图所示,一架2.6 m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO为

2.4 m.如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5 m,那么梯子底端B也外移0.5 m吗?

[解题策略] 已知直角三角形的两边长,可以根据勾股定理求出第三边长.已知直

角三角形的一边长及两边之间的关系,也可以求出各边长.在求锐角三角形或钝角三

角形的边长时,可以将其转化为直角三角形,应用勾股定理求解.

[设计意图] 巩固性练习,本题涉及已知斜边长和一直角边长求另一直角边长,也用勾股定理解决.

3.表面距离最短问题

(补充)如图所示,一只蚂蚁沿棱长为a的正方体表面从顶点A爬到顶点B,

则它走过的最短路程为( )

A.a

B.(1+)a

C.3a

D.a

[解题策略] 平面图中,可以直接用勾股定理求两点之间的距离,而在求表面距离最短的问题时,需要将立体图形展开后,将实际问题转化成可以用勾股定理进行计算的问题.

[设计意图] 通过例题分析解决,建立数学模型,提高学生分析问题和解决问题的能力.

[知识拓展] 勾股定理应用的条件必须是直角三角形,所以要应用勾股定理必须构造直角三角形.常见的应用类型为:①化非直角三角形为直角三角形;②将实际问题转化为直角三角形模型.

四、巩固练习

1.小明用火柴棒摆直角三角形,已知他摆两条直角边分别用了6根和8根火柴棒,他摆完这个直角三角形共用火柴棒( )

A.20根

B.14根

C.24根

D.30根

2.为迎接新年的到来,同学们做了许多花布置教室,准备召开新年晚会.小刘搬来一架高2.5米的木梯,木梯放好后,顶端与地面的距离为2.4米,则梯脚与墙脚的距离应为( )

A.0.7米

B.0.8米

C.0.9米

D.1.0米

3.(2015·厦门中考节选)已知A,B,C三地的位置如图所示,∠C=90°,A,C两地相距

4 km,B,C两地相距3 km,则A,B两地的距离是

4.(2014·潍坊中考)我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上,高二丈,

周三尺,有葛藤自根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何?”题意是:如图所示,把

枯木看作一个圆柱体,因一丈是十尺,则该圆柱的高为20尺,底面周长为3尺,有葛藤

自点A处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B处.则问题中葛藤的最短长度是

五、板书设计

第2课时

1.木板进门问题

例1

2.梯子靠墙问题

例2

3.表面距离最短问题

例3

六、作业布置

七、课后评价

17.1 勾股定理（3）

教学目标

1.利用勾股定理,能在数轴上找到表示无理数的点.

2.进一步学习将实际问题转化为直角三角形的数学模型,并能用勾股定理解决简单的实际问题.

教学重难点

【重点】能利用勾股定理在数轴上表示无理数.

【难点】利用勾股定理寻找直角三角形中长度为无理数的线段.

教学过程

一、新课导入

我们知道数轴上的点有的表示有理数,有的表示无理数,你能在数轴上找到表示的点吗?表示的点呢? [设计意图] 在七年级时,学生只能找到数轴上的表示有理数的点,而对于表示像,这样的无理数的点却找不到.学习了勾股定理后,这样的问题就可以得到解决.由旧入新,开门见山导入新课.

二、探究新知

1.利用勾股定理证明HL定理师生共同画图,写出已知、求证.引导学生关注画图的过程,思考哪些元素相等.

已知:如图所示,在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,AB=A'B',AC=A'C'.

求证:Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.

2.利用勾股定理在数轴上表示无理数

OB是以数轴的单位长度为边的正方形的对角线,以数轴的原点为圆心、

OB长为半径画弧,交数轴正半轴于点A,则点A表示的数是.

小组交流讨论:找到长为的线段所在的直角三角形.学生在数轴上画出表示的点.

(1)在数轴上找到点A,使OA=3;

(2)作直线l垂直于OA,在l上取一点B,使AB=2;

(3)连接OB,以原点O为圆心、以OB为半径作弧,弧与数轴交于点C,则点C即为表示的点.

[设计意图] 利用勾股定理和数轴上的点表示实数,将数与形进一步联系在一起,渗透数形结合思想,加深对勾股定理、数轴和实数的理解.

三、例题讲解

(补充)如图所示,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,CD=2.求四边形ABCD的面积.

[解题策略] 不规则图形的面积,可转化为特殊图形求解,本题通过将图形转化为直角三角形的方法,把四边形面积转化为三角形面积之差.

四、课堂小结

师生共同回顾本节课所学主要内容:

1.用勾股定理在数轴上表示无理数,构造长为无理数的线段放在直角三角形中,有时是直角边,有时是斜边.

2.求不规则图形的面积,应用割补法把图形分解为特殊图形,四边形中常常通过作辅助线构造直角三角形,以利用勾股定理.

五、巩固练习

1.如图所示,长方形OABC的边OA长为2,边AB长为1,OA在数轴上,以原点O为圆心,对角线OB 的长为半径画弧,交数轴正半轴于一点,则这个点表示的实数是( )

A. B.2 C. D.2.5

2.如图所示,以数轴的单位长度线段为边作一个正方形,以表示数1的点为圆心,正方形对角线长为半径画弧,交数轴于点A,则点A表示的数是( )

A.-

B.-1+

C.-1-

D.1-

3.如图所示,数轴上点A所表示的数为a,则a的值是.

