中考试题汇编 专题 二次函数的应用(几何问题)

专题22：二次函数的应用（几何问题）

一、选择题

1.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，若|ax2＋bx＋c|＝k(k≠0)有两个不相等的实数根，求k的取值范围？

A．k＜－3 B．k＞－3 C．k＜3 D．k＞3

【答案】 D。

三、解答题

1.如图，二次函数y=（x﹣2）2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1，0）及点B．

（1）求二次函数与一次函数的解析式；

（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x﹣2）2+m的x的取值范围．

2. 在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y=k（x2+x﹣1）的图象交于点A（1，k）和点B（﹣1，﹣k）．（1）当k=﹣2时，求反比例函数的解析式；

（2）要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；

（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．

3. 如图二次函数y=ax 2

+bx+c 的图象交x 轴于A （﹣1，0），B （2，0），交y 轴于C （0，﹣2），过A ，C 画直线． （1）求二次函数的解析式；

（2）点P 在x 轴正半轴上，且PA=PC ，求OP 的长；

4. 如图，经过原点的抛物线2

y x 2mx(m 0)=-+>与x 轴的另一个交点为A.过点P(1,m)作直线PM x ⊥轴于点M ，交抛物线于点B.记点B 关于抛物线对称轴的对称点为C （B 、C 不重合）.连结CB,CP 。 （1）当m 3=时，求点A 的坐标及BC 的长； （2）当m 1>时，连结CA ，问m 为何值时CA⊥CP？

（3）过点P 作PE⊥PC 且PE=PC ，问是否存在m ，使得点E 落在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的m 的值，并写出相对应的点E 坐标；若不存在，请说明理由。

【答案】解：（1）当m=3时，y=－x 2

＋6x 。

令y=0得－x 2

＋6x=0，解得，x 1=0，x 2=6。∴A（6，0）。 当x=1时，y=5。∴B（1，5）。

∵抛物线y=－x 2＋6x 的对称轴为直线x=3，且B ，C 关于对称轴对称，∴BC=4。 （2）过点C 作CH⊥x 轴于点H （如图1）

由已知得，∠ACP=∠BCH=90°，∴∠ACH=∠PCB。 又∵∠AHC=∠PBC=90°，∴△AGH∽△PCB。 ∴

AH PB

CH BC

=

。 ∵抛物线y=－x 2

＋2mx 的对称轴为直线x=m ，其中m ＞1，且B ，

C 关于

对称轴对称，

∴BC=2（m －1）。

∵B（1，2m －1），P （1，m ），∴BP=m－1。

又∵A（2m ，0），C （2m －1，2m －1），∴H（2m －1，0）。 ∴AH=1，CH=2m －1， ∴

()1m 12m 12m 1-=--，解得m=3

2

。 （3）存在。∵B，C 不重合，∴m≠1。

（I ）当m ＞1时，BC=2（m －1），PM=m ，BP=m －1， （i ）若点E 在x 轴上（如图1），

∵∠CPE=90°，∴∠MPE+∠BPC=∠MPE+∠MEP=90°，PC=EP 。 ∴△BPC≌△MEP，∴BC=PM，即2（m-1）=m ，解得m=2。 此时点E 的坐标是（2，0）。

（ii ）若点E 在y 轴上（如图2），过点P 作PN⊥y 轴于点N ， 易证△BPC≌△NPE，

∴BP=NP=OM=1，即m －1=1，解得，m=2。 此时点E 的坐标是（0，4）。

（II ）当0＜m ＜1时，BC=2（1－m ），PM=m ，BP=1－m ， （i ）若点E 在x 轴上（如图3）， 易证△BPC≌△MEP，

∴BC=PM，即2（1－m ）=m ，解得，m=2

3

。 此时点E 的坐标是（

4

3

，0）。 （ii ）若点E 在y 轴上（如图4），

过点P 作PN⊥y 轴于点N ，易证△BPC≌△NPE， ∴BP=NP=OM=1，即1－m=1，∴m=0（舍去）。

综上所述，当m=2时，点E 的坐标是（0，2）或（0，4），

当m=

23时，点E 的坐标是（4

3

，0）。 【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质。

【分析】（1）把m=3，代入抛物线的解析式，令y=0解方程，得到的非0解即为和x 轴交点的横坐标，再求出抛物线的对称轴方程，从而求出BC 的长。

（2）过点C 作CH⊥x 轴于点H （如图1）由已知得∠ACP=∠BCH=90°，利用已知条件证明

△AGH∽△PCB，根据相似的性质得到：AH PB

CH BC

=

，再用含有m 的代数式表示出BC ，CH ，BP ，代入比例式即可求出m 的值。

（3）存在。本题要分当m ＞1时，BC=2（m-1），PM=m ，BP=m －1和当0＜m ＜1时，BC=2（1－m ），PM=m ，BP=1－m ，两种情况分别讨论，再求出满足题意的m 值和相对应的点E 坐标。

