三角函数平移
平移问题
1.函数)sin()(?ω+=x x f )2
,0(π
?ω<
>的最小正周期为π,若其图象向右平移
3
π
个单位后关于y 轴对称,则)(x f y =对应的解析式可为( ) A .)6
2sin(π
-=x y B .)6
2cos(π
+=x y
C .)32cos(π
-
=x y D .)6
72sin(π+
=x y 2.将函数sin(4)6
y x π
=-
图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,再向左平移
4
π
个单位,
纵坐标不变,所得函数图象的一条对称轴的方程是 ( ▲ ) (A )12
x π
=
(B )6
x π
=
(C )3
x π
=
(D )12
x π
=-
3.要得到函数2
1
sin 2+-=x y 的图像,只需将x x y cos sin =的图像( ) A.向左平移4
π
个单位 B.向右平移
4
π
个单位 C.向左平移
2
π
个单位 D. 向右平移
2
π
个单位
4.下图是函数y =Asin(ωx+φ)(x∈R)在区间5[,
]66ππ
-上的图象,为了得到这个函数的图象,
只要将y =sinx(x ∈R)的图象上所有的点( )
A .向左平移
3
π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的1
2倍,纵坐标不变
B .向左平移
3
π
个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变 C .向左平移
6π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的
1
2
倍,纵坐标不变 D .向左平移6
π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变
5.为了得到函数y =sin 3x +cos 3x 的图像,可以将函数y =2cos 3x 的图像( )
6.已知函数()sin()f x A x x R ω?=+∈,(其中002
2
A π
π
ω?>>-<<
,,
),其部分图像
如图所示,将()f x 的图像纵坐标不变,横坐标变成原的2倍,再向右平移1个单位得到()g x 的图像,则函数()g x 的解析式为( )
A.()sin
(1)2
g x x π
=+ B.()sin
(1)8
g x x π
=+
C.()sin(
1)2g x x π
=+ D.()sin(1)8
g x x π
=+
7.函数()()002f x A sin x A ,,πω?ω??
?
=+>><
??
?
的图象如图所示,为了得到()cos3g x x =的图象,则只要将()f x 的图象 ( )
A .向左平移12
π
个单位长度 B .向右平移
12
π
个单位长度
C .向左平移
4π个单位长度 D .向右平移4
π
个单位长度 8.为了得到函数)3
2cos(π
+=x y 的图象,只需将函数x y 2sin =的图象( )
A .向左平移
125π个单位 B .向右平移125π
个单位
C .向左平移65π个单位
D .向右平移6
5π
个单位
9.把函数sin 3y x =的图象适当变化就可以得2
(sin 3cos3)2
y x x =-的图象,这个变化可以是( ) A .沿x 轴方向向右平移
4π B .沿x 轴方向向左平移4
π C .沿x 轴方向向右平移
12π D .沿x 轴方向向左平移12π
10.要得到函数()cos 23f x x π??
=+ ??
?
的图象,只需将函数()sin 23g x x π??
=+
??
?
的图象( ) A.向左平移
2π个单位长度 B.向右平移2π
个单位长度 C.向左平移
4π个单位长度 D.向右平移4π
个单位长度
11.将函数f(x)=sin x ω(其中ω>0)的图像向右平移4
π
个单位长度,所得图像经过点(
34
π,
0),则ω的最小值是
(A )13
(B )1 C )5
3
(D )2
12.将函数()()()sin 212
2f x x π
πθθ????=+-
<<> ???的图像向右平移个单位长度后
得到函数()()(),,02g x f x g x P ???
? ???
的图像若的图像都经过点,,则的值可以是
A .
53π B .56π C .2π D .6
π
13.将函数y=sin (2x +?)的图像沿x 轴向左平移8π
个单位后,得到一个偶函数的图像,
则?的一个可能取值为
(A ) 34π (B ) 4π
(C )0 (D )
4π- 14.函数cos(2)()y x ?π?π=+-≤≤的图象向右平移2π
个单位后,与函数
sin(2)
3y x π
=+的图象重合,则?=_________。
答案:1.C 2.A 3.B 4.A 5.C 6.B 7.A 8.A 9.C 10.C. 11. D 12.B
13.B 14.56π
1.如图所示为函数()()sin f x x ω?=A +(0A >,0ω>,0?π≤≤)的部分图象,那么()3f -=( )
A .1
2
-
B .0
C .1-
D .1 2.若将函数 ()sin()(0)4
f x x π
ωω=+
>的图象向右平移
3
π
个单位长度后,与函数 ()sin()6
f x x π
ω=+
的图象重合, 则 ω的最小值为
A . 1
B .2
C . 1
12
D . 14
3.将函数y =sin(2x +
8
π
)的图像沿x 轴向左平移()0m m >个单位后,得到一个奇函数的图像,则m 的最小值为 A .
