微积分(人大简明版本科5,第三版)
中国人民大学出版社第四版高等数学一第6章课后习题详解
高等数学一第6章课后习题详解 课后习题全解 习题6-2 ★ 1．求由曲线 x y =与直线 x y =所围图形的面积。 知识点：平面图形的面积 思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解： 见图6-2-1 ∵所围区域D 表达为X-型：?? ?<<< ∵所围区域D 表达为X-型：?????<<< <1 sin 2 0y x x π， （或D 表达为Y-型：???<<< ∴所围区域D 表达为Y-型：?? ?-<<<<-2 2 422y x y y ， ∴23 16 )32 4()4(2 2 32 222= -=--=- - ? y y dy y y S D （由于图形关于X 轴对称，所以也可以解为： 2316 )324(2)4(22 32 22=-=--=? y y dy y y S D ） ★★4．求由曲线 2x y =、24x y =、及直线1=y 所围图形的面积 知识点：平面图形面积 思路：所围图形关于Y 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单 解：见图6-2-4 ∵第一象限所围区域1D 表达为Y-型：? ??<<< 第三章 消费者选择 第一部分 教材配套习题本习题详解 １．已知一件衬衫的价格为８０元，一份肯德基快餐的价格为２０元，在某消费者关于这两种商品的效用最大化的均衡点上，一份肯德基快餐去替代衬衫的边际替代率ＭＲＳ是多少？ 解答：用 Ｘ 表示肯德基快餐的份数；Ｙ 表示衬衫的件数；ＭＲＳＸＹ 表示在 维持效用水平不变的前提下，消费者增加一份肯德基快餐消费时所需要放弃的衬衫的消费数量。在该消费者实现关于这两种商品的效用最大化时，在均衡点上有边际替代率等于价格比，则有： 201 804 X XY Y P Y MRS X P ?=- ===? 它表明，在效用最大化的均衡点上，该消费者关于一份肯德基快餐对衬衫 的边际替代率ＭＲＳ为0.25。 ２．假设某消费者的均衡如图３—2１所示。其中，横轴ＯＸ１和纵轴ＯＸ２分别表示商品１和商品２的数量，线段ＡＢ为消费者的预算线，曲线Ｕ 为消费者的无差异曲线，Ｅ点为效用最大化的均衡点。已知商品１的价格Ｐ１＝２元。求: （１）求消费者的收入； （２）求商品２的价格Ｐ２； （３）写出预算线方程； （４）求预算线的斜率； （５）求Ｅ点的ＭＲＳ1２的值。 图３—2１ 某消费者的均衡 解答：（１）横轴截距表示消费者的收入全部购买商品１的数量为３０单位，且已知Ｐ１ ＝２元，所以，消费者的收入 Ｍ＝２×３０＝６０元。 （２）图３—１中纵轴截距表示消费者的收入全部购买商品２的数量为２０单位， 且由（１）已知收入 Ｍ＝６０元，所以，商品２的价格P 2＝M 20＝60 20 ＝3（元）。 （３）由于预算线方程的一般形式为 P 1X 1＋P 2X 2＝M,所以本题预算线方程具体写 为：2X 1＋3X 2＝60。 （４）(4)将(3)中的预算线方程进一步整理为X 2＝－2 3 X 1＋20。所以，预算线的斜 率为－2 3 。 (5)在消费者效用最大化的均衡点E 上，有211212 X P MRS X P ?=- =?，即无差异曲线斜率的绝对值即MRS 等于预算线斜率的绝对值P 1P 2。因此，MRS 12＝P 1P 2＝2 3 。 3．对消费者实行补助有两种方法：一种是发给消费者一定数量的实物补助，另一种是发给消费者一笔现金补助，这笔现金额等于按实物补助折算的货币量。试用无差异曲线分析法，说明哪一种补助方法能给消费者带来更大的效用。 解答：一般说来，发给消费者现金补助会使消费者获得更大的效用。其原因在于：在现金补助的情况下，消费者可以按照自己的偏好来购买商品，以获得尽可能大的效用。如 图３—３所示。 第四章习题解答 习题4.1(A) 1、验证下列各函数在所给区间上是否满足罗尔定理.如果满足，试求出定理中的ξ: (1) 3 (),[1,1]=-∈-f x x x x ； (2) ,01()0,1 ≤ 习题1-6 1(1)错.无穷小是趋向于0，非常小是趋向于负无穷 (2)对 (3)对 (4)错.，趋向于无穷大，则，设x x g x f x x g x x f ===)() (1)(1)(2 (5)错.，趋向于无穷小，则，设0)()()()(=+-==x g x f x x g x x f 2(1)无穷小 (2)无穷小 (3)无穷大 3，所以对任意给定的0,0-1 sin >≤εx x x 时为无穷小为，即故时，就有则当，，要取要使01sin 01sin lim 0-1sin 00-1sin 0→==<<<=<→x x x y x x x x x x x x εδεδε 4(1)3)23(lim 23lim =+=+∞→∞→x x x x x (2)2)2(lim 24lim 02 0=+=--→→x x x x x (3)∞→→→→x x x x cos -110cos -11cos 0，，时，当 5存在极限，1lim lim 0 /1==∞→∞→e e x x x 不存在极限，+∞==∞ →→e e x x x 0/10lim lim 6是有界函数，则假设x x y cos = ()，所以函数不是无穷大此时的情况，时，存在当内无界， 在故函数所以假设不成立， ，，使得显然不存在，00cos -cos cos cos ==∞→∞+∞=≤≤∴≤≤y x x x x y M x M M x x x x M x x 7是有界量，时，)(0x g x x → 是无穷大 即，则，时，恒有使得当，内无限增大，则存在在假设是无穷大，时，时，恒有使得当，内有界，则存在在假设)()(0)()(.)