9. （2012江苏连云港12分）如图，抛物线y ＝－x 2

＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点O 为坐标原点，点D 为抛物线的顶点，点E 在抛物线上，点F 在x 轴上，四边形OCEF 为矩形，且OF ＝2，EF ＝3， (1)求抛物线所对应的函数解析式； (2)求△ABD 的面积；

(3)将△AOC 绕点C 逆时针旋转90°，点A 对应点为点G ，问点G 是否在该抛物线上？请说明理由．

【答案】解：(1)∵四边形OCEF 为矩形，OF ＝2，EF ＝3，

∴点C 的坐标为(0，3)，点E 的坐标为(2，3)．

把x ＝0，y ＝3；x ＝2，y ＝3分别代入y ＝－x 2

＋bx ＋c ，得

c=34+2b+c=3??

-?，解得b=2

c=3???

。 ∴抛物线所对应的函数解析式为y ＝－x 2

＋2x ＋3。 (2)∵y＝－x 2

＋2x ＋3＝－(x －1)2

＋4，

∴抛物线的顶点坐标为D(1，4)。∴△ABD 中AB 边的高为4。 令y ＝0，得－x 2

＋2x ＋3＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3。 ∴AB＝3－(－1)＝4。 ∴△ABD 的面积＝

1

2

×4×4＝8。 (3)如图，△AOC 绕点C 逆时针旋转90°，CO 落在CE 所在的

直线上，由（1）(2)可知OA ＝1，OC=3，

∵点A 对应点G 的坐标为(3，2)。 ∵当x ＝3时，y ＝－32

＋2×3＋3＝0≠2， ∴点G 不在该抛物线上。

【考点】二次函数综合题，矩形的性质，曲线图上点的坐标与方程的关系，解一元二次方程，二次函数的性质，

旋转的性质。

【分析】(1)在矩形OCEF 中，已知OF 、EF 的长，先表示出C 、E 的坐标，然后利用待定系数法确定该函数的解析式。

(2)根据(1)的函数解析式求出A 、B 、D 三点的坐标，以AB 为底、D 点纵坐标的绝对值为高，可求出

△ABD 的面积。

(3)根据旋转条件求出点A 对应点G 的坐标，然后将点G 的坐标代入抛物线的解析式中直接进行判定

即可。

10. （2012江苏南通14分）如图，经过点A(0，－4)的抛物线y ＝ 1 2x 2

＋bx ＋c 与x 轴相交于点B(－0，0)

和C ，O 为坐标原点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)将抛物线y ＝ 1 2x 2＋bx ＋c 向上平移 7

2个单位长度、再向左平移m(m ＞0)个单位长度，得到新抛物

线．若新抛物线的顶点P 在△ABC 内，求m 的取值范围；

(3)设点M 在y 轴上，∠OMB＋∠OAB＝∠ACB，求AM 的长．

【答案】解：（1）将A （0，－4）、B （－2，0）代入抛物线y= 1 2

x 2

+bx+c 中，得：

0c 4 22b c 0+=-??-+=?，解得，b 1 c 4=-??=-?

。 ∴抛物线的解析式：y= 1 2x 2

－x －4。

（2）由题意，新抛物线的解析式可表示为：()()217y=

x+m x+m 4+22

--， 即：()221

11

y=x +m 1x+m m 222

---

。它的顶点坐标P （1－m ，－1）。 由（1）的抛物线解析式可得：C （4，0）。 ∴直线AB ：y=－2x-4；直线AC ：y=x －4。

当点P 在直线AB 上时，－2（1－m ）－4=－1，解得：m=

5

2

； 当点P 在直线AC 上时，（1－m ）＋4=－1，解得：m=－2；

又∵m＞0，

∴当点P 在△ABC 内时，0＜m ＜

5

2

。 （3）由A （0，-4）、B （4，0）得：OA=OC=4，且△OAC 是等腰直角三角形。

如图，在OA 上取ON=OB=2，则∠ONB=∠ACB=45°。 ∴∠ONB=∠NBA+OAB=∠ACB=∠OMB+∠OAB， 即∠ONB=∠OMB。

如图，在△ABN、△AM 1B 中， ∠BAN=∠M 1AB ，∠ABN=∠AM 1B ， ∴△ABN∽△AM 1B ，得：AB 2

=AN?AM 1； 由勾股定理，得AB 2

=（－2）2

+42

=20， 又AN=OA －ON=4－2=2，

∴AM 1=20÷2=10，OM 1=AM 1－OA=10－4=6。

而∠BM 1A=∠BM 2A=∠ABN，∴OM 1=OM 2=6，AM 2=OM 2－OA=6－4=2。 综上，AM 的长为6或2。

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，平移的性质，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理。

