专题八 统计与统计案例

专题八统计与统计案例

极差，标准差（方差）

(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；

(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；

(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．

考点三线性回归方程：

∧

∧

∧

+

=a

x

b

y样本点中心：(,)

x y,

∧

∧

+

=a

x

b

y

独立性检验：分类变量———22

?列联表

利用2k判断相关关系

概率与统计、统计案例______ 一大一小共17分

重点考查数据处理能力、应用意识、创新意识

1．(2016·课标全国丙)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是()

A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上; B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同; D．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个

答案 D

解析由题意知，平均最高气温高于20 ℃的有七月，八月，故选D.

2．(2016·山东)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是()

A．56 B．60 C．120 D．140

答案 D

解析设所求人数为N，则N＝2.5×(0.16＋0.08＋0.04)×200＝140，故选D. 3．(2016·北京)某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.

在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则()

A．2号学生进入30秒跳绳决赛; B．5号学生进入30秒跳绳决赛

C．8号学生进入30秒跳绳决赛; D．9号学生进入30秒跳绳决赛

答案 B

解析由数据可知，进入立定跳远决赛的8人为：1～8号，所以进入30秒跳绳决赛的6人需要从1～8号产生，数据排序后可知第3,6,7号必须进跳绳决赛，另外3人需从63，a,60,63，a－1五个得分中抽取，若63分的人未进决赛，则60分的人就会进入决赛，与事实矛盾，所以63分必进决赛．故选B.

4．(2016·上海)某次体检，6位同学的身高(单位：米)分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77，则这组数据的中位数是________(米)．

答案 1.76

1.以选择题、填空题的形式考查随机抽样、样本的数字特征、统计图表、回归方程、独立性检验等；

2.在概率与统计的交汇处命题，以解答题中档难度出现.

热点一 抽样方法

1．简单随机抽样特点是从总体中逐个抽取．适用范围：总体中的个体数较少．

2．系统抽样特点是将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取．适用范围：总体中的个体数较多．

3．分层抽样特点是将总体分成几层，分层进行抽取．适用范围：总体由差异明显的几部分组成．

例1 (1)某校要从高一、高二、高三共2 012名学生中选取50名组成志愿团，若采用下面的方法选取，先用简单随机抽样的方法从2 012人中剔除12人，剩下的2 000人再按分层抽样的方法进行，则每人入选的概率( )

A ．都相等且为502 012

B ．都相等且为140

C ．不会相等

D ．均不相等

(2)某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3∶5∶7，现用分层抽样的方法抽出容量为n 的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n ＝________. 答案 (1)A (2)90

解析 (1)根据分层抽样的定义和方法可得，每个个体被抽到的概率都相等，都等于样本容量除以总体容量，所以每个个体被抽到的概率都等于50

2 012

，故选A. (2)由题意得33＋5＋7＝18

n

，解得n ＝90.

思维升华 (1)随机抽样各种方法中，每个个体被抽到的概率都是相等的；(2)系统抽样又称“等距”抽样，被抽到的各个号码间隔相同；(3)分层抽样满足：各层抽取的比例都等于样本容量在总体容量中的比例．

跟踪演练1 (1)要考察某公司生产的500克袋装牛奶中三聚氰胺的含量是否超标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数法抽取样本时，先将800袋牛奶按000,001，…，799进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数开始向右读，则得到的第4个样本个体的编号是________．(下面摘取了随机数表第7行至第9行)

84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76(第7行) 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79(第8行) 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54(第9行)

(2)利用分层抽样的方法在学生总数为1 200人的年级中抽出20名同学，其中有女生8人，则该年级男生的人数约为________． 答案 (1)068 (2)720

解析 (1)由随机数法可知抽取样本个体的编号为331,572,455,068，…，故第4个样本个体

的编号为068.

(2)由于样本容量为20，其中的男生人数为12，从而该年级男生人数约为1 200×12

20＝720.

热点二 用样本估计总体

1．频率分布直方图中横坐标表示组距，纵坐标表示频率组距，频率＝组距×频率

组距.

