2019年考研数学高等数学复习讲义(详细版)

2019年考研数学高等数学复习讲义

第一章函数、极限、连续

§1.1 函数

（甲）内容要点一、函数的概念

1.函数的定义

设D 是一个非空的实数集，如果有一个对应规划f ，对每一个x D ∈，都能对应惟一的一个实数y ，则这个对应规划f 称为定义在D 上的一个函数，记以y =f (x )，称x 为函数的自变量，y 为函数的因变量或函数值，D 称为函数的定义域，并把实数集

{}|(),Z y y f x x D ==∈

称为函数的值域。

2.分段函数

如果自变量在定义域内不同的值，函数不能用同一个表达式表示，而要用两上或两个以上的表达式来表示。这类函数称为分段函数。

例如

21<1() -115 >1x x y f x x x x x +-??

==≤≤???

是一个分段函数，它有两个分段点，x ＝－1和x ＝1，它们两侧的函数表达式不同，因此讨论函数y =f (x )在分段点处的极限、连续、导数等问题时，必须分别先讨论左、右极限，左、右连续性和左、右导数。需要强调：分段函数一般不是初等函数，不能用初等函数在定义域内皆连续这个定理。

3.隐函数

形如y =f (x )有函数称为显函数，由方程F （x ，y ）=0确定的y ＝y (x )称为隐函数，有些隐函数可以化为显函数（不一定是一个单值函数），而有些隐函数则不能化为显函数。

4.反函数

如果y =f (x )可以解出()x y ?=是一个函数（单值），则称它为f (x )的反函数，记以1()x f y -=。有时也用1()y f x -=表示。

二、基本初等函数

1.常值函数 y ＝C （常数）

2.幂函数 y x α=（α常数）

3.指数函数 x y a =（a ＞0，a ≠1常数）

x y e =（e ＝2.7182…，无理数）

4.对数函数 log a y x =（a ＞0，a ≠1常数）常用对数 10log lg y x x == 自然对数 log ln e y x x ==

5.三角函数 sin ;cos ;tan .y x y x y x ===

cot ;sec ;csc .y x y x y x ===

6.反三角函数 arcsin ;cos ;y x y arc x ==

arctan ;cot .y x y arc x ==

基本初等函数的概念、性质及其图像非常重要，影响深远。例如以后经常会用lim arctan x x →+∞

；lim arctan x x →-∞

；10

lim x

x e +

→；10

lim x

x e -

→；0

lim ln x x +→等等，就需要对

arctan y x =，x y e =，ln y x =的图像很清晰。

三、复合函数与初等函数 1.复合函数

设()y f u = 定义域U

()u g x = 定义域X ，值域U*

如果*U U ?，则[()]y f g x =是定义在X 上的一个复合函数，其中u 称为中间变量。

2.初等函数

由基本初等函数经过有限次四则运算和复合所构成的用一个分析表达式表示的函数称为初等函数。

四、函数的几种性质

1.有界性：设函数y =f (x )在X 内有定义，若存在正数M ，使x X ∈都有

()f x M ≤，则称f (x )在X 上是有界的。

2. 奇偶性：设区间X 关于原点对称，若对x X ∈，都有()()f x f x -=-，则称()f x 在X 上是奇函数；若对x X ∈，都有()()f x f x -=，则称()f x 在X 上是偶函数。奇函数的图像关于原点对称；偶函数图像关于y 轴对称。

3. 单调性：设()f x 在X 上有定义，若对任意1212x X x X x x ∈∈<，，都有

()()12f x f x <()()12f x f x >????，则称()f x 在X 上是单调增加的????单调减少的；若对任意1212x X x X x x ∈∈<，，都有()()()()1212f x f x f x f x ≤≥????，则称()f x 在X 上是单调不减????单调不增。

（注意：有些书上把这里单调增加称为严格单调增加；把这里单调不减称为单调增加。）

4. 周期性：设()f x 在X 上有定义，如果存在常数0T ≠，使得任意x X ∈，x T X +∈，都有()()f x T f x +=，则称()f x 是周期函数，称T 为()f x 的周期。由此可见，周期函数有无穷多个周期，一般我们把其中的最小正周期称为周

期。

（乙）典型例题一、求函数的定义域

【例1】求函数()2ln ln ln 100f x x x =+-的定义域。解 lnlnln x 要有定义，x e >，

2100x -要有定义，210010x x ≤≤，，因此，()f x 的定义域为(]10e ，【例2】求1

ln 5

y x x x =-+

-的定义域。

解 x x -要有定义，1x ≥和0x =

ln 5

x -要有定义，546x x x ≠≠≠，，，

因此，定义域为{}[)()()()01445566+∞，

，，，【例3】设()f x 的定义域为[]()0a a a ->，，求()21f x -的定义域。解要求21a x a -≤-≤，则211a x a -≤≤+，

当1a ≥时，10a -≤，∴21x a ≤+，则1x a ≤+ 当01a <<时，10a ->，11a x a ∴-≤≤+ 也即11a x a -≤≤+或11a x a -+≤≤--

【例4】设()102224x g x x ≤

，

求()()()21f x g x g x =+-的定义域，

并求32f ??

???

解 ()g x 的定义域为[]04，，要求024x ≤≤，则02x ≤≤；要求014x ≤-≤，则15x ≤≤，于是()f x 的定义域为[]21，。

又()31321322f g g ????

=+=+= ? ?????

