第17章勾股定理的复习课教案

《第17章勾股定理的复习（1）》教学设计

福清龙江中学林华泉

2016年3月16日

学习目标：

知识与技能：掌握勾股定理以及变式的简单应用，理解定理的一般探究方法。

过程与方法：让学生经历观察、思考、动手实践和求解的活动过程；培养学生独立思考能力和动手实践能力。发展同学们数与形结合的数学思想。

情感态度与价值观：在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流良好学习的习惯。使学生认识到数学来自生活，并服务于生活，从而增强学生学数学、用数学的意识,体会勾股定理的文化价值。

教学重点与难点：

应用勾股定理及逆定理解决实际问题是本节课的教学重点;而把实际问题化归成勾股定理的几何模型（直角三角形）则是本节课的教学难点.

教学过程

一、复习引入

1、请一位同学说说勾股定理的内容是什么？

（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.）

2、RtΔABC中，∠C＝90°时AC2+BC2＝AB2，有哪些不同的表示形式？

今天我们来看看这个定理的应用。

3、学生进行练习：

在Rt△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，∠B=90゜.

①已知a=3，b=4，求c；

②已知a=12，c=5，求b

（请大家画出图来，注意不要简单机械的套a2+b2＝c2，要根据本质来看问题）

4、勾股定理只能在直角三角形中运用

【例1】在△ABC中，AC=3，BC=4，则AB的长为（）.

A. 5

B. 10

C. 4

D. 大于1且小于7

只能用“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”判断出AB的范围.正确答案：D.

5、运用勾股定理时要分清斜边和直角边

【例2】已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边长.

正解：（1）当两直角边为3和4时，第三边长为

（2）当斜边为4，一直角边为3时，第三边长

为.

6、给定三角形要分形状运用勾股定理

【例3】在△ABC中，AB=15，AC=20，AD是BC边上的高，AD=12，试求出BC边的长.

【分析与解】此题没有给出图示，又由于三角形的高可能在三角形内部也可能在三角形外部，所以其高的位置应分两种情况来求.如下图所示，△ABC有两种情况.

综上可得BC边的长为25或7.

配套练习：等腰三角形的一个内角为30°，腰长为4，求这个等腰三角形腰上的高及这个等腰三角形的面积.

解：⑴等腰三角形ABC顶角为30°时；⑵等腰三角形ABC底角为30°时；

(高在形内) (高在形外)；

宽AB为8cm，?长BC?为10cm．当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）．想一想，此时EC有多长？

这个环节主要是从由简单的实际问题（平面上）激发学生的探求欲望，通过探求过程，学会分析问题中隐藏的几何模型（直角三角形），体会勾股定理在生活中无处不在。激发和点燃学生学习的兴趣。为后续学习起到了引领作用。

二、直角三角形的识别（勾股定理逆定理的复习）

出示练习（学生独立完成）

1、下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（）

A、a=1.5，b=2,c=3

B、a=7,b=24,c=25

C、a=6,b=8,c=10

D、a=3,b=4,c=5

2、若△ABC中, ∠A，∠B，∠ C的对边分别为a,b,c,下列叙述不正确的是（）

A.如果∠C- ∠B= ∠A，则△ABC是直角三角形

B.如果C2=b2-a2,那么△ABC是直角三角形，且∠ C=90O

C.如果（c+a）(c-a)=b2,那么△ABC是直角三角形

D.如果∠A：∠B：∠ C=5：2：3，则△ABC是直角三角形

三、知识的应用迁移训练，学以致用

【例5】已知：如图，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，

BC=13cm，CD=12cm，且∠A=90°

（１）求ＢＤ的长；

（２）试求△ＢＣＤ的面积；

【例6】李老师设计了这样一道探究题：如图1（1），有一个圆柱，它高为12厘米，底面半径为3厘米，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A点相对的B点处的食物，则沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（π 的取值为3）．

【思考与分析】这是一道蚂蚁怎么走最近的问题，同学们可以这样思考：（1）自己做一个圆柱，尝试从A点到B点沿圆柱侧面画出几条路线，你认为哪条路线最短？

（2）如图1（2）所示，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，从A到B的最短路线是什么？你画对了吗？

（3）蚂蚁从A点，想吃到B点上的食物，

它需要爬行的最短路线是多少？

由A到B，有无数条路线，如果将圆柱侧面

从A点（蚂蚁爬行路径的起始点）垂直向上剪

开，则剪开的侧面展开图的形状是长方形.最

短路线是线段AB，因为两点之间线段最短.这

个最短距离就是AB的长.

解：圆柱的底面周长为2πr＝2×3×3＝18，

展开图中CB的长是底面周长的一半，为×18＝9，圆柱的高为12，即AC＝12，在Rt△ABC 中，根据勾股定理有：AB2＝AC2＋BC2＝92＋122，所以AB=15厘米．

变式训练如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为4的正方形，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短路径长为（）

【分析与解】求几何体表面的最短

距离，可联系我们学过的圆柱体的侧面

展开图，化“曲面”为“平面”，再寻

找解题的途径.

如上右图，可得展开图中的AB′的

长为4π÷2＝2π，B′S′的长为4÷2＝2.

在Rt△AB′S′中，根据勾股定理，

得AS′=..故选A.

