数列在现实生活中中的应用及其求解策略
数列在现实生活中的应用及其求解策略
云南会泽县第一中学 郭兴甫 唐孝敬 邮编：654200 数列是特殊的函数，其与方程、不等式联系紧密，在现实生活中应用广泛，在利用数列解决现实中的问题时，首先要认真审题，深刻理解问题的实际背景，弄清蕴含在问题中的数学关系，把应用问题转化为数学中的等差数列、等比数列问题，然后求解。本文举例说明数列在现实生活中的应用及其求解策略，以期对同学们的学习有所帮助！
一、方案设计型
例1.某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加%30的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元；两次方案的使用期都是10年，到期一次性归还本息。若银行两种形式的贷款都按年息%5的复利计算，试比较两种方案中，那种获利更多？
（参考数据6.555.1,7.133.1,6.105.1101010≈≈≈）
分析：这是一道比较常见的数列应用问题，方案选择，由于本息与利润是熟知的概念，对甲方案，每年的获利满足等比数列；对乙方案，每年获利构成等差数列，因此只需建立通项公式，求和公式，并运用所学过的公式求解即可．
解：对甲种方案获利为：9
2%)301(%)301(%)301(1+++++++ 3.423.013.110≈-=（万元）
银行贷款本息和：16%)51(1010≈+?（万元）
故甲种方案纯利：3.26163.42=-（万元）
对乙种方案获利：)5.091()5.021()5.01(1?+++?++++
万元）(5.325.02
910110=??+?= 银行贷款本息和：]%)51(%)51(%)51(1[05.192+++++++?
6.1205
.0105.105.110≈-?=（万元） 故乙种方案纯利：（万元）9.196.12-5.32=
综上由9.193.26>可得，甲方案更好。
二、汽车保有量问题
例2.为综合治理交通拥堵状况，缓解机动车过快增长势头，一些大城市出台了“机动车摇号上牌”的新规．某大城市2012年初机动车的保有量为600万辆，预计此后每年将报废本年度机动车保有量的5%，且报废后机动车的牌照不再使
用，同时每年投放10万辆的机动车牌号，只有摇号获得指标的机动车才能上牌．经调研，获得摇号指标的市民通常都会在当年购买机动车上牌．
（1）问：到2016年初，该城市的机动车保有量为多少万辆；
（2）根据该城市交通建设规划要求，预计机动车的保有量少于500万辆时，该城市交通拥堵状况才真正得到缓解．问：至少需要多少年可以实现这一目标．
（参考数据：，，，）
分析：（1）首先将实际问题分析，得到关于各年年初机动车保有量的递推关系，然后结合数列的性质，构造得到等比数列，进而得到其通项公式
（2）在第一问的基础上，解关于n 的不等式，进而估算法得到结论
（1）设2012年年初机动车保有量为万辆，以后各年年初机动车保有量依次为
万辆，万辆，
……，每年新增机动车10万辆，则，． 又，且
所以数列是以为首项，为公比的等比数列．
所以，即．
所以2016年初机动车保有量为万辆．
（2）由（1）题结论可知， ，即 ，
所以，故至少需要8年时间才能实现目标 评注：本试题主要是考查了数列在实际生活中的运用，借助于等比数列的概念，和等比数列的通项公式来表示机动车保有量，然后借助于不等式的相关知识，求解对数不等式，得到结论。
三、旅游问题
(1)设n 年内（本年度为第1年）总投入n a 万元，旅游业总收入为n b 万元，写出n n b a ,的表达式；
(2)至少要经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？
分析：由题意每年投入的资金数成等比数列，旅游收入成等比数列，可把这个实际问题转化为等比数列的求和问题，进而转化为不等式求解。