2．频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1. 3．利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数

利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时易出错，应注意区分这三者．

例2 (1)在某次测量中得到的A 样本数据如下：42,43,46,52,42,50，若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都减5后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是( ) A ．平均数 B ．标准差 C ．众数 D ．中位数 (2)若五个数1,2,3,4，a 的平均数为3，则这五个数的标准差是________． 答案 (1)B (2) 2

解析 (1)设样本A 中的数据为x i ，则样本B 中的数据为y i ＝x i －5，则样本数据B 中的众数和平均数以及中位数和A 中的众数，平均数，中位数相差5，只有标准差没有发生变化，故选B.

(2)由平均数的定义知1＋2＋3＋4＋a

5＝3， 所以10＋a ＝15，即a ＝5；

由标准差的计算公式可得: s ＝

1

5

[(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(4－3)2＋(5－3)2] ＝ 2. 思维升华 (1)反映样本数据分布的主要方式：频率分布表、频率分布直方图、茎叶图．关于频率分布直方图要明确每个小矩形的面积即为对应的频率，其高低能够描述频率的大小，高考中常常考查频率分布直方图的基本知识，同时考查借助频率分布直方图估计总体的概率分布和总体的特征数，具体问题中要能够根据公式求解数据的平均数、众数、中位数和方差等．(2)由样本数据估计总体时，样本方差越小，数据越稳定，波动越小．

跟踪演练2 (1)某学生在一门功课的22次考试中，所得分数茎叶图如图所示，则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为( )

A ．117

B ．118

C ．118.5

D ．119.5

(2)某学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n 且支出在[20,60]元的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50,60]元的学生有30人，则n 的值为( )

A ．100

B ．1 000

C ．90

D ．900 答案 (1)B (2)A

解析 (1)22次考试中，所得分数最高的为98，最低的为56，所以极差为98－56＝42，将分数从小到大排列，中间两数为76,76，所以中位数为76，所以此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为42＋76＝118.

(2)支出在[50,60]元的频率为1－0.1－0.24－0.36＝0.3，所以n ＝30÷0.3＝100，故选A. 热点三 统计案例 1．线性回归方程

方程y ^

＝b ^

x ＋a ^

称为线性回归方程，其中b ^

＝∑n

i ＝1

x i y i －n x y

∑n

i ＝1x 2

i －n x

2

，a ^＝y －b ^

x ，(x ，y )称为样

本点的中心．

2．随机变量 K 2

＝n (ad －bc )2

(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )

，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .

例3 (1)具有线性相关关系的变量x 、y 的一组数据如下表所示．若y 与x 的回归直线方程为y ^

＝3x －3

2

，则m 的值是( )

A.4

B.9

2

C ．5.5

D ．6

(2)2016年3月9日至15日，谷歌人工智能系统“阿尔法”迎战围棋冠军李世石，最终结果“阿尔法”以总比分4比1战胜李世石．许多人认为这场比赛是人类的胜利，也有许多人持反对意见，有网友为此进行了调查，在参加调查的2 548名男性中有1 560名持反对意见， 2 452名女性中有1 200名持反对意见，在运用这些数据说明“性别”对判断“人机大战是人类的胜利”是否有关系时，应采用的统计方法是( )

A ．茎叶图

B ．分层抽样

C ．独立性检验

D ．回归直线方程 答案 (1)A (2)C 解析 (1)因为x ＝1.5，y ＝

8＋m 4，所以样本中心点坐标是(1.5，8＋m

4

)，又因为回归直线必过样本中心点， 所以8＋m 4＝3×1.5－3

2

，得m ＝4，故选A.

