【习题集含详解】高中数学题库高考专点专练之133不等式实际应用题
【习题集含详解】高中数学题库高考专点专练之133不等式实际应用题
一、选择题（共43小题；共215分）
1. 大桥桥头竖立的“限重40 t”的警示牌是指示司机要想完全通过该桥，应使车和货的总质量T（单
位：t）满足
A. T<40
B. T>40
C. T≤40
D. T≥40
2. 某中学新学期需要购买一批球类体育器材，已知篮球的价格为每只80元，排球的价格为每只60
元，现计划该项支出不超过3000元，若设购买篮球x只，排球y只，则购买球类体育器材的约束条件是
A. 80x+60y=3000
B. 80x+60y≤3000
C. 80x+60y≥3000
D. 80x+60y<3000
3. 一家三口的年龄之和为65岁，设父亲、母亲和小孩的年龄分别为x，y，z，则下列选项中，能
反映x，y，z之间关系的是
A. x+y+z=65
B. x+y+z=65, x>z,
y>z
C. x+y+z=65,
x>z>0,
y>z>0
D.
x+y+z=65,
x<65,
y<65,
z<65
4. 如图，y=f x反映了某公司的销售收人y（万元）与销售量x之间的函数关系，y=g x反映
了该公司产品的销售成本与销售量之间的函数关系，若该公司赢利，则销售量x应满足
A. x>a
B. x C. x≥a D. 0≤x 5. 某同学拿50元钱买纪念邮票，票面8角的每套5张，票面2元的每套4张，如果每种邮票至少 买两套，则买票面8角的x套与票面2元的y套用不等式表示为 A. x≥2,x∈N, y≥2,y∈N, 0.8×5x+2×4y≤50. B. x≤2, y≤2, 0.8×5x+2×4y≤50. C. x≥2, y≥2. D. 0.8×5x+2×4y≤50 6. 某厂生产甲产品1 kg，需用A原料a1 kg，B原料b1 kg；生产乙产品1 kg，需用A原料a2 kg，B原料b2 kg．甲、乙产品每千克可分别获利润d1，d2元，且此厂月初一次性购进本月用A，B 原料各c1，c2 kg．设全月生产甲、乙两种产品分别为x，y kg，月利润总额为z元，那么，在求使总利润z=d1x+d2y最大的数学模型中，约束条件为 A. a1x+a2y≥c1, b1x+b2y≥c2, x≥0, y≥0 B. a1x+b1y≤c1, a2x+b2y≤c2, x≥0, y≥0 C. a1x+a2y≤c1, b1x+b2y≤c2, x≥0, y≥0 D. a1x+a2y=c1, b1x+b2y=c2, x≥0, y≥0 7. 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园（阴影部分）， 则其边长x（单位：m）的取值范围是 A. 15,20 B. 12,25 C. 10,30 D. 20,30 8. 关于x的不等式x2?a+1x+a<0的解集中，恰有3个整数，则a的取值范围是 A. 4,5 B. ?3,?2∪4,5 C. 4,5 D. ?3,?2∪4,5 9. 已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与4枝康乃馨的价格之和小于20 元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是 A. 2枝玫瑰的价格高 B. 3枝康乃馨的价格高 C. 价格相同 D. 不确定 10. 用铁丝制作一个形状为直角三角形且围成的面积为1 cm2的铁架框，现有下列四种长度的铁丝 供选择，较经济（即够用且耗材最少）的是 A. 4.6 cm B. 4.8 cm C. 5 cm D. 5.2 cm 11. 把长为12cm的铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，则这两个正三角形面积之和的最小值为 A. 32 2 cm2 B. 4cm2 C. 32 D. 22 12. 王宏同学将过年时父母给的压岁钱1000元，按一年定期存在妈妈处，并约定以银行的年存款利 率的5倍计息．到期后连本带利取出，王宏同学用其中200元帮助本班的特困生买书，剩余的部分又按原规定存在妈妈处，如果第二年到期后本利总额不低于990元，则银行的年存款利率不低于 A. 1.8% B. 2% C. 2.5% D. 3% 13. 某公司欲将一批新鲜蔬菜用汽车从甲地运往相距125千米的乙地，运费为每小时30元，装卸费 为1000元．蔬菜在运输途中的损耗费（单位：元）是汽车速度（km/h）的2倍，为使运输的总费用（包括运费、卸装费和损耗费）不超过1200元，则汽车速度v km/h的取值范围是 A. 20≤v≤80 B. 30≤v≤75 C. 25≤v≤75 D. 25≤v≤85 14. 某城市为控制用水，计划提高水价，现有四种方案，其中提价最多的方案是（已知0 q<1） A. 先提价p%，再提价q% B. 先提价q%，再提价p% C. 分两次都提价q2+p2 2% D. 分两次都提价p+q 2 % 15. 某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品．甲车间加工一箱原料需耗 费工时10小时，可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时'可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为 A. 甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱 B. 甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱 C. 甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱 D. 甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱 16. 某种生产设备在购买时费用为10万元，每年的设备管理费用为0.9万元，这种生产设备的维护 费用为第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，以每年0.2万元的增量逐年递增，则这套生产设备最多使用 年报废最划算． A. 3 B. 5 C. 7 D. 10 17. 若a，b，m∈R+，a 将a+m g食盐加入到b?a g水中，所得溶液的盐的质量分数为P2，则 A. P1 B. P1=P2 C. P1>P2 D. 不确定 18. 要做一个面积为1m2，形状为直角三角形的铁架框，则下面四种长度的铁管中，最合理（够用， 又浪费最少）的是 A. 4.6m B. 4.8m C. 5m D. 5.2m 19. 银行计划将某资金给项目M和N投资一年，其中40%的资金给项目M，60%的资金给项目 N．项目M能获得10%的年利润，项目N能获得35%的年利润．年终银行必须回笼资金，同时按一定的回扣率支付给储户．为了使银行年利润不小于给M、N总投资的10%而不大于总投资的15%，则给储户回扣率的最小值为 A. 5% B. 10% C. 15% D. 20% 20. 小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b（a A. a B. v=ab C. ab 2D. v=a+b 2 21. 现有90 kg货物需要装成5箱，要求每一箱所装货物的重量不超过其它任一箱所装货物重量的2 倍．若某箱所装货物的重量为x kg，则x的取值范围是 A. 10≤x≤18 B. 10≤x≤30 C. 18≤x≤30 D. 15≤x≤30 22. 设某公司原有员工100人从事产品 A 的生产，平均每人每年创造产值t万元（t为正常 数）．公司决定从原有员工中分流x0 流后，继续从事产品A 生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%．若要保证产品 A 的年产值不减少，则最多能分流的人数是 A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 23. 某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资 的2 3 倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为 A. 36万元 B. 31.2万元 C. 30.4万元 D. 24万元 24. 某纯净水制造厂在净化水过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到 原来的5%以下，则至少需过滤的次数为（参考数据lg2≈0.3010，lg3≈0.4771） A. 5 B. 10 C. 14 D. 15 25. 某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6 吨的乙型卡车．某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z等于 A. 4650元 B. 4700元 C. 4900元 D. 5000元 26. 一批救灾物资随26辆汽车从某市以v km/h的速度直达灾区，已知两地公路长400 km．为了安 全起见，两辆汽车的间距不得小于v 202 km．那么这批物资全部运到灾区，至少需要 A. 6小时 B. 8小时 C. 10小时 D. 12小时 27. 某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目．按要求，对项目甲的投资不小于对项目乙投 的2 3 ，且对每个项目的投资不能低于5万元．对项目甲投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司投资后在两个项目上共可获得的最大利润为 A. 36万元 B. 31.2万元 C. 30.4万元 D. 24万元 28. 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产1 t甲产品要用A原料3 t，B原料2 t；生产1 t乙产品 要用A原料1 t，B原料3 t．销售1 t甲产品可获得利润5万元，1 t乙产品可获得利润3万元，且在一个生产周期内，消耗A原料不得超过13 t，B原料不得超过18 t．该企业一个生产周期可获得最大利润为 A. 12万元 B. 20万元 C. 25万元 D. 27万元 29. 生产某产品的总成本y（单位：万元）与产量x（单位：台）之间的函数关系是y=3000+ 20x?0.1x20 A. 100台 B. 120台 C. 150台 D. 180台 30. 某加工厂利用某原料，由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品．