【分析】（1）该抛物线的解析式中只有两个待定系数，只需将A 、B 两点坐标代入即可得解。

（2）首先根据平移条件表示出移动后的函数解析式，从而用m 表示出该函数的顶点坐标，将其

代入直线AB 、AC 的解析式中，即可确定P 在△ABC 内时m 的取值范围。

（3）先在OA 上取点N ，使得∠ONB=∠ACB，那么只需令∠NBA=∠OMB 即可，显然在y 轴的正负半轴上

都有一个符合条件的M 点；以y 轴正半轴上的点M 为例，先证△ABN、△AMB 相似，然后通过相关比例线段求出AM 的长。

11. （2012江苏泰州10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，边长为2的正方形OABC 的顶点A 、C 分 别在x 轴、y 轴的正半轴上，二次函数22

y x bx c 3

=-++的图象经过B 、C 两点． （1）求该二次函数的解析式；

（2）结合函数的图象探索：当y>0时x 的取值范围．

1

2. （2012湖北黄石10分）已知抛物线C 1的函数解析式为2

y ax bx 3a(b 0)=+-<，若抛物线C 1经过 点(0,3)-，方程2

ax bx 3a 0+-=的两根为1x ，2x ，且12x x 4-=。

（1）求抛物线C 1的顶点坐标. （2）已知实数x 0>，请证明：1x x +

≥2,并说明x 为何值时才会有1

x 2x

+=. （3）若抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线C 2，设1A(m,y )， 2B(n,y ) 是C 2上的两个不同点，且满足： 0

0AOB 9∠=，m 0>，n 0<.请你用含有m 的表达式表示出△AOB 的面积S ，并求出S 的最小值及S 取最小值时一次函数OA 的函数解析式。

（参考公式：在平面直角坐标系中，若11P(x ,y )，22Q(x ,y )，则P ，Q 22

2121(x x )(y y )-+- 【答案】解：（1）∵抛物线过（０,－３）点，∴－3a ＝－３。∴a＝１ 。

∴ｙ＝x 2

＋bx －３

∵x 2

＋bx －３=０的两根为x 1，x 2且12x x 4-=，

∴22121212x x (x x )4x x =b +12-+-b ＜０。∴b＝－２。 ∴()2

2x x x ----ｙ＝２３＝１４。

∴抛物线Ｃ１的顶点坐标为（１，－４）。 （2）∵x＞０，∴1x 2(x )0x x

+

-=-≥ ∴1

x 2x +

≥。 当x =0x

-时，即当x ＝１时，有1

x 2x +=。

（3）由平移的性质，得C 2的解析式为：y ＝x 2

。

∴Ａ(m ，m 2

)，B （n ，n 2

）。

∵ΔAOB 为直角三角形，∴OA 2

＋OB 2

=AB 2

。 ∴m 2

＋m 4

＋n 2

＋n 4

＝（m －n ）2

＋（m 2

－n 2

）2

， 化简得：m n ＝－１。 ∵ＳΔAOB =24241

1

m m n n 22

?+?+O A O B=

，m n ＝－１， ∴ＳΔAOB ＝

22221112m n 2m 22m

++=++＝211111(m )m 212m 2m 2??+=+≥?= ???。 ∴ＳΔAOB 的最小值为１，此时m ＝１,Ａ(１,１)。 ∴直线OA 的一次函数解析式为ｙ＝x 。

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，二次函数的性质，不等式的知识。

【分析】（1）求抛物线的顶点坐标，即要先求出抛物线的解析式，即确定待定系数a 、b 的值．已知抛物线图象与y 轴交点，可确定解析式中的常数项（由此得到a 的值）；然后从方程入手求b 的值，题目给出了两根差的绝对值，将其进行适当变形（转化为两根和、两根积的形式），结合根与系数的关系即可求出b 的值。

（2）将1

x x

+

配成完全平方式，然后根据平方的非负性即可得证。 （3）结合（1）的抛物线的解析式以及函数的平移规律，可得出抛物线C 2的解析式；在Rt△OAB 中，

由勾股定理可确定m 、n 的关系式，然后用m 列出△AOB 的面积表达式，结合不等式的相关知识可确定△OAB 的最小面积值以及此时m 的值，从而由待定系数法确定一次函数OA 的解析式。

别解：由题意可求抛物线C 2的解析式为：y ＝x 2

。

∴Ａ(m ，m 2

)，B （n ，n 2

）。

过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ， 则AOC BOD ACDB S S S S ??=--梯形

2222111

(m n )(m n)m m n n 2221

mn(m n)

