两角和与差的三角函数练习
1.(4分)(2009陕西)若3sinα+cosα=0,则的值为()A.B.C.D.﹣2
2.(4分)已知,则=()A.B.C.D.
3.(4分)如果α∈(,π),且sinα=,那么sin(α+)+cos(α+)=()
A.B.
﹣C.D.
﹣
7.(4分)(2008海南)=()
A.B.C.2D.8.(4分)已知sinθ=﹣,θ∈(﹣,),则sin(θ﹣5π)sin(π﹣θ)的值是()
A.B.
﹣C.
﹣
D.
9.(4分)(2007海南)若,则cosα+sinα的值为()
A.B.C.D.
10.(4分)设α,β都是锐角,那么下列各式中成立的是()
A.s in(α+β)>sinα+sinβB.c os(α+β)>cosαcosβ
C.s in(α+β)>sin(α﹣β)D.c os(α+β)>cos(α﹣β)
11.(4分)(2009杭州二模)在直角坐标系xOy中,直线y=2x﹣与圆x2+y2=1交于A,B两点,记∠xOA=α(0<α<),∠xOB=β(π<β<),则sin(α+β)的值为()
A.B.C.
﹣D.
﹣
12.(4分)(2008山东)已知,则的值是()A.B.C.D.
4.(5分)(2008宁波模拟)已知cos(α+)=sin(α﹣),则tanα=_________.
5.(5分)已知sin(30°+α)=,60°<α<150°,则cosα的值为
_________.
13.(5分)的值为_________.
14.(5分)(2012桂林一模)若点P(cosα,sinα)在直线y=﹣2x上,则sin2α+2cos2α=_________.15.(5分)的值为
_________.
三、解答题(共4小题,满分0分)
6.化简:
(1);
(2)﹣.
16.(2006上海)已知α是第一象限的角,且,求的值.
17.求值:(1);
(2)tan(﹣θ)+tan(+θ)+tan(﹣θ)tan(+θ).
18.(2008江苏)如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别交单位圆于A,B两点.已知A,B两点的横坐标分别是,.
(1)求tan(α+β)的值;
(2)求α+2β的值.
参考答案与试题解析
一、选择题(共9小题,每小题4分,满分36分)
1.(4分)(2009陕西)若3sinα+cosα=0,则的值为()
A.B.C.D.﹣2
考点:二倍角的余弦;同角三角函数基本关系的运用.
专题:计算题.
分析:首先考虑由3sinα+cosα=0求的值,可以联想到解sinα,cosα的值,在根据半角公式代入
直接求解,即得到答案.
解答:
解析:由3sinα+cosα=0?cosα≠0且tanα=﹣
所以
故选A.
点评:此题主要考查同角三角函数基本关系的应用,在三角函数的学习中要注重三角函数一系列性质的记忆和理解,在应用中非常广泛.
2.(4分)已知,则=()
A.B.C.D.
考点:任意角的三角函数的定义;运用诱导公式化简求值.
专题:计算题.
分析:
求出cosa=,利用诱导公式化简,再用两角差的余弦公式,求解即可.
解答:
解:cosa=,cos(+a)=cos(2π﹣+a)=cos(a﹣)
=cosacos+sinasin=×+×=.
故选B.
点评:本题考查任意角的三角函数的定义,运用诱导公式化简求值,考查计算能力,是基础题.
3.(4分)如果α∈(,π),且sinα=,那么sin(α+)+cos(α+)=()
A.B.
﹣C.D.
﹣
考点:运用诱导公式化简求值.
专题:计算题.
分析:
利用同角三角函数的基本关系利用sinα的值求得cosα的值,然后利用二倍角公式和诱导公式对sin(α+)
+cos(α+)进行化简,最后把cosα的值代入即可.
解答:
解:∵sinα=,<α<π,
∴cosα=﹣,而sin(α+)+cos(α+)=sin(α+)=cosα=﹣.
故选D
点评:本题主要考查了二倍角公式,两角和公式和诱导公式化简求值.考查了基础知识的综合运用.在利用诱导公式时应注意根据角的范围确定三角函数值的正负.
7.(4分)(2008?海南)=()
A.B.C.2D.
考点:二倍角的余弦.
分析:本题是分式形式的问题,解题思路是约分,把分子正弦化余弦,用二倍角公式,合并同类项,约分即可.解答:
解:原式=
=
=
=2,
故选C.
点评:对于三角分式,基本思路是分子或分母约分或逆用公式,对于和式的整理,基本思路是降次、消项和逆用公式,对于二次根式,注意二倍角公式的逆用.另外还要注意切割化弦,变量代换和角度归一等方法.
8.(4分)已知sinθ=﹣,θ∈(﹣,),则sin(θ﹣5π)sin(π﹣θ)的值是()
A.B.
﹣C.
﹣
D.
考点:运用诱导公式化简求值.
专题:计算题.
分析:由已知条件可得θ为第四象限角,根据同角三角函数关系式可得cosθ的值,由三角函数诱导公式化简sin (θ﹣5π)sin(π﹣θ),然后可求得它的值.
解答:
解:∵θ∈(﹣,),
∴θ为第四象限角,
∴cosθ==,
∴sin(θ﹣5π)sin(π﹣θ)=sinθcosθ=﹣×=﹣,
故选B.
点评:本题主要考查了利用诱导公式和同角三角函数的基本关系化简求值的问题.考查了考生对三角函数基础知识的综合运用.
9.(4分)(2007?海南)若,则cosα+sinα的值为()
A.B.C.D.
考点:三角函数中的恒等变换应用.
分析:题目的条件和结论都是三角函数式,第一感觉是先整理条件,用二倍角公式和两角差的正弦公式,约分后恰好是要求的结论.
解答:
解:∵,
∴,
故选C
点评:本题解法巧妙,能解的原因是要密切注意各公式间的内在联系,熟练地掌握这些公式的正用、逆用以及某些公式变形后的应用.
10.(4分)设α,β都是锐角,那么下列各式中成立的是()
A.s in(α+β)>sinα+sinβB.c os(α+β)>cosαcosβ
C.s in(α+β)>sin(α﹣β)D.c os(α+β)>cos(α﹣β)
考点:两角和与差的余弦函数;两角和与差的正弦函数.
分析:根据公式化简sin(α+β)和cos(α+β),因为α和β为锐角,得到正弦、余弦函数的函数值为正值,判断出谁大谁小即可.
