三角形内切圆及外接圆

三角形外接圆半径的求法及应用

方法一： R＝ ab/(2h)

三角形外接圆的直径等于两边的乘积除以第三边上的高所得的商。

AD 是△ ABC的高， AE是△ ABC的外接圆直径．求证AB· AC＝AE·AD．

证：连接 AO 并延长交圆于点 E，连接 BE，则∠ ABE＝ 90°.

∵∠ E＝∠ C，∠ ABE＝∠ ADC＝90°，

∴R t△ ABE∽Rt△ADC，

∴ AB AE ，

AD AC

∴AB· AC＝AE·AD

方法二： 2R＝a/SinA ， a 为∠ A 的对边

在锐角△ABC中，外接圆半径为R。求证：2R＝AB/SinC证：

连接 AO 并延长交圆于点 E，连接 BE，则∠ ABE＝90°.

∴AE＝AB/SinE

∵∠ C＝∠ E，SinC ＝ SinE

∴AE＝ AB/SinC

∴2R＝AB/SinC

若 C 为钝角，则 SinC＝Sin（180o－C）

应用一、已知三角形的三边长，求它的外接圆的半径。

例 1已知：如图，在△ABC 中， AC＝ 13，BC＝ 14， AB＝ 15，求△ ABC 外接圆⊙ O 的半径 r.

解析：作出直径AD，构造 Rt△ ABD.只要求出△ ABC中 BC边上的高 AE，用方法一就可以求出直径AD.解：作 AE⊥BC，垂足为 E.

C

设 CE＝ x,E D

222222222

∵ AC-CE ＝ AE ＝ AB -BE，∴ 13 -x ＝ 15-(14-x)

O

B

A

∴ x=5,即 CE＝5，∴ AE＝12R＝ ab/(2h)=13x15/(2x12)=65/8

65

∴△ ABC外接圆⊙ O 的半径 r 为8 .

例 2 已知：在△ ABC中， AB＝13， BC＝12，AC＝5，求△ ABC的外接圆的半径 R. 解析：经过判断三角形为直角三角形，易求得直角三角形外接圆的直径等于斜边。

应用二、已知三角形的二边长及其夹角（特别角），求外接圆的半径。

例 3 已知：如图，在△ ABC 中， AC＝ 2， BC＝3，∠ C＝ 60°，求△ ABC外接圆⊙ O 的半径R.

解析：考虑求出角的对边长AB，尔后用方法一或方法二解题.

解：作直径 AD，连接 BD.作 AE⊥BC，垂足为 E.

则∠ DBA＝ 90°，∠ D＝∠ C＝60°，

∠CAE＝∠ DAB＝ 90°－ 60°＝ 30°

CE＝1 AC＝1， AE＝3，AB=√7∴R=AC·AB/2AE=2x√7/(2x

3 )

2

C

E D

O

A B

应用三、已知三角形的一边长二角度或对角的度数（特别角），求它的外接圆的半径。

用方法二

例 4 已知 AD=5,AC=7,CD=3,AB=10√3，求它的外接圆的半径

解从 A 作 AM⊥BC于 M，则

AD2－MD2＝A M2

＝AC2－ (MD＋CD)2．即 52－MD2＝ 72－ (MD＋ 3)2．

得 R＝14，则△ ABC外接圆面积S＝π R2＝196π．

例 5 如图 3，已知抛物线 y＝x2－ 4x＋h 的极点 A 在直线 y＝－ 4x－ 1 上，求①抛物线的极点坐标；

②抛物线与 x 轴的交点 B、C 的坐标；

③△ ABC的外接圆的面积．

解① A(2，－ 9)；

②B(－1，0)； C(5， 0)．

③从 A 作 AM⊥x 轴交于 M 点，

则 BM＝MC＝3．AM ＝9．

∴R＝5

△ABC外接圆面积 S＝π R2＝25π

三角形内切圆半径r 的求法

1∵ S△ABC=1/2(a+b+c)r

∴r=2S△ABC/(a+b+c)