2=

+--?-?=--

由BOD △∽OAC △得 BD OD

OC AC

=

，即

22n n m m -=。∴mn 1=-。 ∴1111

S mn(m n)=m+2122m 2

??=-

-≥?= ???。 ∴ＳΔAOB 的最小值为１，此时m ＝１,Ａ(１,１)。 ∴直线OA 的一次函数解析式为ｙ＝x 。

13. （2012湖北武汉12分）如图1，点A 为抛物线C 1：21

y=x 22

-的顶点，点B 的坐标为(1，0)，直线AB 交抛物线C 1于另一点C ．

(1)求点C 的坐标；

(2)如图1，平行于y 轴的直线x ＝3交直线AB 于点D ，交抛物线C 1于点E ，平行于y 轴的直线x ＝a 交直线AB 于F ，交抛物线C 1于G ，若FG ：DE ＝4∶3，求a 的值；

(3)如图2，将抛物线C 1向下平移m(m ＞0)个单位得到抛物线C 2，且抛物线C 2的顶点为点P ，交x 轴 于点M ，交射线BC 于点N ，NQ⊥x 轴于点Q ，当NP 平分∠MNQ 时，求m 的值．

图1 图2

【答案】解：（1）∵当x=0时，y ＝－2。∴A（0，－2）。

设直线AB 的解析式为y=kx+b ，则b=2k+b=0-???，解得k=2b=2??-?

。

∴直线AB 的解析式为y=2x 2-。 ∵点C 是直线AB 与抛物线C 1的交点，

∴2y=2x 2

1y=x 22

-??

?-??，解得1212x =4x =0y =6y =2????-?? ，（舍去）。 ∴C（4，6）。

（2）∵直线x ＝3交直线AB 于点D ，交抛物线C 1于点E ，

∴D E 5y =4y =2，，∴DE=D E 53y y =422

--=。 ∵FG：DE ＝4∶3，∴FG=2。

∵直线x ＝a 交直线AB 于点F ，交抛物线C 1于点G ， ∴2F 1y =2a 2y =a 22

G --，。

∴FG=2F 1

y y =2a a =22

G --。

解得123a =2a =2+22a =222-，，。

（3）设直线MN 交y 轴于点T ，过点N 作NH⊥y 轴于点H 。

设点M 的坐标为（t,0），抛物线C 2的解析式为21

y=x 2m 2

--。 ∴210=t 2m 2--。∴212m=t 2---。

∴2211y=x t 22-。∴P（0，21

t 2

-）。

∵点N 是直线AB 与抛物线C 2的交点，

∴22y=2x 2

11y=x t 2

2-??

?-??，解得1212x =2t x =2+t y =22t y =2+2t -????-?? ，（舍去）。

∴N（2t 22t -- ，）

。 ∴NQ=22t -，MQ=22t -。∴NQ=MQ。∴∠NMQ=450

。 ∴△MOT，△NHT 都是等腰直角三角形。∴MO=TO，HT=HN 。 ∴OT=－t ，()21

NT 2NH=22t PT=t+t 2

=--，。 ∵PN 平分∠MNQ，∴PT=NT。

∴()21t+t 22t 2

-=-，解得12t =22t =2-，（舍去）。 ∴()

2

211

2m=t =22=422

----

--。∴m=2。

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，解二元二次方程组，平移的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质，平行的性质。

【分析】（1）由点A 在抛物线C 1上求得点A 的坐标，用待定系数法求得直线AB 的解析式；联立直线AB 和抛物线C 1即可求得点C 的坐标。

（2）由FG ：DE ＝4∶3求得FG=2。把点F 和点G 的纵坐标用含a 的代数式表示，即可得等式

FG=2F 1

y y =2a a =22

G --，解之即可得a 的值。

（3）设点M 的坐标为（t,0）和抛物线C 2的解析式21

y=x 2m 2

--，求得t 和m 的关系。求出点P 和点N 的坐标（用t 的代数式表示），得出△MOT，△NHT 都是等腰直角三角形的结论。从而由角平分线和平行的性质得到PT=NT ，列式求解即可求得t ，从而根据t 和m 的关系式求出m 的值。

14. （2012湖北荆门10分）已知：y 关于x 的函数y=（k ﹣1）x 2

﹣2kx+k+2的图象与x 轴有交点． （1）求k 的取值范围；

（2）若x 1，x 2是函数图象与x 轴两个交点的横坐标，且满足（k ﹣1）x 12

+2kx 2+k+2=4x 1x 2． ①求k 的值；②当k≤x≤k+2时，请结合函数图象确定y 的最大值和最大值． 【答案】解：（1）当k=1时，函数为一次函数y=﹣2x+3，其图象与x 轴有一个交点。