(备用)课后练习：在长30cm、宽50 cm、高40 cm的木箱中，如果在

箱内的A处有一只昆虫，它要在箱壁上爬行到B处，至少要爬多远？

【反思】这个有趣的问题是勾股定理的典型应用，此问题看上去是一

个曲面上的路线问题，但实际上通过圆柱的侧面展开而转化为平面上的

路线问题，值得注意的是，在剪开圆柱侧面时，要从A点开始并垂直于

A点剪开，这样展开的侧面才是个矩形，得到直角，才能用勾股定理解

决问题．

本题的设计与应用不止如此，我们在弄清此题的基础上，就可以进一步地引导学生进行变式训练，进一步地演变成如下的问题．

本环节的设计意图是通过对两个实际问题的分析讨论,让学生理解用勾股定理解决实际问题的方法,体现化归的数学思想。

在这个环节中,我共设计了三个问题.第一个问题是通过直接运用勾股定理计算确定这个安全区域的半径来加深学生对勾股定理应用方法的理解;第二个问题是让学生先从实际问题中划归出直角三角形的模型,再由学生自己给出解答过程。既考查了学生对本节课学习内容的理解，同时也为解决第三个问题作出了准备;第三个问题的目的是要学生能理解求立体图形上两点间最短路径的方法。

这个环节的设计意图让学生尝试在曲面上寻找最短路线，把圆柱侧面展开从而转化成平面上的路线问题，利用勾股定理解决问题，培养学生的空间概念和把未知问题转化为已知问题来解决的化归思想。通过这两个变式训练，加深学生对勾股定理和转化思想的理解与运用，并通过变式2引入了分类讨论思想，培养了学生的动手操作能力。

四．总结反思拓展升华

首先鼓励学生畅所欲言的总结本节课的收获与体会；然后帮助学生自主建构知识体系；接着布置本节课的课内与课外作业。

人教版第17章《勾股定理》单元测试(含答案)

第十七章勾股定理单元测试（题数： 20 道测试时间： 45 分钟总分： 100 分）班级： _______ 姓名： ________ 得分： ________ 、单选题（每小题 3分，共 24 分） 1．在△ ABC 中， AB= 2 ，BC= 5，AC= 3，则（） A. ∠ A=90 B. ∠ B=90 C. ∠ C=90 D. ∠ A=∠B 5．如图，所有的四边形是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为 13cm ，则图中所有的正方形的面积之和为（） A. 169 cm 2 B. 196 cm 2 C. 338cm 2 D. 507 cm 2 6．如图，一只蚂蚁从棱长为 1 的正方体纸箱的 A 点沿纸箱表面爬到 B 点，那么它所爬行的最短路线的长是（） A. 2 B. 3 C. 5 D. 2 7 ．在直角三角形中，有两边分别为 3 和 4 ，则第三边是（） A. 1 B. 5 C. 7 D. 5 或 7 8．如图，正方形 ABCD 的边长为 2，其面积标记为 S 1，以 CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为 S 2， ? ，按照此规律继续下去，则 S 9 的值为（） 2．如图，在 Rt △ABC 中，∠ B ＝ 90°， BC ＝15， AC ＝17，以 AB 为直径作半圆，则此半圆的 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4．已知 VABC 中， A 1 B 1 C ，则它的三条边之比为（ 23 A. 1:1: 2 C. 1: 2: 3 D. 1:4:1

人教版八年级下册第17章勾股定理考点和答案

勾股定理考点及答案 1701 勾股定理一．选择题（共4 小题）〖案例分析〗如图，在Rt△ABC 中，∠BAC＝90°．ED 是BC 的垂直平分线，BD 平分∠ABC，AD＝〖课后巩固〗则CD 的长为（） A．6 B．5 C．4 D．3 〖课堂练习〗如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于D，若AC＝2，BC＝，则CD 为（） A．B．2 C．D．3 〖课后巩固〗如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AE 为△ABC 的角平分线，且ED⊥AB，若AC＝6，BC＝8，则BD 的长（） A．2 B．3 C．4 D．5 〖考前再练〗在Rt△ABC 中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝4，则AC 的长是（）A．3 B．4 C．3 或D．

一．解答题（共 4 小题） 1702 勾股定理的证明〖案例分析〗如图，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，正方形 IECF 中，IE ＝EC ＝CF ＝FI ＝ x （1）小明发明了求正方形边长的方法：由题意可得 BD ＝BE ＝a ﹣x ，AD ＝AF ＝b ﹣x 因为 AB ＝BD +AD ，所以 a ﹣x +b ﹣x ＝c ，解得 x ＝（2）小亮也发现了另一种求正方形边长的方法：利用 S △ABC ＝S △AIB +S △AIC +S △BIC 可以得到 x 与 a 、b 、c 的关系，请根据小亮的思路完成他的求解过程：（3）请结合小明和小亮得到的结论验证勾股定理．〖课堂练习〗阅读理解：【问题情境】教材中小明用 4 张全等的直角三角形纸片拼成图 1，利用此图，可以验证勾股定理吗？【探索新知】从面积的角度思考，不难发现：大正方形的面积＝小正方形的面积+4 个直角三角形的面积从而得数学等式：；（用含字母 a 、b 、c 的式子表示）化简证得勾股定理：a 2+b 2＝c 2 【初步运用】（1）如图 1，若 b ＝2a ，则小正方形面积：大正方形面积＝；