甲车间加工一箱原料 需耗费工时10 h，可加工出7 kg A产品，每千克A产品获利40元；乙车间加工一箱原料需耗 费工时6 h，可加工出4 kg B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成最多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480 h，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为 A. 甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱． B. 甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱． C. 甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱． D. 甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱． 31. 某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生 产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是 ． A. 1800元 B. 2400元 C. 2800元 D. 3100元 32. 已知买4枝郁金香和5枝玫瑰的费用小于22元，而买6枝郁金香和3枝玫瑰的费用和大于24 元，那么买2枝郁金香的费用和买3枝玫瑰的费用比较，其结果是 A. 前者贵 B. 后者贵 C. 一样 D. 不能确定 33. 在"家电下乡"活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇，现有4辆甲型货车和8辆乙型 货车可供使用，每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台，若每辆至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为 A. 2000元 B. 2200元 C. 2400元 D. 2800元 34. 用餐时客人要求：将温度为10 °C、质量为0.25 kg的同规格的某种袋装饮料加热至30 °C～ 40 °C．服务员将x袋该种饮料同时放入温度为80 °C、质量为2.5 kg的热水中，5分钟后立即 取出．设经过5分钟饮料与水的温度恰好相同，此时，m1 kg该饮料提高的温度Δt1°C与m2 kg 水降低的温度Δt2°C满足关系式m1×Δt1=0.8×m2×Δt2，则符合客人要求的x可以是 A. 4 B. 10 C. 16 D. 22 35. 用一张钢板制作一个容积为4 m3的无盖长方体水箱．可用的长方形钢板有四种不同的规格（长 ×宽的尺寸如选项所示，单位均为m）若既要够用，又要所剩最少，则应选择钢板的规格是 A. 2×5 B. 2×5.5 C. 2×6.1 D. 3×5 36. 若x，y满足x+y?2≥0, kx?y+2≥0, y≥0, ,且z=y?x的最小值为?4，则k的值为 A. 2 B. ?2 C. 1 2D. ?1 2 37. 一名顾客计划到商场购物，他有三张优惠劵，每张优惠券只能购买一件商品．根据购买商品的 标价，三张优惠券的优惠方式不同，具体如下： 优惠劵1：若标价超过50元，则付款时减免标价的10%； 优惠劵2：若标价超过100元，则付款时减免20元； 优惠劵3：若标价超过100元，则超过100元的部分减免18%． 若顾客购买某商品后，使用优惠劵1比优惠劵2、优惠劵3减免的都多，则他购买的商品的标价可能为 A. 179元 B. 199元 C. 219元 D. 239元 38. 有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已 知三个房间的粉刷面积（单位：m2）分别为x，y，z，且x A. ax+by+cz B. az+by+cx C. ay+bz+cx D. ay+bx+cz 39. 4个茶杯和5包茶叶的价格之和小于22元，而6个茶杯和3包茶叶的价格之和大于24元，2 个茶杯和3包茶叶的价格比较 A. 二者相同 B. 3包茶叶贵 C. 2个茶杯贵 D. 无法确定 40. 某购物网站在2013年11月开展“全场6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订 单金额（6折后）满300元时可减免100元”．某人在11日当天欲购入原价48元（单价）的商品共42件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 41. 如果x，y满足x2+y2?2x+4y=0，那么x?2y的最大值是 A. 10 B. 8 C. 3 2D. 5 2 42. 某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6 吨的乙型卡车．某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z等于 A. 4650元 B. 4700元 C. 4900元 D. 5000元 43. 某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料 的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为 甲乙原料限额 A 吨3212 B 吨128 A. 12万元 B. 16万元 C. 17万元 D. 18万元 二、填空题（共37小题；共185分） 44. 有5辆6吨的汽车，4辆4吨的汽车，要运送最多的货物，完成这项任务的线性目标函数 是． 45. 一辆汽车原来每天行驶x km，如果该辆汽车每天行驶的路程比原来多19km，那么在8天内它的 行程就超过2200km，写成不等式为；如果它每天行驶的路程比原来少12km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为 . 46. 一个盒子中红、白、黑三种球分别有x个、y个、z个，黑球个数至少是白球个数的一半，至 ，白球与黑球的个数之和至少为55，试用不等式将题中的不等关系表示出来．多是红球个数的1 3 47. 某车工计划在15天里加工零件408个，最初三天中，每天加工24个，则以后平均每天至少需 加工多少个，才能在规定的时间内超额完成任务?求解此问题需要构建的不等关系式为．48. 某校伙食长期以面粉和大米为主食，而面食每100克含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，米 食每100克含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，学校要求给学生配制盒饭，每盒盒饭至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，设每盒盒饭需要面食x（百克），米食y（百克）．用数学关系式表示上述要求的x,y：． 49. 有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色的涂料，且三个房间的颜色各不 相同，三个房间的粉刷面积和三种颜色的涂料费用如下表： 房间A房间B房间C 35?m220?m228?m2 涂料1涂料2涂料3 16元/m218元/m220元/m2 那么在所有不同的粉刷方案中，最低的涂料总费用是元． 50. 某人10点10分离家赶11点整的火车，已知他家离车站10 km，他离家后先以3 km/h的速度 走了5 min，然后乘公共汽车去车站，设公共汽车每小时至少走x km才能不误当次火车，则x 所满足的条件是（不用求解） 51. 某公司一年购买某种货物400吨，每次购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为 4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x=吨． 52. 日常生活中，在一杯含有a克糖的b克糖水中，再加人m克糖，这杯糖水变甜了．请根据这一 事实提炼出一个不等式，这个不等式是． 53. 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间 为x 天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用8 之和最小，每批应生产产品件． 54. 用锤子以均匀的力敲击铁钉钉入木板．随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每 k∈N?．已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的1 k ，请从这件实事中提炼出一个不等式组且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的4 7 是． 55. 若不等式 x+1≥kx对任意x∈R均成立，则实数k的取值范围是． 56. 某高校录取新生对语文、数学、英语的高考分数的要求是：（ 1 ）语文不低于70分；（ 2 ）数 学应高于80分；（ 3 ）三科成绩之和不少于230分．若张明被录取到该校，则他的语文、数学、英语成绩x，y，z应满足的约束条件是． 57. 如果一辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程就超过了2200 km，如 果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它行驶同样的路程得花9天多的时间，这辆汽车原来每天行驶路程（km）的取值范围是． 58. 小明准备用积攒的300元零用钱买一些科普书和文具，作为礼品送给山区的学生．已知科普书 每本6元，文具每套10元，并且买文具的钱不少于买科普书的钱．那么最多可以买的科普书与文具的总数是． 59. 现有含盐7%的食盐水为200g，需将它制成工业生产上需要的含盐5%以上且在6%以下（不 含5%和6%）的食盐水，设需要加入4%的食盐水x g，则x的取值范围是． 60. 某产品的总成本y（万元）与产品x（台）之间的函数关系式是y=3000+20x?0.1x2，其中 x∈0,240，若每台产品的售价是25万元，则生产者不亏本（即销售收入不小于总成本）时的最低产量是台． 61. 如果一辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么8天的行程就超过2200 km；如果它每天 行驶的路程比原来少12 km，那么它行驶同样的路程就得花9天多的时间．则这辆汽车原来每天行驶的路程（单位：km）的范围是． 62. 一名顾客计划到某商场购物，他有三张商场的优惠劵，商场规定每购买一件商品只能使用一张 优惠券．