(000)()(.)(000)(222202*********x g x f M M x g x f M x f x x M x x x g x f x x M x g x x M x x x g ±=±≥±≥<-<><-<→≤<-<><-<δδδδ 8，内无限增大，则存在在假设’00)(0><- 第一章函数、极限与连续 内容概要 课后习题全解 习题1-1 ★1．求下列函数的定义域： 思路：常见的表达式有 ① a log □,（ □0>） ② /N □, （ □0≠） ③ ( 0)≥ ④ arcsin （ []1,1-∈）等 解：（1）[)(]1,00,11 10010112 2 ?-∈????≤≤-≠????≥-≠?--=x x x x x x x y ； （2） 3112 1 121arcsin ≤≤-?≤-≤-?-=x x x y ； （3） ()()3,00,030031 arctan 3?∞-∈?? ??≠≤????≠≥-?+-=x x x x x x x y ； （4） ()()3,11,1,,13 10301lg 3?-∞-∈????-<<=， 虽然作用法则相同x x lg 2lg 2=，但显然两者定义域不同，故不是同一函数； （2） 12+=x y ，以x 为自变量，显然定义域为实数R ； 12+=y x ，以x 为自变量，显然定义域也为实数R ；两者作用法则相同“2□1+” 与自变量用何记号表示无关，故两者为同一函数； ★ 3．设??? ??? ? ≥<=3,03 ,sin )(ππ?x x x x ，求)2()4 ()4()6( --?π ?π?π ?，，，，并做出函数 )(x y ?=的图形 习题1-5 1、不是。 11)()(11)()(1)()(，存在极限 始终等于则，，则，假设x g x f n n x g x f n x g n x f =?=?== 2、，即欲使001 .04<-y 0.00020002.05 001.02001.025224422,001.04422==<-∴<-<+-=-→+∴→<-=-ε，即即， x x x x x x x x y 3、11 12+=--=x x x y 0.55.012-12=∴<-=+=-ε， x x y 4、（1），，要使，所以，对任意给定的εε<-+>=-+3 23320132332x x x x x 32332lim 3 233210=+<-+<< =+∞→x x x x x x 故时，就有，则当只要取εδεδ （2），，要使 ，所以，对任意给定的εε<->≤-0sin 01 0sin x x x x x 0sin lim 0sin 1 0=<-<<=+∞→x x x x x x 故时，就有，则当只要取ε δεδ （3），，要使，所以，对任意给定的εε<-->--=--11 10111111x x x 11 1lim 11 11110=-<--<-- <=+∞→x x x x 故时，就有，则当只要取εδεδ （4），，要使，所以，对任意给定的εε<--->-=---21011212222x x x x x x x 2 1lim 211102222=--<---<-<=+∞→x x x x x x x x 故时，就有，则当只要取εδεδ 5、极限不存在 不存在二者不相等，故，而且，且，则，取’’’’’x x x x x x x x x x x x n n n n n n n n n n 0x n n n n n n lim -1.n 1-n 1-lim lim 1n 1n 1lim lim 00lim 00lim }n 1{-}{}n 1{}{→∞→∞→∞→∞→∞ →∞→====≠=≠=== 6、a x f x x =→)(lim 0 假设 有界，即有时，，属于，当任意则有：存在， ，再取，，的某个领域属于即为而即，时，有，使当存在， 的正数根据定义，对任意给定)()()(0}max{)(. )()(000000x f M x f x U x a a M x U x x x x a x f a a x f x x <>+-=<-+<<-<-<->δδεεδδεεεδδε 一． 一． 单项选择题（每小题3分,共45分） 1．若级数∑∞ =1 n n u 发散，则∑∞ =1 n n au ()0≠a （① ） ① 一定发散 ② 可能收收敛，也可能发散 ③ a ＞0时收敛，a ＜0 发散 ④a ＞0时收敛，a ＜0 时发散。 