解答:解:∵sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,
sin(α﹣β)=sinαcosβ﹣cosαsinβ,
又∵α、β都是锐角,∴cosαsinβ>0,
故sin(α+β)>sin(α﹣β).
故选C
点评:考查学生灵活运用两角和与差的正弦函数公式以及两角和与差的余弦函数函数公式化简求值,并会利用三角函数值比较大小.
11.(4分)(2009?杭州二模)在直角坐标系xOy中,直线y=2x﹣与圆x2+y2=1交于A,B两点,记∠xOA=α(0<α<),∠xOB=β(π<β<),则sin(α+β)的值为()
A.B.C.
﹣D.
﹣
考点:两角和与差的正弦函数;直线与圆相交的性质.
专题:综合题.
分析:把直线与圆的方程联立得到关于x与y的二元二次方程组,求出方程组的解即可得到交点A和B的坐标,然后根据α为第一象限的角,由点A的坐标分别求出sinα和cosα的值,β为第三象限的角,由点B的坐标
分别求出sinβ和cosβ的值,最后把所求的式子利用两角和的正弦函数公式化简后,将各自的值代入即可求出值.
解答:
解:联立得:
解得:或
所以点A(,),点B(﹣,﹣).
由∠xOA=α为第一象限的角,∠xOB=β为第三象限的角,
根据两点的坐标分别得到:
sinα=,cosα=,sinβ=﹣,cosβ=﹣,
则sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=×(﹣)+×(﹣)=﹣.
故选D
点评:此题考查学生掌握象限角的三角函数值的求法,灵活运用两角和的正弦函数公式化简求值,是一道中档题.
12.(4分)(2008?山东)已知,则的值是()A.B.C.D.
考点:两角和与差的正弦函数;同角三角函数基本关系的运用.
分析:从表现形式上看不出条件和结论之间的关系,在这种情况下只有把式子左边分解再合并,约分整理,得到和要求结论只差π的角的三角函数,通过用诱导公式,得出结论.
解答:
解:∵,
∴,
∴.
故选C
点评:已知一个角的某个三角函数式的值,求这个角的或和这个角有关的角的三角函数式的值,一般需用三个基本关系式及其变式,通过恒等变形或解方程求解.而本题应用了角之间的关系和诱导公式.
二、填空题(共5小题,每小题5分,满分25分)
4.(5分)(2008?宁波模拟)已知cos(α+)=sin(α﹣),则tanα=1.
考点:两角和与差的正弦函数;弦切互化;两角和与差的余弦函数.
专题:计算题.
分析:把已知条件根据两角和的余弦函数公式和两角差的正弦函数公式化简后,利用同角三角函数的关系及特殊角的三角值求出tanα的值.
解答:
解:∵cos(α+)=sin(α﹣),
∴cosαcos﹣sinαsin=sinαcos﹣cosαsin,即cosα﹣s inα=sinα﹣cosα,
化简得:(+)sinα=(+)cosα,即sinα=cosα
则tanα=1.
故答案为:1
点评:此题是一道三角函数化简的基础题,要求学生掌握两角和与差的正弦、余弦函数的公式,灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值,要求学生牢记特殊角的三角函数值.
5.(5分)已知sin(30°+α)=,60°<α<150°,则cosα的值为
.
考点:同角三角函数基本关系的运用;两角和与差的正弦函数.
专题:计算题.
分析:先利用α的范围确定30°+α的范围,进而利用同角三角函数的基本关系求得cos(30°+α)的值,最后利用两角和的余弦函数求得答案.
解答:解:∵60°<α<150°,∴90°<30°+α<180°.
∵sin(30°+α)=,∴cos(30°+α)=﹣.
∴cosα=cos[(30°+α)﹣30°]
=cos(30°+α)?cos30°+sin(30°+α)?sin30°
=﹣×+×=.
故答案为:
点评:本题主要考查了同角三角函数的基本关系的运用和两角和与差的余弦函数.考查了学生综合运用所学知识解决问题的能力.
13.(5分)?的值为1.
考点:同角三角函数基本关系的运用;二倍角的正弦;二倍角的余弦.
专题:计算题.
分析:根据同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦、余弦公式化简原式,然后利用平方差公式分解因式,约分可得值.
解答:
解:原式=?=?
=?=1.
故答案为1
点评:此题是一道基础题,要求学生掌握同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦、余弦公式的应用,做题时应会把“1”灵活变形.
14.(5分)(2012?桂林一模)若点P(cosα,si nα)在直线y=﹣2x上,则sin2α+2cos2α=﹣2.
考点:同角三角函数基本关系的运用;二倍角的正弦;二倍角的余弦.
专题:计算题.
分析:把点P代入直线方程求得tanα的值,进而利用万能公式对sin2α+2cos2α化简整理后,把tanα的值代入即可.
解答:解:∵P(cosα,sinα)在y=﹣2x上,
∴sinα=﹣2cosα,即tanα=﹣2.
∴sin2α+2cos2α=+2?
===﹣2.
故答案为:﹣2
点评:本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用,万能公式的应用.要熟练记忆同角三角函数中的平方关系,倒数关系及商数关系等.
15.(5分)的值为
.
考点:三角函数的化简求值.
专题:计算题.
分析:利用两角和公式使cos5°转化为cos(30°﹣25°),利用两角和公式展开后,化简整理求得答案.
解答:
解:原式====.
故答案为:
点评:本题主要考查了两角和公式的化简求值.考查了学生分析问题和综合运用基础知识的能力.
三、解答题(共4小题,满分0分)
6.化简:
(1);
(2)﹣.
考点:同角三角函数基本关系的运用.
专题:计算题.
分析:(1)利用两角和公式把原式展开后整理求得问题的答案.
(2)利用正切的二倍角公式对原式进行化简整理求得问题答案.
解答:
解:(1)原式=
=
=﹣=﹣tan(α﹣β).
(2)原式=
==tan2θ.
点评:本题主要考查了三角函数的化简求值,同角三角函数基本关系的应用.要求考生能对三角函数基础公式的熟练记忆.
16.(2006?上海)已知α是第一象限的角,且,求的值.
考点:象限角、轴线角;任意角的三角函数的定义;运用诱导公式化简求值;两角和与差的正弦函数;二倍角的余弦.
专题:计算题;综合题.
分析:利用诱导公式,倍角公式,两角和的正弦公式,化简,然后求出sinα,代入求值即可.
解答:
解:=
由已知可得sin,
∴原式=.
点评:本题考查象限角、轴线角,任意角的三角函数的定义,运用诱导公式化简求值,两角和与差的正弦函数,二倍角的余弦,考查学生运算能力,是基础题.