根据购买商品的标价，三张优惠券的优惠方式不同，具体如下： 优惠劵A：若商品标价超过50元，则付款时减免标价的10%； 优惠劵B：若商品标价超过100元，则付款时减免20元； 优惠劵C：若商品标价超过100元，则付款时减免超过100元部分的18%． 某顾客想购买一件标价为150元的商品，若想减免钱款最多，则应该使用优惠劵（填A，B，C）；若顾客想使用优惠券C，并希望比优惠券A和B减免的钱款都多，则他购买的商品的标价应高于元． 63. 甲、乙两人同时从同一出发点出发，沿同一路线走向同一地点，甲有一半时间以速度m行走， 另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走．如果m≠n，那么这两人中先到达指定地点的是． 64. 某实验室需购买某种化工原料106 kg．现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35 kg，价格 为140元；另一种是每袋24 kg，价格为120元．在满足需要的条件下，至少要花费元． 65. 某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F（单位时间内经过测量点的车辆数， 单位：辆/时）与车流速度v（假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒），平均车长l（单 ． 位：米）的值有关，其公式为F=76000v v+18v+20l （1）如果不限定车型，l=6.05，则最大车流量为辆/时； （2）如果限定车型，l=5，则最大车流量比（1）中的最大车流量增加辆/时． 66. 某市某种类型的出租车，规定3千米内起步价为8元（即行程不超过3千米，一律收费8元）， 若超过3千米，除起步价外，超过部分再按1.5元/千米计价收费，若乘客与司机约定按四舍五入以元计费不找零，下车后乘客付了16元，则他行程x（千米）的范围是． 67. 某居民小区收取冬季供暖费，根据规定，住户可以从以下两种方案中任选其一：（1）按照使用 面积缴纳，每平方米4元；（2）按照建筑面积缴纳，每平方米3元．李明家的使用面积是 60 m2．如果他家选择第（2）种方案缴纳供暖费较少，那么他家的建筑面积最多不超 过． 68. 甲、乙两地生产某种产品，它们可调出的数量分别是300 t和750 t．A，B，C三地需要该种产 品的数量分别为200 t，450 t，400 t，甲运往A，B，C三地每1 t产品的运费分别为6元、3元、5元，乙地运往A，B，C三地每1 t产品的运费分别为5元、9元、6元，为使运费最低，调运方案是，最低运费是． 69. 已知矩形的周长为36 cm，则其面积的最大值为． 70. 甲乙两车主约定好同时到同一加油站为自己的小车加同一标号的汽油，受国际油价影响，汽油 的价格是变化的（不是常数），而他们的加油方式又不一样，甲车主每次总是加200元的油，乙车主每次加30升汽油，试问，甲乙两种加油方式相比更合算的是． 71. 某公司一年购买某种货物100吨，每次都购买x吨，运费为a万元/次，一年的总存储费用为ax 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x=吨． 72. 银行计划将某客户的资金项目M和N投资一年，其中40%的资金给项目M，60%的资金给项 目N，项目M能获得10%的年利润，项目N能获得35%的年利润．年终银行必须回笼资金，同时按一定的回报率支付给客户．为了使银行年利润不小于给M，N总投资的10%而不大于总投资的15%，则给客户的回报率的最大值为． 73. 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙 产品要用A原料1吨，B 原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨．那么该企业可获得的最大利润是万元． 74. 某旅行达人准备一次旅行，考虑携带A，B，C三类用品，这三类用品每件重量依次为1 kg， 2 kg， 3 kg，每件用品对于旅行的重要性赋值依次为2，2，4，设每类用品的可能携带的数量依 次为x1，x2，x3x i≥1,i=1,2,3，且携带这三类用品的总重量不得超过11 kg．当携带这三类用品的重要性指数2x1+2x2+4x3最大时，则x1，x2，x3的值分别为． 75. 某公司有20名技术人员，计划开发A，B 两类共50件电子器件，每类每件所需人员数和预计 产值如下： 产品种类每件需要人员数每件产值/万元 A类1 7.5 B类1 6 今制订计划欲使总产值最高，则应开发A 类电子器件件，最高产值为万元．76. 2010年世博会将在上海举行，届时旅游市场将会火爆，一家旅行社计划开发A,B两类旅游产品， A类每条旅游线路的利润是0.8万元，B类每条旅游线路的利润是0.5万元，且A类旅游线路不能少于5条，B类旅游线路不能少于8条，两类旅游线路的和不能超过20条，则该旅行社能从这两类旅游产品中获取的最大利润是万元． 77. 某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元．预测六月份销售额为500万元，七月份销售 额比六月份销售额增长x%，八月份销售额比七月份销售额增长x%，九、十月份销售总额与七、 八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7000万元，则x的最小值是． 78. 某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价 格为140元，另一种是每袋24千克，价格为120元，在满足需要的条件下，最少要花 费． 79. 近来鸡蛋价格起伏较大，假设第一周、第二周鸡蛋价格分别为a元/斤，b元/斤，家庭主妇甲和 乙买鸡蛋的方式不同：家庭主妇甲每周买3斤鸡蛋，家庭主妇乙每周买10元钱的鸡蛋，试比较 谁的购买方式更优惠（两次平均价格低视为实惠）（在横线上填甲或乙即可）． 80. 如图，某养殖户要建一个面积为800 m2的矩形养殖场，要求养殖场的一边利用旧墙（旧墙的长 度大于4 m），其他各边用铁丝网围成，且在矩形一边的铁丝网的正中间要留一个（4 m）的进 出口．当矩形的长为m，宽为m时，所用的铁丝网的总长度最小 为m． 三、解答题（共20小题；共260分） 81. 《铁路旅行常识》规定： “一、随同成人旅行，身高在1.1～1.4米的儿童享受半价客票（以下称儿童票），超过1.4米的 儿童应买全价票．每一成人旅客可免费带一名身高不足1.1米的儿童，超过一名时，超过的人数 应买儿童票．” ? “十、旅客免费携带物品的体积和重量是每件物品的外部长、宽、高尺寸之和不超过160厘米， 杆状物品不得超过200厘米，重量不得超过20千克??” 设身高为 （米），物品外部长、宽、高尺寸之和为P（厘米），请用不等式表示下表中的不等 关系． 文字表述身高在1.1～1.4米之间身高超过1.4米身高不足1.1米物体长、宽、高尺寸之和不超过160厘符号表示 82. 甲厂以x千克/时的速度生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得利润是 1005x+1?3 元． x （1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000，求x的取值范围． （2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度?并求最大利润． 83. 某产品的总成本c（万元）与产量x（台）之间满足关系：c=3000+20x?0.1x2，其中 x∈0,240．若每台产品售价25万元，试求生产者不亏本时的最低产量． 84. 如图所示，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1 km， 1+k2x2k>0表示的曲线上，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx?1 20 其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． （1）求炮的最大射程； （2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2 km，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它?请说明理由． 85. 国家为了加强对烟酒生产的宏观调控，实行征收附加税政策．现知某种酒每瓶70元，不加收附 加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税R元（叫做税率R%），则每年的销售量减少10R万瓶，要使每年在此项经营中所收附加税金额不少于112万元，则R应怎样确定? 86. 某地要建一个水库，设计时，水库的最大蓄水量为128000 m3．在洪水暴发时，预测注人水库 的水量S n m3与天数n n∈N,n≤10的关系是S n=5000 n n+24．此水库原有水量为80000 m3,泄水闸每天的泄水量为4000 m3．若洪水暴发的第一天就打开泄水闸，则这10天中堤坝会发生危险吗?若会'计算第几天发生危险；若不会，说明理由．（水库的蓄水量超过最大蓄水量时，堤坝会发生危险） 87. 甲、乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车用速度a行驶一半时间，用速度b行驶另一半时 间；乙车用速度a行驶一半路程，用速度b行驶另一半路程，若a≠b，试判断哪辆车先到达B 地? 88. 如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点 在AN上，且对角线MN过C点，已知AB=3米，AD=2米． （1）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内? （2）当DN的长度是多少时，矩形花坛AMPN的面积最小?并求出最小值． 89. 某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐，已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个 单位的蛋白质和6个单位的维生素C．一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C．另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C．如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应为该儿童分别预订多少单位的午餐和晚餐? 90. 