2．级数∑∞ =1n n u 收敛的充要条件是（ ③ ） ①0lim =∞→u n n ② 11lim r u u n n n =+∞ → ③ s n n lim ∞→存在 ④ n u n 2 1 ≤ 3.利用级数收敛时其一般项必须趋于零的性质,指出下列哪个级数一定发散.( ④ ) ① ∑∞ =13s i n n n π ② ∑∞ =1 3 2sin n n n ③ ∑∞ =1 2 1a r c t a n n n ④ () +++-+--+n n n 13423111 4. 0lim =∞→u n n ,则级数∑∞ =1 n n u ( ③ ) ① 一定收敛 ② 一定发散 ③ 可能收敛,可能发散 ④ 一定条件收敛 5.在下列级数中,发散的是( ③ ) ① ∑ ∞ =13 1 n n ② ++++16 1 814121 ③ +++3001.0001.0001.0 ④ -+-+-535353535 4 3 2 53 6.下列级数中收敛的是( ④ ) ① ∑ ∞ =+1 1 21 n n ② ∑∞ =+1 13n n n ③ ∑ ∞ =1 100 n q ④ ∑∞=-1 ` 13 2n n n 7. 下列级数中,收敛的是(① ) ① ∑∞ =-1521n n ② ∑∞=11 s i n n n ③ ∑∞=11s i n n n ④ ∑?? ? ??∞ =1 35n n 8. 下列级数中,发散的级数的是( ① ) ① ∑∞ =1 2sin n n π ② () n n n 1 1 1 1∑-∞=- ③ ∑??? ??∞ =1 43n n ④ ∑?? ? ??∞ =1 3 1n n 9.级数∑ ∞ =+1 1 1 n p n 发散,则有( ① ) ① p ≤0 ② p ＞0 ③p ≤1 ④ p ＜1 10. 级数∑∞ =1 n n u 收敛(u n ＞0)则下列级数中收敛的是( ③ ) ①)1001 (∑∞=+n n u ② )1001 (∑∞=-n n u ③∑∞ =1 100n n u ④∑ ∞ =++11100 n n n u u 11.在下列级数中,条件收敛的是( ② ) ①() ∑-∞=+1 1 1n n n n ② () n n n 11 1∑-∞= ③ () n n n 2 1 1 1∑-∞= ④() () 11 1 1+∑-∞=n n n n 12. 在下列级数中,绝对收敛的是( ③ ) ①∑ ∞ =+11 21 n n ② ()?? ? ??∑-∞ =2311n n n ③ ()n n n 3 1 1 1 1∑-∞ =- ④()n n n n `11 1-∑-∞ = 13. 级数x n n n n ∑∞ =+12 2的收敛半径R 是( ③ ) ① 1 ② 2 ③ 2 1 ④ ∞ 14. 级数x n n n n ∑∞ =+13 3的收敛半径R 是( ③ ) 第一章市场经济下的政府与财政 一,单选 1,现代经济是以市场为基础运行的社会再生产过程,因而被称之为(C) A 市场过程 B 现代生产 C 市场经济 D 社会经济 2,某一个体单位从事其经济活动对其他个体单位产生了有利或不利的影响是指(A) A 外部效应 B 外部作用 C 经济作用 D 经济活动 3,三元经济系统指:家庭,政府和(B) A 要素市场 B 企业 C 商品市场 D 社会 4,用来满足社会共同需要的产品和服务称为(B) A 公共商品 B 公共产品 C 公共服务 D 社会产品 5,收入分配的主体是(D) A 社会 B 银行 C 税收 D 政府 二,多选: 1,政府的经济作用表现在(ABD) A 融入并影响现代经济的运行过程 B 利用国家权力干预经济运 C 强制干预微观经济立体的活动 D 实施宏观调控 2,导致政府失灵的原因有(ACD) A 内部性 B 外部性 C 垄断性 D 政治性 3,公共产品特征(BC) A 非盈利性 B 非排他性 C 非竞争性 D 非垄断性 4,财政的要素(ABCD) A 财政分配的主体是国家 B 财政分配的客体是一部分国民收入 C 财政分配形式是实物形式,力役形式,价值形式 D 财政分配的目的是满足国家实现其职能的需要 5,公共财政的特征(ABCD) A 公共性 B 非盈利性 C 法治性 D 民主性 6,完全竞争市场的条件是(ABCD) A 在市场上有众多的买者和卖者 B 各种资源都能够自由地通过市场转移 C 生产者和消费者具有完全信息 D 生产者所提供的同种产品是同质的 财政职能 一,单选题 1,财政职能以政府与(B)的关系为基本立足点. A 居民 B 市场 C 社会 D 税收 2,判断资源配置优劣的标准是(C) A 福利最大化 B 利润最大化 C 帕累托最优 D GDP最大化 3,可就业人口的就业率达到了一个很高的比例是指(D) A 低失业 B 高就业 C 消灭失业 D 充分就业 4,提高财政配置工具的使用效率主要方法是(C) A 降低政府开支 B 提高经济建设资金 C 降低税收成本 D 加快资金循环 二,多选题 1,市场失灵可以分为(ABC) A 市场在资源配置方面的失灵 B 市场在收入分配方面的失灵 C 市场在监督方面的失灵 D 市场在宏观方面的失灵 第9章课后习题详解 重积分 内容概要 课后习题全解 习题9-1 ★1.