17.求值:(1);
(2)tan(﹣θ)+tan(+θ)+tan(﹣θ)tan(+θ).
考点:三角函数的化简求值.
专题:计算题.
分析:(1)将10°用30°﹣20°表示,利用两角差的余弦公式展开,利用三角函数的诱导公式,化简求值.(2)利用两角和的正切公式的变形形式表示出两角的正切和,求出值.
解答:
解:(1)原式====.(2)原式=tan[(﹣θ)+(+θ)][1﹣tan(﹣θ)tan(+θ)]+tan(﹣θ)tan(+θ)=.点评:本题考查凑角及凑公式的数学思想方法、考查两角和,差的正弦,余弦,正切公式.
18.(2008?江苏)如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别交单位圆于A,B两点.已知A,B两点的横坐标分别是,.
(1)求tan(α+β)的值;
(2)求α+2β的值.
考点:两角和与差的正切函数.
分析:
(1)先由已知条件得;再求sinα、sinβ进而求出tanα、tanβ;
最后利用tan(α+β)=解之.
(2)利用第一问把tan(α+2β)转化为tan[(α+β)+β]求之,再根据α+2β的范围确定角的值.
解答:
解:(1)由已知条件即三角函数的定义可知,
因为α为锐角,则sinα>0,从而
同理可得,
因此.
所以tan(α+β)=;
(2)tan(α+2β)=tan[(α+β)+β]=,
又,故,
所以由tan(α+2β)=﹣1得.
两角和与差的三角函数教案
两角和与差的三角函数 班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________ 一、选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内.) 1.已知sin α+sin β+sin γ=0,cos α+cos β+cos γ=0,则cos(α-β)的值为( ) A .1 B .-1 C.12 D .-12 解析:将已知两式化为sin α+sin β=-sin γ,cos α+cos β=-cos γ.两式平方相加,有cos(α-β)=-12 . 答案:D 2.若cos α+2sin α=-5,则tan α=( ) A.12 B .2 C .-12 D .-2 解析:由已知得 5 sin(α+φ)=- 5 ????其中tan φ=1 2,即有 sin(α+φ)=-1,所以α+φ=2k π-π2,α=2k π-π2-φ,所以tan α=tan(-π 2 -φ)=cot φ=2. 答案:B 3. 3- sin70° 2-cos 210° =( ) A.12 B.22 C .2 D.32 解析:3- sin70°2-cos 2 10°=3- sin70°2- 1+cos20°2=2(3-cos20°)3-cos20° =2. 答案:C 4.(2011·南通)已知sin x -sin y =-23,cos x -cos y =2 3,且x 、y 为锐角,则tan(x -y )的值 是( ) A.214 5 B .-2145 C .±2145 D .±51428
解析:∵sin x -sin y =-23,cos x -cos y =2 3,两式相加得:sin x +cos x =sin y +cos y ,∴sin2x =sin2y .又∵x 、y 均为锐角,∴2x =π-2y ,∴x +y =π2,∴由cos x -cos y =2 3,得sin y -cos y =2 3 ,∴2sin ????y -π4=23, ∴sin ????y -π4=23 , ∴cos ????2y -π2=cos ????2????y -π4=1-2sin 2????y -π4 =1-2×29=59,∴sin2y =59 . 又∵sin y -cos y =23>0,且y 为锐角,故π4<y <π 2, ∴π 2 <2y <π, ∴cos2y =-1-sin 22y =-1-2581=-569 =-2149 . ∴tan(x -y )=tan ????π2-2y =cot2y =cos2y sin2y =-2149×95=-214 5. 答案:B 5.(2011·西城)已知sin α=35,且α∈????π2,π,那么sin2α cos 2α的值等于( ) A .-3 4 B .-3 2 C.34 D.32 解析:sin2αcos 2α=2sin αcos αcos 2α=2sin αcos α=2tan α. ∵sin α=3 5 ,α∈????π2,π, ∴cos α=-45,tan α=-34,2tan α=-3 2,选择B. 答案:B 6.(2011·合肥)已知角α在第一象限且cos α=3 5,则1+2cos ????2α-π 4sin ??? ?α+π2=( )
两角和与差的三角函数求值 高中数学教案
两角和与差的三角函数求值微课设计 一、教材分析 三角函数的求值主要有两种类型,即给值求值,给值求角. (1)正确地理解、选用公式,把非特殊角的三角函数值化为特殊角的三角函数值; (2)找出已知条件与所求结论之间的联系,一般可以适当变换已知代数式,从而达到解题的目的。 二、教学目标 知识与技能:探究已知与未知的内在联系,加深对公式的理解,培养学生的运算能力及逻辑推理能力。 过程与方法:通过两角和与差的三角函数公式的运用,会进行简单的求值、化简,使学生深刻体会联系变化的观点,自觉地利用联系变化的观点来分析问题,提高学生分析问题的能力。 情感态度与价值观:通过本节学习,使学生掌握寻找数学规律的方法,提高学生的观察分析能力,培养学生的应用意识,提高学生的数学素质。 三、学情分析 (1)对公式记忆不准确而使公式应用错误; (2)公式不能灵活应用和变形应用; (3)忽略角的范围或者角的范围判断错误.。 四、教学重、难点 教学重点: 两角和与差的三角函数公式的理解; 教学难点: 两角和与差的三角函数公式的运用。 五、教法学法 讲授法。 六、教学过程设计
故知新 通过分析两角和与差的三角函数公式,加深对知识的理解. 创设情境问题情境: 通过对热点考向的分析, 明确本节主要内容与学习方 向。 通过设计一系列典型例 题,让学生进一步体会两角和 与差的三角函数公式的正用、 逆用,以及整体代换思想的融 合,,提高学生的观察分析能 力,培养学生的应用意识。
典 例 分 析 引导学生从多角度思考 问题,意识到解决问题方法的 不唯一性,加深学生对两角和 与差的三角函数公式的理解, 拓展学生思维。 课 堂梳理公式特点分析; 整体代换思想。 课堂梳理,可以把课堂探究生 成的知识尽快转化为学生的 素质,巩固深化这节课的内 容.