某企业准备投资1200万元兴办一所中学，对当地教育市场进行调查后，得到了如下的数据表格 （以班级为单位）： 学段硬件建设万元配备教师数教师年薪万元 初中26/班2/班2/人 高中54/班3/班2/人 因生源和环境等因素，全校总班级至少20个班，至多30个班． （1）请用数学关系式表示上述的限制条件；（设开设初中班x个，高中班y个）； （2）若每开设一个初、高中班，可分别获得年利润2万元、3万元，请你合理规划办学规模使年利润最大，最大为多少? 91. 某单位组织职工去某地参观学习需包车前往，甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受 7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原价、车型都是 一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠． 92. 某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买全票一张，其余人可享受 7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两车队的原价、车型都是一 样的，试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠． 93. 某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受 7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原价、车型都是 一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪个更优惠． 94. 甲、乙两公司生产同一种商品，但由于设备陈旧，需要更新．经测算，对于函数f x、g x 及任意的x≥0，当甲公司投入x万元改造设备时，若乙公司投入改造设备费用小于f x万元，则乙有倒闭的风险，否则无倒闭风险；同样，当乙公司投入x万元改造设备时，若甲公司投入改造设备费用小于g x万元，则甲公司有倒闭的风险，否则无倒闭风险． （1）请解释f0，g0的实际意义； x+10，甲、乙公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双（2）设f x=x+5，g x=1 2 方均无倒闭风险的情况下尽可能减少改造设备资金．问此时甲、乙两公司各投入多少万元? 95. 某家具厂有方木料90 m3，五合板600 m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需 要方木料0.1 m3，五合板2 m2，生产每个书橱需要方木料0.2 m3，五合板1 m2，出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元． （1）如果只安排生产书桌，可获利润多少? （2）如果只安排生产书橱，可获利润多少? （3）怎祥安排生产可使所得利润最大? 96. 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．根据市场调查，若单价每本提高0.1元， 销售量就可能相应减少2000本．若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入不低于20万元? 97. 某企业生产一种机器的固定成本为0.5万元，但每生产100台时又需可变成本0.25万元．市场 x20≤x≤5，其中x是产品对此商品的年需求量为500台，销售收入函数为R x=5x?1 2 售出的数量（单位：百台）． （1）把利润表示为年产量的函数； （2）年产量为多少时，企业所得的利润最大? （3）年产量为多少时，企业才不亏本? 98. 某人乘坐出租车从A地到B地，有两种方案：第一种方案，乘起步价为10元，车价1.2元/km 的出租车；第二种方案，乘起步价为8元，车价为1.4元/km的出租车．按出租车管理条例，在起步价内，不同型号的出租车行驶的里程是相等的，则此人从A地到B地选择哪一种方案比较合适? 99. 某人有一栋楼房，室内面积共计180m2，拟隔成两类房间作为旅游客房，大房间每间面积为 18m2，可住游客5名，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积为15m2，可住游客3名，每名游客每天住宿费50元．装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元．如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大利润? 100. 某农户准备建造一间12m2的背面靠墙的矩形小屋，由于地理位置的限制，屋子的侧面长度x （单位：m）不得超过a m．屋子的正面造价为400元/m2，侧面造价为150元/m2，屋顶和地面的造价共计5800元．如果墙高为3m，且不计屋子背面的费用，那么当侧面的长度为多少时，总造价最低? 答案 第一部分 1. C 【解析】限重40 t是指不超过40 t，即T≤40． 2. B 【解析】由题意直接可得80x+60y≤3000． 3. C 【解析】A、B、D中x，y，z都有可能为负数． 4. A 【解析】赢利意味着收人大于成本． 5. A 6. C 7. C 【解析】矩形的一边长为x m，则由相似三角形可得其邻边长为40?x m， 故矩形面积S=x40?x=?x2+40x，由S≥300得?x2+40x≥300，即10≤x≤30． 8. D 【解析】原不等式可化为x?1x?a<0，当a>1时，解得1 9. A 【解析】设玫瑰x元每枝，康乃馨y元每枝，根据题意有6x+3y>24 4x+4y<20，令2x?3y= a2x+y+b x+y，解得a=5，b=?8，所以有2x>3y，即2枝玫瑰的价格高． 10. C 【解析】是直角三角形的两直角边长分别为a cm，b cm，则由题意有1 2 ab=1，ab=2，其周长为a+b+ a2+b2≥2ab+2ab=22+2≈4.828，所以选C． 11. D 【解析】设12cm长的铁丝分成两段为x cm和12?x cm．则面积之和 S=1 2 x 3 2 ?sin60°+ 1 2 12?x 3 2 ?sin60° = 3 4 × 1 9 ×x2+12?x2≥ 3 36 × x+12?x2 2 =23cm2. 当且仅当x=12?x，即x=6时等号成立． 12. B 【解析】设银行的年利率为r，则由题意可得1000×1+5r?200×1+5r≥990整理的2500r2+900r?19≥0解得r≥0.02或r≤?0.38（舍去） 13. C 【解析】由题意得125 v ×30+1000+2v≤1200，整理得2v2?200v+3750≤0，解得 25≤v≤75 14. C 【解析】由题可知，A、B两次提价均为1+p%1+q%，所以相等，C提价1+ q2+p2 2% 2 ，D提价1+p+q 2 % 2 ，p+q 2 2 %?1+p%1+q%<1+p+q 2 % 2 < 1+q2+p2 2% 2 ，则提价最多的为C． 15. B 16. D 【解析】设使用x年报废最划算，年平均费用为y万元，则 y= 10+0.9x+0.2+0.2x x÷2 =10+x+0.1x2 x =1+x 10 + 10 x ≥3, 当且仅当x=10时，等号成立．故最多使用10年． 17. A 【解析】P1=a a+b?a =a b ，P2=a+m a+m+b?a =a+m b+m ， 所以P1?P2=a?b m b b+m ． 因为0 所以P1?P2<0，即P1 18. C 【解析】设直角三角形铁架框的两条直角边长分别为x m，y m，则1 2 xy=1，即xy=2． 则铁架框的周长l=x+y+ x2+y2≥2xy+2xy=1+2×2≈4.83，当且仅当x=y=2时取等号． 19. B 【解析】设银行总投资为10a，给储户回扣率为x，则4a给项目M，6a给项目N，则由题意可得 10%≤4a×1.1+6a×1.35?10a?10ax 10a ≤15%，即1≤2.5?10x≤1.5，解得0.1≤x≤0.15，则回扣率的最小值为10%． 20. A 【解析】设从甲地到乙地的距离为s，则全程的平均时速v=2s s a +s b =21 a +1 b ，因为a a +1 a <21 a +1 b < ab，即a 21. B 【解析】若某箱所装货物的重量为x kg，若x最小，其他四箱的重量都比它重， 此时满足90?x 4 ≤2x，解得x≥10， 若x最大，其他四箱的重量都比它轻，此时应满足90?x 4≥x 2 ， 解得x≤30，综上10≤x≤30． 22. B 【解析】由题意，分流前每年创造的产值为100t（万元），分流x人后，每年创造的产值为100?x1+1.2x%t， 则由0 100?x1+1.2x%t≥100t,， 解得0 3 ． 因为x∈N?，所以x的最大值为16． 23. B 【解析】对甲项目投资24万元，对乙项目投资36万元，可获最大利润31.2万元．因为对乙 项目投资获利较大，故在投资规划要求内（对项目甲的投资不小于对项目乙投资的2 3 倍）尽可能多地 安排资金投资于乙项目，即对项目甲的投资等于对项目乙投资的2 3 倍时可获最大利润． 24. C 【解析】设至少需要过滤的次数为x，则1?0.2x<0.05． 25. C 【解析】设派用甲型卡车 x 辆，乙型卡车 y 辆，则由已知可得 10x +6y ≥72,0≤x ≤8,0≤y ≤7,2x +y ≤19,x +y ≤12, x ∈N ,y ∈N , 画图如下． 由图可得，当目标函数 z =450x +350y 过点 A 7,5 时，z 取到最大值 4900． 26. C 【解析】由题意可知：最后一辆车出发时，总共有 25 个间隔，它到灾区的时间 t = v 20 2×25+400v =25v 400+400v ≥10， 所以至少需要 10 小时． 27. B 28. D 29. C 【解析】提示：25x ≥3000+20x ?0.1x 2，解得 x ≥150，x ≤?200 舍 ． 30. B 31. C 【解析】设某公司生产甲产品 x 桶，生产乙产品 y 桶，获利为 z 元，则 x ,y 满足的线性约束条 件为 x +2y ≤12,2x +y ≤12,x ≥0且y ∈Z ,y ≥0且y ∈Z , 目标函数 z =300x +400y ． 作出可行域，如图中四边形 OABC 的边界及其内部整点．作直线 l 0:3x +4y =0, 平移直线 l 0 经可行域 内点 B 时，z 取最大值，由 2x +y =12,x +2y =12, 得 B 4,4 , 满足题意，所以 z max =4×300+4×400=2800． 32. A 【解析】设郁金香的价格为 x 元/枝，玫瑰价格为 y 元/枝，则由不等式的可加（减）性，得 x >3，y <2，所以 2x >6，3y <6，故买 2 枝郁金香比较贵． 33. B 【解析】当运费所需最少时需甲车x辆，乙车y辆，设运费为z，根据题意有z=400x+ 300y，20x+10y≥100, 0≤x≤4, 0≤y≤8, 做出平面区域，当甲车4辆，乙车2辆时，运输的费用最小，最小值为 2200． 