40.950.81=50.950.77=lg0.750.13=-lg0.950.02=-1a 2a 3a 1600a =10.9510n n a a +=+12000.95(200)n n a a +-=-1200600200400a -=-={200}n a -4000.9512004000.95n n a --=?14000.95200n n a -=?+454000.95200524a =?+=14000.95200500n n a -=?+<10.950.75n - n >+= (2)设至少经过n 年旅游业的总收人才能超过总投入，因此,0>-n n a b 家庭经济困难学生支付在校学习期间所需的学费、住宿费及生活费.每一年度申请总额不超过6000元.某大学2013届毕业生小王在本科期间共申请了24000元助学贷款，并承诺在毕业后年内（按36个月计）全部还清.签约的单位提供的工资标准为第一年内每月1500元，第个月开始，每月工资比前一个月增加直到4000元.小王计划前12个月每个月还款额为500，第13个月开始，每月还款额比前一个月多元. （1）假设小王在第m 个月还清贷款（36,m m N +≤∈），试用x 和n 表示小王第n （,n m n N +<∈）个月的还款额n a ； （2）当40x =时，小王将在第几个月还清最后一笔贷款？ （3）在（2）的条件下，他还清最后一笔贷款的那个月的工资的余额是否能满足此月元的基本生活费？（参考数据：201.05 2.653=） 分析：由题意前12个月还款不变，从第13个月开始，每月比前一个月还款多x ，设每月的还款数为n a ，则该数列从13项开始，构成等差数列，进而利用等差数列求和公式转化解决。 解：（1）由题意有500(112)500(12)(13) n n a n x n m ≤≤?=?+-≤ （2）设小王第个月还清，则应有 (12)(121)12500(50040)(12)40240002 n n n ---?++?-+?≥ 整理可得2210680n n +-≥ ，解之得113231n ≥->-+=，取32n =. 即小王工作32个月就可以还清贷款. （3）在（2）的条件下，第32个月小王的还款额为 (3112)(31121)24000[12500(50040)(3112)40]9002 -?---?++?-+?=（元） 第32个月王某的工资为201500 1.051500 2.6533979.5?=?=（元）. 因此，王某的剩余工资为3979.59003079.5-=，能够满足当月的基本生活需求. 评注：数列作为特殊的函数，在中学数学中占有相当重要的地位，涉及的实际应用问题广泛而多样．如银行信贷、增长率、养老保险等，运用数列解决实际问题时应在认真审题的基础上，弄清楚问题的哪一部分是数列问题，是哪种数列的问题 n (II )如果将该商品每月都投放市场 (II )要保持每个月都满足供应，则每月投放市场的商品数 P (万 件)应 f (n) 即 1 Pn n(n 1)(35 2n), P 150 1 150 (n 1)(35 2n) 丄(n 2 更n 更) 75 2 2 N ，当n 8时, 1)(35 2n)的最大值为1.14万件即P 至少为1.14万件 练习：听P82例2 例2 ?某外商到一开发区投资 72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费 12万美兀, 出售该厂；②纯利润总和最大时，以 16万元出售该厂，问哪种方案最合算? 解答：由题意知，每年的经费是以 12为首项，4为公差的等差数列，设纯利润与年数的关 系为 f (n)，则 f (n) 50n [12n (1 )纯利润就是要求 f(n) 0 , 血 U 4] 72 2n 2 40n 72 2 2n 2 40n 72 (2)①年平均利润 f(n) n 40 2(n 笑)16当且仅当n = 6时取等 口 号。 数列的实际应用问题 例1 .某地区预计从2005年初的前n 个月内，对某种商品的需求总量 f(n)(万件)与月 1 份 n 的近似关系为 f( n) n(n 1)(35 2n)(n N , n 12) 150 (I)求2005年第n 个月的需求量g(n)(万件)与月份 n 的函数关系式，并求出哪个月份 的需求量超过1.4万件。 P 万件，要保持每月都满足供应，则P 至少为多少万件? 以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入 50 万美兀。设f (n)表示前n 年的纯收入 (f (n)前n 年的总收入一前n 年的总支出一投资额) (1)从第几年开始获取纯利润？ (2 )若干年后，外商为开始新项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以 48万美元 解得2 n 18。