初中数学苏科版八年级上册《第三章勾股定理3 1 勾股定理》教材教案

3.1 勾股定理教学目标： 1．知识目标：（1）能说出勾股定理，并能应用勾股定理解决简单问题；（2）学生在经历用数格子与割补等办法探索勾股定理的过程中，发展合情合理的推理能力，体会数形结合的思想，体验从特殊到一般的逻辑推理过程。 2．能力目标在探索勾股定理的过程中，让学生经历“观察—猜想—归纳”的数学思想，并体会数形结合的数学思想方法，培养学生的观察能力、抽象概况能力、创造想象能力的能力。 3．情感目标：（1）通过实践、猜想、画图等操作使学生深刻感受数学知识的发生发展过程；（2）通过数学史上对勾股定理的介绍，激发学生学数学、爱数学、做数学的情感。使学生从经历定理探索的过程中，感受数学之美，探究之趣。教学重点：掌用面积法探索勾股定理，理解并掌握勾股定理的内容及其简单应用。教学难点：体验勾股定理的探索过程。教学方法：选择引导探索法。采用“问题情境——建立模型——解释——应用”的模式进行教学。教学准备：多媒体课件，若干张方格纸。教学过程一、创设情境导入新课 1955年希腊发行了一枚纪念邮票，邮票上的图案是根据一个著名的数学定理设计的。请观察这枚邮票上的图案和图案中各正方形内小方格的个数，你有什么发现？二、师生互动探索新知活动1：观察图形，计算正方形P 、Q 、R 的面积. 如图，小方格的面积看做1，以AC 为一边的正方形的面积是____，以BC 为一边的正方形的面积是____，以AB 为一边的正方形的面积是_____。这三个正方形的面积之间有着什么关系？ A C B 活动2：在方格纸上,任意画一个顶点都在格点上的直角三角形；并分别以这个直角三角形的各边为一边向三角形外作正方形,仿照上面的方法计算以直角边、斜边为一边的正方形的面积。你又有什么发现？活动3：通过上面三个小正方形面积的探究，你对直角三角形三边之间的数量关系有什么猜想？ P Q R

第十七章勾股定理(20201109192829)

第十七章勾股定理 17.1勾股定理第1课时勾股定理二驹学旦匣【知识与技能】了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程【过程与方法】在探索勾股定理的过程中，发展合情推理能力，体会数形结合思想，学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探究结果，体验数学思维的严谨性【情感态度】 1. 通过对勾股定理历史的了解，感受数学的文化，激发学习热情 2. 在探究活动中，体验解决问题的多样性，培养学生合作交流意识和探索精神【教学重点】探索和证明勾股定理? 【教学难点】用拼图的方法证明勾股定理? '教学里程一、情境导入，初步认识 2002年在北京召开了第24届国际数学家大会，它是最高水平的全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的“奥运会”?这就是本届大会会徽的图案（教师出示图片或照片）（1）你见过这个图案吗？（2）你听说过“勾股定理”吗？【教学说明】学生欣赏图片时，教师应对图片中的图案进行补充说明：这个图案是我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时用到的，被誉为“赵爽弦图”?通过对图片的观察，为学生积极主动投入到探索活动中创设情境，为探索勾股定理提供背景材料二、思考探究，获取新知毕达哥拉斯是古希腊著名数学家?相传在2500年前，他在朋友家做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系?请你也观察一下类似的图案（教材P22 图形），你有什么发现？【教学说明】教师与学生一道分析教材P22图17.1-2，右边的三个正方形及直角三角形是从左边的等腰三角形的图案中截取出来的，将大正方形沿对角线分成四个小直角三角形，再把

两个小正方形沿竖直对角线分成两个小直角三角形，从而可发现其中特征. 【归纳结论】等腰直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和?问题等腰直角三角形三边的关系特征是否也适用于其它的直角三角形呢？请同学们继续观察P23图17.1-3 ,运用割补法分别计算正方形A、B C和正方形A'、B'、C'的面积，看看它们之间有什么关系？【教学说明】让学生自主探究或相互交流探寻出正方形C和C'的面积，教师巡视，针对学生的认知方法引导学生选用不同的方法得出它们各自的面积?一方面，正方形C的面积为： 52-4X Z X 2 X 3=25-12=13;另一方面也有正方形C的面积为：4X ? X 2X 3+1=13,而这两种方法都可以从图中直接获得，同样可得到正方形C'的面积为34. 通过观察上述问题的探讨，若将直角三角形的两直角边记为a,b，斜边为c,则应有a2+b2=c2, 即直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方?上述结论我们都是通过特例而获得的，是否对所有的直角三角形都能成立呢？有没有办法来证明呢？做一做将一张白纸对折，再对折，然后随意画一个直角三角形，用剪刀沿画线裁出四个全等的直角三角形，在较大直角边处标记b，较短直角边处标记a，斜边标记c，然后按图示方式拼图. (1)中间小正方形边长是多少？它的面积呢？ (2)你能由大正方形的面积的两种不同计算方法探讨出三角形三边a、b、c的数量关系吗? 不妨试试看. 【教学说明】通过动手操作，可激发学生学习兴趣，并在解决问题过程中体验探究的乐趣和成功的快乐，在快乐中学习，增长知识最后师生共同探讨： 1 S大正方形=c2=4X 2 X a X b+(b-a)2=2ab+b2-2ab+a2=a2+b2. 即a2+b2=c2. 有：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方教师简要阐述：现有记载的证明勾股定理的方法多达数百种，前面我们利用的面积法证明勾股定理的方法实际上是我国古人赵爽的证法，所拼成的图案称为“赵爽弦图” 三、运用新知，深化理解