716π B .1516π C .78π D .116
π 4.为得到函数sin 2y x =的图象,只需将函数cos 23y x π?
?
=+
??
?
的图象( ) A .向右平移5π12个单位长度 B .向左平移5π
12个单位长度
C .向左平移5π6个单位长度
D .向右平移5π
6
个单位长度
5.函数()sin()(0,0)f x A x A ω?ω=+>>的部分图像如图所示,则()f x 的解析式可以为
3
2
π
-
O 2
π
32
π
3-
y
x
A 、()3sin(2)4f x x π=-
B 、()3sin(2)4f x x π
=+ C 、13()3sin()24f x x π=- D 、13()3sin()24
f x x π
=+
6.已知函数()sin(2)()4
f x x x R π
=+∈的最小正周期为π,为了得到函数()sin 2g x x =的
图象,只要将()y f x =的图象( )
A.向左平移
8π个单位长度 B. 向右平移8π
个单位长度 C.向左平移4π个单位长度 D. 向右平移4
π
个单位长度
7.将函数sin()()6y x x R π=+∈的图象上所有的点向左平移4
π
个单位长度,再把图象上各点
的横坐标扩大到原来的2倍,则所得的图象的解析式为( ) A .5sin(2)()12y x x R π=+∈ B .5sin()()212
x y x R π
=+∈ C .sin()()212x y x R π=-
∈ D .5sin()()224
x y x R π
=+∈ 8.要得到)4
2sin(3π
+
=x y 的图象只需将y=3sin2x 的图( ) A.向左平移
4
π
个单位 B.向右平移
4
π
个单位
C .向左平移
8
π
个单位 D .向右平移
8
π
个单位
9.要得到2sin(2)3
y x π
=-的图像, 需要将函数sin 2y x =的图像( ) A .向左平移23π个单位 B .向右平移23
π
个单位
C .向左平移
3
π
个单位 D .向右平移
3
π
个单位
10.要得到函数的图象,只要将函数的图象( )
A .向左平行移动个单位长度
B .向右平行移动个单位长度
C .向左平行移动个单位长度
D .向右平行移动个单位长度
11.为了得到函数sin(2)6
y x π
=+的图象,只需把函数sin 2y x =图象上所有的点
(A)向左平移3
π
个单位长度 (B)向右平移3
π
个单位长度 (C)向左平移
12
π
个单位长度
(D)向右平移
12
π
个单位长度
12.若函数
()2
,sin )(π
??ω<
+=x x f 的部分图象如图所示,则?ω和的取值是( )
A .
3
2
1π
?ω=
=, B
。
3
1π
?ω-
==,
C .6
2
1π
?ω=
=, D .6
1
π
?ω-==,
13.若函数sin(2)6
y x π
=+的图象上所有点向右平移
6
π
个单位,则得到的图象所对应的函数解析式为 A. sin(2)6y x π
=+ B . sin(2)3
y x π
=+ C. sin(2)6y x π
=-
D . sin(2)3
y x π
=- 14.已知函数()sin()(0,0,||)2
f x A x A π
ω?ω?=+>><的部分图象如图所示.
(1) 求函数()f x 的解析式; (2) 若4(),02
53
f α
π
α=
<<,求cos α的值.
15.将函数sin y x =的图象上所有点向左平移
3
π
个单位长度,再把所得各点的横坐标变为原
来的3倍(纵坐标不变),则所得函数图象的对称中心坐标为 ▲ .
答案:
1.B
2.D
3.A
4.A
5.D
6.B
7.B
8.C
9.D 10.D 11.C 12.C 13.C 14.