两角和与差的三角函数及倍角公式练习及答案
两角和与差的三角函数及倍角公式练习及答案 一、选择题: 1、若)tan(,21tan ),2(53sin βαβπαπα-=<<= 则的值是 A .2 B .-2 C .211 D .-211 2、如果sin cos ,sin cos x x x x =3那么·的值是 A .16 B .15 C .29 D .310 3、如果的值是那么)4tan(,41)4tan(,52)tan(παπββα+=-= + A .1318 B .322 C .1322 D .-1318 4、若f x x f (sin )cos ,=?? ?? ?232则等于 A .-12 B .-32 C .12 D .32 5、在?ABC A B A B 中,··sin sin cos cos ,<则这个三角形的形状是 A .锐角三角形 B .钝角三角形 C .直角三角形 D .等腰三角形 二、填空题: 6、角αβαβ终边过点,角终边过点,则(,)(,)sin()4371--+= ; 7、若αα23tan ,则=所在象限是 ; 8、已知=+-=??? ??+θθθθθπsin 2cos cos sin 234cot ,则 ; 9、=??-?+?70tan 65tan 70tan 65tan · 10、化简3232sin cos x x += 。 三、解答题: 11、求的值。·??+?100csc 240tan 100sec
12、的值。,求已知)tan 1)(tan 1(43βαπβα--=+ 13、已知求的值。cos ,sin cos 23544θθθ=+ 14、已知)sin(2)(sin 053tan ,tan 22βαβαβα+++=-+的两个根,求是方程x x ·cos()αβ+的值。
两角和差的三角函数(教案)
两角和与差的正弦、余弦、和正切公式教案(一) 教学目标 ? 知识与技能:理解利用向量推导两角和差的三角函数公式的过程,进一步体会向量方法的作用,能运用公式进行简单的恒等变换; ? 过程与方法:通过适当强度的课前学生自学,课堂上学生讲解与教师辅助点拨相结合,逐步培养学生自学,敢于展示、认真聆听、积极交流的能力; ? 情感态度与价值观:自主展示实现自我价值,合作学习培养团队合作。 一.课前自学 1.问题提出: 利用熟悉的角的三角函数值验证cos()αβ-是否等于cos cos αβ-,其他三个 , , 的情况又如何? 设计意图:通过对简单的易于进入的问题的探讨,在学生心中生成问题,激发求知欲,为课程的展开提供主观动力。 2. 公式推导: 如图1,在以坐标原点为圆心的单位圆O 中,已知角 与角的终边为与单位圆的交点分别为A,B, 则____________ 根据三角函数的定义:若点A 的坐标为,点B 的坐标为 则 ; 则点A 的坐标可以用的三角函数表示为( , ) 点B 的坐标可以用的三角函数表示为( , ) 则 的坐标(_________________) , 的坐标(_________________) _________________________________OA OB ?= 向量夹角 , 的夹角为 cos()cos ,OA OB αβ-==( ) ( ) =______________________________________ ____________________________________________(提示: OA 与OB 的模为?) =_________________________________ 提醒学生思考:如果角α β、改变结果是否会发生改变,进行推到过程的严谨性探究。
两角和与差的三角函数练习题及答案
两角和与差的三角函数练习题及答案 一、选择题 1. sin 45°·cos 15°+cos 225°·sin 15°的值为 ( C ) A .- 32 B .-12 2.已知sin(45°+α)=5 5 ,则sin 2α等于 ( B ) A .-4 5 B .-35 3.已知cos ? ????π6-α=33,则sin 2? ????α-π6-cos ? ????5π6+α的值是 ( A ) B .-2+3 3 4.已知向量a =? ????sin ? ????α+π6,1,b =(4,4cos α-3),若a⊥b ,则sin ? ????α+4π3等于 ( B ) A .- 3 4 B .-14 5.已知sin ? ????π6-α=13,则cos ? ?? ??2π3+2α的值是 ( A ) A .-7 9 B .-13 6.在△ABC 中,角C =120°,tan A +tan B =2 33,则tan A tan B 的值为( B ) 二、填空题 7.若sin α+cos αsin α-cos α=3,tan(α-β)=2,则tan(β-2α)= 8. 3-sin 70°2-cos 2 10°=________. 2 9.已知α,β∈? ????3π4,π,sin(α+β)=-35, sin ? ????β-π4=1213,则cos ? ?? ??α+π4= ________. -56 65 三、解答题
(1)2sin ? ????π4-x +6cos ? ?? ??π4-x ; (2)2cos 2 α-1 2tan ? ????π4-αsin 2? ?? ? ?π 4+α. 解 (1)原式=22??????1 2sin ? ????π4 -x +32·co s ? ????π4-x =22??????sin π6sin ? ????π4-x +cos π6cos ? ????π4-x =22cos ? ????π6-π4+x =22cos ? ????x -π12. (2)原式=cos 2α1-tan α1+tan α??????1-cos ? ????π2+2α =cos 2α cos 2α1+sin 2α (1+sin 2α)=1. 11.已知函数f (x )=2sin 2? ?? ??π 4+x -3cos 2x . (1)求f (x )的周期和单调递增区间; (2)若关于x 的方程f (x )-m =2在x ∈??????π4,π2上有解,求实数m 的取值范围. 解 (1)f (x )=2sin 2? ????π 4+x -3cos 2x =1-cos ? ?? ??π2+2x -3cos 2x =1+sin 2x -3cos 2x =2sin ? ????2x -π3+1, 周期T =π;令2k π-π2≤2x -π3≤2k π+π 2, 解得单调递增区间为??????k π-π12,k π+5π12(k ∈Z ). (2)x ∈?? ????π4,π2,所以2x -π3∈??????π6,2π3, sin ? ????2x -π3∈???? ??12,1, 所以f (x )的值域为[2,3]. 而f (x )=m +2,所以m +2∈[2,3],即m ∈[0,1]. 12.已知向量a =(3sin α,cos α),b =(2sin α,5sin α-4cos α),α∈? ?? ? ?3π2,2π, 且a⊥b . (1)求tan α的值; (2)求cos ? ?? ??α2+π3的值. 解 (1)∵a⊥b ,∴a·b =0. 而a =(3sin α,cos α),b =(2sin α,5sin α-4cos α), 故a·b =6sin 2 α+5sin αcos α-4cos 2 α=0. 由于cos α≠0,∴6tan 2 α+5tan