八年级数学下册第十七章勾股定理17.1勾股定理教案(新版)新人教版

勾股定理（1）知识与技能：掌握勾股定理和他的简单的应用，理解定理的一般探究方法。过程与方法：在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理的活动，让同学们经历观察、归纳、猜想和验证的数学发现过程，发展数与形结合的数学思想。情感态度与价值观：在数学活动中发现探索意识和合作交流的良好学习习惯。教学重点：经历探索和验证勾股定理的过程，会利用两边求直角三角形的另一边的长。教学难点：拼图法验证勾股定理，会利用两边求直角形另一边的长。教具准备：方格纸、4个全等的三角形，小黑板等。教与学互动设计：一、创设情境导入新课引导学生观察课本第64页的地面图形，说说你发现了什么？提问：①图中有些什么形状？ ②三个正方形之间有什么关系？ ③通过②的结论你能有什么猜想？说说看。二、实验操作探求新知 1.数格子（1）要求学生在准备好的方格纸中作一个任意的等腰直角三角形，分别以三角形的边为边向三角形的外部作正方形。观察三个正方形的面积之间有什么关系。（2）要求学生在方格纸中作一个任意的直角三角形，分别以三角形的边为边向三角形的外部作正方形。观察三个正方形的面积之间有什么关系。（3）要求学生在方格纸中作一个任意的非直角三角形，分别以三角形的边为边向三角形的外部作正方形。观察三个正方形的面积之间有什么关系。讨论、得出结论：在一个直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。 2.证明猜想。要求用四个全等到的直角三角形拼成一个以斜边为边长的正方形，推理得出 a2+b2=c2

10c 20cm 3.得出结论定理：经过证明被确认的命题叫做定理。勾股定理：在一个直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。三、应用迁移例1.求下图中的字母A ，B 所代表的正方形的面积。例2.一个文具盒的尺如图，一根长30cm 的细木棒能否放进这个文具盒，为什么？练习：填空（1）在Rt ?ABC 中，∠C=90°，a=5,b=12,则c = (2) 在Rt ?ABC 中，∠B=90°，a=3,b=4, 则c = (3) 在等腰Rt ?ABC 中，AC=BC ，∠C=90°，AC ：BC ：AB= （4）在Rt ?ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC ：AC ：AB= 探究2.

苏科初中数学八年级上册《3.0第三章勾股定理》教案 (8)

勾股定理与平方根复习（2）教学重点与难点：运用本章知识解决问题

16、三角形三边满足，则这个三角形是（） A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 直角三角形 D 等腰三角形 17、的平方根是（） A B 36 C ±6 D 18、下列命题正确的个数有：（3）无限小数都是无理数（4）有限小数都是有理数（5）实数分为正实数和负实数两类（） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 19、是的平方根，是64的立方根，则（） A 3 B 7 C 3，7 D 1，7 20、直角三角形边长度为5，12，则斜边上的高（） A 6 B 8 C D 21、直角三角形边长为，斜边上高为，则下列各式总能成立的是（） A B C D 22、如图一直角三角形纸片，两直角边，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD c b a ,,ab c b a 2)(2 2+=+2 )6(-6-6± a a a a ==2 33 )2(,)1(x 2 )9(-y = +y x 13 1813 60b a ,h 2 h ab =2 222h b a =+h b a 111=+2 221 11h b a =+cm BC cm AC 8,6==A E B D C 第22题图

等于（） A B C D 三、计算题 23、求下列各式中的值 24、已知，求的平方根和算术平方根．作图题 25、在数轴上画出的点。 26、下图的正方形网格，每个正方形顶点叫格点，请在图中画一个面积为10的正方形．五、解答题 27、如图：一块草坪的形状为四边形ABCD ，其中∠B=90°,AB=3m,BC=4m,CD=12m, 求这块草坪的面积. 28、如图所示，在边长为的正方形中，有四个斜边为，直角边为的全等直角三角形，你能利用这个图说明勾股定理吗？写出理由． 29、如图所示，15只空油桶（每只油桶底面直径均为）堆在一起，要给它盖一个遮雨棚，遮雨棚起码要多高？（结果保留一位小数） cm 2cm 3cm 4cm 5x 04916)1(2=-x 25)1)(2(2=-x 27)3()4(3=--x 549)52(2-=-549-8-c c b a ,cm 60D A C B -3 -2 -1 0 1 2 4 3 - 4 第25题图第26题图第28题图第29题图