当k≠1时，函数为二次函数，其图象与x 轴有一个或两个交点， 令y=0得（k ﹣1）x 2

﹣2kx+k+2=0．

△=（﹣2k ）2

﹣4（k ﹣1）（k+2）≥0，解得k≤2．即k≤2且k≠1。 综上所述，k 的取值范围是k≤2。 （2）①∵x 1≠x 2，由（1）知k ＜2且k≠1。

由题意得（k ﹣1）x 12

+（k+2）=2kx 1（*），

将（*）代入（k ﹣1）x 12+2kx 2+k+2=4x 1x 2中得：2k （x 1+x 2）=4x 1x 2。 又∵x 1+x 2=

2k k 1-，x 1x 2=k+2k 1-，∴2k?2k k 1-=4?k+2

k 1

-， 解得：k 1=﹣1，k 2=2（不合题意，舍去）。∴所求k 值为﹣1。

②如图，∵k 1=﹣1，y=﹣2x 2

+2x+1=﹣2（x ﹣

12）2+3

2，且﹣1≤x≤1， 由图象知：当x=﹣1时，y 最小=﹣3；当x=12时，y 最大=3

2

。

∴y 的最大值为3

2

，最小值为﹣3。

【考点】抛物线与x 轴的交点，一次函数的定义，一元二次方程根的判别式和根与系数物关系，二次函数的最值。

【分析】（1）分两种情况讨论，当k=1时，可求出函数为一次函数，必与x 轴有一交点；当k≠1时，函数为二次函数，若与x 轴有交点，则△≥0。

（2）①根据（k ﹣1）x 12

+2kx 2+k+2=4x 1x 2及根与系数的关系，建立关于k 的方程，求出k 的值。②充分

利用图象，直接得出y 的最大值和最小值。

15. （2012湖北恩施8分）如图，已知抛物线y=﹣x 2

+bx+c 与一直线相交于A （﹣1，0），C （2，3）两点，与y 轴交于点N ．其顶点为D ．

（1）抛物线及直线AC 的函数关系式；

（2）设点M （3，m ），求使MN+MD 的值最小时m 的值；

（3）若抛物线的对称轴与直线AC 相交于点B ，E 为直线AC 上的任意一点，过点E 作EF∥BD 交抛物线于点F ，以B ，D ，E ，F 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E 的坐标；若不能，请说明理由； （4）若P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，求△A PC 的面积的最大值．

【答案】解：（1）由抛物线y=﹣x 2

+bx+c 过点A （﹣1，0）及C （2，3）得，

1b+c=04+2b+c=3--??-?，解得b=2

c=3

??

?。∴抛物线的函数关系式为2y x 2x 3=-++。 设直线AC 的函数关系式为y=kx+n ，由直线AC 过点A （﹣1，0）及C （2，3）得

k+n=02k+n=3-???，解得k=1

n=1??

?

。∴直线AC 的函数关系式为y=x+1。 （2）作N 点关于直线x=3的对称点N′， 令x=0，得y=3，即N （0，3）。

∴N′（6， 3）

由()2

2y x 2x 3=x 1+4=-++--得

D （1，4）。

设直线DN′的函数关系式为y=sx+t ，

则

6s+t=3s+t=4??

?，解得1s=5

21t=

5

?

-??????。 ∴故直线DN′的函数关系式为1

21y x 55

=-+

。 根据轴对称的性质和三角形三边关系，知当M （3，m ）在直线DN′上时，MN+MD 的值最小， ∴1

2118m 3=555

=-?+

。

∴使MN+MD 的值最小时m 的值为

185

。 （3）由（1）、（2）得D （1，4），B （1，2），

①当BD 为平行四边形对角线时，由B 、C 、D 、N 的坐标知，四边形BCDN 是平行四边形，此

时，点E 与点C 重合，即E （2，3）。

②当BD 为平行四边形边时，

∵点E 在直线AC 上，∴设E （x ，x+1），则F （x ，2x 2x 3-++）。 又∵BD=2

∴若四边形BDEF 或BDFE 是平行四边形时，BD=EF 。 ∴()2x 2x 3x 1=2-++-+，即2x x 2=2-++。

若2x x 2=2-++，解得，x=0或x=1（舍去），∴E（0，1）。 若2x x 2=2-++-，解得，117

x=

±，∴E 1+173+17?? ? ??? ，或E 117317??-- ? ???

，。 综上，满足条件的点E 为（2，3）、（0，1）、1+173+17?? ? ??? ，、117317??

-- ? ???