三角函数基础,两角和与差、倍角公式
练习: 一、填空题 1. α是第二象限角,则2 α 是第 象限角. 2.已知扇形的半径为R ,所对圆心角为α,该扇形的周长为定值c ,则该扇形最大面积为 . 同角三角函数的基本关系公式: αααtan cos sin = ααα cot sin cos = 1cot tan =?αα 1cos sin 22=+αα 1?“同角”的概念与角的表达形式无关,如: 13cos 3sin 2 2 =+αα 2tan 2 cos 2sin ααα = 2?上述关系(公式)都必须在定义域允许的围成立。 3?由一个角的任一三角函数值可求出这个角的其余各三角函数值,且因为利用“平方关系”公式,最终需求平方根,会出现两解,因此应尽可能少用,若使用时,要注意讨论符号. 这些关系式还可以如图样加强形象记忆: ①对角线上两个函数的乘积为1(倒数关系). ②任一角的函数等于与其相邻的两个函数的积(商数关系). ③阴影部分,顶角两个函数的平方和等于底角函数的平方(平方关系). 二、讲解例: 例1化简:ο440sin 12- 解:原式οοο ο ο 80cos 80cos 80sin 1)80360(sin 122 2 ==-=+-= 例2 已知α α αααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+是第三象限角,化简 解:) sin 1)(sin 1() sin 1)(sin 1()sin 1)(sin 1()sin 1)(sin 1(αααααααα-+--- -+++= 原式 |cos |sin 1|cos |sin 1sin 1)sin 1(sin 1)sin 1(2 222ααααα ααα--+=----+= 0cos <∴αα是第三象限角,Θ αα α ααtan 2cos sin 1cos sin 1-=----+= ∴原式 (注意象限、符号) 例3求证: α α ααcos sin 1sin 1cos +=- 分析:思路1.把左边分子分母同乘以x cos ,再利用公式变形;思路2:把左边分子、分母同乘以(1+sinx )先满足
两角和与差的三角函数
两角和与差的三角函数 一.课前热身 1.cos 43sin13sin 43cos167+= 2.tan 3,tan 4αβ==,则tan()αβ+= 3.要使sin 312m αα=-有意义,则m 的取值范围是 4.已知02π α<<,1sin()43 πα-=,则sin α= 5.sin 50(13tan10)+= 二.例题展示 例1:已知向量(sin ,2)(1,cos )a b θθ=-=与互相垂直,其中(0, )2πθ∈. (1)求sin cos θθ和的值; (2)若10sin()102πθ??-= <<,求cos ?的值. 例2:如图,在平面直角坐标系xoy 中,以ox 轴为始边做两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆相交于A,B 两点,已知A,B 的横坐标分别为 25105 . (Ⅰ)求tan(αβ+)的值; (Ⅱ)求2αβ+的值. 例3:已知tan110a =,求tan50的值(用a 表示) 313a +212a a -,对这两种结果,哪个是正确的呢? 例4:(1)求证: 111sin 2tan tan 2x x x =- (2)化简:*1111,()sin 2sin 4sin8sin 2n n N x x x x +++???+∈
三.课内反馈 1.已知12αβ= sin cos 则 cos αsin β的取值范围是________. 2.已知4π αβ+=,则(1tan )(1tan )αβ++= 3.已知α、β均为锐角,且cos(α+β)=sin(α-β),则tan α=_____. 4.已知12ππcos(),sin(),π,0,292322 β ααβαβ-=--=<<<<且 cos 2αβ +求的值 5.若sin ,sin 510A B = =,且A,B 都是钝角,求A+B 的值.
两角和与差的三角函数练习含答案
一、选择题(共9小题,每小题4分,满分36分) 1.(4分)(2009?陕西)若3sinα+cosα=0,则的值为() A.B.C.D.﹣2 2.(4分)已知,则=() A.B.C.D. 3.(4分)如果α∈(,π),且sinα=,那么sin(α+)+cos(α+)=() A.B.﹣C.D.﹣ 7.(4分)(2008?海南)=() A.B.C.2D. 8.(4分)已知sinθ=﹣,θ∈(﹣,),则sin(θ﹣5π)sin(π﹣θ)的值是() A.B.﹣C.﹣D. 9.(4分)(2007?海南)若,则cosα+sinα的值为() A.B.C.D. 10.(4分)设α,β都是锐角,那么下列各式中成立的是() A.s in(α+β)>sinα+sinβB.c os(α+β)>cosαcosβ C.s in(α+β)>sin(α﹣β)D.c os(α+β)>cos(α﹣β) 11.(4分)(2009?杭州二模)在直角坐标系xOy中,直线y=2x﹣与圆x2+y2=1交于A,B两点,记∠xOA=α(0<α<),∠xOB=β(π<β<),则sin(α+β)的值为() A.B.C.﹣D.﹣ 12.(4分)(2008?山东)已知,则的值是() A.B.C.D. 二、填空题(共5小题,每小题5分,满分25分) 4.(5分)(2008?宁波模拟)已知cos(α+)=sin(α﹣),则tanα=_________ . 5.(5分)已知sin(30°+α)=,60°<α<150°,则c osα的值为 _________ . 13.(5分)?的值为_________ . 14.(5分)(2012?桂林一模)若点P(cosα,sinα)在直线y=﹣2x上,则sin2α+2cos2α=_________ .15.(5分)的值为 _________ . 三、解答题(共4小题,满分0分) 6.化简: (1); (2)﹣. 16.(2006?上海)已知α是第一象限的角,且,求的值. 17.求值:(1);
两角和与差的三角函数(复习课教案)
两角和与差的三角函数 【知识梳理】 主要公式: 两角和与差的三角函数公式: sin()αβ+= sin()αβ-= cos cos sin sin αβαβ- = cos cos sin sin αβαβ+= tan()αβ±= 题型一:给角求值 1.求下列各式的值 (1)tan 20tan 403tan 20tan 40++ (2)sin10sin 20cos30 cos10sin 20sin 30 +- 类题演练:求下列三角函数式的值 (1)0 tan 204sin 20+ (2)tan 70cos103sin10tan 702cos 40+- 题型二:给值求角 1.已知1cos 7α=,13cos()14αβ-=,且02 πβα<<<,求β的值. 2.已知1tan 7α=,1 tan 3 β=,若αβ,均为锐角,求2αβ+的值. 3.已知,,(0,)2 π αβγ∈,sin sin sin αγβ+=,cos cos cos γβα+=,求-βα的值. 4.已知11 tan(),tan 27 αββ-==-,且,(0,)αβπ∈,求2αβ-的值.