由n N 知从第三年开始获利 解答： (I ) 由题意知， g 1 f (1) g(n) f(n) f (n 1): 1 n(n 150 1 150 n[(n 1)(35 2n) (n 1)(37 1 11 又一 1 (12 1) 25 g(1), 25 由丄 n(12 n) 14 得：n 2 12n 25 即6月份的需求量超过 1.4 万件 1 、11 「 当 2时， 1 2 3- n 150 2n)— 150 25 1)(35 (n 1) n[35 2(n 1)] 2n)] 1 n(1 2 25 n) 1 g(n ) n (12 25 n)(n N , n 12) 35 0, 5 n 7,又n N , n 6 数列在生活中的应用 在实际生活和经济活动中、很多问题都与数列密切相关。如分期付款、个人投资理财以及人口问题、资源问题等都可运用所学数列知识进行分析、从而予以解决。与此同时,数列在艺术创作上也有突出的作用! 数学家华罗庚曾经说过：宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、日用之繁、无处不用数学。这是对数学与生活关系的精彩描述。 首先, 我重点分析等差数列、等比数列在实际生活和经济活动中的应用。 （一）按揭货款中的数列问题 随着中央推行积极的财政政策、购置房地产按揭货款（公积金贷款）制度的推出、极大地刺激了人们的消费欲望、扩大了内需、有效地拉动了经济增长。 众所周知、按揭货款（公积金贷款）中都实行按月等额还本付息。这个等额数是如何得来的、此外若干月后、还应归还银行多少本金、这些人们往往很难做到心中有数。下面就来寻求这一问题的解决办法。 若贷款数额a0元,贷款月利率为p,还款方式每月等额还本付息a元.设第n月还款后的本金为an,那么有: a1=a0(1+p)-a, a2=a1(1+p)-a, a3=a2(1+p)-a, ...... an+1=an(1+p)-a,.........................(*) 将（*）变形、得（an+1-a/p）/（an-a/p）=1+p. 由此可见、{an-a/p}是一个以a1-a/p为首项、1+p为公比的等比数列。日常生活中一切有关按揭货款的问题、均可根据此式计算。 （二）有关数列的其他经济应用问题 数列知识除在个人投资理财方面有较为广泛的应用外、在企业经营管理上也是不可或缺的。一定做过大量的应用题吧！虽然这些应用题是从实际生活中抽象出的略高于生活的问题、但他们是数学习题中最能反映数学知识与实际生活密切关系的一类问题。因此、解答应用问题有助于我们对数学在日常生活中广泛应用的理解和认识。 (三)数列在艺术中的广泛应用 数列的实际应用 一、要点·疑点·考点 1.复利公式 按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y=a(1+r)x 2.产值模型 原来产值的基础数为N，平均增长率为p，对于时间x的总产值y=N(1+p) x 3.单利公式 利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y=a(1+xr) 二、课前热身 1.某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个，2小时后分裂成8个，3小时后分裂成16个…，按此规律，6小时后细胞的个数是( ) (A)63 (B)64 (C)127 (D)128 2.一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2KB，工作时3分钟自身复制一次（即复制后所占内存是原来的2倍），那么，开机后_______分钟，该病毒占据64MB （1MB=210KB） 3.某产品的成本每年降低q%，若三年后成本是a元，则现在的成本是( ) (A)a(1+q%)3元(B)a(1-q%)3元 (C)a(1-q%)-3元(D)a(1+q%)-3元 4.某人到银行存了10000元，利息按单利计算，年利率为5%，则他在10年后的为____元 三、例题分析 1. 等差数列模型 例1.一梯形的上、下底长分别是12cm，22cm，若将梯形的一腰10等分，过每一个分点作平行于底边的直线，求这些直线夹在两腰之间的线段的长度的和. 2. 等比数列模型 例2.某市2003年共有1万辆燃油型公交车，有关部门计划于2004年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问： （1）该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车？ （2）到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的 1/3？3. 等差、等比数列综合问题模型 例3. 在一次人才招聘上，有A，B两家公司分别开出他们的工资标准：A公司允诺第一年月工资数为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元； B公司允诺第一年月工资数为2000元，以后每年月工资在上一年月工资基础上递增5%，设某人年初被A，B两家公司同时录取，试问： （1）若该人分别在A公司或B公司连续工作n年，则他在第n年的月工资收入分别是多少？（2）该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准（不记其他因素），该人应该选择哪家公司，为什么？ 4.递推数列模型 例4.某地区原有森林木材存量为a，且每年增长率为25%，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b设an为n 年后该地区森林木材存量。 （1）求an的表达式； （2）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量不少于7/9a, 如果b=19/72a,那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需经过几年？ 变式练习：某下岗职工准备开办一个商店，要向银行贷款若干，这笔贷款按复利计算(即本年利息计入下一年的本金生息)，利率为q(0＜q＜1).据他估算，贷款后每年可偿还A元，30年后还清. ①求贷款金额； ②若贷款后前7年暂不偿还，从第8年开始，每年偿还A元，仍然在贷款后30年还清，试问：这样一来，贷款金额比原贷款金额要少多少元? 数列在生活中的应用 摘要： 数学是一门源于生活又用于生活的科学，数学研究是亘古以来人类社会生活中不可缺少的一部分。数列计算是数学学习中一个十分重要的分支，并且由于数列的研究与计算同社会经济、资源生活有着紧密的联系，使得对于数列研究的重视热情逐渐高涨，加之具有的灵活多变的计算，趣味横生的问题等，都使得对于数列的研究受到越来越多人的关注。 关键词：数列应用分期付款资源利用 众所周知，数列是数学知识中的一个重要环节，以具体问题为基础，进行答案的解析是数列学习中的一个重要部分，这就注定了数列是以解决实际问题为目的而存在的。数列在经济生活和资源计算等领域，有着广泛的使用，在解决投资分配、汇率计算、资源利用分配等方面问题中有着无可比拟的优势。本文将在简述数列广泛应用的基础上，具体分析数列在以上几个生活领域中的应用情况。 一、例述数列在生活中的应用 数学不仅仅是我们生活中的工具，更大程度上是我们生活中的必需品，并影响着人们的生活。以生活中的一个常见问题为例： 在对某地超市进行统计调查后发现，每天购买甲乙两种蔬菜的人数约为200人，且第一天购买甲种蔬菜的第二天会有20%购买乙种蔬菜，第一天购买乙种蔬菜的第二天会有30%购买甲种蔬菜，则据此推算超市应当如何安排甲乙两种蔬菜的进货量。 解决方案:设第n天购买甲乙两种蔬菜的人数分别为An、Bn，则： An+1=0.8An+0.3Bn; Bn+1=0.2An+0.7Bn; 由于An+Bn=200，则可推算得An+1=0.8An+0.3（200-An） =60+0.5An； 则An+1-120=0.5（An-120）； 可得，{An-120}是以A1-120为首项，0.5为公比的等比数列； 假设，第一天购买甲种蔬菜的有a人，则 An=0.5^（n-1）*（a-120）+120 当n趋近于无穷时，易得，An趋近于120且与a的值无关。 则可知，购买甲种蔬菜的人数稳定在120人，购买一种蔬菜的人数稳定在80人。 上述例题，以生活中常见的一类问题为原型，通过理论求解达到了解决实际问题的目的，这是数列在生活中应用的冰山一角。 二、银行储蓄与分期付款中的数列应用 储蓄与贷款与国计民生、社会生活发展息息相关，大到支援国家建设，小到个人家庭的财政支出管理，处处都嵌套着数列的应用。 在人们日常的生活规划中，为未来进行资金储备的零存整取的存储模式是银行储蓄中常见的一种金融计算方式。下面将以某一常见模式为例，进行数列在储蓄领域应用的解析。 