二、求函数的值域【例1】求1

331

x y e

-=的值域。

解我们先求出反函数，它的定义域就是原来函数的值域。

1ln ,1,ln 1

y x y

x =

- 331

1,ln x y

它的定义域0y >，且1y ≠ 所以原来函数的值域为(0,1)(1,)+∞。三、求复合函数有关表达式

1.已知f (x )和g (x )，求f ［g (x )］. 【例1】已知()1

f x x =

-，求1()1f f x ??

-??

. 解 1

()1

111

x f x x x -=-=--，

11()1x f x =-- （1x ≠）于是，111

(1)()1(1)12x x f f x f x x x ??--=-==??----?? （1,2x x ≠≠）【例2】设2

()1x f x x

+，求[](())()n f f f x f x =.

n 重复合

解 []2

222

2()()()1111()

12f x x x x f x f f x x x f x x

+=++++＝，

若 2

()1k x f x kx =

+，则2

2()()1111()

k k k f x x x f x kx

kx f x +=

+=+++ 2

1(1)x k x

根据数学归纳法可知，对正整数n ，2

()1n x f x nx

2.已知g (x )和f [g (x )]，求f (x ).

【例1】设2(1)x x x f e e e x +=++，求f (x ). 解令1x e u +=，ln(1)x u =-

22()(1)(1)ln(1)ln(1)f u u u u u u u =-+-+-=-+-

于是 2

()

l n (1)

f x x x x =-+- 【例2】已知()x x f e xe -'=，且(1)0f =，求f (x ). 解令,ln x e t x t ==，因此ln ()()x t

f e f t t

''==

， 221

ln 11

()(1)ln ln 22x

t f x f dt t x t -===?

∵(1)0f =，∴21

()ln 2

f x x =

四、有关四种性质

【例1】设()()F x f x '=，则下列结论正确的是（）. （A ）若f (x )为奇函数，则F (x )为偶函数

（B ）若f (x )为偶函数，则F (x )为奇函数（C ）若f (x )为周期函数，则F (x )为周期函数（D ）若f (x )为单调函数，则F (x )为单调函数

解 (B)不成立，反例3

(),()13

x f x x F x ==+

(C)不成立，反例()cos 1,()sin f x x F x x x =+=+ (D)不成立，反例2()2,()(,)f x x F x x ==-∞+∞在内 (A)成立。

证明 0

()(0)(),x

F x F f t d t f =+?为奇函数，

()(0)()(0)()()x x F x F f t dt F f u d u --=+=+--?

(0)()()x

F f u du F x =+=? ∴()F x 为偶函数。

【例2】求1

521

[()ln(1)].x x I x x e e x x dx --=+-++?

解

1()x x

f x e e -=-是奇函数，∵

2112()(),()ln(1)x x f x e e f x f x x x --=-=-=++是奇函数，

∵ 222

(1)()ln(1)ln

x x f x x x x x +--=-++=++

22ln1ln(1)()x x f x =-++=-

因此2()ln(1)x x x e e x x --++是奇函数。

于是 1

6102

027

I x dx x dx -=+==

??。

【例3】两个周期函数之和是否仍是周期函数？解不一定

（1）()sin cos 23x x

f x =+

1()sin 2x

f x = 周期为4π

2()os 3

f x c = 周期为6π

∵4π和6π的最小公倍数为12π ∴()f x 是以12π为周期的函数（2）()sin 2cos f x x x π=+

1()sin 2f x x = 周期为π 2()os f x c x π= 周期为2

∵π和2没有最小公倍数 ∴()f x 不是周期函数（3）()sin 2(1sin 2)f x x x =+-

1()sin 2f x x = 周期为π

2()1sin 2f x x =- 周期为π

虽然1()f x ，2()f x 不但都是周期函数，而且它们的周期有最小公倍数。但是12()()()1f x f x f x =+=，却不是周期函数。（因为没有最小正周

期。）

【例4】设()f x ，()g x 是恒大于零的可导函数，且

()()()()0f x g x f x g x ''-<，则当a x b <<时，下列结论成立的是（）

(A)()()()()f x g b f b g x > (B)()()()()f x g a f a g x > (C)()()()()f x g x f b g b > (D)()()()()f x g x f a g a >

解 ∵2

()1[()()()()]0()()

f x f x

g x f x g x g x g x '??''=-

()f x g x 单调减少于是x

()()

f x f b

g x g b >，故(A)成立。

§1.2 极限

（甲）内容要点

一、极限的概念与基本性质 1.极限的定义

（1）lim n n x A →∞

= （称数列{}n x 收敛于A ）

任给0ε>，存在正整数N ，当n>N 时，就有n x A ε-<. （2）lim ()x f x A →+∞

任给0ε>，存在正整数X ，当x>X 时，就有()f x A ε-<. （3）lim ()x f x A →-∞

任给0ε>，存在正整数X ，当x>－X 时，就有()f x A ε-<. （4）lim ()x f x A →∞

任给0ε>，存在正整数X ，当|x|>X 时，就有()f x A ε-<. （5）()0

lim x x f x A →=

任给0ε>，存在正数δ，当00x x δ<-<时，就有()f x A ε-<。

（6）()0

lim x x f x A +

→=（用()00f x +表示）任给0ε>，存在正数δ，当00x x δ<-<时，就有()f x A ε-< （7）()0

lim x x f x A -→=（用()00f x -表示）

任給0ε>，存在正数δ，当00x x δ-<-<时，就有()f x A ε-<。其中()00f x +称为()f x 在0x 处右极限值，()00f x -称为()f x 在0x 处左极限值。