题型三:给值求值 1.已知αβ,均为锐角,且cos sin tan cos sin αα βαα -=+,则tan()αβ+= 2.已知4cos()5αβ+=,4 cos()5 αβ-=-,求cos cos αβ= 3.已知22 sin sin ,cos cos 33 x y x y -=--=,且,x y 为锐角,则tan()x y -= 4.已知1sin(),63π α+=则2cos(2)3 π α-= 5.若3177 cos(),45124 x x π ππ+=<<,求2sin 22sin 1tan x x x +-的值. 题组四:综合提升 1.求下列各值 (1 )sin 12 12 π π = (2)(tan103)sin 40-= (3)若tan 20,tan 60,tan100a b c ===则 111 ab bc ca ++= (4) 222 31 64sin 20sin 20cos 20 -+= 2.已知3,(,)4παβπ∈,312sin(),sin(),5413παββ+=--=则cos()4 π α+= 3.若353sin(),cos(),41345ππαβ+=-=且30,44 ππαβ<<<<求cos()αβ+的值.
三角函数两角和与差,以及万能公式的推导
三角函数两角和与差, 以及万能公式的推导-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
向量法: 取直角坐标系,作单位圆 取一点A,连接OA,与X轴的夹角为A 取一点B,连接OB,与X轴的夹角为B OA与OB的夹角即为A-B A(cosA,sinA),B(cosB,sinB) OA=(cosA,sinA) OB=(cosB,sinB) OA*OB =|OA||OB|cos(A-B) =cosAcosB+sinAsinB |OA|=|OB|=1 cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB 在直角坐标系xoy中,作单位圆O,并作角α,β,-β,使角α的始边为Ox交⊙O于P1,终边交⊙O于P2;角β的始边为OP2,终边交⊙O于P3;角-β的始边为OP1,终边交⊙O于P4.依三角函数的定义,得P1、P2、P3、P4的坐标分别为P1(1,0),P2(cosα,sinα)、P3(cos(α+β),sin(α+β)),P4(cos(-β),sin(-β)).连接P1P3,P2P4. 则∣P1P3∣=∣P2P4∣.依两点间距离公式,得 ∣P1P3|2=〔cos(α+β)-1〕2+〔sin(α+β)-0〕2, ∣P2P4|2=〔cos(-β)-cosα〕2+〔sin(-β)-sinα〕2 ∴〔cos(α+β)-1〕2+sin2(α+β)=〔cos(-β)-cosα〕2+〔sin(-β)-sinα〕2 展开整理,得2-2cos(α+β)=2-2(cosαcosβ-sinαsinβ) ∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ ……Cα+β.该公式对任意角α,β均成立 在公式Cα+β中,用-β替代β. cos(α-β)=cos〔α+(-β)〕=cosαcos(-β)-sinαsin(-β)=cosαcosβ+sinαsinβ. ∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ ……Cα-β.该公式对任意角α,β均成立.
高中数学必修4两角和与差的三角函数
两角和与差的三角函数 【知识要点回顾】 1. 两角和与差的正弦、余弦、正切 cos(βα+)= ; sin(βα+)= ; tan(βα+) cos(βα-)= ; sin(βα-)= ; tan(βα-) 2. 二倍角的正弦、余弦、正切 sin2α= ; cos2α= = = ; tan2α= . 3. 公式的推导与联系. 【例题讲解】 例1 :求下列三角函数的值: (1) 若θ为锐角,53sin =θ,求)6cos(π θ+的值; (2) 若α为锐角,5 3 )6sin(=-πα,求 cosα的值。 例2:利用已知角和特殊角表示下列角: (1)已知角α+β、α-β,则2α= ,2β= ; (2)已知角βπ πα+-4 3,4,则α+β= ; (3)△ABC 的三内角A 、B 、C 成等差数列,已知2 C A -=α,则A= , C= 。 例3:(1)已知的范围,求βαβαπβπ α-+<<<<,2 0;
(2)已知)4 sin(,232,53)4cos(παπαππ α+<≤=+求 例4:已知α、β为锐角,的值。求ββααcos ,3 1 )tan(,54cos -=-= 例5: 的值。求且设)sin(,13 5 )43sin(,53)4cos(),4,0(),43,4(βαβππαπβππα+=+=-∈∈ 例6:的值。求已知)4 2cos(,232,53)4cos(παπαππ α+<≤=+ 例7:利用向量的方法证明两角和的余弦公式: cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ 【考点针对训练】 一.选择题
1.已知tan (βα+)==+=- )4 tan(,41)4tan(,5 2 π απ β则( ) A .1813 B .22 13 C .183 D .223 2.若 5tan 1tan 1=+-A A ,则)4 (cot A +π 的值为 .A 5- .B 55- .C 5 .D 5 5 3.已知2cot =α,5 2 )tan(- =-βα,则)2tan(αβ-的值为:( ) A.61 B.61- C.121 D.121- 4.?????75sin 30sin 15sin 值为 .A 43 .B 81 .C 8 3 .D 41 5. 12 cos 12 sin 2 2 π π -的值为( ) A. 21- B. 21 C. 23- D. 2 3 6. ? ?-?? ?+?8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin 的值为( ) .A 32+ . B 232+ . C 32- . D 2 3 2- 7. 若f(cosx)=cos2x ,则f(sin15°)的值等于 ( ) A .12 B .-1 2 C. 32 D .- 3 2 8.已知1352 sin = α ,13 122cos -=α,则角α所在的象限是:( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 9.已知3 sin( )45x π -=,则sin 2x = ( ) A .1925 B .1625 C .725 D .1425
两角和与差的三角函数练习(含答案)
# 一、选择题(共9小题,每小题4分,满分36分) 1.(4分)(2009?陕西)若3sinα+cosα=0,则的值为() A.B.& C. D.﹣2 2.(4分)已知,则=() A.,B.C.D . / 3.(4分)如果α∈(,π),且sinα=,那么sin (α+)+cos(α+)=() A.B. ﹣ C .》 D. ﹣ 7.(4分) (2008?海南)=() A.B.;C.2D . 8.(4分)已知sinθ=﹣,θ∈(﹣,),则sin(θ﹣5π)sin(π﹣θ)的值是() ^ A. B. ﹣ C . ﹣ D. ~ 9.(4分)(2007?海南)若,则cosα+sinα 的值为()A.B.C.$D. 10.(4分)设α,β都是锐角,那么下列各式中成立的是() A.s in(α+β)>sinα+sinβ。 B. cos(α+β)>cosαcosβ C.s in(α+β)>sin(α﹣β)D.c os(α+β)>cos(α﹣β) /
11.(4分)(2009?杭州二模)在直角坐标系xOy中,直线y=2x ﹣与圆x2+y2=1交于A,B两点,记∠xOA=α(0<α<),∠xOB=β(π<β<),则sin(α+β)的值为() A.B.C. ﹣( D. ﹣ 12.(4分)(2008?山东)已知,则的值是()A.B.…C.D. 二、填空题(共5小题,每小题5分,满分25分) 4.(5分)(2008?宁波模拟)已知cos(α+)=sin(α﹣),则tanα=_________ . * 5.(5分)已知sin(30°+α)=,60°<α<150°,则cosα的值为 _________ . 13.(5分)?的值为_________ . 14.(5分)(2012?桂林一模)若点P(cosα,sinα)在直线y=﹣2x上,则sin2α+2cos2α=_________ .15.(5分)的值为 _________ . 三、解答题(共4小题,满分0分) 6.化简: (1); ? (2)﹣. 16.(2006?上海)已知α是第一象限的角,且,求的值. 17.求值:(1); (2)tan(﹣θ)+tan(+θ)+tan(﹣θ)tan(+θ). 18.(2008?江苏)如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别交单位圆于A,B两点.已知A,B两点的横坐标分别是,. [ (1)求tan(α+β)的值;