设储户每期存入银行的金额为M，利率设为p，储户连续存入n期，那么到第n期期末时，本金数额为nM，在这个过程中，第一期存款利率为pMn，第二期的存款利率为PM(n-1)以此类推，到了第（n-1）期时存款利率为2pM，第n 期存款利率为pM。对上述各阶段的利息求和可得： Sn=Mp+2Mp+……+Mp(n-1)+Mpn =Mp(1+2+……+n-1+n) =1/2n(n+1)Mp 期间，纳税金额为：1/2n(n+1)Mp*20%=1/10n(n+1)Mp 最后，实际取出金额为：nA*1/2n(n+1)Mp-1/10n(n+1)Mp =M[n+2/5n(n+1)p] 这是学生在练习中接触到的一种银行金融储蓄计算方式，是数列应用深入生活，影响生活方面的直接体现。随着社会经济的发展，人们的理财观念也渐渐发生了转变，小额贷款成为了社会生活中的一个热门话题。这就是数列在生活中的 《数列的应用举例》 一、知识与技能 1、使学生掌握等差数列与等比数列在购物付款方式中的应用； 2、培养学生搜集、选择、处理信息的能力，发展学生独立探究和解决问题的能力，提高学生的应用意识； 二、教学重点难点 重点：抓住分期付款问题的本质分析问题； 难点：建立数学模型，理解分期付款的合理性。 三、过程与方法 通过创设情境、讲授法、讨论法、直观演示法、练习法提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。 四、情感态度与价值观 通过学生之间，师生之间的交流与配合培养学生的合作意识和团队精神，通过独立运用数学知识解决实际问题，使学生体会学习数学知识的重要性，增强他们对数学学习的兴趣和对数学的情感。 五、实验与教具 多媒体 六、教学过程 创设情境 题型一、等差数列模型（单利问题） 例1、某家庭预购置一套40万元的商品房，要求购房当天首付40% （即16万元），欠款24万元需贷款，贷款期限10年（120个月），每月还欠款2000元，并每月加付欠款利息，月利率为0.4%，购买后下一月当天开始付款，以后每月付款一次，问购买这套商品房实际总价多少元？ 解：按等额本金还款方式，设每月还欠款加所欠款产生的利息为数列a n，贝U： 第一月还欠款以及所欠款产生的利息为：a12000 240000 0.4%， 第二月还欠款以及所欠款产生的利息为：a22000 (240000 2000) 0.4%， 第三月还欠款以及所欠款产生的利息为：a32000 (240000 2000 2) 0.4%， 以此类推： 第n月还欠款以及所欠款产生的利息为：a n2000 [240000 2000 (n 1)] 0.4% ???各月还欠款以及所欠款产生的利息成等差数列 ???10 年还清欠款总额为：S120 120（2960 2008） 298080 （元）2 购买这套商品房实际总价为：S 298080 160000 458080 （元） 答：该家庭购买这套商品房实际总价为458080元。 题后感悟：等额本金还款法，等差数列问题 题型二、等比数列模型（复利问题） 例2、某家庭预购置一套40万元的商品房，要求购房当天首付16万元，欠款24万元需贷款，贷款期限10年（120个月），按分期付款的方式偿还欠款，每月等额还款，月利率为 数列的实际应用举例 清远工贸职业技术学校 班级：13春工学计机3班 蔡健星 【学习目标】 1．掌握以数列知识为数学本质的实际应用问题，涉及增长率问题、复利计算问题等． 2．培养学生用数列知识解决实际问题的能力,提高学生对数学的学习兴趣． 一、复习 1、本单元我们学习了两种数列，分别是：等差数列和等比数列 例如：1,3,5,7,9… 2,5,8,11,14… 2,4,8,16，32… 1,3,9,27,81… 2、两种数列共有八条公式，分别是： 等差数列 等比数列 通项公式： 中项公式： 求和公式： 二、新课讲授 1．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数是（ ） A.9 B.10 C.19 D.20 【解析】设堆成n 层，由题意得1＋2＋3＋…＋n ≤200，即n(n ＋1)≤400成立的最大正整数n 代入检验知n ＝19 2．