(1)由图象知1A = ………1分
()f x 的最小正周期54(
)126T πππ=?-=,故22T
πω== ………3分 将点(
,1)6π
代入()f x 的解析式得sin()13
π
?+=, ………4分
又||2
π
?<
, ∴6
π
?=
………5分
故函数()f x 的解析式为()sin(2)
6f x x π
=+
…………………………………6分
(2) 4(),2
5f α
=
即4
sin()65
πα+=,………7分 又03
π
α<<
,则
6
6
2
π
π
π
α<+
<
,………8分
所以3
cos()6
5
π
α+
=
.………9分
又cos [()]cos()cos sin()sin 666666
π
πππππ
αααα=+
-=+++=………12分 15.(3,0),()k k Z ππ-∈
三角函数图象的平移和伸缩
三角函数图象的平移和 伸缩 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
三角函数图象的平移和伸缩 函数sin()y A x k ω?=++的图象与函数sin y x =的图象之间可以通过变化A k ω?,,,来相互转化.A ω,影响图象的形状,k ?,影响图象与x 轴交点的位置.由A 引起的变换称振幅变换,由 ω引起的变换称周期变换,它们都是伸缩变换;由?引起的变换称相位变换,由k 引起的变换 称上下平移变换,它们都是平移变换. 既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移. 变换方法如下:先平移后伸缩 sin y x =的图象?????????→向左(>0)或向右(0)平移个单位长度 得sin()y x ?=+的图象() ωωω ?????????→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1) 1 到原来的纵坐标不变 得sin()y x ω?=+的图象()A A A >?????????→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1) 为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ω?=+的图象(0)(0) k k k >??????→向上或向下平移个单位长度 得sin()y A x k ?=++的图象. x y sin =) 3sin(π +=x y ) 3 2sin(π +=x y ) 3 2sin(3π +=x y 纵坐标不变 横坐标向左平移π/3 个单位 纵坐标不变 横坐标缩短为原来的1/2 横坐标不变 纵坐标伸长为原来的3倍
先伸缩后平移 sin y x =的图象(1)(01) A A A ><????????→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变) 得sin y A x =的图象(01)(1) 1 () ωωω <<>?????????→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象 (0)(0) ???ω >??????→向左或向右平移 个单位 得sin ()y A x x ω?=+的图象(0)(0) k k k >??????→向上或向下平移个单位长度 得sin()y A x k ω?=++的图象. 例1 将sin y x =的图象怎样变换得到函数π2sin 214y x ?? =++ ?? ? 的图象. 解:(方法一)①把sin y x =的图象沿x 轴向左平移π 4个单位长度,得πsin 4y x ??=+ ?? ? 的图 象;②将所得图象的横坐标缩小到原来的1 2,得πsin 24y x ??=+ ?? ? 的图象;③将所得图象的纵坐标 伸长到原来的2倍,得π2sin 24y x ?? =+ ?? ? 的图象;④最后把所得图象沿y 轴向上平移1个单位长 度得到π2sin 214y x ??=++ ?? ? 的图象. ) 3 2sin(3π +=x y x y sin =x y 2sin =) 3 2sin(π +=x y 纵坐标不变 横坐标缩短为原来的1/2 纵坐标不变 横坐标向左平移π/6 个单位 横坐标不变 纵坐标伸长为原来的3倍
三角函数的平移、伸缩变换测试题(人教A版)(含答案)
三角函数的平移、伸缩变换(人教A版) 一、单选题(共14道,每道7分) 1.将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度,再把图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,则所得图象的解析式为( ) A. B. C. D. 答案:B 解题思路: 由题意, 函数经平移,得到, 该函数横坐标再经变换,得到. 故选B 试题难度:三颗星知识点:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 2.由的图象向左平移个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到的图象,则为( ) A. B. C. D. 答案:D