34. C 【解析】提示：设经过5分钟后饮料与水的温度都为t°C，则有0.25x t?10=0.8× 2.580?t，所以t=64+x 8+x ，由已知可得30≤t<40，解得32 3 个不等式． 35. C 【解析】如图： 长方体水箱的体积为V=xyz=4，表面积为S=xy+2xz+2yz≥34x2y2z2 3=12，当xy=2xz= 2yz，即x=2 y=2 z=1 时，表面积取到最小值为S=12． 36. D 37. C 【解析】设购买的商品的标价可能为a,根据题意0.1a>20, 0.1a>a?100×0.18.得200< a<225 . 38. B 【解析】提示：可以用特殊值法验证．如令 x=1,y=2,z=3;a=1,b=2,c=3. 39. C 40. C 【解析】由题可知，11日当天每件商品均六折出售，且“每张订单金额（6折后）满300元时减免100元”，而此人每件商品48元，打六折后为28.8元，为了使花钱最少且订单数最少，则只需使得每张订单总金额不低于300时订单数最多即可．假设每张订单定商品x件，共需y张订单，此时只需 28.8x≥300，x∈N+，解得x≥11，此人共买42件商品，因此y≤42 11 ,y∈N+，所以y=3． 另注：其实这个题如果多买两件，做4次下单花钱更少，所以有争议． 41. A 【解析】原方程即x?12+y+22=5，于是满足条件的点在以1,?2为圆心，5为半径的圆上，当z=x?2y过点2,?4时有最大值为10． 42. C 【解析】设当天派用甲型卡车 x 辆，乙型卡车 y 辆．由题意可知 2x +y ≤19,x +y ≤12,10x +6y ≥72,0≤x ≤8,0≤y ≤7, x ,y ∈N . 设当天的利润为 z 元，则 z =450x +350y ． 不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分内的整点．由图可知 z =450x +350y =50 9x +7y ，经 过点 A 时取得最大值．又由 x +y =12,2x +y =19. 得 x =7,y =5, 即 A 7,5 ．所以 当 x =7，y =5 时，z 取到最大值，z max =450×7+350×5=4900（元）． 43. D 【解析】提示：设该企业每天生产甲、乙产品分别为 x 吨 、 y 吨，则该企业每天可获得利润 为 z =3x +4y 万元．其中 x ，y 满足约束条件 3x +2y ≤12, x +2y ≤8,x ≥0,y ≥0. 第二部分 44. z =6x +4y 【解析】设需要 x 辆 6 吨的汽车，y 辆 4 吨的汽车，运送的货物为 z 吨，则其线性目标函数是 z =6x +4y ． 45. 8 x +19 >2200， 8x x?12>9 46. 根据题意，得 y 2≤z ≤x 3, y +z ≥55,x ,y ,z ∈N ?. 47. 72+12x >408 【解析】设该车工3天后平均每天至少需加工x个零件， 加工15?3天共加工12x个零件，15天里共加工3×24+12x个零件，则3×24+12x>408． 48. 6x+3y≥8 4x+7y≥10 x≥0 y≥0 49. 1464 【解析】提示：房间A用涂料1，房间B用涂料3，房间C用涂料2，此时费用最低为1464元． 50. 3×5 60+45 60 x≥10 51. 20 【解析】总运费与总存储费之和为4?400 x +4x=1600 x +4x≥160．当且仅当1600 x =4x，即x=20时 等号成立． 52. a b b+m （0 53. 80 54. 4 7 +4 7k <1, 4 7 +4 7k +4 7k2 ≥1, k∈N? 55. 0,1 56. x≥70, y>80, x+y+z≥230 57. 256,260 【解析】设原计划每天的行程为x公里，由题意，应有： 8x+19>2200, 8x+19>9x?12,解得：x>256, x<260, 58. 40 【解析】提示：科普书买25本，文具15套． 59. 100,400 【解析】解析根据已知条件：设y=200×7%+4%x 200+x ，令5% 60. 150 【解析】由已知得25x≥3000+20x?0.1x2，解得x≥150． 61. 256,260 【解析】提示：设每天行驶的路程为x km，则8x+19>2200, 8x+19 x?12 >9,解得256 62. B，225 63. 甲 【解析】设甲花的时间为t1，乙花的时间为t2，总路程为S，则 t1 2?m+t1 2 ?n=S， S 2 m + S 2 n =t2，所以t1=2S m+n ，t2=S 2m +S 2n ，t1?t2=S2 m+n ?1 2m ?1 2n =S? 2mn?m2?n2 2mn m+n ，因为m≠n，所以m2+n2>2mn，所以t1?t2<0，即t1 64. 500 65. （1）1900（2）100 【解析】（1）当l=6.05时，F=76000v v+18v+121=76000 v+121+18 ≤ 2 v? v +18 =76000 22+18 =1900．当且仅当 v=11米/秒时等号成立，此时车流量最大为1900辆/时． （2）当l=5时，F=76000v v+18v+100=76000 v+100 v +18 ≤ 2 v? v +18 =76000 20+18 =2000．当且仅当v=10米/秒时 等号成立，此时车流量最大为2000辆/时．比（1）中的最大车流量增加100辆/时． 66. 8,82 3 【解析】付款16元，肯定超出了3千米，设行程为x千米，则应该付款8+1.5x?3元， 由题意，得15.5≤8+1.5x?3<16.5，解得8≤x<82 3 ． 67. 80 m2 【解析】根据使用面积应该缴纳的费用为60×4=240元，设建筑面积为x m2，则根据他所选择方案知3x?240≤0，所以x≤80，即建筑面积不超过80 m2 68. 甲地运往B地300 t，乙地运往A地200 t，运往B地150 t，运往C地400 t，5650元 【解析】设甲地运往A地x t，运往B地y t，则运往C地300?x+y t．所以乙地运往A、B、C 三地的产品数量分别为200?x t、450?y t、100+x+y t．则 x+y≤300, x≤200, x≥0, y≥0. 总运费为z=6x+3y+5300?x?y+5200?x+9450?y+6100+x+y=2x?5y+ 7150元． 作出可行域如图所示： 平移直线2x?5y=0，可知当直线过点A0,300时，z max=5650．所以甲地运往B地300 t，乙地运往A地200 t，运往B地150 t，运往C地400 t；最低运费为5650元． 69. 81 cm2 【解析】设矩形的长为x，宽为y，则： x+y=18, x>0, y>0,所以S=xy≤x+y 2 2 =81（当且仅当x=y时取" = "）． 1、设恒成立的c的取值范围是 A．B．C．D． 2、设，且（其中），则M的取值范围是A．B．C．D． 3、若实数、满足，则的取值范围是 A．B．C．D． 4、已知，，，则的最小值是（） （Ａ）（Ｂ）4（Ｃ）（Ｄ） 5、若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是 (A)(B)(C)(D) 6、已知，若在上恒成立，则实数的取值范围是（） A．B．C．D． 7、已知正实数满足，则的最小值为。 8、如图，目标函数可行域为四边形（含边界），若是该目标函数的最优解，则的取值范围是() （A）（B）（C）（D） 的最大值与最小值之和为 9、函数，当时，恒成立,则 D. 10、已知正数满足，则的最小值为 A．3B．C．4D． 11、二次函数轴两个交点的横坐标分别为。（1）证明：；（2）证明：； （3）若满足不等式的取值范围。 12、设满足约束条件，若目标函数的最大值为10，则的最小值为. 13、已知对任意实数x，二次函数f(x)=ax2+bx+c恒非负，且a 高一数学专项练习题 高一数学专项练习题 高一数学专项练习一. 选择题：本大题共5小题，每小题7分，共35分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知函数唯一的零点在区间内，那么下面命题错误的( ) A 函数在或内有零点 B 函数在内无零点 C 函数在内有零点 D 函数在内不一定有零点 2.若，，则与的关系是 ( ) A B C D 3. 函数零点的个数为 ( ) A B C D 4. 已知函数y=f(x)有反函数，则方程f(x)=0 ( ) A 有且仅有一个根 B 至多有一个根 C 至少有一个根 D 以上结论都不对 5. 某林场计划第一年造林亩，以后每年比前一年多造林，则第四年造林( ) A 亩 B 亩 C 亩 D 亩 二. 填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分。 6.用二分法求方程x3-2x-5=0在区间[2,3]内的实根，取区间中点为x0=2.5，那么下一个有根的区间是 7.函数f(x)=lnx-x+2的零点个数为 8. 设函数y=f(x)的图象在[a,b]上连续，若满足，则方程f(x)=0在[a,b]上有实根. 9. 若点(2,1)既在函数的图象上，又在它的反函数的图象上，则=__________________，=__________________ 三. 解答题：本大题共3小题，共41分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 10.(本小题13分) 某商品进货单价为元，若销售价为元，可卖出个，如果销售单价每涨元，销售量就减少个，为了获得最大利润，则此商品的最佳售价应为多少? 11.(本小题14分) 设与分别是实系数方程和的一个根，且，求证：方程有且仅有一根介于和之间。 12.(本小题14分) 函数在区间上有最大值，求实数的值 B组题(共100分) 四. 选择题：本大题共5小题，每小题7分，共35分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 13.如果二次函数y=x2+mx+(m+3)有两个不同的零点，则m的取值范围是( ) A (-2,6) B [-2,6] C {-2,6｝ D (-,-2)(6,+) 不等式练习题 一、选择题 1、若a,b 是任意实数,且a ＞b,则 ( ) （A ）a 2＞b 2 （B ） a b ＜1 （C ）lg(a-b)＞0 （D ）(21)a ＜(2 1)b 2、下列不等式中成立的是 ( ) （A ）lgx+log x 10≥2(x ＞1) （B ）a 1 +a ≥2 (a ≠0) （C ） a 1＜b 1 (a ＞b) （D ）a 21+t ≥a t (t ＞0,a ＞0,a ≠1) 3、已知a >0,b >0且a +b =1, 则()11 )(1122--b a 的最小值为 ( ) (A )6 (B ) 7 (C ) 8 (D ) 9 4、已给下列不等式(1)x 3+ 3 >2x (x ∈R ); (2) a 5+b 5> a 3b 2+a 2b 3(a ,b ∈R ); (3) a 2+b 2≥2(a －b －1), 其中正确的个数为 ( ) (A ) 0个 (B ) 1个 (C ) 2个 (D ) 3个 5、f (n ) = 12+n －n , ?