2Rt△ ABC中 ,r=(a+b-c)/2

三角形的内切圆和外接圆【知识要点】

1、三角形的外接圆

（ 1）过三角形三个极点的圆，叫做三角形的外接圆，三条边中垂线的交点，叫做三角形

的外心。三角形的外心到各极点的距离相等．

（2）锐角三角形的外心在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形的外面，直角三角形

的外心在斜边中点，外接圆半径R c

(c为斜边长)．2

2、三角形的内切圆

（1）到三角形三条边距离都相等的圆，叫三角形的内切圆，三角形中，三个内角均分线的交点，叫三角形的内心，三角形内心到三条边的距离相等，内心都在三角形的内部．

（ 2）若三角形的面积为S ABC，周长为a+b+c,则内切圆半径为: r

2S ABC

a b c

，当a, b为直

角三角形的直角边， c 为斜边时，内切圆半径

ab a b c r或 r

2

.

a b c

3、圆内接四边形的性质

（1）圆内接四边形的对角互补；

（2）圆内接四边形的任何一个外角等于它的对角．

注意：①圆内接平行四边形为矩形；②圆内接梯形为等腰梯形．

4、两个结论：

圆的外切四边形对边和相等；

圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长．

【典型例题】A

一、填空和选择

I

·

B C

（1）一个三角形的内心，外心都在三角形内，则这个三角形必然是()

A、直角三角形

B、锐角三角形

C、钝角三角形

D、等腰三角形

（2）如右图， I 是 ABC 的内心，则以下式子正确的选项是（）

A、∠ BIC=180 -2∠ A

B、∠ BIC=2∠A

C、∠ BIC=90+∠ A/2

D、∠ BIC=90 -∠ A/2（3） ABC 外切于⊙ O，

E、

F、G 分别是⊙ O 与各边的切点，则 EFG 的外心是ABC 的。（4）直角三角形的两条直角边分别为 5 和 12，那么它的外接圆的半径为，内切圆半径为．

（5）等边三角形内切圆半径，外接圆半径分别为r , R ，则r : R =．

（6）圆外切等腰梯形底角为 60 ，腰长为 10，则圆的半径长为．

（7）等边三角形一边长为2，则其内切圆半径等于．

（8）等边三角形的内切圆半径，外接圆半径的和高的比是．

（9） ABC 的内切圆⊙ I 与 AB、BC、CA分别切于 D、E、F 点，且∠ FID=∠EID=135 ，则

ABC

为．

例 2．如图，△ ABC中， I 是内心， AI 交 BC于 D，交△ ABC的外接圆于 E。

求证：（ 1） IE=EC，（ 2） IE2=ED·EA。

A

I

D

B C

E

例 3．如图，已知ABC 内接于⊙ O ， AE 切⊙ O 于点 A， BC∥AE，求证：ABC 是等腰三角形

B

A·O

C

E

P

例 4．已知ABC 三边长为 6，8，10，则它的内心，外心间的距离为

【经典练习】

一、选择题

1.以下命题中，正确的有（）

① 圆内接平行四边形是矩形② 圆内接菱形是正方形

③ 圆内接梯形是等腰梯形④ 圆内接矩形是正方形

A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个

2.在圆内接四边形ABCD中，∠ A：∠ B：∠ C=3：5：6，那么∠ D=（

A．80°B． 90°C． 100°D． 120°

）

3.若是一个直角三角形的一条直角边等于它的外接圆的半径r，那么此三角形的面积与其外接圆的面积之比为（）

A．3B．3

C．3D．

2

42

4.如图 1，四边形 ABCD内接于⊙ O，若∠ BOD=110°，则∠ BCD=（）

A．125°B．110°C．55°D． 70°

A A P

A D

B

O

D

O

B D

C B C

C图 3

5.如图 2，四边形 ABCD内接于⊙ O，∠ ADC=60°，则∠ ABC=（）

A．30°B．60°C． 120°D．90°

︵

）

6.如图 3，正方形 ABCD内接于⊙ O，点 P 在 AD 上，则∠ BPC为（

A．35°B． 40°C． 45° D．50°

7.如图 4，MNPQ 中，过点Q、M的圆与PQ、MN分别订交于点E、F，以下结论中正确的有（）

①∠ EFN=∠Q=∠N；②∠ EFN+∠P=180°；③ EF=PN=MQ；④∠ M=∠FEP。

A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个

8.如图 5，四边形 ABCD是⊙O 的内接四边形， AD 为⊙O 的直径，若∠CBE=50°，则圆心角∠ AOC =（）

A． 50°B． 80°C．100°D．130°

Q E P D

O O

C

M F N

A

E B

图 4图 5

二、填空题

9．设 I 是△ ABC的内心，O 是△ ABC的外心，∠ A=80°，则∠

BIC=，∠BOC=。10．若三角形的三边长为 5、12、13，则其外接圆的直径长等于，其内切圆的直径长为。

11．直角三角形的一边为 a，它的对角是 30°，则此三角形的外接圆的半径是。12．如图 6，⊙ I 切△ ABC于 D、E、F，∠ C=60°，∠ EIF=100°，则∠ B=。