(2)这是独立性检验，因为这里有两个分类变量，一个是性别分为男女，一个是意见分为支持和反对，这样就构成一个2×2列联表，用独立性检验来验证“性别”对判断“人机大战是人类的胜利”是否有关系．

思维升华 (1)在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值；回归直线过样本点的中心(x ，y )，应引起关注．(2)独立性检验问题，要确定2×2列联表中的对应数据，然后代入K 2求解即可．

跟踪演练3 (1)随机采访50名观众对某电视节目的满意度，得到如下列联表： 单位：人

附表和公式如下：

K 2

＝n (ad －bc )2

(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )

，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量．

根据以上数据可知( )

A ．有95%的把握认为对电视节目的满意度与性别无关

B ．有99%的把握认为对电视节目的满意度与性别无关

C ．有99%的把握认为对电视节目的满意度与性别有关

D ．有95%的把握认为对电视节目的满意度与性别有关

(2)春节期间，“厉行节约，反对浪费”之风悄然吹开，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表：

附：

K 2

＝n (ad －bc )2

(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )

参照附表，得到的正确结论是( )

A ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”

B ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”

C ．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”

D ．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关” 答案 (1)C (2)C

解析 (1)由于K 2

＝50×(10×5－20×15)2

25×25×30×20

≈8.333>6.635，所以有99%的把握认为对电视节

目的满意度与性别有关，故选C.

(2)由公式可计算K 2

＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝100×(45×15－30×10)2

55×45×75×25

≈3.03>2.706，

所以有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”，故选C.

1．高考前夕，摸底考试后随机抽取甲、乙两班各10名学生的数学成绩，绘成茎叶图如图所示．记甲、乙两班的平均成绩分别是x 甲，x 乙，中位数分别为m 甲，m 乙，则( )

A.x 甲m 乙;

B.x 甲>x 乙，m 甲>m 乙;

C.x 甲>x 乙，m 甲

D.x 甲

押题依据 对茎叶图的考查在高考中较为常见，从中提取数字的特征(如平均数、众数、中位数等)是高考命题的热点题型． 答案 A

解析 甲班10名学生的数学成绩的平均数为

x 甲＝69＋67＋70＋71＋78＋79＋82＋82＋81＋92

10

＝77.1，

乙班10名学生的数学成绩的平均数为

x 乙＝68＋71＋71＋72＋74＋78＋87＋88＋89＋9910＝79.7，

所以x 甲

乙．

中位数分别为m 甲＝78＋792＝78.5，m 乙＝74＋78

2

＝76，所以m 甲>m 乙．故选A.

2．某校为了了解高三学生寒假期间的学习情况，抽查了100名学生，统计他们每天的平均学习时间，绘成的频率分布直方图如图所示，则这100名学生中

学习时间在6至10小时之间的人数为________．

押题依据 频率分布直方图多以现实生活中的实际问题为背景，对图形的理解应用可以考查考生的基本分析能力，是高考的热点． 答案 58

解析 由图知，(0.04＋0.12＋x ＋0.14＋0.05)×2＝1，解得x ＝0.15，所以学习时间在6至10小时之间的频率是(0.15＋0.14)×2＝0.58， 所求人数为100×0.58＝58.

3．某车间为了制定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如下：

(1)

(2)求出y 关于x 的线性回归方程y ^

＝b ^

x ＋a ^

，并在坐标系中画出回归直线； (3)试预测加工10个零件需要多少小时？

(注：b ^

＝

∑n i ＝1

x i y i －n x y

∑n

i ＝1x 2

i －n x

2

，a ^＝y －b ^

x )

押题依据 线性回归分析在生活中具有很强的应用价值，是高考的一个重要考点． 解 (1)散点图如图．

(2)由表中数据得：i i i y x 4

1=∑＝52.5，

x ＝3.5，y ＝3.5，24

1

i

i x =∑＝54，∴b ^ ＝0.7，∴a ^

＝1.05，

∴y ^

＝0.7x ＋1.05，回归直线如图所示．

(3)将x ＝10代入线性回归方程，

得y ^

＝0.7×10＋1.05＝8.05，

故预测加工10个零件约需要8.05小时．

A 组 专题通关

1．某餐厅的原料费支出x 与销售额y (单位：万元)之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程为y ^

＝8.5x ＋7.5，则表中的m 的值为( )

A.50 C ．60 D ．65

答案 C

解析 x ＝2＋4＋5＋6＋8

5＝5，

y ＝25＋35＋m ＋55＋755＝m ＋1905

，

又y ＝8.5x ＋7.5＝50，

因此m ＋1905

＝50，m ＝60，故选C.