一套共7册的书计划每2年出一册，若各册书的出版年份数之和为13979，则出齐这套书的年份是（ ） A.1997 B.1999 C.2001 D.2003 d n a a n )1(1-+=11-=n n q a a 2b a A +=ab G ±=2)(1n n a a n S +=d n n na S n 2)1(1-+=q q a S n n --=1)1(1q q a a S n n --=11 【解析】设出第四册的年份为x 由题意得(x －6)＋(x －4)＋(x －2)＋x ＋(x ＋2)＋(x ＋4)＋(x ＋6)＝13979 即7x ＝13979，∴x ＝1997 ∴x ＋6＝2003 3．夏季高山的温度从山脚起每升高100 m ，降低0.7 ℃，已知山顶温度是14.8 ℃，山脚温度是26 ℃，则山的相对高度是 m ． 【解析】从山脚到山顶温度降低了26 ℃－14.8 ℃＝11.2 ℃ 而每降0.7 ℃，升高100米 11.2 / 0.7 =16 ∴共升高16×100=1600 m ． 4、某林厂年初有森林木材存量S 立方米，木材以每年25%的增长率生长，而每年末要砍伐固定的木材量x 立方米，为实现经过两次砍伐后的木材的存量增加50%，则x 的值是( ) A. B. C. D. 【解析】一次砍伐后木材的存量为：S(1＋25%)－x 二次砍伐后木材存量为［S(1＋25%)－x ］(1＋25%)－x 由题意知%)501(45)45(2+=--S x x S 解得x ＝36S 5、银行有一种储蓄业务叫做零存整取，即每月定时存入一笔相同数目的现金，到约定日期可以取出全部本利和。若某人每月初存入100元，月利率为0.3%，问到第12个月末整取时本利和时多少？ 【分析】本利=本金+利息。第1个月计利12个月，到期本利时100+100×0.3%×12， 第2个月计利11个月，到期本利时100+100×0.3%×11，… 第12个月计利1个月，到期本利时100+100×0.3%×1， 由此可知，每月存入的100元到期本利构成一个等差数列，其和就是所求的1232S 34S 36S 38S 数列应用题专题训练 高三数学备课组 以数列知识作为背景的应用题是高中应用题中的常见题型，要正确快速地求解这类问题，需要在理解题意的基础上，正确处理数列中的递推关系。 一、储蓄问题 对于这类问题的求解，关键是要搞清：(1)是单利还是复利；(2)存几年。 单利是指本金到期后的利息不再加入本金计算。设本金为P元，每期利率为r，经过n期，按单利计算的本利和公式为Sn=P(1+nr)。 复利是一种计算利率的方法，即把前一期的利息和本金加在一起做本金，再计算下一期的利息。设本金为P，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，则复利函数式为y=P(1+r)x。 例1、（储蓄问题）某家庭为准备孩子上大学的学费，每年6月30日在银行中存入2000元，连续5年，有以下两种存款的方式： (1)如果按五年期零存整取计，即每存入a元按a(1+n·6.5%)计本利(n为年数)； (2)如果按每年转存计，即每存入a元，按(1+5.7%)n·a计算本利(n为年数)。 问用哪种存款的方式在第六年的7月1日到期的全部本利较高？ 分析：这两种存款的方式区别在于计复利与不计复利，但由于利率不同，因此最后的本利也不同。 解：若不计复利，5年的零存整取本利是 2000(1+5×0.065)+2000(1+4×0.065)+…+2000(1+0.065)=11950； 若计复利，则 2000(1+5%)5+2000(1+5%)4+…+2000(1+5%)≈11860元。 所以,第一种存款方式到期的全部本利较高。 二、等差、等比数列问题 等差、等比数列是数列中的基础，若能转化成一个等差、等比数列问题，则可以利用等差、等比数列的有关性质求解。 例2、（分期付款问题）用分期付款的方式购买家用电器一件，价格为1150元。购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款的利息，月利率为1%。若交付150元以后的第 数列的实际应用 主讲教师：庄肃钦 【知识概述】 数列是反映自然规律的重要数学模型，日常生活中的大量实际问题都可以转化为数列问题解决，如增长率、减少率、银行信贷、工厂的生产量、浓度匹配、养老保险、存款利息、出租车收费、校园网问题、放射性物质的衰变等。通过这节课的学习，希望同学们能够掌握数列作为生活工具的应用方法，解决问题。 实际应用题常见的数列模型： 1．储蓄的复利公式：本金为a元，每期利率为r，存期为n期，则本利和y =a(1+r)n. 2．总产值模型：基数为N，平均增长率为p，期数为n，则总产值y = N (1 + p)n. 3．