设有一平面薄板（不计其厚度），占有xOy 面上的闭区域D ，薄板上分布着面密度为) ,(y x μμ=的电荷，且),(y x μ在D 上连续，试用二重积分表达该板上的全部电荷Q . 解：将D 任意分割成n 个小区域{}i σ?，在第i 个小区域上任取一点),(i i ηξ，由于),(y x μ在D 上连 续和i σ?很小，所以用),(i i ηξμ作为i σ?上各点函数值的近似值，则i σ?上的电荷 i i i i Q σηξμ?≈?),( 从而该板上的全部电荷 ??∑=?==→D n i i i i d y x Q σ μσηξμλ),(),(lim 1 其中λ是各i σ?中的最大直径。 ★★2.利用二重积分定义证明： （1）σσ=??D d （σ为区域D 的面积） ； （2）????=D D d y x f k d y x kf σσ),(),(（其中k 为常数） ； （3） ??????+=2 1 ),(),(),(D D D d y x f d y x f d y x f σσσ， 其中21D D D =, 21,D D 为两个无公共内点的闭区域。 证明：（1）这里，被积函数1),(≡y x f ，由二重积分的定义，对任意分割和取点法， =???D d σ1∑∑=→=→??=?n i i n i i i i f 1 1 1lim ),(lim σσηξλλ ∑=→?=n i i 1 lim σλσσλ==→0 lim ， ∴ σσ=??D d ，其中λ是各i σ ?中的最大直径。 （2） =??D d y x kf σ),(∑∑=→=→?=?n i i i i n i i i i f k kf 10 1 ),(lim ),(lim σηξσηξλλ ∑=→?=n i i i i f k 1 ),(lim σηξλ??=D d y x f k σ ),( （3）将1D 任意分割成1n 个小区域 {}1 i σ?，1λ是其各小区域的最大直径，将2D 任意分割成2 n 个小区域 {}2 i σ?，2 λ 有类似的意义。记21n n n +=，},m ax {21λλλ=，于是对应区域D 就分成了n 个区域， 当0→λ 时，有01→λ且02→λ，因为21D D D =, 21,D D 无公共内点，将以上分割反过来处 理：先将D 分割为n 个区域，此分割在21,D D 上的部分为1n ，2n 个小区域。于是当),(y x f 在2 1,D D 上可积时，便可如下推出 ),(y x f 在D 上可积（或反过来也一样） ，且有 第十二周习题课 一．关于积分的不等式 1． 离散变量的不等式 （1） Jensen 不等式：设 )(x f 为],[b a 上的下凸函数，则 1),,,2,1),1,0(],,[1 ==∈?∈?∑=n k k k k n k b a x λλ ，有 2),(1 1≥≤??? ??∑∑==n x f x f k n k k k n k k λλ （2） 广义AG 不等式：记x x f ln )(=为),0(+∞上的上凸函数，由Jesen 不等式可得 1),,,2,1),1,0(,01 ==∈?>∑=n k k k k n k x λλ ，有 ∑==≤∏n k k k k n k x x k 1 1 λλ 当),2,1(1 n k n k ==λ时，就是AG 不等式。 （3） Young 不等式：由（2）可得 设111,1,,0,=+>>q p q p y x ，q y p x y x q p +≤1 1 。 （4） Holder 不等式：设11 1, 1,),,,2,1(0,=+>=≥q p q p n k y x k k ，则有 q n k q k p n k p k n k k k y x y x 111 11?? ? ????? ??≤∑∑∑=== 在（3）中，令∑∑======n k q k n k p k p k p k y Y x X Y y y X x x 1 1,,,即可。 （5） Schwarz 不等式： 2 1122 1 121?? ? ????? ??≤∑∑∑===n k k n k k n k k k y x y x 。 （6） Minkowski 不等式：设1),,,2,1(0,>=≥p n k y x k k ，则有 ()p n k p k p n k p k p n k p k k y x y x 11111 1?? ? ??+??? ??≤??????+∑∑∑=== 证明： ()()() () () ∑∑∑∑=-=-=-=+++=+?+=+n k p k k k n k p k k k n k p k k k k n k p k k y x y y x x y x y x y x 1 1 1 1 1 1 1人大版微观经济学(第三版)课后答案第3-4章
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