(n )= n 21 , g (n ) = n 12--n , n ∈N ,则 ( ) (A ) f (n ) 高考不等式经典例题 【例1】已知a ＞0，a ≠1，P ＝log a (a 3－a ＋1)，Q ＝log a (a 2－a ＋1)，试比较P 与Q 的大小. 【解析】因为a 3－a ＋1－(a 2－a ＋1)＝a 2(a －1)， 当a ＞1时，a 3－a ＋1＞a 2－a ＋1，P ＞Q ； 当0＜a ＜1时，a 3－a ＋1＜a 2－a ＋1，P ＞Q ； 综上所述，a ＞0，a ≠1时，P ＞Q . 【变式训练1】已知m ＝a ＋ 1a －2 (a ＞2)，n ＝x － 2(x ≥12)，则m ，n 之间的大小关系为( ) A.m ＜n B.m ＞n C.m ≥n D.m ≤n 【解析】选C.本题是不等式的综合问题，解决的关键是找中间媒介传递. m ＝a ＋ 1a －2＝a －2＋1a －2 ＋2≥2＋2＝4，而n ＝x － 2≤(12)－2＝4. 【变式训练2】已知函数f (x )＝ax 2－c ，且－4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5，求f (3)的取值范围. 【解析】由已知－4≤f (1)＝a －c ≤－1，－1≤f (2)＝4a －c ≤5. 令f (3)＝9a －c ＝γ(a －c )＋μ(4a －c )， 所以???-=--=+1,94μγμγ???? ??? ? =-=38 ,35μγ 故f (3)＝－53(a －c )＋8 3(4a －c )∈[－1,20]. 题型三 开放性问题 【例3】已知三个不等式：①ab ＞0；② c a ＞d b ；③b c ＞a d .以其中两个作条件，余下的一个作结论，则能组 成多少个正确命题？ 【解析】能组成3个正确命题.对不等式②作等价变形:c a ＞d b ?bc －ad ab ＞0. (1)由ab ＞0，bc ＞ad ?bc －ad ab ＞0，即①③?②； (2)由ab ＞0， bc －ad ab ＞0?bc －ad ＞0?bc ＞ad ，即①②?③； (3)由bc －ad ＞0， bc －ad ab ＞0?ab ＞0，即②③?①. 故可组成3个正确命题. 【例2】解关于x 的不等式mx 2＋(m －2)x －2＞0 (m ∈R ). 【解析】当m ＝0时，原不等式可化为－2x －2＞0，即x ＜－1； 当m ≠0时，可分为两种情况： (1)m ＞0 时，方程mx 2＋(m －2)x －2＝0有两个根，x 1＝－1，x 2＝2 m . 所以不等式的解集为{x |x ＜－1或x ＞2 m }； (2)m ＜0时，原不等式可化为－mx 2＋(2－m )x ＋2＜0， （2017贵州遵义高一期末）5．如图是一个算法流程图，则输出的n的值为（） A．3 B．4 C．5 D．6 【考点】EF：程序框图． 【分析】由已知中的程序语句，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解答】解：模拟程序的运行，可得 n=0 执行循环体，n=1 满足条件21≤16，执行循环体，n=2 满足条件22≤16，执行循环体，n=3 满足条件23≤16，执行循环体，n=4 满足条件24≤16，执行循环体，n=5 不满足条件25≤16，退出循环，输出n的值为5． 故选：C． 10．（2017安徽马鞍山高一期末）如图所示，程序框图的输出结果为（） A．4 B．5 C．6 D．7 【考点】EF：程序框图． 【专题】27 ：图表型；5K ：算法和程序框图． 【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当S=121时，不满足条件S＜100，退出循环，输出k的值为5． 【解答】解：模拟执行程序框图，可得 S=1，k=1 满足条件S＜100，S=4，k=2 满足条件S＜100，S=13，k=3 满足条件S＜100，S=40，k=4 满足条件S＜100，S=121，k=5 不满足条件S＜100，退出循环，输出k的值为5． 故选：B． 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图和算法，正确依次写出每次循环得到的S，k的值是解题的关键，属于基本知识的考查． （2017湖北荆州高二月考）5．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出s的值为（） A．105 B．16 C．15 D．1 【考点】E7：循环结构． 【分析】本循环结构是当型循环结构，它所表示的算式为s=1×3×5×…×（2i ﹣1），由此能够求出结果． 【解答】解：如图所示的循环结构是当型循环结构， 它所表示的算式为s=1×3×5×…×（2i﹣1） ∴输入n的值为6时，输出s的值s=1×3×5=15． 故选C． （2017黑龙江大庆中学高二期中）9．运行如图所示的程序，若输入x的值为256，则输出的y值是（） 1．若xy＞0，则对x y＋ y x说法正确的是() A．有最大值－2B．有最小值2 C．无最大值和最小值D．无法确定 答案：B 2．设x，y满足x＋y＝40且x，y都是正整数，则xy的最大值是() A．400 B．100 C．40 D．20 答案：A 3．已知x≥2，则当x＝____时，x＋4 x有最小值____． 答案：2 4 4．已知f(x)＝12 x＋4x. (1)当x＞0时，求f(x)的最小值； (2)当x＜0 时，求f(x)的最大值． 解：(1)∵x＞0，∴12 x，4x＞0. ∴12 x＋4x≥2 12 x·4x＝8 3. 当且仅当12 x＝4x，即x＝3时取最小值83， ∴当x＞0时，f(x)的最小值为8 3. (2)∵x＜0，∴－x＞0. 则－f(x)＝12 －x ＋(－4x)≥2 12 －x ·?－4x?＝83， 当且仅当12 －x ＝－4x时，即x＝－3时取等号． ∴当x＜0时，f(x)的最大值为－8 3. 一、选择题 1．下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是() A．x＋1 2x B．x 2－1＋ 1 x2－1 C．2x＋2－x D．x(1－x) 答案：C 2．函数y＝3x2＋ 6 x2＋1 的最小值是() A．32－3 B．－3 C．6 2 D．62－3 解析：选D.y＝3(x2＋ 2 x2＋1 )＝3(x2＋1＋ 2 x2＋1 －1)≥3(22－1)＝62－3. 3．已知m、n∈R，mn＝100，则m2＋n2的最小值是() A．200 B．100 C．50 D．20 解析：选A.m2＋n2≥2mn＝200，当且仅当m＝n时等号成立．4．给出下面四个推导过程： ①∵a，b∈(0，＋∞)，∴b a＋ a b≥2 b a· a b＝2； ②∵x，y∈(0，＋∞)，∴lg x＋lg y≥2lg x·lg y； ③∵a∈R，a≠0，∴4 a＋a≥2 4 a·a＝4； ④∵x，y∈R，，xy＜0，∴x y＋ y x＝－[(－ x y)＋(－ y x)]≤－2?－ x y??－ y x?＝－2. 其中正确的推导过程为() A．①②B．②③C．③④D．①④解析：选D.从基本不等式成立的条件考虑． ①∵a，b∈(0，＋∞)，∴b a， a b∈(0，＋∞)，符合基本不等式的条件，故①的推导 过程正确； ②虽然x，y∈(0，＋∞)，但当x∈(0,1)时，lg x是负数，y∈(0,1)时，lg y是负数，∴ ②的推导过程是错误的； ③∵a∈R，不符合基本不等式的条件， ∴4 a＋a≥24 a·a＝4是错误的； ④由xy＜0得x y， y x均为负数，但在推导过程中将全体 x y＋ y x提出负号后，(－ x y)均 变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确． 5．已知a＞0，b＞0，则1 a＋ 1 b＋2ab的最小值是() A．2 B．2 2 C．4 D．5 解析：选 C.∵1 a＋ 1 b＋2ab≥ 2 ab ＋2ab≥22×2＝4.当且仅当 ?? ? ??a＝b ab＝1 时， 等号成立，即a＝b＝1时，不等式取得最小值4. 6．已知x、y均为正数，xy＝8x＋2y，则xy有() 高中数学基本不等式的巧用 1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )；(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤? ?? ??a ＋b 22(a ，b ∈R )； (4)a 2＋b 22≥? ?? ??a ＋b 22(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数 设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个 正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则 (1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大) 一个技巧 运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是22 ?? ??a ＋b 22(a ，b ＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等． 两个变形 (1)a 2＋b 22≥? ?? ??a ＋b 22≥ab (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)； a ＋b 这两个不等式链用处很大，注意掌握它们． 三个注意 (1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽 视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可． (2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． (3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。 技巧三： 分离 例3. 求2710(1)1 x x y x x ++=>-+的值域。 。 技巧四：换元 技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a f x x x =+ 的单调性。例：求函数224y x =+的值域。 