，。 （4）如图，过点P 作PQ⊥x 轴交AC 于点Q ；过点C 作CG⊥x 轴于点G ，

设Q （x ，x+1），则P （x ，﹣x 2

+2x+3）。

∴22PQ x 2x 3x 1x x 2=

-++--=-++（）（）。 ∴APC APQ CPQ 1

S S +S PQ AG 2

???==

? 2213127

x x 23x 2228

=-++?=--+

（）（）。 ∵302

<-，

∴当1x=2时，△APC 的面积取得最大值，最大值为

278

。 【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，轴对称的性质，三角形三边关系，平行四边形的判定和性质，二次函数的最值。

【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式。

（2）根据轴对称的性质和三角形三边关系作N 点关于直线x=3的对称点N′，当M （3，m ）在直线DN′

上时，MN+MD 的值最小。

（3）分BD 为平行四边形对角线和BD 为平行四边形边两种情况讨论。

（4）如图，过点P 作PQ⊥x 轴交AC 于点Q ；过点C 作CG⊥x 轴于点G ，设Q （x ，x+1），则P （x ，﹣

x 2

+2x+3），求得线段PQ=﹣x 2

+x+2。由图示以及三角形的面积公式知APC APQ CPQ S S +S ???=，由二次函数的最值的求法可知△APC 的面积的最大值。

16. （2012湖北黄冈14分）如图，已知抛物线的方程C 1:

()()1

y x 2(x m)m 0m

=-+->与x 轴相交于点B 、 C ，与y 轴相交于点E ，且点B 在点C 的左侧. (1)若抛物线C 1过点M(2，2)，求实数m 的值． (2)在(1)的条件下，求△BCE的面积．

(3)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H ，使BH+EH 最小，并求出点H 的坐标．

(4)在第四象限内，抛物线C 1上是否存在点F ，使得以点B 、C 、F 为顶点的三角形与△BCE相似?若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．

【答案】解：（1）∵抛物线C 1过点M(2，2)，∴()1

222(2m)m

=-

+-，解得m=4。 （2）由（1）得()1

y x 2(x 4)4

=-

+-。 令x=0，得y 2=。∴E（0，2），OE=2。 令y=0，得()1

0x 2(x 4)4

=-

+-，解得x 1=－2，x=4。 ∴B（－2，，0），C （4，0），BC=6。

∴△BCE 的面积=1

6262??=。

（3）由（2）可得()1

y x 2(x 4)4

=-+-的对称轴为x=1。

连接CE ，交对称轴于点H ，由轴对称的性质和两点之间

线段最短的性质，知此时BH+EH 最小。

设直线CE 的解析式为y kx+b =，则

4k+b=0b=2

???，解得

1k=2b=2

?-

????。∴直线CE 的解析式为1

y x+22

=-。

当x=1时，3y 2=

。∴H（1，32

）。

（4）存在。分两种情形讨论：

①当△BEC∽△B CF 时，如图所示。 则

BE BC BC BF

=

，∴BC 2

=BE?BF。 由（2）知B （－2，0），E （0，2），即OB=OE ， ∴∠EBC=45°，∴∠CBF=45°。 作FT⊥x 轴于点F ，则BT=TF 。 ∴令F （x ，－x －2）（x ＞0）， 又点F 在抛物线上，∴－x －2=()1

x 2(x m)m

-

+-， ∵x+2＞0（∵x＞0），∴x=2m，F （2m ，－2m －2）。

此时22BF (2m 2)(2m 2)22m 1BE 22BC m 2=++--=+==+（），，，

又BC 2=BE?BF，∴（m+2）2

= 22 ?22m 1+（），解得m=2±22。

∵m＞0，∴m=22+2。

②当△BEC∽△FCB 时，如图所示。 则

BC EC BF BC

=

，∴BC 2

=EC?BF。 同①，∵∠EBC=∠CFB，△BTF∽△COE，

∴

TF OE 2

BT OC m

==。 ∴令F （x ，－2

m

（x+2））（x ＞0），

又点F 在抛物线上，∴－2

m

（x+2）=()1x 2(x m)m -+-。

∵x+2＞0（∵x＞0）， ∴x=m+2。∴F（m+2，－

2

m

（m+4）），2EC m 4=+，BC=m+2。 又BC 2=EC?BF，∴（m+2）2

= ()

()2

2

22

4m+4m 4m+2+2+

m +?

.