2．为了了解某城市今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为120，则抽取的学生人数是( )

A ．240

B ．280

C ．320

D ．480

答案 D

解析 由频率分布直方图知：学生的体重在65～75 kg 的频率为(0.012 5＋0.037 5)×5＝0.25， 则学生的体重在50～65 kg 的频率为1－0.25＝0.75. 从左到右第2个小组的频率为0.75×2

6＝0.25.

所以抽取的学生人数是120÷0.25＝480.

3．以下茎叶图记录了甲，乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为( )

A ．2,5

B ．5,5

C ．5,8

D ．8,8

答案 C

解析 由题意得x ＝5，

16．8＝1

5

(9＋15＋10＋y ＋18＋24)?y ＝8，故选C.

4．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图，由图中数据可知身高在[120,130)内的学生人数为( )

A．20 B．25

C．30 D．35

答案 C

解析由图可知，(0.035＋a＋0.020＋0.010＋0.005)×10＝1，解得a＝0.03，所以身高在[120,130)内的学生人数在样本中的频率为0.03×10＝0.3，所以身高在[120,130)内的学生人数为0.3×100＝30，故选C.

5．下列说法中正确的个数为()

①若样本数据x1，x2，…，x n的平均数x＝5，则样本数据2x1＋1,2x2＋1，…，2x n＋1的平均数为10；

②将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均数与方差均没有变化；

③采用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加活动，学号为5,16,27,38,49的同学均被选出，则该班学生人数可能为60.

A．0 B．1

C．2 D．3

答案 A

解析①若样本数据x1，x2，…，x n的平均数x＝5，则样本数据2x1＋1,2x2＋1，…，2x n ＋1的平均数为2×5＋1＝11，故①错误；②将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均数减小，方差没有变化，故②错误；③∵学号为5,16,27,38,49的同学均被选出，∴样本间隔为16－5＝11，则对应的人数为11×5＝55(人)，若该班学生人数可能为60，则样本间隔为60÷5＝12，故③错误，故选A.

6．如图是我市某小区100户居民2015年月平均用水量(单位：t)的频率分布直方图的一部分，则该小区2015年的月平均用水量的中位数的估计值为________．

答案 2.02

解析 由图可知，前五组的频率依次为0.04,0.08,0.15,0.22,0.25，因此前五组的频数依次为4,8,15,22,25，由中位数的定义，应是第50个数与第51个数的算术平均数，而前四组的频数和：4＋8＋15＋22＝49，是第五组中第1个数与第2个数的算术平均数，中位数是2＋(2.5－2)×1

25

＝2.02.

7．某地区2009年至2015年农村居民家庭人均纯收入y (单位：千元)的数据如下表：

(1)求y 关于t 的线性回归方程；

(2)利用(1)中的回归方程，分析2009年至2015年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2019年农村居民家庭人均纯收入． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

b ^

＝

∑i ＝1

n

(t i －t )(y i －y )

∑i ＝1

n

(t i －t )2

，a ^

＝y －b ^

t .

解 (1)由所给数据计算得

t ＝1

7

(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，

y ＝1

7

(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，

∑i ＝1

7

(t i －t )2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，

∑i ＝1

7

(t i －t )(y i －y )＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋

2×0.9＋3×1.6＝14，

b ^

＝

∑i ＝1

7

(t i －t )(y i －y )

∑i ＝1

7

(t i －t )2

＝14

28

＝0.5， a ^

＝y －b ^t ＝4.3－0.5×4＝2.3，

所求线性回归方程为y ^

＝0.5t ＋2.3.