第十七章勾股定理复习教案

第十七章勾股定理教学目标： 1.会用勾股定理解决简单问题。 2.会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。 3.会用勾股定理解决综合问题和实际问题。教学重点：回顾并思考勾股定理及逆定理教学难点：勾股定理及逆定理在生活中的广泛应用。教学过程：一、出示目标 1.会用勾股定理解决简单问题。 2.会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。 3.会用勾股定理解决综合问题和实际问题。二、知识结构图三、知识点回顾 1.勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：（1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系。求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题（4）勾股定理的直接作用是知道直角三角形任意两边的长度，求第三边的长．这里一定要注意找准斜边、直角边；二要熟悉公式的变形： 22222222,,b a c a c b b c a +=-=-=,2222,a c b b c a -=-=．

勾股定理的探索与验证，一般采用“构造法”．通过构造几何图形，并计算图形面积得出一个等式，从而得出或验证勾股定理． 2.如何判定一个三角形是直角三角形（1）先确定最大边（如c ）（2）验证2c 与22b a +是否具有相等关系（3）若2c =22b a +，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形；若 2c ≠22b a +，则△ABC 不是直角三角形。 3、三角形的三边分别为a 、b 、c ，其中c 为最大边，若2 22c b a =+，则三角形是直角三角形；若222c b a >+，则三角形是锐角三角形；若2 <+c b a 22，则三角形是钝角三角形．所以使用勾股定理的逆定理时首先要确定三角形的最大边 4、勾股数满足22b a +=2c 的三个正整数，称为勾股数如（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）6，8，10；（4）8，15，17 （5）7，24，25 （6）9, 40, 41 四、典型例题分析例1：如果一个直角三角形的两条边长分别是6cm 和8cm ，那么这个三角形的周长和面积分别是多少? 分析：这里知道了直角三角形的两条边的长度，应用勾股定理可求出第三条边的长度，再求周长．但题中未指明已知的两条边是_________还是_______，因此要分两种情况讨论．例2：如图19—11是一只圆柱形的封闭易拉罐，它的底面半径为4cm ，高为15cm ，问易拉罐内可放的搅拌棒(直线型)最长可以是多长?

人教版八年级下册数学17.3 勾股定理复习教案

第17章勾股定理教学目标 1.理解勾股定理的内容，已知直角三角形的两边，会运用勾股定理求第三边. 2.勾股定理的应用. 3.会运用勾股定理的逆定理，判断直角三角形. 重点：掌握勾股定理及其逆定理. 难点：理解勾股定理及其逆定理的应用. 教学过程一.复习回顾在本章中，我们探索了直角三角形的三边关系，并在此基础上得到了勾股定理，并学习了如何利用拼图验证勾股定理，介绍了勾股定理的用途；本章后半部分学习了勾股定理的逆定理以及它的应用．其知识结构如下： 1.勾股定理： (1)直角三角形两直角边的______和等于_______的平方．就是说，对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么一定有：————————————.这就是勾股定理． (2)勾股定理揭示了直角三角形___之间的数量关系，是解决有关线段计算问题的重要依据． 22222222,,b a c a c b b c a +=-=-=,2222,a c b b c a -=-=． 2.勾股定理逆定理 “若三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为________.”这一命题是勾股定理的逆定理.它可以帮助我们判断三角形的形状.为根据边的关系解决角的有关问题提供了新的方法.定理的证明采用了构造法.利用已知三角形的边a,b,c(a 2+b 2=c 2)，先构造一个直角边为a,b 的直角三角形，由勾股定理证明第三

边为c,进而通过“SSS”证明两个三角形全等，证明定理成立. 3.勾股定理的作用： (1）已知直角三角形的两边，求第三边； (2）在数轴上作出表示n （n 为正整数）的点．勾股定理的逆定理是用来判定一个三角形是否是直角三角形的.勾股定理的逆定理也可用来证明两直线是否垂直,勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，它不仅可以判定三角形是否为直角三角形，还可以判定哪一个角是直角，从而产生了证明两直线互相垂直的新方法：利用勾股定理的逆定理，通过计算来证明，体现了数形结合的思想． (3)三角形的三边分别为a 、b 、c ，其中c 为最大边，若222c b a =+，则三角形是直角三角形；若222c b a >+，则三角形是锐角三角形；若2<+c b a 22，则三角形是钝角三角形．所以使用勾股定理的逆定理时首先要确定三角形的最大边．二.课堂展示例1：如果一个直角三角形的两条边长分别是6cm 和8cm ，那么这个三角形的周长和面积分别是多少? 例2：如图，在四边形ABCD 中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD ⊥BD ．三.随堂练习 1.如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是( ) A ．7，24，25 B ．321，421，521 C ．3，4，5 D ．4，721，82 1 2.如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( ) A ．1倍 B ．2倍 C ．3倍 D ．4倍