整理得：0=16，显然不成立。

综合①②得，在第四象限内，抛物线上存在点F ，使得以点B 、C 、F 为顶点的三角形与△BCE

相似，m=22+2。

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，轴对称的性质，两点之间线段最短的性质，相似三角形的判定和性质。

【分析】（1）将点（2，2）的坐标代入抛物线解析式，即可求得m 的值。

（2）求出B 、C 、E 点的坐标，从而求得△BCE 的面积。

（3）根据轴对称以及两点之间线段最短的性质，可知点B 、C 关于对称轴x=1对称，连接EC 与对称

轴的交点即为所求的H 点。

（4）分两种情况进行讨论：

①当△BEC∽△BCF 时，如图所示，此时可求得2

2+2。

②当△BEC∽△FCB 时，如图所示，此时得到矛盾的等式，故此种情形不存在。

17. （2012湖南常德10分）如图，已知二次函数1

y (x 2)(ax b)48

=++的图像过点A(－4，3）

，B(4，4). （1）求二次函数的解析式： （2）求证：△ACB 是直角三角形；

（3）若点P 在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P 作PH 垂直x 轴于点H ，是否存在以P 、H 、D 、为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

【答案】解：（1）将A(－4，3），B(4，4)代人1

y (x 2)(ax b)48

=

++中， 13(42)(4a b)48

14(42)(4a b)48?=-+-+????=++??

， 整理得：4a b 724a b 32-=??+=? 解得a 13b 20=??=-?

∴二次函数的解析式为：1

y (x 2)(13x 20)48

=+-，即：21315y x x 4886=+-。

（2）由 21315x x 04886+-=整理得 213x 6x 400+-=，解得1220

x =2x =13-，。

∴C （－2，0），D 20013??

???

，。 ∴AC 2

=4+9 ，BC 2

=36+16，AC 2

+ BC 2

=13+52=65，AB 2

=64+1=65， ∴ AC 2

+ BC 2

=AB 2

。∴△ACB 是直角三角形。 （3）设21315P(x x x )4886+-

，（x<0），则PH=21315x x 4886+-， HD=20

x 13

-。

13， BC=213，

①当△PHD∽△ACB 时有：PH HD AC CB =

2131520x x x

+--=， 整理得

2135125x x 024439+-=，解得125020x x 1313=-=

，（舍去），此时，135

y 13=。 ∴15035

P (1313

- ，）

。 ②当△DHP∽△ACB 时有：DH PH AC BC =，

2201315x x x -+-=， 整理

21317305x x 048878+-=，解得1212220x x 1313=-= ，（舍去）

，此时，1284

y 13=。 ∴2122284

P (1313

- ，）

。 综上所述，满足条件的点有两个即15035P (1313- ，），2122284

P (1313

- ，）

。 【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理和逆定理的应用，相似三角形的判定性质，坐标系中点的坐标的特征，抛物线与x 轴的交点，解一元二次方程和二元一次方程组。 【分析】（1）求二次函数的解析式，也就是要求1

y (x 2)(ax b)48

=++中a 、b 的值，只要把A(-4，3）

，B(4，4)代人即可。

（2）求证△ACB 是直角三角形，只要求出AC ，BC ，AB 的长度，然后用勾股定理及其逆定理去考察。 （3）分两种情况进行讨论，①△DHP∽△BCA，②△PHD∽△BCA，然后分别利用相似三角形对应边成比例的性质求出点P 的坐标。

18. （2012湖南怀化10分）]如图，抛物线m ：21y (x h)k 4

=-++与x 轴的交点为A 、B ，与y 轴的交点为C ，顶点为(3,)M 25

4

,将抛物线m 绕点B 旋转 180，得到新的抛物线n,它的顶点为D. （1）求抛物线n 的解析式；

（2）设抛物线n 与x 轴的另一个交点为E ，点P 是线段ED 上一个动点（P 不与E 、D 重合），过点P 作y 轴的垂线，垂足为F ，连接EF.如果P 点的坐标为(x,y) ，△PEF 的面积为S ，求S 与x 的函数关系式，写出自变量x 的取值范围，并求出S 的最大值；

（3）设抛物线m 的对称轴与x 轴的交点为G ，以G 为圆心，A 、B 两点间的距离为直径作⊙G，试判断直线CM 与⊙G 的位置关系，并说明理由.

【答案】解：（1）∵抛物线m 的顶点为25

M(3,)4

， ∴m 的解析式为2125y (x 3)44=--+=1

(x 8)(x 2)4

--+。∴A(2,0),B(8,0)- 。

∵抛物线n 是由抛物线m 绕点B 旋转180得到，∴D 的坐标为25

(13,)4

- 。

∴抛物线n 的解析式为：2125y (x 13)44=--，即2113

y x x 3642

=-+。

（2）∵点E 与点A 关于点B 中心对称，∴E (18,0) 。

设直线ED 的解析式为y kx b =+，则18k b 02513k b 4+=???+=-??，解得5k 445b 2?

=???

?=-??

