二维正态分布.

第14讲 二维正态分布 中心极限定理

教学目的：了解二维正态分布，理解独立同分布的中心极限定理和棣莫佛—拉普拉斯

定理。

教学重点：独立同分布的中心极限定理。

教学难点：应用独立同分布的中心极限定理解决实际问题。 教学学时：2学时 教学过程:

第四章 正态分布

§4.4 二维正态分布

定义 若二维连续随机变量),(Y X 的联合概率密度为

]

)()

)((2)([

)

1(212

2

2

2

2

2121

),(y y y

x y x x x y y x r x r y x e

r y x f σμσσμμσμσπσ-+

---

----=

（ +∞<<∞-+∞<<∞-y x , ）

则称),(Y X 服从二维正态分布，记作 ),,,,(~),(2

22r N Y X x y x σσμμ。其中y x μμ,，

1|| ,0 ,0<>>r y x σσ都是分布的参数。

),(y x f 满足概率密度的两条基本性质：

（1）0),(≥y x f 。 （2）?

?

+∞∞-+∞

∞

-=1),(dxdy y x f 。

下面我们来讨论二维正态分布的边缘分布问题。 随机变量X 的边缘概率密度为

??∞+∞--∞

+∞

--=

=

dy e

r

dy y x f x f y x u y x X )

,(2

121),()(σπσ

其中

])

())((2)([)1(21

),(22

222y

y y x y x x x y y x r x r y x u σμσσμμσμ-+-----=

222

2])

([

)

1(212)(x

x y

y

x x x r y r x σμσμσμ--

--+

-=

设

t x r y r

x

x y

y

=--

--])

([

1212

σμσμ，则有

?∞+∞--

--

=

dt e

e

x f t

x x

X x

x 2

2)(2

2

2

21

)(σμπσ2

22)(21x x x x

e

σμσπ--

=

由X 与Y 的对称性可求得Y 的边缘密度为

)(y f Y 2

22)(21y y y y

e

σμσπ--

=

由此可见，二维正态分布的两个边缘分布都是正态分布，并且可以知道

)(,)(),(),(Y D X D Y E X E y x y x ====σσμμ

下面我们可以看到参数r 为随机变量Y X ,的相关系数。

)

()()]}

()][({[)()(),cov(),(Y D X D Y E Y X E X E Y D X D Y X Y X R --=

=

??+∞∞-+∞

∞---=

dxdy y x f y x y x y

x ),())((1

μμσσ r =（定积分计算略）

注 由第三章的内容可知，若随机变量X 与Y 相互独立，则相关系数0),(=Y X R ；但是，当0),(=Y X R 时，X 与Y 却不一定相互独立。然而，在正态分布的情形下，当相关系数0),(==r Y X R 时，二维正态分布的联合概率密度可化为

])

()[212

2

2221),(y y x x y x y

x e y x f σμσμσπσ-+--=

2

22)(21x x x x

e

σμσπ--

=

.

2

22)(21y y y y

e

σμσπ--

=.)()(y f x f Y X

所以，若随机变量),(Y X 服从二维正态分布，则随机变量X 与Y 相互独立的充要条件是0=r 。

例1 若随机变量X 与Y 相互独立，都服从标准正态分布)1,0(N ，求随机变量 函数22Y X Z +=的概率密度。

解 由于X 与Y 都服从标准正态分布)1,0(N ，概率密度分别为

2

221)(x X e

x f -=

π，2

221)(y Y e

x f -

=

π

又随机变量X 与Y 相互独立，联合概率密度为

2

2221),(y x e y x f +-

=

π

由此得随机变量22Y X Z +=的分布函数

)()()(22z Y X P z Z P z F Z ≤+=≤=

当0≤z 时，显然有0)(=z F Z ；当0>z 时，有 dxdy e

z F z

y x y x Z ??≤++-

=

222

2221)(π

220

2

121

2z z

e

d e

d -

-

-==

??

ρρθππ

ρ

所以z 的分布函数为

???

??≤>-=-0

01)(2z z e

z F z Z 由此得z 的概率密度为

???

??≤>=-0

021)(2z z e

z f z

Z 注 若随机变量X 与Y 相互独立，都服从标准正态分布)1,0(N ，则随机变量函数22Y X Z +=的分布称为自由度为2的2χ分布。

§4.5 中心极限定理

中心极限定理是研究在适当的条件下独立随机变量的部分和∑=n

i i X 1

的分布收敛于

正态分布的问题。

定理1 （林德伯格（Lindeberg ）—列维（Levy ）中心极限定理）设相互独立的随机变量ΛΛ,,,,21n X X X 服从同一分布，且 μ=)(i X E ，ΛΛ,,,2,1,0)(2n i X D i =>=σ，则对于任意实数x ，有

?∑∞--=∞→=??

?

?

???