解题思路: 将变换的过程倒推, 函数横坐标经变换,即横坐标缩短为原来的, 得到; 再将该函数图象向右平移个单位长度,得到 . 故选D. 试题难度:三颗星知识点:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 3.将函数的图象向右平移个单位长度,再将所得图象的所有点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,得到的函数解析式为( ) A. B. C. D. 答案:D 解题思路: 由题意, 函数经平移,得到 ; 再经横坐标变换后,得到, 故选D. 试题难度:三颗星知识点:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换
4.将函数的图象上每点的横坐标缩短为原来的,再将所得图象向左平移个单位长度,得到的函数解析式为( ) A. B. C. D. 答案:B 解题思路: 由题意, 函数横坐标经变换得到, 该函数再经平移,得到, 故选B. 试题难度:三颗星知识点:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 5.将函数的图象上每点的横坐标伸长到原来的2倍,再将所得图象向右平移个单位长度,纵坐标不变,得到的函数解析式为( ) A. B. C. D. 答案:C 解题思路: 由题意, 函数横坐标经变换,
三角函数图象的平移与伸缩问题
三角函数图像的平移与伸缩问题 【问题探究】 在学习高中数学必修4的三角函数这部分内容的过程中,我们增加了三角函数的图像的变换这部分内容,主要要学习函数y=Asin(x+)+m(A 0, 0)的图像是由sin y x 的图像怎样变换得来的,这 要涉及的变换有平移变换与伸缩变换。而我们在后来复习函数时,也要增加函数()y f x 的图像变换的内 容。三角函数也属于函数,因此一般函数()y f x 的图像变换法则和方法对三角函数同样适用。所以为了 使平移变换与伸缩变换这部分内容更具有一般性,我想站在一般函数的高度来研究函数图像的平移变换与伸缩变换。多年的教学生涯让我对这两种变换有了深刻的认识,能够高度概括这两种变换。现在我想把自己对这两种变换的认识写成论文,供大家借鉴使用,提出建设性意见。 大家知道,sin y x 的图像向上(下)平移10个单位,可得到10sin y x (10sin y x ),即 sin 10y x (sin 10y x )的图像;sin y x 的图像向右(左)平移 10 π ,可得到sin()10y x (sin()10y x )的图像;sin y x 的图像横向伸长至原来的2倍(横向缩至原来的1 2), 可得到1sin 2y x (sin 2y x )的图像;sin y x 的图像纵向伸长至原来的3倍(纵向缩短至原来的1 3), 可得到1sin 3y x (3sin y x ),即3sin y x (1sin 3y x )的图像;我们可用表格把上述小题的变换内容 10 x 10 x 10y 10y 12 x x 2x 13y 3y 从上面的表格,我们可以感到平移变换和伸缩变换有如下特点: 左加右减,下加上减;横向变换变x ,纵向变换变y ;各种变换均在x 、y 头上直接变;x 、y 的变化总与我们的感觉相反。例如,向左或向右平移、横向伸长或横向缩短时变化的均为x ;向上平移或向下平
三角函数图象的平移和伸缩(后面有高考题练习)
三角函数图象的平移和伸缩 函数sin()y A x k ω?=++的图象与函数sin y x =的图象之间可以通过变化A k ω?,,,来相互转化.A ω,影响图象的形状,k ?,影响图象与x 轴交点的位置.由A 引起的变换称振幅变换,由ω引起的变换称周期变换,它们都是伸缩变换;由?引起的变换称相位变换,由k 引起的变换称上下平移变换,它们都是平移变换. 既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移. 变换方法如下:先平移后伸缩 sin y x =的图象?????????→向左(>0)或向右(0) 平移个单位长度 得sin()y x ?=+的图象()ωωω ?????????→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1) 1 到原来的纵坐标不变 得sin()y x ω?=+的图象()A A A >?????????→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1) 为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ω?=+的图象(0)(0) k k k >??????→向上或向下平移个单位长度 得sin()y A x k ?=++的图象. 先伸缩后平移 sin y x =的图象(1)(01) A A A ><????????→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变) 得sin y A x =的图象(01)(1) 1 () ωωω <<>?????????→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象 (0)(0) ???ω >??????→向左或向右平移 个单位 得sin ()y A x x ω?=+的图象(0)(0) k k k >??????→向上或向下平移个单位长度 得sin()y A x k ω?=++的图象. 例1 将sin y x =的图象怎样变换得到函数π2sin 214y x ? ?=++ ?? ?的图象. 解:(方法一)①把sin y x =的图象沿x 轴向左平移π4个单位长度,得πsin 4y x ? ?=+ ?? ?的 图象;②将所得图象的横坐标缩小到原来的12,得πsin 24y x ? ?=+ ???的图象;③将所得图象的 纵坐标伸长到原来的2倍,得π2sin 24y x ? ?=+ ?? ?的图象;④最后把所得图象沿y 轴向上平移 1个单位长度得到π2sin 214y x ? ?=++ ?? ?的图象. (方法二)①把sin y x =的图象的纵坐标伸长到原来的2倍,得2sin y x =的图象;②将所得图象的横坐标缩小到原来的 1 2 ,得2sin 2y x =的图象;③将所得图象沿x 轴向左平移