有时我们用()lim f x A =表示上述六类函数的极限，它具有的性质，上述六类函数极限皆具有这种性质。有时我们把()n x f n =，即数列极限也看作这种抽象的变量的极限的特例，以便于讨论。

2. 极限的基本性质

定理1 （极限的惟一性）设()lim f x A =，()lim f x B =，則A B =。定理2 （极限的不等式性质）设()lim f x A =，()lim g x B = 若x 变化一定以后，总有()()f x g x ≥，则A B ≥ 反之，A B >，则x 变化一定以后，有()()f x g x > （注：当()00g x B ≡=，情形也称为极限的保号性）

定理3 （极限的局部有界性）设()lim f x A =，则当x 变化一定以后，()f x 有界的。

定理4 设()lim f x A =，()lim g x B = 则（1）()()lim f x g x A B +=+???? （2）()()lim f x g x A B -=-???? （3）()()lim f x g x A B =???? （4）()()lim

f x A

g x B

= ()0B ≠

（5）()()

lim g x B f x A =????

()0A >

二、无穷小量

1. 无穷小量定义：若()lim 0f x =，则称()f x 为无穷小量（注：无穷小量与x 的变化过程有关，1lim 0x x →∞=，当x →∞时1

为无穷小量，而0x x →或其他时，

不是无穷小量） 2. 无穷大量定义：任給0M >，当x 变化一定以后，总有()f x M >，则称()f x 为无穷大量，记()lim f x =∞。

3. 无穷小量与无穷大量的关系：在x 的同一个变化过程中，若()f x 为无穷大量，则

()1f x 为无穷小量，若()f x 为无穷小量且()0f x ≠，则()

f x 为无穷大量。

4. 无穷小量与极限的关系

()()()lim f x A f x A a x =?=+ 其中()lim 0a x = 5. 两个无穷小量的比较设()()lim 0lim 0f x g x ==，，且()

()

lim

f x l

g x = (1)0l =，称()f x 是比()g x 高阶的无穷小量，记以()()f x o g x =???? 称()g x 是比()f x 低阶的无穷小量，

(2) 0l ≠，称()f x 与()g x 是同阶无穷小量。

(3)1l =，称()f x 与()g x 是等价无穷小量，记以()()f x g x 6. 常见的等价无穷小量当0x →时 sin tan arcsin arctan x x x x x x x x ，，，

()()211cos 1ln 1112

x x x e x x x x ax --++-，，，（a 为实常数）

。 7. 无穷小量的重要性质

有界变量乘无穷小量仍是无穷小量。三、求极限的方法

1. 利用极限的四则运算和幂指数运算法则

2. 两个准则

准则1 单调有界数列极限一定存在。

（1）若1n n x x +≤（n 为正整数），又n x m ≥（n 为正整数）则lim n n x A →∞

=存在且A m ≥

（2）若1n n x x +≥（n 为正整数），又n x m ≤（n 为正整数）则lim n n x A →∞

=存在且A m ≤

准则2 （夹逼定理）设()()()g x f x h x ≤≤ 若()()lim lim g x A h x A ==，，则()lim f x A = 3. 两个重要公式

公式1 0sin lim 1x x

→=

公式2 1lim 1n n e n →∞??+= ???；1lim 1u

u e u →∞

+= ???

；()1

0lim 1v v v e →+=

4. 用无穷小量重要性质和等价无穷小量代换

5. 用泰勒公式（比用等价无穷小量更深刻）

当0x →时()2

12!

n x x e x o x n =+++

++ ()()()35

21sin 13!5!21!n n

n x x x x x o x n ++=-++

+-++

()()()24

22cos 112!4!

n x x x x o x n =-+-

+-+

()()

()23

ln 1123n

n n x x x x x o x n

++=-+-

+-+ ()()35

21arctan 135

21n n

n x x x x x o x n ++=-+-

+-++

()

()()2

111112!

n n n x x x x o x n α

αααααα---??-??+=++

+（α为实

常数）

6.洛必达法则

法则1 00??

???

型设（1）()lim 0f x =，()lim 0g x =

（2）x 变化过程中，()f x '，()g x '皆存在

（3）()

()

lim

f x A

g x '=' （或∞）则 ()

()

lim

f x A

g x = （或∞） (注：如果()()lim

f x

g x ''不存在且不是无穷大量情形，则不能得出()

()

lim f x g x 不存在且不是无穷大量情形)

法则2 ∞??

?∞??

型设（1）()lim f x =∞，()lim g x =∞

（2）x 变化过程中，()f x '，()g x '皆存在（3）()

()

lim

f x A

g x '=' （或∞）则 ()

()lim f x A g x = （或∞）

7.利用导数定义求极限

基本公式：()()

()0000lim x f x x f x f x x

?→+?-'=? ????如果存在 8.利用定积分定义求极限

基本公式：()1

11lim 0n

n k k f f x dx n n →∞=??

= ???

∑? ????如果存在 9.其他综合方法

10.求极限的反问题有关方法（乙）典型例题

一、通过各种基本技巧化简后直接求出极限

【例1】设n 0 b 0m a ≠≠，，求1110

1110lim m m m m n n x n n a x a x a x a b x b x b x b ---→∞-++++++++ 解 1110

1110l i m m m m m n n x n n a x a x a x a b x b x b x b ---→∞-++++++++ 1

11101

1110lim

m n m m m m n

x n n x a a x a x a x b b x b x

b x

--------→∞

-??++++?