练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值. （1）231,(0)x x y x x ++=>（2）12,33 y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈ 2．已知01x <<，求函数(1)y x x = -.；3．203 x <<，求函数(23)y x x =-. 条件求最值 1.若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是. 变式：若44log log 2x y +=，求11x y +的最小值.并求x ,y 的值 技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。 2：已知0,0x y >>，且191x y +=，求x y +的最小值。 迄今为止最全，最适用的高一数学试题（必修1、4） （特别适合按14523顺序的省份） 必修1 第一章 集合测试 一、选择题(共12小题，每题5分，四个选项中只有一个符合要求) 1．下列选项中元素的全体可以组成集合的是 （ ） A.学校篮球水平较高的学生 B.校园中长的高大的树木 C.2007年所有的欧盟国家 D.中国经济发达的城市 2．方程组20{=+=-y x y x 的解构成的集合是 （ ） A ．)}1,1{( B ．}1,1{ C ．（1，1） D ．}1{ 3．已知集合A={a ，b ，c},下列可以作为集合A 的子集的是 （ ） A. a B. {a ，c} C. {a ，e} D.{a ，b ，c ，d} 4．下列图形中，表示N M ?的是 （ ） 5．下列表述正确的是 （ ） A.}0{=? B. }0{?? C. }0{?? D. }0{∈? 6、设集合A ＝{x|x 参加自由泳的运动员}，B ＝{x|x 参加蛙泳的运动员}，对于“既参 加自由泳又参加蛙泳的运动员”用集合运算表示为 ( ) A.A ∩B B.A ?B C.A ∪B D.A ?B 7.集合A={x Z k k x ∈=,2} ,B={Z k k x x ∈+=,12} ,C={Z k k x x ∈+=,14} 又,,B b A a ∈∈则有 （ ） A.（a+b ）∈ A B. (a+b) ∈B C.(a+b) ∈ C D. (a+b) ∈ A 、B 、C 任一个 8.集合A={1，2，x}，集合B={2，4，5}，若B A ={1，2，3，4，5}，则x=（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 5 9.满足条件{1,2,3}?≠M ?≠{1,2,3,4,5,6}的集合M 的个数是 （ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 典型例题一 例1 解不等式：（1）01522 3>--x x x ；（2）0)2()5)(4(3 2 <-++x x x ． 分析：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或 0)( ①0 ) ( ) ( ) ( ) ( < ? ? < x g x f x g x f ②0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( < ? = ? ≤ ? ? ? ≠ ≤ ? ? ≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或 或 （1）解：原不等式等价于 ? ? ? ≠ - + ≥ + - + - ? ≥ + - + - ? ≤ + - + + - ? ≤ + - - - + ? ≤ + - - ? + ≤ - )2 )( 2 ( )2 )( 2 )( 1 )( 6 ( )2 )( 2 ( )1 )( 6 ( )2 )( 2 ( 6 5 )2 )( 2 ( )2 ( )2 (3 2 2 3 2 2 3 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为[)[) +∞ ? - ? - -∞,6 2,1 )2 , (。 （2）解法一：原不等式等价于0 2 7 3 1 3 2 2 2 > + - + - x x x x 2 1 2 1 3 1 2 7 3 1 3 2 2 7 3 1 3 2 )2 7 3 )( 1 3 2( 2 2 2 2 2 2 > < < < ? ?? ? ? ? < + - < + - ?? ? ? ? > + - > + - ? > + - + - ? x x x x x x x x x x x x x x x 或 或 或 ∴原不等式解集为) ,2( )1, 2 1 ( ) 3 1 , (+∞ ? ? -∞。 解法二：原不等式等价于0 )2 )(1 3( )1 )(1 2( > - - - - x x x x )2 ( )1 3 )( 1 )( 1 2(> - ? - - - ?x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为) ,2( )1, 2 1 ( ) 3 1 , (+∞ ? ? -∞ 典型例题三 高三数学不等式练习题（理） 一、选择题 1、以下命题正确的是（ ） A 若b a >，d c >，则bd ac > B 若 bc ac >，则b a < C 若 22c b c a <， 则b a < D 若b a >，d c >，则d b c a ->- 2、不等式 1 1x ≤的解集是( ) A ．(1,+∞) B ．[1,+∞) C ．(-∞,0)∪[1,+∞) D ．(-∞,0)∪(1,+∞) 3、在的条件下，，00>>b a 三个结论：①22b a b a ab +≤+，②，222 2b a b a +≤+ ③b a b a a b +≥+2 2，其中正确的个数是 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 4、已知p ：存在01,2≤+∈mx R x ；q ：对任意01,2 >++∈mx x R x ,若p 或q 为假，则实数m 的取 值范围为（ ） A. 2-≤m B. 2≥m C. 22-≤≥m m 或 D. 22≤≤m － 5、若+ ∈R b a ,，且4=+b a ，则b a 22log log +的最大值是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 6.如果方程02)1(2 2 =-+-+m x m x 的两个实根一个小于?1，另一个大于1，那么实数m 的取值范围是 A ．)22(，- B ．（－2，0） C ．（－2，1） D ．（0，1） 7、已知()f x ＝1ln 0 10 x x x x ?>??? ?－的解集为( ) A ．(1) (0)e ∞－，－， B ．(1)()e ∞∞－，－，＋ C ．(1,0)()e ∞－，＋ D ．(1,0)(0)e －， 8、下列结论正确的是（ ） A ．当101,lg 2lg x x x x >≠+≥且时 B ．10,2x x x >+≥当时 C ．x x x 1,2+ ≥时当的最小值为2 D ．当1 02,x x x <≤-时无最大值 9、在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车 可供使用，每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台，若每辆至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为（ ） A ．2000元 B ．2200元 C ．2400元 D ．2800元 高考均值不等式经典例题 1.已知正数,,a b c 满足2 15b ab bc ca +++=，则58310a b c +++的最小值为 。 2.设M 是ABC V 内一点，且30AB AC A =∠=?u u u r u u u r g ，定义()(,,)f M m n p =，其中,,m n p 分别是 ,,MBC MCA MAB V V V 的面积，若1()(,,)2 f M x y =，则14x y +的最小值为 . 3.已知实数1,12 m n >>，则224211n m m n +--的最小值为 。 4.设22110,21025() a b c a ac c ab a a b >>>++-+-的最小值为 。 5.设,,a b c R ∈，且222 ,2222a b a b a b c a b c ++++=++=，则c 的最大值为 。 6.已知ABC V 中，142, 10sin sin a b A B +=+=，则ABC V 的外接圆半径R 的最大值为 。 7.已知112,,339 a b ab ≥≥=，则a b +的最大值为 。 8. ,,a b c 均为正数，且222412a ab ac bc +++=，则a b c ++的最小值为 。 9. ,,,()4a b c R a a b c bc +∈+++=-2a b c ++的最小值为 。 10. 函数()f x =的最小值为 。 11.已知0,0,228x y x y xy >>++=，则2x y +的最小值为 。 12.若*3()k k N ≥∈，则(1)log k k +与(1)log k k -的大小： 。 13.设正数,,x y z 满足22340x xy y z -+-=，则当xy z 取最大值时，212x y z +-的最大值为 。 14.若平面向量,a b r r 满足23a b -≤r r ，则a b ?r r 的最小值为 。 15. 的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a b +的最大值为 。 16.设{}n a 是等比数列， 公比q =n S 为{}n a 的前n 项和，记*21 17()n n n n S S T n N a +-=∈，设0n T 为数列{}n T 的最大项，则0n = 。 一元二次不等式及其解法 1．形如)0)(0(02≠<>++a c bx ax 其中或的不等式称为关于x 的一元二次不等式． 2．一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>与相应的函数2(0)y ax bx c a =++>、相应的方程20(0)ax bx c a ++=>判别式ac b 42-=? 0>? 0=? 0a ）的图象 ()002>=++a c bx ax 的解集)0(02>>++a c bx ax 的解集)0(02><++a c bx ax 1、把二次项的系数变为正的。（如果是负，那么在不等式两边都乘以-1，把系数变为正） 2、解对应的一元二次方程。（先看能否因式分解，若不能，再看△，然后求根） 3、求解一元二次不等式。（根据一元二次方程的根及不等式的方向） 不等式的解法---穿根法 一．