圆的一般方程教学案例

圆的一般方程教学案例

方井兰王冠军

东平明湖中学

圆的一般方程教学案例

东平明湖中学方井兰王冠军教学目标

1．讨论并掌握圆的一般方程的特点，并能将圆的一般方程化为圆的标准方程，从而求出圆心的坐标和半径．

2．能分析题目的条件选择圆的一般方程或标准方程解题，解题过程中能分析和运用圆的几何性质．

3．通过对圆的一般方程的特点的讨论，培养学生严密的逻辑思维和严谨的科学态度；通过例题的分析讲解，培养学生分析问题的能力．教学重点与难点

圆的一般方程的探求过程及其特点是教学重点；根据具体条件选用圆的方程为教学难点．

教学过程

一、复习并引入新课

师：请大家说出圆心在点(a，b)，且半径是r的圆的方程．

生：(x－a)2+(y－b)2=r2．

师：以前学习过直线，直线方程有哪几种？

生：直线方程有点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式．

师：直线方程的一般式是Ax+By+C=0吗？

生A：是的．

生B：缺少条件A2+B2≠0．

师：好！那么圆的方程有没有类似“直线方程的一般式”那样的“一般方程”呢？

(书写课题：“圆的一般方程”的探求)

二、新课

师：圆是否有一般方程？这是个未解决的问题，我们来探求一下．大家知道，我们认识一般的东西，总是从特殊入手．如探求直线方程的一般形式就是通过把特殊的公式(点斜式，两点式……)展开整理而得到的．想求圆的一般方程，怎么办？

生：可仿照直线方程试一试！把标准形式展开，整理得

x2+y2－2ax－2by+a2+b2－r2=0．令D=－2a，E=－2b，F=a2+b2－r2，有：x2+y2+Dx+Ey+F=0．(*)

师：从(*)式的得来过程可知，只要是圆的方程就可以写成(*)的形式．那么能否下结论：x2+y2+Dx+Ey+F=0就是圆的方程？

生A：不一定．还得考虑：x2+y2+Dx+Ey+F=0能否写成标准形式．

生B：也可以像直线方程一样，要有一定条件．

师：那么考虑考虑怎样去寻找条件？

生：配方．

师；请大家动手做，看看能否配成标准形式？

(放手让同学讨论，教师适当指导，然后由同学说，教师板书．)

()?-+=??? ??++??? ?

?+.4422:*2222F E D E y D x ）式配方得将（ 1．当D 2+E 2－4F ＞0时，比较(△)式和圆的标准方程知：(*)式表示以

为半径的圆；为圆心，F E D E D 4212,222-+??

? ??-- 2．()()()有时也叫点圆，式表示一个点即式只有实数解时，

当??? ??--*-=-=*=-+22

,2

,204.22E D E y D x F E D 3．当D 2+E 2－4F ＜0时，(*)式没有实数解，因而它不表示任何图形．

教师总结：当D 2+E 2－4F ＞0时，方程x 2+y 2

+Dx+Ey+F=0叫圆的一般方程．

师：圆的一般方程有什么特点？

生A ：是关于x 、y 的二元二次方程．

师：刚才生A 的说法对吗？

生B ：不全对．它是关于x 、y 的特殊的二元二次方程．

师：特殊在什么地方？

(通过争论与举反例后，由教师总结)

师：1．x 2，y 2系数相同，且不等于零．

2．没有xy 这样的二次项．

(追问)：这两个条件是“方程Ax 2+By 2+Dx+Ey+F=0表示圆”的什么条

件？

生：必要条件．

师：还缺什么？

生：D 2+E 2－4F ＞0．

练习：判断以下方程是否是圆的方程：

①x 2+y 2－2x+4y －4=0

②2x 2+2y 2－12x+4y=0

③x 2+2y 2－6x+4y －1=0

④x 2+y 2－12x+6y+50=0

⑤x 2+y 2－3xy+2y+5y=0

⑥x 2+y 2－12x+6y+F=0

三、应用举例

师：先请大家比较一下圆的标准方程(x －a)2+(y －b)2=r 2与一般方程

x 2+y 2+Dx+Ey+F=0在应用上各有什么优点？

生：标准方程的几何特征明显——能看出圆心、半径；一般方程的优点

是能从一般的二元二次方程中找出圆的方程．

师：怎样判断用“一般方程”表示的圆的圆心、半径．

生：.42122

22F E D r E D -+=??? ??--，，圆心 生B ：不用死记，配方即可．

师：两种形式的方程各有特点，我们应对具体情况作具体分析、选择．

四．例题讲解

例1．求过三点12(0,0),(1,1),(4,2)O M M 的圆的方程；

分析：由于12(0,0),(1,1),(4,2)O M M 不在同一条直线上，因此经过12,,O M M 三点有唯一的圆．

解：法一：设圆的方程为22

0x y Dx Ey F ++++=，

∵12,,O M M 三点都在圆上，

∴12,,O M M 三点坐标都满足所设方程，把12(0,0),(1,1),(4,2)O M M 代入所设方程， 得：02042200F D E F D E F =??+++=??+++=?

解之得：860D E F =-??=??=?

所以，所求圆的方程为22

860x y x y +-+=．

法二：也可以求1OM 和2OM 中垂线的交点即为圆心，圆心到O 的距离就是半径也可以求的圆的方程：22860x y x y +-+=．

法三：也可以设圆的标准方程：222

()()x a y b r -+-=将点的坐标代入后解方程组也可以解得22(4)(3)25x y -++=

例2．已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，求线段AB 中点M 的坐标(,)x y 中,x y 满足的关系？并说明该关系表示什么曲线？ 解：设点A 的坐标是00(,)x y ，由于点B 的坐标是(4,3)，且M 是AB 的中点，所以00

43,22

x y x y ++==（＊） 于是，有0024,23x x y y =-=-

因为点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，所以点A 的坐标满足方程22

(1)4x y ++=，即2200(1)4x y ++=（＊＊）

将（＊）式代入（＊＊），得22(241)(23)4x y -++-=， 整理得2233()()122x y -+-=

所以,x y 满足的关系为：2233()()122x y -+-= 其表示的曲线是以33(,)22

为圆心，１为半径的圆．

说明：该圆就是M 点的运动的轨迹；所求得的方程就是M 点的轨迹方程：点M 的轨迹方程就是指点M 的坐标(,)x y 满足的关系式．

五、小结

注意一般式的特点：1°x 2，y 2系数相等且不为零；2°没有xy 这样的项；

3°D 2+E 2－4F ＞0．

另外，大家考虑：D2+E2－4F有点像什么？像判别式，它正是方程

x2+y2+Dx+Ey+F=0是否是圆的方程的判别式．如D、E确定了，则与F的变化有关．

六、作业：

1．求下列各圆的一般方程：

①过点A(5，1)，圆心在点C(8，－3)；

②过三点A(－1，5)，B(5，5)，C(6，－2)．

2．求下列各圆的圆心坐标和半径：

①x2+y2－2x－5=0

②x2+y2+2x－4y－4=0

③x2+y2+2ax＝0

④x2+y2－2by－2b2＝0

设计思想

这是一节介绍新知识的课，而且这节课还非常有利于展现知识的形成过程．因此，在设计这节课时，力求“过程、结论并重；知识、能力、思想方法并重”

在整个探求过程中充分利用了“旧知识”及“旧知识的形成过程”，并用它探求新知识．这样的过程，既是学生获得新知识的过程，更是培养学生能力的过程．

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