高考数学百所名校新题好题之小题限时训练专题专题 40分钟限时训练一【湖北名校卷】(第1期)(解析版)

40分钟限时训练一【湖北名校卷】

1.已知复数z满足

12

1

i

i

z

-

=+，则z=( )

A B．

2

C D

【答案】C

【解析】因为

12

1

i

i

z

-

=+,所以

12

1

i

z

i

-

=

+

,

所以

12|12|

||||

1|1|

i i

z

i i

--

=====

++

故选C

2.已知集合2560,

{|}

M x x x

=--≤

1

,1

6

x

N y y x

??

??

??

==≥-

??

?

??

??

??

，则（）

A ．M N ?

B ．N M ?

C ．M N =

D ．()R M C N ?

【答案】B

【解析】∵M ＝{x |﹣1≤x ≤6}，N ＝{y |0＜y ≤6}， ∴N ?M ．故选B ．

3.边长为2的正方形ABCD 中，12DE EC =u u u v u u u v ，35

AF AD =u u u v u u u v ，则AE BF ?=u u u v u u u v

（ ）

A ．

13

15

B ．

65

C ．

1615

D ．

1415

【答案】C

【解析】以A 为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则(0,0)A ,2,23E ??

???,(2,0)B ,60,5F ?? ???

,

故2,23AE ??= ???u u u r ,62,5BF ??=- ???

u u u r ,则41216

3515AE BF ?=-+

=u u u r u u u r , 故选C ．

4.为考察A ，B 两种药物预防某疾病的效果，进行动物实验，分别得到等高条形图如图所示，根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（ ）

A ．药物

B 的预防效果优于药物A 的预防效果 B ．药物A 、B 对该疾病均没有预防效果

C ．药物A 、B 对该疾病均有显著的预防效果

D ．药物A 的预防效果优于药物B 的预防效果 【答案】D

【解析】由等高条形图知，服用A 药物的患病人数明显少于服用药物B 的人数，服用A 药物的未患病人数明显多于服用药物B 的人数，所以药物A 的预防效果优于药物B 的预防效果，故选D.

5.若函数,0()ln ,0

x e x f x x x ?=?>?…(其中e 为自然对数的底数)，则21(())f f e =（ ）

A ．0

B ．1

C ．1e -

D ．2e -

【答案】D

【解析】根据题意，函数,0

()ln ,0

x e x f x x x ?=?>?…，

22211(

)ln ln(2)f e e e -===-， 221

((

))f f e e

-=， 故选D ．

6.设13

3

1

4

1

1()11lo 34g ,,4a b c ??

=== ???

，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．c b a <<

C ．b c a <<

D ．c a b <<

【答案】B

【解析】∵a ＝log 1314=log 34＞1， 1

1040311,1311()(143)4b c ????==<= ? ?????

<= ∴a 最大，

又∵b ＝（

14）14=（164）112，c ＝（13

）13=（181）112，且幂函数y ＝x 1

12在（0，+∞）上单调递增，

∴c ＜b ， ∴c ＜b ＜a 故选B ． 7.若6

x π

=

是函数()cos f x x x ωω=+图象的一条对称轴，当ω取最小正数时（ ）

A ．()f x 在(,)36

ππ

-

单调递减

B ．()f x 在(

,)63

ππ

单调递增 C ．()f x 在(,0)6

π

-

单调递减

D ．()f x 在(0,

)6

π

单调递增

【答案】D

【解析】令()6

2

x k k Z π

π

ωπ+=

+∈，因为6

x π

=

是函数()2sin 6f x x πω??

=+

??

?

的图象的一条对称轴，所以6

6

2

k π

π

π

ωπ?

+

=

+，即()26k k Z ωπ=+∈．当0k =时，ω取得最小正数为2，此时()f x =

sin 26x π??+ ???，所以()f x 的单调增区间为,36k k ππππ??

-++ ???

，单调减区间为2,63k k ππππ??++ ???，对照各选项，可知只有D 选项符合题意，故选D ．

8.设α、β是两个不同的平面，m 、n 是两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）

A ．若α、β垂直于同一平面，则αβ∥.

B ．若α内无数条直线与β平行，则αβ∥.

C ．若m α⊥，n m ⊥，则n αP .

D ．若m n P ，αβ∥，则m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.

【答案】D 【解析】

对A,如空间直角坐标系中设,xOy xOz yOz xOz αβ=⊥=⊥,但xOy yOz ⊥,故A 错误.

对B,当αβ?于直线a ,α内无数条直线与a 平行,即α内无数条直线与β平行,但αβ∥不成立.故B 错误.

对C, 若m α⊥,n m ⊥,且n ?α也可成立,故//n α不一定成立.故C 错误. 对D, 若//m n ,αβ∥,则m 与α所成的角和n 与β所成的角相等正确.故D 正确.

故选D.