第十七章-勾股定理第一节《勾股定理(3)》教学设计

17.1 勾股定理（3）一、教学目标知识与技能 1．利用勾股定理，能在数轴上找到表示无理数的点． 2．进一步学习将实际问题转化为直角三角形的数学模型，?并能用勾股定理解决简单的实际问题．过程与方法 1．经历在数轴上寻找表示地理数的总的过程，?发展学生灵活勾股定理解决问题的能力． 2．在用勾股定理解决实际问题的过程中，体验解决问题的策略，?发展学生的动手操作能力和创新精神． 3．在解决实际问题的过程中，学会与人合作，?并能与他人交流思维过程和结果，形成反思的意识．情感、态度与价值观 1．在用勾股定理寻找数轴上表示无理数点的过程中，?体验勾股定理的重要作用，并从中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．2．在解决实际问题的过程中，?形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯．二、教学重、难点重点：……这样的表示无理数的点．难点利用勾股定理寻找直角三角形中长度为无理数的线段．三、教学准备多媒体课件四、教学方法分组讨论，讲练结合五、教学过程 (一)复习回顾，引入新课复习勾股定理的内容。本节课探究勾股定理的综合应用。

思考：在八年级上册中我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？先画出图形，再写出已知、求证. 探究：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在设计意图：上一节，我们利用勾股定理可以解决生活中的不少问题．在初一时我们 ……这样的无理 ……可以当直角三用．师生行为：学生小组交流讨论 ……这样的包含在直角三角形中的线段．此活动，教师应重点关注： ②学生是否有克服困难的勇气和坚强的意志； ③学生能否积极主动地交流合作．师：所以只需画出长 1的直角三角形的斜边．生：设两直角边为a，b，根据勾股定理a2+b2=c2即a2+b2=13．若

第十七章《勾股定理》教材分析及教学建议

第十七章《勾股定理》教材分析及教学建议本章主要内容是勾股定理及其逆定理。首先让学生通过观察得出直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的结论并加以证明，从而得到勾股定理，然后运用勾股定理解决问题。在此基础上，引入勾股定理的逆定理，并结合此项内容介绍逆命题、逆定理的概念。本章教学时间约需8课时，具体安排如下： 18．1 勾股定理 4 课时 18．2 勾股定理的逆定理 3课时数学活动小结 1课时一、教科书内容和课程学习目标本章知识结构框图：直角三角形是一种特殊的三角形，它有许多重要的性质，如两个锐角互余，30°的角所对的直角边等于斜边的一半。本章所研究的勾股定理，也是直角三角形的性质，而且是一条非常重要的性质。

勾股定理是几何中几个最重要的定理之一，它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系，它可以解决许多直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要依据之一，在生产生活实际中用途很大。它不仅在数学中，而且在其他自然科学中也被广泛地应用。目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。据说我国著名数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种“语言”的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义，发现勾股定理，尤其在2000多年前，是非常了不起的成就。在第一节中，教科书让学生通过观察计算一些直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积与以斜边为边长的正方形的面积的关系，发现两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积，从而发现勾股定理。勾股定理的证明方法很多，教科书正文中介绍的是一种面积证法。其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。在教科书中，图－3（1）中的图形经过割补拼接后得到图－3（3）中的图形。由此就证明了勾股定理。通过推理证实命题1的正确性后，教科书顺势指出什么是定理。由勾股定理可知，已知两条直角边的长a,b，就可以求出斜边c的长。由勾股定理可得或，由此可知，已知斜边与一条直角边的长，就可以求出另一条直角边的长。也就是说，在直角三角形中，已知两条边的长，就可以求出第三条边的长。教科书相应安排了三个探究栏目，让学生运用勾股定理解决问题。在第二节中，教科书让学生画出一些两边的平方和等于第三边的平方的三角形，可以发现画出的三角形是直角三角形。从而猜想如果三角形的三边满足两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。这个猜想可以利用全等三角形证明，得到勾股定理的逆定理。勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法。教科书安排了两个例题，让学生学会运用这种方法。这种方法与前面学过的一些判定方法不同，它通过代数运算“算”出来。实际上利用计算证明几何问题学生已经见过，计算在几何里也是很重要的。从

人教版勾股定理教案

§ 17. 1勾股定理一、教学目标 1?了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。 2 .培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。 3 ?介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。二、重点、难点 1?重点：勾股定理的内容及证明。 2?难点：勾股定理的证明。三、过程探究活动一：画一个直角边为3cm和4cm的直角△ ABC ,用刻度尺量出AB的长。你发现了什么？你是否发现32+42与52的关系？对于任意的直角三角形也有这个性质吗？探究活动二：探究等腰直角三角形的情况观察下图并填写：（图中每个小方格代表一个单位面积）思考：（1）你发现了三个正方形I、u、川的面积之间有什么关系吗? （2）你发现了等腰直角三角形三边长度之间存在什么关系吗?

正方形I 的面积（单位面积）正方形U 的面积（单位面积）正方形川的面积（单位面积）较大的图较小的图证一证命题1的证明方法有多种方法一：我国古人赵爽的证法，利用“赵爽弦图”证明 .（图一）大正方形的面积可以表示为 __________________ 还可以表示为 __________________ 结论： ______________________ 方法二：大正方形的面积可以表示为 _______________ 还可以表示为 __________________ 结论： ______________________ 探究活动三：由上面你得到的结论，我们自然联想到：一般的直角三角形是否也具有该性质呢？观察下图并填写：（图中每个小方格代表一个单位面积）（2）你发现了一般直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？由上面的例子，我们猜想：命题1 : 如果直角三角形的两直角边长分别为 a ，b ，斜边长为C ，那么 a 2+b 2=c 2