?=++

0 m n m n a

m n b m n ?? 当时＝当时

　当时【例2】设0a ≠，1r <，求1lim()n n a ar ar -→∞

解 1

1l i m

()l i m 11n n n n r a

a ar ar

a r r

-→∞

→∞-+++==-- 特例：（1）求23

12222lim (1)3333n

n n +→∞????????

-+-

+-?? ? ? ?

??????

???

解例2中取23a =，23r =-，可知原式＝

2325

13=??-- ???

（2）111242

2lim

3311123

n →∞

??+++ ?

??==??

+++ ???

【例3】求1132lim 23

n n

n n n ++→∞-+.

解分子、分母用3n 除之，

原式＝233lim 32213n

n n →∞

- ?

??=??+ ???

（注：主要用当1r <时，lim 0n n r →∞

=）

【例4】设l 是正整数，求11

lim ()

n k k k l →∞

=+∑

解 ∵

1111()k k l l k k l ??

=- ?++??

∴1111

11()

k k k l l l n n l =??

=+++---

??+++??

∑

因此原式＝11

112l l ??++

+ ???

特例：（1）1

lim 1(1)n

n k k k →∞==+∑ （l ＝1）

（2）11113

lim 1(2)

224n

n k k k →∞=??=+= ?+??∑

（l ＝2）

【例6】设d ＞0为常数，求222111(1)lim n d

n d n n n →∞++-??

???

. 解原式＝[]{}21lim

11(1)22

n n d

n d n →∞++-= 特例：(1)d = 2221

21lim 2

n n n n n →∞??++

=???? (2)d = 2221

321lim 1n n n n n →∞-??

=???

【例7】求下列各极限

（1）011lim x x x x →+-- （2）3

3011lim x x x

→+--

解（1）解一原式＝()()

(

)

112

lim

11x x x x

x x

→+--=

=++- 解二原式＝()(

1111

lim

x x x x

→+--

0122lim 1x x x x

→??-- ???=等价无穷小量代换解三用洛必达法则1

原式＝()011

2121lim 11x x x →-??- ?

+-??

（2）解一原式＝()()

()(

)(

)

112

lim

1111x x x x x

x x →+--=

+++-+

-???

解二类似（1）中解二用等价无穷小量代换

高等数学教材(较完整)

目录一、函数与极限 (2) 1、集合的概念 (2) 2、常量与变量 (3) 2、函数 (3) 3、函数的简单性态 (4) 4、反函数 (4) 5、复合函数 (4) 6、初等函数 (4) 7、双曲函数及反双曲函数 (5) 8、数列的极限 (6) 9、函数的极限 (6) 10、函数极限的运算规则 (7)

一、函数与极限 1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a?A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?B（或B?A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作?，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A?A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。）即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A∩B。即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。 ②补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集。简称为集合A的补集，记作C U A。即C U A＝｛x|x∈U，且x?A｝。集合中元素的个数 ⑴、有限集：我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集。 ⑵、用card来表示有限集中元素的个数。例如A＝｛a,b,c｝，则card(A)=3。 ⑶、一般地，对任意两个集合A、B，有 card(A)+card(B)=card(A∪B)+card(A∩B) 我的问题：

高等数学(下册)期末复习试题及答案

一、填空题（共21分每小题3分） 1．曲线???=+=0 12x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122++=y x z ． 2．直线35422:1z y x L =--=-+与直线?? ???+=+-==t z t y t x L 72313:2的夹角为2π． 3．设函数22232),,(z y x z y x f ++=，则=)1,1,1(grad f }6,4,2{． 4．设级数∑∞=1n n u 收敛，则=∞→n n u lim 0． 5．设周期函数在一个周期内的表达式为???≤<+≤<-=, 0,10,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于21π +． 6．全微分方程0d d =+y x x y 的通解为 C xy =． 7．写出微分方程x e y y y =-'+''2的特解的形式x axe y =*．二、解答题（共18分每小题6分） 1．求过点)1,2,1(-且垂直于直线???=+-+=-+-0 2032z y x z y x 的平面方程．解：设所求平面的法向量为n ，则{}3,2,11 11121=--=k j i n (4分) 所求平面方程为 032=++z y x (6分) 2．将积分???Ω v z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分，其中Ω是曲面 )(222y x z +-=及22y x z +=所围成的区域．解： πθ20 ,10 ,2 :2 ≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分)