。

∴直线ED 的解析式为545

y x 42

=-。

又点P 的坐标为(x,y) ， ∴S 111OF FP x y xy 222=

?=?=-=1545x(x )242--=2545

x x(13x 18)84

-+<<。 ∴当90

8

x 952()

8

=-

=?-时，S 有最大值。

但13x 18<<，∴△PEF 的面积S 没有最大值 。 （3）直线CM 与⊙G 相切。理由如下：

∵抛物线m 的解析式为1y (x 8)(x 2)4

=--+，令x 0=得y 4=。∴C(0,4) 。 ∵抛物线m 的对称轴与x 轴的交点为G ，∴OC=4，OG=3，25GM 4

=。 ∴由勾股定理得CG=5。

又∵AB=10，∴⊙G 的半径为5，∴点C 在⊙G 上。 过M 点作y 轴的垂线，垂足为N ，

则2222225225

CM CN MN (

4)3416=+=-+=

。 又2222

22562525CG CM 5()16164

+=+==，

∴2GM =22CG CM +。

∴根据勾股定理逆定理，得∠GCM=900

。∴CG CM ⊥。 ∴直线CM 与⊙G 相切。

【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，旋转的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，直线与圆的位置关系，勾股定理和逆定理。

【分析】（1）由抛物线m 的顶点坐标写出抛物线m 的顶点式方程，化为交点式方程即可求出A 、B 两点的坐标，根据旋转的性质即可求出抛物线n 的解析式。

（2）求出直线ED 的解析式，由点P 在直线ED ，可知P 5

90

(x,x )44

-

，从而求出△PEF 的面积S 的函数关系式，由点P 在线段ED 上得13x 18<<。从而根据二次函数最值的求法得出结果。

（3）要判断直线CM 与⊙G 的位置关系首先要判断CG 与⊙G 半径的关系，由AB=10，得⊙G 的半径为5。求出CG ，知点C 在⊙G 上。由勾股定理和逆定理，得出2GM =22CG CM +。从而得出CG CM ⊥，得出直线CM 与⊙G 相切的结论。

19. （2012湖南郴州10分）如图，已知抛物线2y ax bx c =++经过A （4，0），B （2，3），C （0，3）三点． （1）求抛物线的解析式及对称轴．

（2）在抛物线的对称轴上找一点M ，使得MA+MB 的值最小，并求出点M 的坐标．

（3）在抛物线上是否存在一点P ，使得以点A 、B 、C 、P 四点为顶点所构成的四边形为梯形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】解：（1）∵抛物线2y ax bx c =++经过A （4，0），B （2，3），C （0，3）三点，

∴ 16a 4b c 04a 2b c 3 c 3

++=??

++=??=?，解得3a 83b 4c 3

?

=-??

?=??=???

。

∴抛物线的解析式为：233y x x 384=-+

+，其对称轴为：b

x 12a

=-=。

（2）由B （2，3），C （0，3），且对称轴为x=1，可知点B 、

C 是关于对称轴x=1的对称点。

如图1所示，连接AC ，交对称轴x=1于点M ，连接MB ，

则MA ＋MB=MA ＋MC=AC ，根据两点之间线段最短可知此时MA ＋MB 的值最小。

设直线AC 的解析式为y=kx ＋b ，

∵A （4，0），C （0，3），∴ 4k b 0 b 3+=??=? ，解得3k 4b 3

?

=-

???=?。

∴直线AC 的解析式为：y=34

-x ＋3。 令x=1，得y=94 。∴M 点坐标为（1，94

）。 （3）结论：存在。

如图2所示，在抛物线上有两个点P 满足题意： ①若BC∥AP 1，此时梯形为ABCP 1。

由B （2，3），C （0，3），可知BC∥x 轴，则x 轴与抛

物线的另一个交点P 1即为所求。

在23

3

y x x 384

=-+

+中令y=0，解得x 1=-2，x 2=4。 ∴P 1（－2，0）。

∵P 1A=6，BC=2，∴P 1A≠BC。 ∴四边形ABCP 1为梯形。

②若AB∥CP 2，此时梯形为ABCP 2。 设CP 2与x 轴交于点N ，

∵BC∥x 轴，AB∥CP 2，∴四边形ABCN 为平行四边形。∴AN=BC=2。∴N（2，0）。

设直线CN 的解析式为y=k 1x+b 1，则有： 1112k b 0b 3 +=??=?，解得3k 2b 3

?

=-

???=?。

∴直线CN 的解析式为：y=3

2

-x+3。

∵点P 2既在直线CN ：y=32-x+3上，又在抛物线：233

y x x 384

=-++上， ∴32-x+3=233 x x 384

-+

+，化简得：x 2

－6x=0，解得x 1=0（舍去）

，x 2=6。 ∴点P 2横坐标为6，代入直线CN 解析式求得纵坐标为－6。∴P 2（6，－6）。 ∵ABCN ，∴AB=CN，而CP 2≠CN，∴CP 2≠AB。∴四边形ABCP 2为梯形。