A

B

F D A D

E

E O O

I B C

B D

C C F A

图 6图 7图 8

13．如图 7，⊙ O 内切于 Rt△ABC，∠ C=90°， D、 E、 F 为切点。若∠ AOC=120°，则∠ OAC=，∠ B=；若 AB=2cm，则 AC=,

△ABC的外接圆半径 =，内切圆半径 =。

14．如图 8，若弦 AD∥BC，∠BAC=70°，∠ABC=80°，则∠ ADC=度，∠ ACD=度。

15 ．如图 9 ，四边形ABCD 为⊙ O 的内接四边形， AE⊥ CD，若∠ ABC=130°，则∠DAE=。

A D

C

B O O

C E

D A B P

图 9图 10

16．如图 10，四边形 ABCD是⊙ O 的内接四边形， AB 与 DC的延长线交于 P。已知∠ A=60°，∠ABC=100°，则∠ P=。

【大展身手】

一、选择题

1．以下说法正确的选项是（）

A．三点确定一个圆B．三角形有且只有一个外接圆

C．四边形都有一个外接圆D．圆有且只有一个内接三角形

2．以下命题中的假命题是（）

A．三角形的外心到三角形各极点的距离相等

B．三角形的外心到三角形三边的距离相等

C．三角形的外心必然在三角形一边的中垂线上

D．三角形任意两边的中垂线的交点，是这个三角形的外心

3．以下列图形必然有外接圆的是（）

A．三角形B．平行四边形C．梯形D．菱形

4．以下说法正确的选项是（）

A．过一点 A 的圆的圆心可以是平面上任意点

B．过两点 A、B 的圆的圆心在一条直线上

C．过三点 A、B、C 的圆的圆心有且只有一点

D．过四点 A、B、C、D 的圆不存在

5．在 Rt△ ABC中，∠ C=90°， AC=6cm，BC=8cm，则它的外心与极点 C 的距离为（）A． 5cm B．6cm C．7cm D．8cm

6．等边三角形的外接圆的半径等于边长的（）倍．

A．

3

B．

3C．3D．1 232

7．三角形的外心拥有的性质是（）

A．到三边距离相等B．到三个极点距离相等

C．外心在三角形外D．外心在三角形内

8．对于三角形的外心，以下说法错误的选项是（）

A．它到三角形三个极点的距离相等

B．它与三角形三个极点的连线均分三内角

C．它到任一极点的距离等于这三角形的外接圆半径

D．以它为圆心，它到三角形一极点的距离为半径作圆，必经过别的两个极点

9．在一个圆中任意引两条直径，按次连接它们的四个端点组成一个四边形，则这个四边形一

定是（）

A．菱形B．等腰梯形C．矩形D．正方形

10．以下列图，圆的内接四边形ABCD， DA、 CB延长线交于 P，AC 和 BD 交于 Q，则图中相

似三角形有（）

C B P

A、1 对

B、2 对Q

C、3 对

D、4 对A

D 11．∠ DCE是圆内接四边形 ABCD的一个外角，那么必然有

（）

A、∠ DCE+∠A=

B、∠ DCE+∠ B=

180180

C、∠ DCE=∠A`

D、∠ DCE=∠B

二、填空题：

．△的三边，，13

，设其三条高的交点为 H，外心为 O，则 OH=．

1ABC 3 2E

2．△ ABC的外心是它的两条中线交点，则△ ABC的形状为．A 3．以下列图，在ABC 的外接圆中， AB=AC，D 为 AB 的中点，D

·

O

B C

若∠ EAD=114 ，则∠ BAD=．

例6已知：如图，四边形ABCD内接于⊙ O，点P在AB的延长线上，且PC∥BD。

PB CB

求证：

CD DA