???Ωv z y x f d ),,(???-=221020d ),sin ,cos (d d r r z z r r f r r θθθπ (6分) 3．计算二重积分??+-=D y x y x e I d d )(22，其中闭区域.4:22≤+y x D 解 ??-=2020d d 2r r e I r πθ??-- =-20220)(d d 212r e r πθ?-?-=202d 221r e π)1(4--=e π 三、解答题（共35分每题7分） 1．设v ue z =，而22y x u +=，xy v =，求z d ．解：)2(232y y x x e y ue x e x v v z x u u z x z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (3分) )2(223xy x y e x ue y e y v v z y u u z y z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (6分) y xy x y e x y y x x e z xy xy d )2(d )2(d 2332+++++= (7分) 2．函数),(y x z z =由方程0=-xyz e z 所确定，求y z x z ????,．解：令xyz e z y x F z -=),,(， (2分) 则 ,yz F x -= ,xz F y -= ,xy e F z z -= (5分) xy e yz F F x z z z x -=-=??， xy e xz F F y z z z y -=-=??． (7分) 3．计算曲线积分 ?+-L y x x y d d ，其中L 是在圆周22x x y -=上由)0,2(A 到点)0,0(O 的有向弧段．解：添加有向辅助线段OA ，有向辅助线段OA 与有向弧段OA 围成的闭区域记为D ，根据格林公式 ????+--=+-OA D L y x x y y x y x x y d d d d 2d d (5分) ππ=-? =022 (7分) 4．设曲线积分?++L x y x f x y x f e d )(d )]([与路径无关，其中)(x f 是连续可微函数且满足1)0(=f ，

高等数学基础期末复习资料全

《高等数学基础》课程期末考试复习资料册一、单项选择题 1.设函数f(x)的定义域为，则函数f(x)+f(-x)的图形关于(C)对称. A.y=x B.x轴 C.y轴 D.坐标原点 2.函数在x=0处连续，则k=(C）. A.1 B.5 D.0 3.下列等式中正确的是(C). 4.若F(x)是4.f(x)的一个原函数，则下列等式成立的是(A). 5.下列无穷限积分收敛的是(D).

6.设函数f (x)的定义域为，则函数f(x)- f(-x)的图形关于( D)对称. A.y=x B.x轴 C.y轴 D.坐标原点 7.当时，下列变量中( A)是无穷大量. 8.设f (x)在点x=1处可导，则 =(B). 9.函数在区间(2,4)满足(A). A.先单调下降再单调上升 B.单调上升 C.先单调上升再单调下降 D.单调下降 10.=(B). A.0 B. П C.2П D. П/2 11.下列各函数对中，(B)中的两个函数相等. 12.当，变量(C)是无穷小量.

13.设f(x)在点x=0处可导，则=(A). 14.若f(x)的一个原函数是，则=（D）. 15.下列无穷限积分收敛的是(C). 16.设函数f(x)的定义域为，则函数的图形关于(A)对称. A.坐标原点 B.x轴 C.y轴 D. y=x 17.当时，变量(D)是无穷小量.

18.设f(x)在x。可导，则=（C）. 19.若则=（B）. 20. =（A）. 21.下列各函数对中，(B)中的两个函数相等. 22.当k=（C）时，在点x=0处连续. A. -1 B. 0 c.1 D.2 23. 函数在区间(2,4)满足(B). A. 先单调下降再单调上升 B.单调上升 C. 先单调上升再单调下降 D.单调下降

大学高等数学教材23599

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一、函数与极限 1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。）即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。

考研高等数学全面复习资料电子版

高等数学考研复习资料，最全篇，适合于一遍，二遍复习研究细节，祝你考研数学春风得意马，突破130分大关！目录一、函数与极限 ········································································错误!未指定书签。 1、集合的概念····································································错误!未指定书签。 2、常量与变量····································································错误!未指定书签。 2、函数·············································································错误!未指定书签。 3、函数的简单性态······························································错误!未指定书签。 4、反函数··········································································错误!未指定书签。 5、复合函数·······································································错误!未指定书签。 6、初等函数·······································································错误!未指定书签。 7、双曲函数及反双曲函数·····················································错误!未指定书签。 8、数列的极限····································································错误!未指定书签。 9、函数的极限····································································错误!未指定书签。 10、函数极限的运算规则 ······················································错误!未指定书签。

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大学高等数学教材 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

一、函数与极限 1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a?A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?B（或B?A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作?，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A?A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。）即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。

考研高数讲义新高等数学上册辅导讲义——第三章上课资料

第三章中值定理与导数的应用 ?????? ? ? ?? ?? ?? ??????????? ?????????????? ??必要条件求解函数的性态，充分渐近线凹凸性，拐点单调性，极值，最值—求极限—洛必达法则—应用数，求极限证明，确定无穷小的阶泰勒中值定理柯西中值定理拉格朗日中值定理罗尔定理中值定理第一节微分中值定理

极值:设) f在0x的某一邻域) (x U内有定义，若 (0x 对一切) ) ( (0x f≤,则 f≥)) x f ( U (0x x ( x∈有) f (0x ) 称) (x f的极f在0x取得极小（大）值，称0x是) (x 小（大）值点，极小值和极大值统称为极值，极小值点和极大值点统称为极值点。费马引理：设) f在0x (x f'存在， (0x x=取极值，又)

则0)(0='x f 。在0x x =取极值的必要条件：可导的极值点导数必为零。

驻点：若0)(='a f ，则称a x =为)(x f 的驻点。可导的极值点一定为驻点，但是驻点不一定为极值点。定理1（罗尔定理）：条件： ①)(x f 在],[b a 上连续； ②在),(b a 可导； ③)()(b f a f = 结论：一定存在),(b a ∈ξ，

使得0)(='ξf 。几何意义：设AB 是（1）定义在],[b a 上的光滑曲线)(x f y =；（2）若除端点外处处有不垂直于x 轴的切线；（3）两端点纵坐标相等则在AB 上至少存在一点C ，其切线是水平的．即两端点同高的连续曲线内至少有一点的切线是水平的．（如图所示）