两角和与差的三角函数
§1 两角和与差的三角函数 知识梳理 1.两角和与差的余弦公式 (1)公式:cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β;cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β. (2)理解和记忆: ①上述公式中的α、β都是任意角. ②和差角的余弦公式不能按分配律展开,即cos(a ±β)≠cos α±cos β. ③公式使用时不仅要会正用,还要能够逆用公式,在很多时候,逆用更能简洁地处理问题.如由cos50°cos20°+sin50°sin20°能迅速地想到cos50°cos20°+sin50°sin20°=cos(50°-20°)= cos30°=2 1. ④第一章中所学的部分诱导公式可通过本节公式验证. ⑤记忆:公式右端的两部分为同名三角函数积,连接符号与左边角的连接符号相反. 2.两角和与差的正弦公式 (1)公式:sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β;sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β. (2)理解和记忆: ①上面公式中的α、β均为任意角. ②与和差角的余弦公式一样,公式对分配律不成立,即sin(α±β)≠sin α±sin β. ③和差公式是诱导公式的推广,诱导公式是和差公式的特例.如sin(2π-α)=sin2πcos α-cos2πsin α=0×cos α-1×sin α=-sin α.当α或β中有一个角是2 π的整数倍时,通常使用诱导公式较为方便. ④使用公式时不仅要会正用,还要能够逆用公式,如化简sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β,不要将sin(α+β)和cos(α+β)展开,而采用整体思想,进行如下变形:sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=sin [(α+β)-β]=sin α,这也体现了数学中的整体原则. ⑤记忆时要与两角和与差的余弦公式区别开来,两角和与差的余弦公式的右端的两部分为同名三角函数积,连接符号与左边的连接符号相反;两角和与差的正弦公式的右端的两部分为异名三角函数积,连接符号与左边的连接符号相同. 3.两角和与差的正切 (1)公式:tan(α+β)= βαβαtan tan 1tan tan -+;tan(α-β)=β αβαtan tan 1tan tan +-. (2)理解和记忆:
两角和与差的三角函数及倍角公式的综合运用
). 1(≠k 高一数学 一、本讲教学内容 两角和与差的三角函数及倍角公式的综合运用 二、典型例题选讲 例1 已知)tan()tan(βαβα+?=-k 求证: .112sin 2sin k k -+=βα 分析 注意到已知条件中的角βα-、βα+与欲证等式中的角α2、β2的关系: ),()(2βαβαα-++=),()(2βαβαβ--+=因此可用两角和与差的正弦公式变形,再用已知条件代入进行证 明. 证: )]()sin[()]()sin[(22sin βαβαβαβαβα--+-++=sjin =) sin()cos()cos()sin() sin()cos()cos()sin(βαβαβαβαβαβαβαβα-?+--?+-?++-?+= )tan()tan()tan()tan(βαβαβαβα--+-++= .11)tan()tan()tan()tan(k k k k -+=+?-++?++βαβαβαβα 评析 本题也可以由已知得)tan()tan(βαβα+-=k ,代入右边,得=+--+-+ =-+) tan() tan(1)tan() tan(111βαβαβαβαk k )tan()tan()tan()tan(βαβαβαβα--+-++ ,cos cos ) sin(cos cos sin cos cos sin cos sin cos sin tan tan B A B A B A B A B A B B A A B A ?±=??±?=±=± .2sin 2sin )]()sin[()]()sin[(11βαβαβαβαβα=--+-++=-+∴ k k 例2 已知,4 3 sin sin = +β α求βαcos cos +的取值范围. 分析 βαcos cos +难以直接用βαsin sin +的式子来表达,因此设t =+βαcos cos ,并找出t 应满足的等式,从而求出βαcos cos +的取值范围. 解 令t =+βαcos cos ,① 由已知,4 3 sin sin = +β α. ② ①2+②2 :,16 9sin sin sin 2sin cos cos cos 2cos 22222+ =+?+++?+t ββααββαα ,169)cos(222+ =-+t βα ).cos(216232βα-+=t ].16 55,0[,1)cos(12∈∴≤-≤-t βα ],455,455[- ∈t 即].4 55 ,455[cos cos -∈+βα 例3 求函数x x x x x f cos sin 3cos sin )(?+-=的值域 分析 )(x f 的解析式中既有x sin ,又有x cos ,若由1cos sin 22=+x x 将x cos 表示成x 2sin 1-±或将x sin 表示 成x 2cos 1-±,都会出现根式,且需要讨论符号,因此这种做法不可取.注意到x x x x cos sin 21)cos (sin 2?-=-,因此可作代换:,cos sin t x x =-则x x cos sin ?和x x cos sin -都可以用t 表示,)(x f 就可以变形为t 的二次函数,再由二次函数在闭区间上的值域就可以求得)(x f 的值域. 解 令,cos sin x x t -= 则,cos sin 212 x x t ?-= .2 1cos sin 2 t x x -=? .2 3 61)31(232323213cos sin 3cos sin )(222++--=++-=-? +=?+-=t t t t t x x x x x f ].2,2[).4 sin(2)4sin cos 4cos (sin 2cos sin -∈∴-=?-?=-=t x x x x x t π ππ 当;352361)(,31max =+==x f t 当.22 3 232)2(23)(,22min --=+---=-=x f t )(x f ∴的值域为}.35 223{≤≤--y y 评析 相应于)4 sin(2cos sin π - = -x x x ,还有更一般的情况:
高中数学两角和与差的三角函数公式知识点