第十七章：勾股定理知识点归纳

第十七章：勾股定理知识点归纳 1.勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为口，由，斜边为C，那么 X 十变形公式C= a2b2，b= c2b2,a=.c2a2 2?勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理. 3?勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 4?勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边。在3C 中a = 则c= a2b2, b= c2b2, a=、c2a2,②已知直角三角形一边，另外两边之间的数量关系利用勾股定理：a2 b2c2，列方程求解。 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 5.勾股定理的逆定理 2.2 2 如果三角形三边长a, b , c满足a b c ,那么这个三角形是直角三角形，

最长边所对的角等于90 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一

第十七章：勾股定理知识点归纳种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方较，若它们相等时，以，，为三边的三角形是直角三角形；时，以，，为三边的三角形是钝角三角形；若，时，以为三边的三角形是锐角三角形；作比若，

新人教版八年级下册数学第十七章勾股定理教案

八年级下册数学第十七章勾股定理集体备课（教案） 17．1 勾股定理（一）一、教学目标 1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。 2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。 3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。二、教学重点、难点 1．重点：勾股定理的内容及证明。 2．难点：勾股定理的证明。三、课堂引入目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义。尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。让学生画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，用刻度尺量出AB 的长。以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。再画一个两直角边为5和12的直角△ABC ，用刻度尺量AB 的长。你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42=52，52+122=132，那么就有勾2+股2=弦2。对于任意的直角三角形也有这个性质吗命题1：如果直角三角形的两直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么。四、合作探究：方法1：已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。求证：a 2＋b 2=c 2。分析：⑴让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。 ⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S △+S 小正=S 大正 A B

人教初中数学第十七章勾股定理知识点

人教版初中数学第十七章勾股定理知识点

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第十七章勾股定理 17.1 勾股定理 1、勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么222a b c +＝勾股定理的证明：方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，221 4()2 ab b a c ?+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221 422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ ∴222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，211 2S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证 17.2 勾股定理的逆定理 2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足222a b c +＝，那么这个三角形是直角三角形. 3、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题. 4、勾股数：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称 a ， b ， c 为一组勾股数常见的勾股数有：3、4、5；6、8、10；5、12、13；7、24、25等 b a c b a c c a b c a b c b a H G F E D C B A a b c c b a E D C B A

七年级数学上册第三章勾股定理教案鲁教版五四制

勾股定理教学目标 (1)知识目标：①知道勾股定理是怎样验证出来的． ②了解勾股定理的历史背景． (2)能力目标：①经历探索勾股定理的过程，发展合情推理能力，培养学生主动探索的学习热情． ②理解并掌握勾股定理，用它解决简单的问题． (3)情感目标：①发展学生的个性，培养他们学习的养成教育，善于独立思考，敢于克服困难和创新精神． ②培养学生的民族自豪感，激励学生的爱国热情．教学重点掌握勾股定理，并能利用它解决有关数学问题．教学难点利用勾股定理解决实际问题教学过程（一）知识点回顾（二）基础知识例1．小明家要建房子，已知房屋的俯视图为一个三角形，如图所示，经测量∠A＝90°，AB＝24米，AC ＝7米，为了进行成本预算，需要计算三角形的周长，如果不利用测量的方法，同学们能求出BC边的长吗？例2．五年后，小明家经济富裕起来了，决定以旧屋的三边为长分别规划三个正方形地块，用作车库、花园、新屋的建设用地，如图所示，请问三块建设用地的总面积是多少？例3．小明周末到小张家玩，发现两家的房屋设计相同，如图所示，小张告诉小明，住房、花园、车库都是正方形形状，其中住房面积为225平方米，花园面积为144平方米，车库面积为81平方米，请问：你能判断△ABC的形状吗？例4．小张的爸爸在一旁听着两个小孩的讨论，不禁插上一句:如果不知道车库、花园、住房的面积，只知道△ABC三边a、b、c满足条件，你们能判断△ABC的形状吗？

（三）综合应用例5．有一天，小明的爸爸告诉小明，我们家打算把旧屋拆掉，做重新的设计，需要了解墙角A处到围墙BC处的最短距离AD．你有什么好的方法来解决吗？思考：如图所示，在△ABC中，已知AB＝10，AC＝17，BC＝21，求BC边上的高AD．知识延伸：在△ABC中，AB=15，AC=20，BC边上的高AD=12，求BC的长．（四）走进生活例6．据气象台预报，台风“桑美”即将登陆小明家所在的城市，经测得台风中心在小明家的正西方向40千米处，现正以30千米/小时的速度向东北方向移动，距台风中心30千米的范围内将受到影响，问小明家是否受到台风影响？如果会受影响，那么受影响的时间有多长？（五）课堂练习例7．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，将△ABC沿直线AD折叠，使点C恰好落在AB边上的C'处，求CD的长．【课堂小结】本节课以小明家的房屋设计为线索，利用勾股定理和勾股定理逆定理解决实际问题．