考研数学强化班高等数学讲义-汤家凤

第一讲极限与连续主要内容概括（略）重点题型讲解一、极限问题类型一：连加或连乘的求极限问题 1．求下列极限：（1）???? ? ?+-++?+?∞→)12)(12(1 531311lim n n n Λ；（2）1 1 lim 332+-=∞→k k n k n π；（3）∑=∞ →+n k n n k k 1]) 1(1 [ lim ； 2．求下列极限：（1）???? ??++++++∞→n n n n n 22241 2411 41lim Λ； 3．求下列极限：（1）??? ? ??++++++∞→2222221 211 1lim n n n n n Λ；（2）n n n n !lim ∞ →；（3）∑ =∞ →++ n i n n i n 1 2 11 lim 。类型二：利用重要极限求极限的问题 1．求下列极限：（1）)0(2 cos 2cos 2cos lim 2≠∞→x x x x n n Λ；（2）n n n n n n 1sin )1(lim 1+∞→+； 2．求下列极限：（1）( ) x x x cos 11 20 sin 1lim -→+；（3）) 21ln(103 sin 1tan 1lim x x x x x +→?? ? ??++；（4）2 1cos lim x x x ?? ? ?? ∞ →；类型三：利用等价无穷小和麦克劳林公式求极限的问题 1．求下列极限：（1）) cos 1(sin 1tan 1lim 0x x x x x -+-+→；（2）)cos 1(lim tan 0x x e e x x x --→；（3）]1)3cos 2[(1lim 30 -+→x x x x ；（4）)tan 1 1(lim 220x x x -→；

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《高等数学（二）》期末复习题一、选择题 1、若向量与向量)2,1,2(-=a 平行，且满足18-=?，则=（）（A ） )4,2,4(-- （B ）(24,4)--，（C ） (4,2,4)- （D ）(4,4,2)--. 2、在空间直角坐标系中，方程组2201x y z z ?+-=?=? 代表的图形为 ( ) （A ）直线 (B) 抛物线（C ）圆 (D)圆柱面 3、设2 2()D I x y dxdy =+??，其中区域D 由222x y a +=所围成，则I =（） (A) 22 4 a d a rdr a π θπ=? ? (B) 2240 2a d a adr a π θπ=?? (C) 2230 023a d r dr a π θπ=? ? (D) 224001 2 a d r rdr a πθπ=?? 4、设的弧段为：2 30,1≤≤=y x L ，则=? L ds 6 （）（A ）9 (B) 6 （C ）3 (D) 2 3 5、级数 ∑∞ =-1 1 )1(n n n 的敛散性为（）（A ）发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不确定 6、二重积分定义式∑??=→?=n i i i i D f d y x f 1 0),(lim ),(σηξσλ中的λ代表的是（）（A ）小区间的长度 (B)小区域的面积 (C)小区域的半径 (D)以上结果都不对 7、设),(y x f 为连续函数，则二次积分??-1010 d ),(d x y y x f x 等于 ( ) （A ）??-1010 d ),(d x x y x f y (B) ??-1 010 d ),(d y x y x f y (C) ??-x x y x f y 10 1 0d ),(d (D) ?? 10 1 d ),(d x y x f y 8、方程2 2 2z x y =+表示的二次曲面是 ( ) （A ）抛物面（B ）柱面（C ）圆锥面（D ）椭球面

高等数学教材资料完整-参考模板

高等数学教材完整一、函数与极限 (2) 1、集合的概念 (2) 2、常量与变量 (3) 2、函数 (4) 3、函数的简单性态 (4) 4、反函数一 (5) 5、复合函数 (6) 6、初等函数 (6) 7、双曲函数及反双曲函数 (7) 8、数列的极限 (9) 9、函数的极限 (10) 10、函数极限的运算规则 (12)

一、函数与极限 1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。）即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。

高等数学期末复习资料及答案

大学高等数学期末复习资料及答案课程名称：高等数学出题教师：岳健民适用班级：本科多学时（不含职教）一、单项选择题（15分，每小题3分） 1、当∞→x 时，下列函数为无穷小量的是（）（A ）x Cosx x - （B ）x Sinx （C ）121-x （D ）x x )11(+ 2．函数)(x f 在点0x 处连续是函数在该点可导的（）（A ）必要条件（B ）充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分也非必要条件 3．设)(x f 在),(b a 内单增，则)(x f 在),(b a 内（）（A ）无驻点（B ）无拐点（C ）无极值点（D ）0)(>'x f 4．设)(x f 在][b a ，内连续，且0)()(

（C ）0=''）（ξf （D ））（）（）（）（a b f a f b f -?'=-ξ 5．广义积分)0(>?∞ +a dx a x p 当（）时收敛。（A ）1>p (B)1

+ =x x x y 在区间单减；在区间单增； 4、若x xe x f λ-=)(在2=x 处取得极值，则=λ ； 5、若dx x f dx x xf a ??=1 01 02 )()(，则=a ；三、计算下列极限。（12分，每小题6分） 1、x x x x )1(lim +∞→ 2、 2 00 )1(lim x dt e x t x ?-→

2014电大《高等数学基础》期末复习资料(例题附答案7)

2014电大《高等数学基础》期末复习资料(例题附答案7) 高等数学基础学习辅导（7）导数的应用例题讲解（二）（一）计算题 1. 解： 2. x x x 2tan ) 3sin 1ln(lim 0+→ 解：x x x 2tan )3sin 1ln(lim 0+→＝x x x x 22sec 3sin 13cos 3lim 20+→ ＝2 3 2cos )3sin 1(23cos 3lim 20=?+→x x x x 3. 解：