方法:先因式分解,再使用穿根法. 注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正. 使用方法:①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点. ②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿). ③数轴上方曲线对应区域使“>”成立, 下方曲线对应区域使“<”成立. 例1:解不等式 (1) (x+4)(x+5)2(2-x)3 <0 x 2-4x+1 3x 2-7x+2 ≤1 解: (1) 原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0 根据穿根法如图 不等式解集为{x ∣x>2或x<-4且x ≠5}. (2) 变形为 (2x-1)(x-1) (3x-1)(x-2) ≥0 根据穿根法如图 不等式解集为 {x |x< 1 3 或 1 2 ≤x ≤1或x>2}. 2 -4 -5 2 2 1 1 3 1 第2讲 不等式与线性规划 考情解读 1．在高考中主要考查利用不等式的性质进行两数的大小比较、一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题．基本不等式主要考查求最值问题，线性规划主要考查直接求最优解和已知最优解求参数的值或取值范围问题. 2．多与集合、函数等知识交汇命题，以选择、填空题的形式呈现，属中档题． 1．四类不等式的解法 （1）一元二次不等式的解法 先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)，再求相应一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集． （2）简单分式不等式的解法 ①变形?f (x )g (x )>0(<0)?f (x )g (x )>0(<0)；②变形?f (x ) g (x )≥0(≤0)?f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. （3）简单指数不等式的解法 ①当a >1时，a f (x )>a g (x )?f (x )>g (x )；②当0a g (x )?f (x ) 一．不等式的性质： 二．不等式大小比较的常用方法： 1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；3．分析法；4．平方法；5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性；7．寻找中间量或放缩法 ；8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。 三．重要不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2≥+ (2)若R b a ∈,，则2 22b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）; 若0x <，则1 2x x + ≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2 (2 22b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求 它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 5.a 3+b 3+c 3≥3abc （a,b,c ∈ R +）, a +b +c 3 ≥3abc （当且仅当a =b =c 时取等号）； 6. 1 n (a 1+a 2+……+a n )≥12n n a a a (a i ∈ R +,i=1,2,…，n)，当且仅当a 1=a 2=…=a n 取等号； 变式：a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ca; ab ≤( a +b 2 )2 (a,b ∈ R +) ; abc ≤( a +b +c 3 )3(a,b,c ∈ R +) a ≤ 2a b a +b ≤ab ≤ a +b 2 ≤ a 2+b 2 2 ≤b.(0b>n>0,m>0; 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 高中数学不等式综合测试题 一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．共60分) 1．(文)设a b <，c d <，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．d b c a ->- B ．bd ac > C ．d b c a +>+ D ．c b d a +>+ (理)已知a <0，-1> B ．2ab ab a >> C ．2ab ab a >> D ．2 ab a ab >> 2．“0>>b a ”是“2 2 2b a ab +<”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．(文)关于x 的不等式(1)ax b a ><-的解集为( ) A ．R B ．φ C ．),(+∞a b D ．(,)b a -∞ (理)不等式b ax >的解集不可能．．．是( ) A ．φ B ．R C ．),(+∞a b D ．),(a b --∞ 4．不等式022>++bx ax 的解集是)3 1,21(-，则b a -的值等于( ) A ．－14 B ．14 C ．－10 D ．10 5．(文)不等式|1|2x -<的解集是( ) A ．{|03}x x ≤< B ．{|22}x x -<< C ．{|13}x x -<< D ．{|1,3}x x x <-> (理)不等式||x x x <的解集是( ) A ．{|01}x x << B ．{|11}x x -<< C ．{|01x x <<或1}x <- D ．{|10,1}x x x -<<> 6．(文)若0b a <<，则下列结论不正确．．． 的是( ) A ． 11a b < B ．2b ab < C ．2>+b a a b D ．||||||b a b a +>+ (理)若011<+b a a b D ．||||||b a b a +>+ 7．若13)(2+-=x x x f ，12)(2-+=x x x g ，则)(x f 与)(x g 的大小关系为( ) A ．)()(x g x f > B ．)()(x g x f = C ．)()(x g x f < D ．随x 值变化而变化 8．下列各式中最小值是2的是( ) A ．y x ＋x y B ．4 5 22++x x C ．tan x ＋cot x D ．x x -+22 9．下列各组不等式中，同解的一组是( ) A ．02>x 与0>x B ．01 )2)(1(<-+-x x x 与02<+x C ．0)23(log 2 1>+x 与123<+x D ．112≤--x x 与112≤--x x 10．(文)如果a x x >+++|9||1|对任意实数x 总成立，那么a 的取值范围是( ) A ．}8|{a a C ．}8|{≥a a D ．}8|{≤a a 一、选择题（每题4分，共40分） 1、下列四组对象，能构成集合的是 （ ） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2、集合{a ，b ，c }的真子集共有 个 （ ） A 7 B 8 C 9 D 10 3、若{1，2}?A ?{1，2，3，4，5}则满足条件的集合A 的个数是 （ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4、若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则C U （M ∪N ）= （ ） A . {1，2，3} B. {2} C. {1，3，4} D. {4} 5、方程组 1 1x y x y +=-=- 的解集是 ( ) A .{x=0,y=1} B. {0,1} C. {(0,1)} D. {(x,y)|x=0或y=1} 6、以下六个关系式：{}00∈，{}0??，Q ?3.0, N ∈0, {}{},,a b b a ? ， {}2 |20,x x x Z -=∈是空集中，错误的个数是 （ ） A 4 B 3 C 2 D 1 7、点的集合M ＝｛(x,y)｜xy≥0｝是指 ( ) A.第一象限内的点集 B.第三象限内的点集 C. 第一、第三象限内的点集 D. 不在第二、第四象限内的点集 8、设集合A=} { 12x x <<，B=} { x x a <，若A ?B ，则a 的取值范围是 （ ） A } { 2a a ≥ B } { 1a a ≤ C } { 1a a ≥ D } { 2a a ≤ 9、 满足条件M }{1=}{1,2,3的集合M 的个数是 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 10、集合{}|2,P x x k k Z ==∈，{}|21,Q x x k k Z ==+∈， {}|41,R x x k k Z ==+∈，且,a P b Q ∈∈，则有 （ ） A a b P +∈ B a b Q +∈ C a b R +∈ D a b +不属于P 、Q 、R 中的任意一个 二、填空题（每题3分，共18分） 11、若}4,3,2,2{-=A ，},|{2 A t t x x B ∈==，用列举法表示B 12、集合A={x| x 2 +x-6=0}, B={x| ax+1=0}, 若B ?A ，则a=__________ 13、设全集U={ } 2 2,3,23a a +-，A={}2,b ，C U A={} 5，则a = ，b = 。 14、集合{}33|>-<=x x x A 或，{}41|><=x x x B 或，A B ?=____________. 15、已知集合A={x|2 0x x m ++=}, 若A ∩R=?，则实数m 的取值范围是 16、50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人. 三、解答题（每题10分，共40分） 17、已知集合A={x| x 2 +2x-8=0}, B={x| x 2 -5x+6=0}, C={x| x 2 -mx+m 2 -19=0}, 若B ∩C ≠Φ，A∩C=Φ，求m 的值 18、已知二次函数f (x )=2 x ax b ++,A=}{ }{ ()222x f x x ==,试求 f ()x 的解析式高中数学不等式练习题
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