三角函数图像平移变换及图像解析式
三角函数图像题 ---图像求解析式及平移变换 一.根据图像求解析式 1.图 1 是函数π2sin()2y x ω??? ?=+< ???的图象上的一段,则( ) A.10π116ω?= =, B.10π116ω?==-, C.π 26ω?==, D.π 26 ω?==-, 2.已知函数()sin()f x A x ω?=+,x ∈R (其中2 2 ,0,0π π ω< <->>x A ),其部 分图像如图5所示.求函数()f x 的解析式; 3.下列函数中,图像的一部分如右图所示的是( ) A.sin()6y x π=+ B.cos(2)6y x π=- C.cos(4)3y x π=- D.sin(2)6y x π=- 4.已知函数()?? ? ? ? <>+=2,0sin π?ω?ωx y 的部分图象如右图所示,则( ) A. 6 ,1π ?ω= = B. 6 ,1π ?ω- == C. 6 ,2π ?ω= = D. 6 ,2π ?ω- == 5.下列函数中,图象的一部分如右图所示的是 A.sin 6y x π?? =+ ?? ? B.sin 26y x π?? =- ?? ? C.cos 43y x π?? =- ?? ? D.cos 26y x π?? =- ?? ? 6.函数()?ω+=x A y sin 的一个周期内的图象如下图,求y 的解析式。(其中 π?πω<<->>,0,0A ) 7.已知函数)sin(?ω+=x A y (0>A , 0ω>,π?<||)的一段图象如图所示,求函数的解析式; 二.图像平移变换问题 1.为了得到函数sin(2)3y x π=- 的图像,只需把函数sin(2)6 y x π =+的图像( ) A.向左平移4π B.向右平移4π C.向左平移2π D.向右平移2 π 图5 y x 2 -1-0 1 -1 1 2345 6
三角函数图像的平移变换专项练习
三角函数图像的平移变换专项练习 1.为了得到函数)6 3sin(π +=x y 的图象,只需把函数x y 3sin =的图象 ( ) A 、向左平移 6π B 、向左平移18π C 、向右平移6π D 、向右平移18 π 6、将函数)(sin )(R x x x f y ∈?=的图象向右平移4 π 个单位后,再作关于x 轴的对 称变换,得到函数x y 2sin 21-=的图象,则)(x f 可以是_______。 1、要得到函数)4 2sin(3π +=x y 的图象,只需将函数x y 2sin 3=的图象( ) (A )向左平移 4π个单位 (B )向右平移4π 个单位 (C )向左平移8π个单位 (D )向右平移8 π 个单位 2、将函数y=sin3x 的图象作下列平移可得y=sin(3x+ 6 π )的图象 (A) 向右平移 6π 个单位 (B) 向左平移6π 个单位 (C )向右平移18π 个单位 (D )向左平移18 π 个单位 3.将函数sin y x =的图象上每点的横坐标缩小为原来的1 2 (纵坐标不变),再把 所得图象向左平移6π 个单位,得到的函数解析式为( ) ()sin 26A y x π?? =+ ?? ? ()sin 23B y x π? ?=+ ?? ? ()sin 26x C y π??=+ ??? ()s i n 212x D y π??=+ ??? 4、把函数x y cos =的图象上所有的点的横坐标缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,然后把图象向左平移4 π 个单位长度,得到新的函数图象,那么这个新函数的解析式为 (A )??? ??+=42cos πx y (B )??? ??+=42cos πx y (C )x y 2sin = (D )x y 2sin -= 5.要得到函数x y cos 2=的图象,需将函数)42sin(2π +=x y 的图象( ) (A)横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变),再向左平行移动8π 个单位长度 (B)横坐标缩短到原来的 21倍(纵坐标不变),再向右平行移动4 π个单位长度
三角函数的平移及伸缩变换(含答案)
三角函数的平移及伸缩变换 一、单选题(共8道,每道12分) 1.将函数的图象上所有点的纵坐标不变,横坐标缩小到原来的,再把图象上各点向左平移个单位长度,则所得的图象的解析式是( ) A. B. C. D. 答案:C 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 2.已知函数y=f(x)图象上每个点的纵坐标保持不变,横坐标伸长到原来的2倍,然后再将整 个图象沿x轴向左平移个单位,沿y轴向下平移1个单位,得到函数,则y =f(x)的表达式时( ) A. B. C. D.