4. x x e x x 2sin 1 cos lim 0-→ 解： x x e x x 2sin 1cos lim 0-→ ＝x x e x e x x x 22cos sin cos lim 0-→＝21 5. 求函数)1ln(x x y +-=的单调区间。解：函数)1ln(x x y +-=的定义区间为),1(+∞-，由于 x x x y +=+- ='1111 令0='y ，解得0=x ，这样可以将定义区间分成)0,1(-和),0(+∞两个区间来讨论。当01<<-x 时，0<'y ；当+∞<'y 。由此得出，函数)1ln(x x y +-=在)0,1(-内单调减少，在),0(+∞内单调增加。 6. 求y ＝x －ln(1＋x )的单调区间解： y 的定义域为（－1，＋∞）令，得驻点：x ＝0。列表如下：即单调减少区间为（－1，0），单调增加区间为（0，＋∞）。

7. 求y＝x2e－x的极值解：函数y的定义域是（－∞，＋∞），得驻点：x1＝0，x2＝2。列表如下：令即极小值为：y(0)＝0，极大值为：y(2)＝4e－2 8. 求曲线y＝2x3＋3x2－12x＋1的凹凸区间及拐点解：函数y的定义域是（－∞，＋∞）令。列表如下：即凹区间为：，凸区间为：拐点为：

高等数学考研讲义第八节

第八章无穷级数（数学一和数学三）引言：所谓无穷级数就是无穷多项相加，它与有限项相加有本质不同，历史上曾经对一个无穷级数问题引起争论。例如：历史上曾有三种不同看法，得出三种不同的“和” 第一种 0)11()11()11(=+-++-+-ΛΛ 第二种 1)11()11()11(1=-------ΛΛ 第三种设S n =+-++-+-+ΛΛ1 )1(1111 则[]S =+-+--Λ11111 这种争论说明对无穷多项相加，缺乏一种正确的认识。 1) 什么是无穷多项相加？如何考虑？ 2) 无穷多项相加，是否一定有“和”？ 3) 无穷多项相加，什么情形有结合律，什么情形有交换律等性质。因此对无穷级数的基本概念和性质需要作详细的讨论。 § 8.1 常数项级数（甲）内容要点一、基本概念与性质 1. 基本概念无穷多个数ΛΛ,,,,,321n u u u u 依次相加所得到的表达式ΛΛ+++++=∑∞ =n n n u u u u u 3211 称为数项级数（简称级数）。 ∑===n k k n u S 1 123n u u u u ++++L （Λ,3,2,1=n ）称为级数的前n 项的部分和， {}),3,2,1(Λ=n S n 称为部分和数列。 n n S ∞ →lim 若不存在，则称级数∑∞ =1n n u 是发散的，发散级数没有和的概念。（注：在某些特殊含义下可以考虑发散级数的和，但在基础课和考研的考试大纲中不作这种要求。） 2．基本性质（1）如果（2）在级数中增加或减少或变更有限项则级数的收敛性不变。（3）收敛级数具有结合律，也即对级数的项任意加括号所得到的新级数仍收敛，而且其和不

高等数学期末复习资料大全

《高等数学复习》教程第一讲函数、连续与极限一、理论要求 1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数） 2.极限极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限 3.连续函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法 A.极限的求法（1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法（4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Taylor级数法（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）

1.61 2arctan lim )21ln(arctan lim 3030-=-=+->->-x x x x x x x x （等价小量与洛必达） 2.已知2030) (6lim 0)(6sin lim x x f x x xf x x x +=+>->-，求解： 2 0303' )(6cos 6lim )(6sin lim x xy x f x x x xf x x x ++=+>->- 72 )0(''06)0(''32166' ''''36cos 216lim 6'''26sin 36lim 00=∴=+-=++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x 36272 2''lim 2'lim )(6lim 0020====+>->->-y x y x x f x x x （洛必达） 3.1 21)12(lim ->-+x x x x x （重要极限） 4.已知a 、b 为正常数，x x x x b a 3 0)2(lim +>-求解：令] 2ln )[ln(3 ln ,)2(3 -+=+=x x x x x b a x t b a t 2 /300)() ln(23)ln ln (3lim ln lim ab t ab b b a a b a t x x x x x x =∴=++=>->-（变量替换） 5.) 1ln(1 2 )(cos lim x x x +>- 解：令 ) ln(cos )1ln(1 ln ,)(cos 2)1ln(1 2 x x t x t x += =+ 2 /100 21 2tan lim ln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x （变量替换） 6.设 )('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求 1 )()(lim 2 2 =? ? >-x x x dt t f x dt t f （洛必达与微积分性质） ?≠=-0,)ln(cos )(2x x x x f

[整理]考研数学高数定积分公开课讲义(汤家凤)

课程配套讲义说明1、配套课程名称2013年考研数学高数中值定理及定积分公开课（汤家凤） 2、课程内容此课程为2013年考研数学高数部分的公开课，主要讲授定积分部分。 3、主讲师资汤家凤——主讲高等数学、线性代数。著名考研辅导专家，南京大学博士，南京工业大学教授，江苏省大学生数学竞赛优秀指导教师。凭借多年从事考研阅卷工作的经验，通过自己的归纳总结，在课堂上为学生列举大量以往考过的经典例子。深入浅出，融会贯通，让学生真正掌握正确的解题方法。 4、讲义： 6页（电子版）文都网校 2011年5月27日