9.已知变量1x ，()()20,0x m m ∈>，且12x x <，若2112x

x

x x <恒成立，则m 的最大值为（ ）

A ．e

B

C ．1e

D ．1

【答案】A

【解析】2112x x

x x <即2112ln ln x x x x <化为

12

12

ln ln x x x x <，

故()ln x f x x =

在()0,m 上为增函数，()2

1ln 00x

f x x e x

>?'-=<<， 故m 的最大值为e . 故选A.

10.在△ABC 中，若1

tan 15013

A C BC ?

===，，，则△ABC 的面积S 是( )

A

B

C

D

【答案】A

【解析】A 是三角形内角，1tan 3A =

，∴sin 10

A =， 由正弦定理sin sin a c A C

=

得sin sin 10

a C c A ===

， 又2222cos c a b ab C =+-

，即

225

12cos15012

b b b =+-?=+，

2302b +-

=

，b =

（b =，

∴1133sin 1sin1502238

ABC S ab C ?=

=???=

． 故选A ．

11.SC 是球O 的直径，A 、B

是该球面上两点，AB =30ASC BSC ∠=∠=o ，棱锥S ABC -的体

O 的表面积为( ) A ．4π B ．8π C ．16π D ．32π

【答案】C

【解析】如下图所示,由于SC 为球O 的直径,所以903,0SAC SBC ASC BSC ??∠=∠=∠=∠=，所以

1

2

CB CA SC ==

，

设球O 的半径为R ,连接,OA OB 则OA OB OC AC CB R =====,取AB 的中点D ,连接,OD CD ,又

AB =,则OD CD == 设三棱锥S ABC -的高为2h ,又三棱锥O ABC -的高为△ODC 的边DC 上的高,所以三棱锥

O ABC -的高为h ,故13S ABC V -=

×12 2h ?=

所以3= ,在△ODC 中有12 = 12? ,故32 =

12 R ,解得2R =,故球O 的表面积为2416R ππ=， 故选C. 12.已知函数212

y x =

的图象在点2001,2x x ??

???处的切线为直线l ，若直线l 与函数ln y x =，()0,1x ∈的图象

相切，则0x 必满足条件（ ）

A ．001x <<

B ．01x <<

C 0x <<

D 02x <<

【答案】D 【解析】函数212

y x =

的图像在点2001,2x x ??

???处的切线的斜率0k x =，

所以切线方程：()20002x y x x x =-+即2

002x x x y -=；

ln y x =，()0,1x ∈设切点为()ln m m ，，切线的斜率1

k m

=

； 所以切线方程：()1

ln y m x m m -=

-，即1ln 1y x m m

=+-，()0,1m ∈ 若直线l 与函数ln y x =，()0,1x ∈的图像相切，

则方程组02

01ln 1

2x m x m ?

=????-=-??有解，所以2

00ln 102x x --=有解， 构造函数2

()ln 12x f x x =--，()1x >，

显然2

()ln 12

x f x x =--在()1,+∞上单调递增，

且3

ln 102f =

-<；(2)2ln 210f =-->；

所以)

02x ∈.

故选D

13.若向量,a b v v 满足：()(2)4a b a b -?+=-v v

v v ，且|a v |＝2，|b v |＝4，则a v 与b v 的夹角是__________．

【答案】120°

【解析】22()(2)28164a b a b a a b b a b -?+=-?-=-?-=-r r r r r r r r r r ，4a b ?=-r r

，

cos ,4a b a b a b ?=<>=-r r r r r r ，1

cos ,2

a b <>=-r r ，,120a b <>=?r r ，

故答案为：120?．

14.某年级有1000名学生，一次数学测试成绩(

)2

105,10X N :，()951050.34P X ≤≤=，则该年级学

生数学成绩在115分以上的人数大约为______. 【答案】160

【解析】Q 考试的成绩X 服从正态分布(105N ，210)．

∴考试的成绩X 关于105X =对称，

(95105)0.34P X =Q 剟， 1(115)(10.68)0.162

P X ∴=-=…，

∴该班数学成绩在115分以上的人数为0.161000160?=

故答案为：160．

15.已知数列}{

n a 是等比数列，2511,8a a ==-，若11

8

k S =-.则k =__________． 【答案】5

【解析】依题意，q 3

1

1818

-

==-，∴q 1

2=-，∴a 1＝﹣2，

S k 12[1)1121812k ??

--- ???=-=??-- ???

，即11()232

k -=-,

解得k ＝5， 故答案为：5

16.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22

221(0,0)y x a b a b

-=>>的上支与焦点为F 的抛物线

22(0)y px p =>交于,A B 两点．若4AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为___．

【答案】y =

【解析】由双曲线的方程()2

2

2210,0y x

a b a b -=>>和抛物线的方程22y px =联立得22

22212y x a b y px

?-=???=?

，消元

化简得22222

20a x pb x a b -+=，

设()()1122,,,A x y B x y ，则2

122

2pb x x a +=，

由抛物线的定义得1212,22

p p

AF BF x x x x p +=+

++=++ 又因为4AF BF OF +=，所以1242p x x p ++=?，所以22

22pb p p a +=，化简得2221b a =，所以2

22a b

=，

所以双曲线的渐近线方程为y =，

故答案为：y =.