4.在平静的湖面上有一支红莲,高出水面1 m,一阵风吹来,红莲吹到一边,花朵齐及水面,已知红莲移动的水平距离为2 m,求这里的水深是多少.

六、板书设计

第3课时

1.利用勾股定理证明HL定理

2.利用勾股定理在数轴上表示无理数

3.例题讲解

例题

七、作业布置

八、课后评价

17.2 勾股定理的逆定理

教学目标

1.理解并能证明勾股定理的逆定理.

2.理解原命题、逆命题、逆定理的概念.

3.会认识并判断勾股数,掌握勾股定理的逆定理,并能灵活应用逆定理判定一个三角形是否为直角三角形.

教学重难点

【重点】勾股定理的逆定理的应用.

【难点】勾股定理的逆定理的证明.

教学过程

一、新课导入

你能说出勾股定理吗?并指出定理的题设和结论.

学生独立回忆勾股定理,师生共同分析得出其题设和结论,教师引导指出勾股定理是从形的特殊性得出三边之间的数量关系.

追问:你能把勾股定理的题设与结论交换得到一个新的命题吗?

师生共同得出新的命题,教师指出其为勾股定理的逆命题.

追问:“如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.”能否把它作为判定直角三角形的依据呢?本节课我们一起来研究这个问题.

[设计意图] 通过对前面所学知识的归纳总结,自然合理地引出勾股定理的逆定理.

二、探究新知

1.勾股定理的逆定理

(1)归纳猜想埃及人的画直角的方法,你有什么启发吗?

[设计意图] 由特殊到一般,归纳猜想出“如果三角形三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形就为直角三角形”的结论,培养学生动手操作能力和寻求解决数学问题的一般方法.

(2)原命题、逆命题

提问:命题1和命题2的题设和结论分别是什么?

[设计意图] 让学生在合作交流的基础上明确互逆命题的概念,在互动的过程中掌握互逆命题的真假性是各自独立的.

(3)勾股定理的逆定理的证明

如果你认为是正确的,你能证明这个命题“如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形”吗?

已知:如图所示,△ABC中,AB=c,AC=b,BC=a,且a2+b2=c2. 求证:∠C=90°.

[设计意图] 引导学生用图形和数学符号语言表示文字命题,构造直角三角形,让学生

体会这种证明思路的合理性,帮助学生突破难点.

三、例题讲解

(教材例1)判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形:

(1)a=15,b=8,c=17;

(2)a=13,b=14,c=15.

[设计意图] 通过练习,学会运用勾股定理逆定理判断一个三角形是否为直角三角形.

[知识拓展] 勾股定理的逆定理是直角三角形的判定方法之一,利用它判定是否为直角三角形的一般步骤:①确定最大边长c;②计算a2+b2和c2的值,若a2+b2=c2,则此三角形是直角三角形;若

a2+b2c2,则此三角形是锐角三角形.

(教材例2)某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16 n mile,“海天”号每小时航行

12 n mile.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q,R处,且相距30 n mile.如果

知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗?

[设计意图] 学生在规范化的解答过程及练习中,提升对勾股定理逆定理的认识以及实际应用的能力.

四、课堂小结

师生共同回顾本节课所学主要内容:

(1)已知一个三角形的三边长,利用勾股定理的逆定理来判定这个三角形是不是直角三角形.

(2)一个命题一定有逆命题,一个定理不一定有逆定理.

(3)三个数满足勾股数的两个条件:①三个数必须满足较小的两个数的平方和等于最大的一个数的平方;②三个数必须都是正整数.

(4)解题时,注意勾股定理与其逆定理的区别.勾股定理是在直角三角形中运用的,而勾股定理的逆定理是判断一个三角形是不是直角三角形的.

五、巩固练习

1.(2015·毕节中考)下列各组数据中的三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是( )

A.3,4,5

B.1,2,1

C.6,7,8

D.2,3,4

2.若△ABC的三边长a,b,c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0,则△ABC是( )

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形

D.等腰直角三角形

3.下列说法中正确的有( )

(1)在一个三角形中,如果一边上的中线等于这条边的一半,那么这条边所对的角是直角;

(2)命题“在一个三角形中,有一个角是30°,那么它所对的边是另一边的一半”的逆命题是真命题;

(3)勾股定理的逆定理是:如果两条直角边长的平方和等于斜边长的平方,那么这个三角形是直角三角形;

(4)△ABC的三边之比是1∶1∶,则△ABC是直角三角形.

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

4.如图(1)所示的是一块地,已知AD=4 m,CD=3 m,AD⊥DC,AB=13 m,BC=12 m,求这块地的面积.

六、板书设计

17.2 勾股定理的逆定理

1.勾股定理的逆定理

(1)归纳猜想

(2)原命题、逆命题

(3)勾股定理的逆定理的证明

2.例题讲解

例1 例2

七、作业布置

八、课后评价