答案:B 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 3.已知函数,若f(x)的图象向左平移个单位所得的图象与f(x)的图象向右平移个单位所得的图象重合,则的最小值是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案:C 解题思路:
试题难度:三颗星知识点:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 4.已知函数的最小正周期为,将的图象向左平移个单位长度,所得图象关于y轴对称,则的一个值是( ) A. B. C. D. 答案:D 解题思路:
试题难度:三颗星知识点:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 5.偶函数的图象向右平移个单位得到的图象关于原点对称,则的值可以是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案:B 解题思路:
试题难度:三颗星知识点:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 6.已知函数的周期为π,若将其图象沿x轴向右平移a个单位(a >0),所得图象关于原点对称,则实数a的最小值是( ) A.π B. C. D. 答案:D
高一三角函数图象的平移和伸缩
1 三角函数图象的平移和伸缩 函数sin()y A x k ω?=++的图象与函数sin y x =的图象之间可以通过变化A k ω?,,,来相互转化.A ω,影响图象的形状,k ?,影响图象与x 轴交点的位置.由A 引起的变换称振幅变换,由ω引起的变换称周期变换,它们都是伸缩变换;由?引起的变换称相位变换,由k 引起的变换称上下平移变换,它们都是平移变换. 既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移. 变换方法如下:先平移后伸缩 sin y x =的图象?????????→向左(>0)或向右(0) 平移个单位长度 得sin()y x ?=+的图象() ωωω ?????????→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1) 1 到原来的 纵坐标不变 得sin()y x ω?=+的图象()A A A >?????????→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1) 为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ω?=+的图象(0)(0) k k k >??????→向上或向下平移个单位长度 得sin()y A x k ?=++的图象. 先伸缩后平移 sin y x =的图象 (1)(01) A A A ><????????→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变) 得sin y A x = 的图象(01)(1) 1 () ωωω <<>?????????→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω= 的图象(0)(0) ???ω >??????→向左或向右平移个单位 得sin ()y A x x ω?=+的图象(0)(0) k k k >??????→向上或向下平移个单位长度 得sin()y A x k ω?=++的图象. 例1 将sin y x =的图象怎样变换得到函数π2sin 214y x ? ? =+ + ??? 的图象. 解:(方法一)①把sin y x =的图象沿x 轴向左平移π4 个单位长度,得πsin 4y x ??=+ ?? ? 的图象;②将所得图象的横坐标缩小到原来的 12 ,得πsin 24y x ? ? =+ ?? ? 的图象; ③将所得图象的纵坐标伸长到原来的2倍,得π2sin 24y x ? ? =+ ??? 的图象;④最后把所得图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到π2sin 214y x ?? =+ + ?? ? 的图象. (方法二)①把sin y x =的图象的纵坐标伸长到原来的2倍,得2sin y x =的图象;②将所得图象的横坐标缩小到原来的 12 ,得2sin 2y x =的图象;③将所得图象沿x 轴向左平移 π8 个单位长度得π2sin 28y x ? ?=+ ?? ? 的图象;④最 后把图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到π2sin 214y x ?? =+ + ?? ? 的图象. 说明:无论哪种变换都是针对字母x 而言的.由sin 2y x =的图象向左平移π8 个单位长度得到的函数图象的解析 式是πsin 28y x ? ?=+ ???而不是πsin 28y x ??=+ ???, 把πsin 4y x ? ?=+ ?? ?的图象的横坐标缩小到原来的12 ,得到的函数图象的
(精心整理)三角函数之平移