第十七章勾股定理

第十七章勾股定理一、选择题（共18小题；共90分） 1. 若直角三角形的三边长分别为，，，则的可能值有 ( ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 三角形的三边长，，满足，则此三角形是 ( ) A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 3. 已知的三边长分别为，，，则的面积为 ( ) A. B. C. D. 不能确定 4. 设，是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为，斜边长为，则的值是 ( ) A. B. C. D. 5. 下列各组数中是勾股数的是 ( ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 6. 如果将长为，宽为的长方形纸片折叠一次，那么这条折痕的长不可能是 ( ) A. B. C. D. 7. 中，，，高，则的长为 ( ) A. B. C. 或 D. 以上都不对 8. 三角形的三边长分别为（是自然数），这样的三角形是 ( ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 锐角三角形或直角三角形 9. 下列各组正数为边长，能组成直角三角形的是 ( ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 10. 如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点落在直角边的延长线上的点处，折痕为，则的长为 A. B. C. D. 11. 已知，，是的三边长，且满足，则的形状是 ( ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形

12. 如图，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的原点为旋转中心，将过原点的对角线顺时针旋转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的点处，则点表示的数是 A. B. C. D. 13. 如图，在矩形中，，，对角线的垂直平分线分别交，于点，，连接，则的长为 A. B. C. D. 14. 如图是一个的正方形网格，每个小正方形的顶点都是格点，的顶点都是图中的格点，其中点、点的位置如图所示，则点可能的位置共有 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 15. 2002 年8 月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示)，如果大正方形的面积是，小正方形的面积是，直角三角形的短直角边为，较长直角边为，那么的值为 A. B. C. D. 16. 小丽和小芳二人同时从公园去图书馆，都是每分钟走米，小丽走直线用了分钟，小芳先去家拿了钱去图书馆，小芳到家用了分钟，从家到图书馆用了分钟，则以公园、图书馆和小芳家这三个地方为顶点所组成三角形为 ( ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 17. 已知的三边为、、，且，，，则是 ( ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形

第十七章勾股定理小结教案

勾股定理复习小结一、二. 1、勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：（1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系。求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2、如何判定一个三角形是直角三角形（1）先确定最大边（如c ）（2）验证2c 与22b a +是否具有相等关系（3）若2c =22b a +，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形；若2c ≠22b a + 则△ABC 不是直角三角形。 3、勾股数满足22b a +=2c 的三个正整数，称为勾股数如（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）6，8，10；（4）8，15，17 （5）7，24，25 （6）9, 40, 41 二、练习题 1．一个直角三角形，有两边长分别为6和8，下列说法中正确的是（） A. 第三边一定为10 B.三角形的周长为24 C.三角形的面积为24 D.第三边有可能为10 2．已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（） A 、25 B 、14 C 、7 D 、7或25 3．下列各组数中，以a ，b ，c 为边的三角形不是Rt △的是（） A 、a=1.5，b=2, c=3 B 、a=7,b=24,c=25 C 、a=6, b=8, c=10 D 、a=3,b=4,c=5 3．三角形的三边长为（a+b ）2=c 2+2ab,则这个三角形是( ) A. 等边三角形; B. 钝角三角形; C. 直角三角形; D. 锐角三角形. 4、一个三角形的三边的长分别是3，4，5，则这个三角形最长边上的高是( ) A ．4 B ．310 C.25 D ．5 12 5．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，若a+b=14cm ，c=10cm ，则Rt △ABC 的面积是（） A 、24cm 2 B 、36cm 2 C 、48cm 2 D 、60cm 2

勾股定理全章教案

17.1勾股定理（1）一、教学目标： 1．体验勾股定理的探索过程，了解利用拼图验证勾股定理的方法，掌握勾股定理并会用它解决身边与实际生活相关的数学问题。 2．在学生经历观察、归纳、猜想、探索勾股定理过程中，发展合情推理能力，体会数形结合思想，并在探索过程中，发展学生的归纳、概括能力。 3．通过探索直角三角形的三边之间关系，培养学生积极参与、合作交流的意识，体验获得成功的喜悦，通过介绍勾股定理在中国古代的研究情况，提高学生民族自豪感，激发学生热爱祖国、奋发学习的热情。二、教学重点、难点：重点：探索和验证勾股定理过程；难点：通过面积计算探索勾股定理。三、教学方法及教学手段：采用探究发现式的教学方法，通过计算面积为学生设计一个数学实验的平台，结合多媒体课件的演示，培养学生动手实践能力和合作交流的意识。四、教学过程： 1．创设情境，导入课题多媒体演示勾股树图片，激发学生求知欲，成功导入本节课题。 2．自主探索，合作交流活动一：动脑想一想小明用一边长为cm 1的正方形纸片，沿对角线折叠，你知道折痕有多长吗？①这个问题你是怎样想的？请说出你的想法。②若把折叠后的直角三角形纸片放在如图所示的格点图中（每个小正方形边长为cm 1），你能知道斜边的长吗？ ③观察图形，并填空： ⑴正方形P 的面积为 2 cm ，正方形Q 的面积为 2cm ，正方形R 的面积为 2 cm 。 ⑵你能发现图中正方形P 、Q 、R 的面积之间有什么关系？从中你发现了什么？活动二：动手做一做其它一般的直角三角形，是否也有类似的性质呢？（你打算用什么方法来研究？共同讨论方法后再确立研究方向）（图中每一小方格表示2 1cm ）

第17章 勾股定理的复习课教案