(2)由(1)知，b ^

＝0.5>0，故2009年至2015年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．

将2019年的年份代号t ＝11代入(1)中的线性回归方程，得y ^

＝0.5×11＋2.3＝7.8， 故预测该地区2019年农村居民家庭人均纯收入为7.8千元．

8．“ALS 冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的筹款活动，活动规定：被邀请者要么在24小时内接受挑战，要么选择为慈善机构捐款(不接受挑战)，并且不能重复参加该活动．若被邀请者接受挑战，则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容，然后便可以邀请另外3个人参与这项活动．假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，且互不影响． (1)若某参与者接受挑战后，对其他3个人发出邀请，则这3个人中至少有2个人接受挑战的概率是多少？

(2)为了解冰桶挑战赛与受邀请的性别是否有关，某调查机构进行了随机抽样调查，调查得到如下2×2列联表：

根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“冰桶挑战赛与受邀请者的性别有关”？

附： K 2

＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )

解 (1)这3个人接受挑战分别记为A ，B ，C ，则A ，B ，C 分别表示这3个人不接受挑战．这3个人参与该项活动的可能结果有：{A ，B ，C }，{A ，B ，C }，{A ，B ，C }，{A ，B ，C }，{A ，B ，C }，{A ，B ，C }，{A ，B ，C }，{A ，B ，C }，共8种．其中，至少有2个人接受挑战的可能结果有：{A ，B ，C }，{A ，B ，C }，{A ，B ，C }，{A ，B ，C }，共4种．

根据古典概型的概率公式，所求的概率为P ＝48＝1

2.

(2)假设冰桶挑战赛与受邀者的性别无关． 根据2×2列联表，得

K 2

＝n (ad －bc )2

(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )

＝100×(45×15－25×15)260×40×70×30

＝2514≈1.79，

因为1.79＜2.706，所以在犯错误的概率不超过0.1的前提下不能认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别有关”．

B 组 能力提高

9．根据如下样本数据：

得到了回归方程y ^

＝b ^

x ＋a ^

，则( )

A.a ^

>0，b ^

>0

B.a ^

<0，b ^

>0

C.a ^

>0，b ^

<0 D.a ^

<0，b ^

<0

答案 C

解析 ∵总体趋势是y 随着x 的增大而减小，∴b ^

<0，又x ＝5.5，y ＝0.25，∴a ^＝y －b ^

x

＝0.25－5.5b ^

>0.选C.

10．去年“十·一”期间，昆曲高速公路车辆较多．某调查公司在曲靖收费站从7座以下小型汽车中按进收费站的先后顺序，每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40辆汽车进行抽样调查，将他们在某段高速公路的车速(km/h)分成六段：[60,65)，[65,70)，[70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90]后，得到如图的频率分布直方图．

(1)调查公司在抽样时用到的是哪种抽样方法？ (2)求这40辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值；

(3)若从这40辆车速在[60,70)的小型汽车中任意抽取2辆，求抽出的2辆车车速都在[65,70)的概率．

解 (1)系统抽样．

(2)众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值为77.5； 由题图可知，中位数应该在75～80之间，设为m ，

则0.01×5＋0.02×5＋0.04×5＋0.06×(m －75)＝0.5， m ＝77.5，

即中位数的估计值为77.5.

(3)这40辆车中，车速在[60,70)的共有 5×(0.01＋0.02)×40＝6(辆)，

其中车速在[65,70)的有5×0.02×40＝4(辆)，记为A ，B ，C ，D ， 车速在[60,65)的有5×0.01×40＝2(辆)，记为a ，b .

若从车速在[60,70)的这6辆汽车中任意抽取2辆的可能结果有：{A ，B }，{A ，C }，{A ，D }，{A ，a }，{A ，b }，{B ，C }，{B ，D }，{B ，a }，{B ，b }，{C ，D }，{C ，a }，{C ，b }，{D ，a }，{D ，b }，{a ，b }，共15种不同的结果， 其中抽出的2辆车车速都在[65,70)的结果有6种， 因为抽到每种结果都是等可能的，

所以从这40辆车速在[60,70)的汽车中任意抽取2辆，抽出的2辆车车速都在[65,70)的概率为P ＝615＝2

5.