三角函数图像的平移、变换 一、 引入 以简单函数为例,讲解“左加右减、上加下减”。讲清横移的实质是把所有x 替换为x+a ; 二、三角函数图像的平移之历年高考真题 1、(2010全国卷2理)(7)为了得到函数sin(2)3y x π=- 的图像, 只需把函数sin(2)6 y x π =+的图像( )向左平移4π个长度单位 (B )向右平移4 π 个长度单位 (C )向左平移2π个长度单位 (D )向右平移2π 个长度单位 2、(2010四川理)(6)将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动10 π 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图像的函数解析式是 (A )sin(2)10y x π=- (B )sin(2)5y x π =- (C )1sin()210y x π=- (D )1sin()220 y x π =- 3、(2010天津文)(8) 5y Asin x x R 66ππω??? =∈???? 右图是函数(+)()在区间-,上的图象,为了得到这个函数的图象,只 要将y sin x x R =∈()的图象上所有的点 (A)向左平移3 π 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍,纵坐标不变 (B) 向左平移3 π 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原 来的2倍,纵坐标不变 (C) 向左平移6 π 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变 (D) 向左平移6 π 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变 4、(2009山东卷理)将函数sin 2y x =的图象向左平移4 π 个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解 析式是( ).A.cos 2y x = B.2 2cos y x = C.)4 2sin(1π++=x y D.2 2sin y x =
三角函数的平移
三角函数图象的平移和伸缩 函数sin()y A x k ω?=++的图象与函数sin y x =的图象之间可以通过变化A k ω?,,,来相互转化.A ω,影响图象的形状,k ?,影响图象与x 轴交点的位置.由A 引起的变换称振幅变换,由ω引起的变换称周期变换,它们都是伸缩变换;由?引起的变换称相位变换,由k 引起的变换称上下平移变换,它们都是平移变换. 既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移. 变换方法如下:先平移后伸缩 sin y x =的图象?????????→向左(>0)或向右(0) 平移个单位长度 得sin()y x ?=+的图象() ωωω ?????????→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1) 1 到原来的 纵坐标不变 得sin()y x ω?=+的图象()A A A >?????????→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1) 为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ω?=+的图象(0)(0) k k k >??????→向上或向下平移个单位长度 得sin()y A x k ?=++的图象. 先伸缩后平移 sin y x =的图象 (1)(01) A A A ><????????→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)
得sin y A x =的图象(01)(1) 1 () ωωω <<>?????????→横坐标伸长或缩短到原来的 纵坐标不变 得sin()y A x ω= 的图象(0)(0) ???ω >??????→向左或向右平移个单位 得sin ()y A x x ω?=+的图象(0)(0) k k k >??????→向上或向下平移个单位长度 得sin()y A x k ω?=++的图象. 例1 将sin y x =的图象怎样变换得到函数π2sin 214y x ? ? =+ + ??? 的图象. 解:(方法一)①把sin y x =的图象沿x 轴向左平移π4 个单位长度,得πsin 4y x ??=+ ?? ? 的 图象;②将所得图象的横坐标缩小到原来的12 ,得πsin 24y x ?? =+ ?? ? 的图象;③将所得图象的纵坐标伸长到原来的2倍,得π2sin 24y x ? ?=+ ??? 的图象;④最后把所得图象沿y 轴向上平移 1个单位长度得到π2sin 214y x ? ? =+ + ?? ? 的图象. (方法二)①把sin y x =的图象的纵坐标伸长到原来的2倍,得2sin y x =的图象;②将所得图象的横坐标缩小到原来的 12 ,得2sin 2y x =的图象;③将所得图象沿x 轴向左平移 π8 个单位长度得π2sin 28y x ? ?=+ ?? ? 的图象;④最后把图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到 π2sin 214y x ? ?=++ ?? ?的图象. 说明:无论哪种变换都是针对字母x 而言的.由sin 2y x =的图象向左平移π8 个单位长 度得到的函数图象的解析式是πsin 28y x ? ?=+ ???而不是πsin 28y x ??=+ ???,把πsin 4y x ? ?=+ ?? ?的 图象的横坐标缩小到原来的 12 ,得到的函数图象的解析式是πsin 24y x ?? =+ ?? ? 而不是 πs i n 24y x ? ?=+ ?? ?. 对于复杂的变换,可引进参数求解. 例2 将sin 2y x =的图象怎样变换得到函数πcos 24y x ?? =- ?? ? 的图象. 分析:应先通过诱导公式化为同名三角函数. 解:ππsin 2cos 2cos 22 2y x x x ????==-=- ? ??? ? ? , 在πcos 22y x ??=- ?? ? 中以x a -代x ,有ππcos 2()cos 2222y x a x a ????=--=-- ???? ? ? ? .