两角和与差的三角函数公式 本节重点:熟练掌握并运用两角和与差的三角函数公式 课前引入: 3215tan ,4 2 615cos ,42 615sin -=?+=?-= ? (一).两角和差的余弦公式推导:首先在单位圆上任取两点A (cos ααsin ,)B(ββsin ,cos ) ) si n ,(c os ),si n ,(c os ββαα==∴OB OA )(,sin sin cos cos βαβαβα-?=?+=?∴OB OA OB OA Θ又=cos(βα-) βαβαβαsin sin cos cos cos +=-∴)(得出 用得替换ββ- βαβαβαsin sin cos cos cos -=+)(用诱导公式得 β αβαβαβαβαβαsin cos cos sin )sin(sin cos cos sin )sin(+=+-=- β αβ αβαβαβαβαtan tan 1tan tan )tan(,tan tan 1tan tan )tan(+-=--+= +∴ 二倍角公式: ①θθθcos sin 22sin = ②θθθθθ2222 sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= ③θ θ θ2tan 1tan 22tan -= 例1、 求?15cos 练习1、求? ? -?70sin 20sin 10cos 2
课堂练习: 1.下列等式中一定成立的是( ) A .cos()cos cos αβαβ+=+ B .cos()cos cos αβαβ-=- C .sin( )sin 2π αα-= D .cos()sin 2 π αα-= 2.化简sin119sin181sin91sin 29???-???等于( ) A . 12 B .1 2 - C .- 3.若1cos 2α=- ,sin β=(,)2παπ∈,3(,2)2 π βπ∈, 则sin()αβ+的值是( ) A . 2 B .2 -.1- D .0 4.若,(0, )2 π αβ∈, cos()2 2β α-= ,1sin()22αβ-=-,则cos()2 αβ +的值等于( ) A .1 B .12- 或1 C .1 2 或1 D .2 5.已知α为第二象限的角,3 sin 5 a =,则tan 2α= . 6.已知1sin cos 2αβ-=,1 cos sin 3 αβ-=,则sin()αβ+= . 7.要使32cos 1 m x x m -=-有解,求实数m 的范围
两角和与差的三角函数、二倍角公式
第20讲 两角和与差的三角函数、二倍角公式 考试要求 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式的推导及联系(C 级要求);二倍角的正弦、余弦、正切公式(B 级要求);2.运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角恒等变换(C 级要求). 诊 断 自 测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的.( ) (2)存在实数α,β,使等式sin(α+β)=sin α+sin β成立.( ) (3)公式tan(α+β)= tan α+tan β 1-tan αtan β 可以变形为tan α+tan β =tan(α+β)(1-tan αtan β),且对任意角α,β都成立.( ) (4)存在实数α,使tan 2α=2tan α.( ) 解析 (3)变形可以,但不是对任意的α,β都成立,α,β,α+β≠π 2+k π,k ∈Z . 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 2.(2017·山东卷改编)已知cos x =3 4,则cos 2x =________. 解析 由cos x =34得cos 2x =2cos 2 x -1=2×? ????342-1=18. 答案 18 3.(2017·江苏卷)若tan(α-π4)=1 6,则tan α=________. 解析 tan α=tan ????????? ????α-π4+π4 =tan ? ???? α-π4+tan π4 1-tan ? ?? ?? α-π4tan π4 =1 6+11-16=75.
答案7 5 4.(2018·苏、锡、常、镇调研)已知α是第二象限角,且sin α=3 10 ,tan(α+β) =-2,则tan β=________. 解析由α是第二象限角,且sin α=3 10 , 得cos α=-1 10 ,tan α=-3, 所以tan β=tan(α+β-α)=tan(α+β)-tan α 1+tan(α+β)tan α = -2+3 1+6 = 1 7. 答案1 7 5.(必修4P109习题4改编)sin 347°cos 148°+sin 77°·cos 58°=________. 解析sin 347°cos 148°+sin 77°cos 58° =sin(270°+77°)cos(90°+58°)+sin 77°cos 58° =(-cos 77°)·(-sin 58°)+sin 77°cos 58° =sin 58°cos 77°+cos 58°sin 77° =sin(58°+77°)=sin 135°= 2 2. 答案 2 2 知识梳理 1.两角和与差的三角函数公式 sin(α±β)=sin__αcos__β±cos__αsin__β. cos(α?β)=cos__αcos__β±sin__αsin__β. tan(α±β)=tan α±tan β1?tan αtan β . 2.二倍角公式 sin 2α=2sin__αcos__α.
两角和与差的三角函数公式知识点
两角和与差的三角函数公式 本节重点:熟练掌握并运用两角和与差的三角函数公式 课前引入: 3215tan ,4 2615cos ,42615sin -=?+=?-=? (一).两角和差的余弦公式推导:首先在单位圆上任取两点A (cos ααsin ,)B(ββsin ,cos ) )si n ,(c os ),si n ,(c os ββαα==∴OB OA )(,sin sin cos cos βαβαβα-?=?+=?∴OB OA OB OA Θ又=cos(βα-) βαβαβαsin sin cos cos cos +=-∴)(得出 用得替换ββ- βαβαβαsin sin cos cos cos -=+)(用诱导公式得 β αβαβαβαβαβαsin cos cos sin )sin(sin cos cos sin )sin(+=+-=- β αβαβαβαβαβαtan tan 1tan tan )tan(,tan tan 1tan tan )tan(+-=--+=+∴ 二倍角公式: ①θθθcos sin 22sin = ②θθθθθ2 222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= ③θ θθ2tan 1tan 22tan -= 例1、 求?15cos 练习1、求 ? ?-?70sin 20sin 10cos 2
课堂练习: 1.下列等式中一定成立的是( ) A .cos()cos cos αβαβ+=+ B .cos()cos cos αβαβ-=- C .sin()sin 2παα-= D .cos()sin 2π αα-= 2.化简sin119sin181sin91sin 29???-???等于( ) A .1 2 B .1 2- C .- 3.若1 cos 2α=-,sin β=(,)2παπ∈,3(,2)2π βπ∈,则sin()αβ+的值是( ) A .2 B .2- C .1- D .0 4.若,(0,)2παβ∈,cos()22βα-=,1sin()22αβ-=-,则cos()2αβ + 的值等于( ) A .1 B .1 2-或1 C .1 2或1 D .2 5.已知为第二象限的角,,则 . 6.已知1 sin cos 2αβ-=,1 cos sin 3αβ-=,则sin()αβ+= . 7.要使32cos 1m x x m -=-有解,求实数m 的范围