公开课二：定积分理论一、实际应用背景 1、运动问题—设物体运动速度为)(t v v =，求],[b a t ∈上物体走过的路程。（1）取b t t t a n =<<<= 10，],[],[],[],[12110n n t t t t t t b a -???= ，其中)1(1n i t t t i i i ≤≤-=?-；（2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，i n i i t f S ?≈ ∑=)(1ξ；（3）取}{max 1i n i x ?=≤≤λ，则i n i i x f S ?=∑=→)(lim 1 ξλ 2、曲边梯形的面积—设曲线)(0)(:b x a x f y L ≤≤≥=，由b x a x L ==,,及x 轴围成的区域称为曲边梯形，求其面积。（1）取b x x x a n =<<<= 10，],[],[],[],[12110n n x x x x x x b a -???= ，其中)1(1n i x x x i i i ≤≤-=?-；（2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，i n i i x f A ?≈ ∑=)(1ξ；（3）取}{max 1i n i x ?=≤≤λ，则i n i i x f A ?=∑=→)(lim 1 ξλ。二、定积分理论（一）定积分的定义—设)(x f 为],[b a 上的有界函数，（1）取b x x x a n =<<<= 10，],[],[],[],[12110n n x x x x x x b a -???= ，其中)1(1n i x x x i i i ≤≤-=?-；（2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，作 i n i i x f ?∑=)(1 ξ；（3）取}{m a x 1i n i x ?=≤≤λ，若i n i i x f ?∑=→)(lim 1 ξλ存在，称)(x f 在],[b a 上可积，极限称为) (x f 在],[b a 上的定积分，记 ? b a dx x f )(，即?b a dx x f )(i n i i x f ?=∑=→)(lim 1 ξλ。

高等数学期末复习总结

一.函数与极限 1.两个重要极限： ()()1 1lim 1lim 111lim 0 sin lim 11lim 1 sin lim 11 00=+=+=??? ?? +==??? ? ? +=∞ →→→∞→∞→→x x x x x x x x x x x e x x x x e x x x 扩展极限： 2.等价无穷小公式：当x→0时， ()xlna ~12 1 ~1x 1x ~1x ln x ~12 1 ~cosx -1x ~arctanx x ~arcsinx x ~tanx x ~sinx 2 --++-x x a x e x 3.分析技巧:0 重要极限,洛必达法则,化简 ∞ ∞ 洛必达法则,同除最高次幂项 ∞?0 取倒数 ∞-∞ 通分 ,0,1∞∞ 取对数 (∞=∞ 0) 二．导数与微分熟悉函数的可导性与连续性的关系求高阶导数会运用两边同取对数隐函数的显化会求由参数方程确定的函数的导数 ()()x f x F =' 则 ()()dx x f x F d ='

导数公式：三.微分中值定理与导数的应用 1. 洛必达法则解题中应注意： ① 在着手求极限以前，首先要检查是否满足 00或∞ ∞ 型. ② 洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止. 2. 曲线的凹凸性与拐点： ()x f ''>0 上凹， ()x f ''<0 上凸， ()()0,0≠'''=''x f x f 拐点注意：首先看定义域然后判断函数的单调区间求极值和最值利用公式判断在定区间内的凹凸性或者用函数的二阶导数判断（注意二阶导数的符号）四.不定积分 1.基本积分公式： C x xdx C x xdx C a a dx a C x dx x x x +-=+=+=++=????+cot csc tan sec ln 1 122 1ααα C x dx x C x dx x C x x xdx x dx C x x C x xdx x dx +=++=-++==+-=+==??????arctan 11arcsin 11 |tan sec |ln sec cos |cot csc |ln |2tan |ln csc sin 22

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1.61 2arctan lim )21ln(arctan lim 3030-=-=+->->-x x x x x x x x （等价小量与洛必达） 2.已知2030) (6lim 0)(6sin lim x x f x x xf x x x +=+>->-，求解： 2 0303')(6cos 6lim )(6sin lim x xy x f x x x xf x x x ++=+>->- 36272 2''lim 2'lim )(6lim 0020====+>->->-y x y x x f x x x （洛必达） 3.1 21)12(lim ->-+x x x x x （重要极限） 4.已知a 、b 为正常数，x x x x b a 3 0)2(lim +>-求解：令] 2ln )[ln(3 ln ,)2(3 -+=+=x x x x x b a x t b a t 2 /300)()ln(23)ln ln (3lim ln lim ab t ab b b a a b a t x x x x x x =∴=++=>->-（变量替换） 5.) 1ln(1 2 )(cos lim x x x +>- 解：令 ) ln(cos )1ln(1 ln ,) (cos 2) 1ln(1 2x x t x t x += =+ 2 /100 21 2tan lim ln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x （变量替换） 6.设 )('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求 1 )()(lim 2 2 =? ? >-x x x dt t f x dt t f （洛必达与微积分性质） 7.已知?? ?=≠=-0,0,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续，求a 解：令 2 /1/)ln(cos lim 20 -==>-x x a x （连续性的概念）三、补充习题（作业） 1. 3 cos 11lim -=---->-x x x e x x （洛必达） 2. ) 1 sin 1( lim 0 x x ctgx x ->- （洛必达或Taylor ）

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