???????≤-x t n i i n dt e x n n X P 21221lim πσμ

定理的证明略，仅对定理的含义作一些说明。 设∑==n

i i n X Y 1，则有

∑∑=====n i n

i i i n n X E X E Y E 1

1

)()()(μ

∑∑=====n i n

i i i n n X D X D Y D 1

1

2)()()(σ

σσσn n Y n ==2)(

又设随机变量σ

μ

σn n X Y Y E Y Z n

i i n n n n ∑=-=

-=1

)

()

(，则n Z 的分布函数

=≤=)()(x Z P x F n Z )(1

x n n X P n

i i ≤-∑=σ

μ

趋于标准正态分布函数。

结论 设相互独立的随机变量n X X X ,,,21Λ服从同一分布，已知均值为μ，方差为

02

>σ，但分布函数未知。当n 充分大时，随机变量n X X X ,,,21Λ的和∑==n

i i n X Y 1

将近

似地服从正态分布),(2σμn n N 。

推论 设相互独立的随机变量n X X X ,,,21Λ服从同一分布，已知均值为μ，方差为

02

>σ，但分布函数未知。当n 充分大时,∑==n

i i X n X 1

1近似服从正态分布),(2

n N σμ。

由推论知，不论n X X X ,,,21Λ服从什么分布，只要它们相互独立且服从同一分布，则它们的平均数X ，当n 充分大时，总是近似地服从正态分布。

例2 某单位内部有260部电话分机，每个分机有4%的时间要与外线通话，可以认为每个电话分机用不同的外线是相互独立的。问总机需备多少条外线才能95%满足每个分机在用外线时不用等候?

解 令),260,2,1( 0

1

Λ=??

?=k k k X K 个分机不用外线

第个分机要用外线

第，

26021,,,X X X Λ是260个相互独立的随机变量，且04.0)(=i X E 。26021X X X m +++=Λ表示同时使用外线的分机数，根据题意应确定最小的x 使%95}{≥

?∞

--≈??

?

???????--≤

--=

dt e p p p x p p p

m P x m P 22

21)1(260260)

1(260260}{π 查得95.09505.0)65.1(>=Φ，故取65.1=b 。于是有

61.1504.026096.004.026065.1260)1(260≈?+???=+-=p p p b x

也就是说，至少需要16条外线才能95%满足每个分机在用外线时不用等候。

例3 用机器包装味精，每袋净重为随机变量，期望值为100克，标准差为10克，

一箱内装200袋味精。求一箱味精净重大于20500克的概率。

解 设一箱味精净重为X 克，箱中第k 袋味精的净重为k X 克，200,,2,1Λ=k 。则

20021,,,X X X Λ是相互独立的随机变量，且100)(,100)(==k k X D X E ，200,,2,1Λ=k 。

故

2100)(,20000)(,20000)()(20021===+++=X D X D X X X E X E Λ

因而有

}20500{1}20500{≤-=>X P X P

0002.0)54.3(12100500210020000

1=Φ-≈??????≤--=X P

定理2 （德莫佛（De Movire ）—拉普拉斯（Laplace ）中心极限定理）设在独立试验序列中，事件A 发生的概率为p )10(<

?∞--∞→=??

????????≤--x t

n n dt e x p np np Y P 22

21)1(lim π

证 随机变量i X 表示事件A 在第i 次试验中发生的次数),,2,1(ΛΛn i =，则这些随机变量相互独立，服从相同的“0-1”分布，且有ΛΛ,,,2,1),1()(,)(n i p p X D p X E i i =-==， 则∑==n

i i n X Y 1。由定理1知

?∑∞--=∞→∞→=???

?

???

???????≤--=??

????

?

?

??≤--x t n i i n n n dt e x p np np X P x p np np Y P 21221)1(lim )1(lim π

注 在n 次独立试验中，事件A 发生的次数),(~p n B Y n 。定理2说明：当n 充分大时，服从二项分布的随机变量n Y 将近似地服从正态分布。一般来说，当n 较大时，二项分布的概率计算非常复杂，这时我们可以用正态分布来近似地计算二项分布。计算

公式为

})

1()

1()

1({

}{)1(21212

1

p np np n p np np m p np np n P n m n P p p C n n n k n k n k k n --≤

--≤

--=≤≤=-∑=-

))

1((

))

1((

12p np np n p np np n --Φ---Φ≈

例4 设随机变量X 服从)8.0,100(B ，求}10080{≤≤X P 。 解

))

1(100)

1()

1(80(

}10080{p np np p np np X p np np P X P --≤

--≤

--=≤≤

≈)2

.08.01008080(

)2

.08.010080

100(

??-Φ-??-Φ

5.05.01)0()5(=-=Φ-Φ=

例5 某电站供应10000户居民用电，设在高峰时每户用电的概率为0.8，且各户用电量多少是相互独立的。求：

（1） 同一时刻有8100户以上用电的概率。

（2） 若每户用电功率为100W ，则电站至少需要多少电功率才能保证以0.975的

概率供应居民用电？

解 （1）设随机变量n Y 表示在10000户中同时用电的用户，则),8.0,10000(~B Y n 于是402.08.010000)1(,80008.010000=??=-=?=p np np 。 所求概率为

)50)

1(5.2()100008100(≤--≤

=≤≤p np np Y P Y P n n

≈0062.09938.01)5.2()50(=-=Φ-Φ

（2）若每户用电功率为100W ，则n Y 户用电功率为100n Y W 。设供电站功率为Q W,则由题意得

)408000

100/)

1(()100()100(-≤--=≤

=≤Q p np np Y P Q Y P Q Y P n n n ≈975.0)40

8000

100/(

=-ΦQ

查表可知975.0)96.1(=Φ，故96.140

8000

100/=-Q ，807840=Q 。所以，电站供电功率

不应少于807.84kW 。