递推猜证型：递推型有a n+1 = f (a n)与S n+1 = f (S n)或S n = f (a n)类，猜证型主要是写出前若干项，猜测结论，并用数学归纳法加以证明. 【学前诊断】 1．[难度] 易 某种细菌在培养过程中每20分钟分裂一次（一次分裂两个），经过3小时，这种细菌由一个可以繁殖为（） A．511个B．512个C．1023 D．1024个 2．[难度] 易 某商品降价10%后，欲恢复原价，则应提价_______. 3．[难度] 中 某工厂连续数年的产值月平均增长率为p%，则它的年平均增长率为_______. 【经典例题】 例1. 银行按规定每经过一定时间结算存（贷）款的利息一次，结息后即将利息并入本 金，这种计算利息的方法叫复利，现在有某企业进行技术改造，有两种方案： 甲方案——一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一 年增加30%的利润； 乙方案——每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年多获 利5千元. 两方案使用贷款期限均为10年，到期一次性归还本息.若银行贷款利息均按 年息10%的复利计算，试比较两种方案哪个获利更多？（计算结果精确到千元， 参考数据：10101.1 2.594,1.313.768==） 例2． 从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产 业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少15 ，本年度当地旅游业估计收入为400万元，由于该项目建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加14 。 （1） 设n 年内（本年度为第一年）总投入为n a 万元，旅游业总收入为n b 万元，写 出,n n a b 的表达式； （2） 至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？ 例3. 某城市2009年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的 6%，并且每年新增汽车数量相同，为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？ 例4. 【本课总结】 对于数列应用题的考查，主要考查学生运用观察、归纳、猜想等手段，建立有关等差(比)数列、递推数列的数学模型，再综合其他相关知识来解决问题的能力.解答数列应用性问题，既要有坚实的基础知识,又要有良好的思维能力和分析与解决问题的能力. 解题方法 1.主要模型： （1） 等差数列模型(增加的量或减少的量相同)； （2） 等比数列模型(增长率相同或减少率相同)； （3） 等差数列与等比数列综合模型； （4） 递推数列模型等等. 2020-2021学年苏教版必修五数列在生活中的应用学案 在实际生活和经济活动中，很多问题都与数列密切相关。如分期付款、个人投资理财以及人口问题、资源问题等都可运用所学数列知识进行分析，从而予以解决。与此同时,数列在艺术创作上也有突出的作用! 数学家华罗庚曾经说过：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，日用之繁，无处不用数学。这是对数学与生活关系的精彩描述。 首先, 我重点分析等差数列、等比数列在实际生活和经济活动中的应用。 （一）按揭货款中的数列问题 随着中央推行积极的财政政策，购置房地产按揭货款（公积金贷款）制度的推出，极大地刺激了人们的消费欲望，扩大了内需，有效地拉动了经济增长。 众所周知，按揭货款（公积金贷款）中都实行按月等额还本付息。这个等额数是如何得来的，此外若干月后，还应归还银行多少本金，这些人们往往很难做到心中有数。下面就来寻求这一问题的解决办法。 若贷款数额a0元,贷款月利率为p,还款方式每月等额还本付息a元.设第n月还款后的本金为an,那么有: a1=a0(1+p)-a, a2=a1(1+p)-a, a3=a2(1+p)-a, ...... an+1=an(1+p)-a,.........................(*) 将（*）变形，得（an+1-a/p）/（an-a/p）=1+p. 由此可见，{an-a/p}是一个以a1-a/p为首项，1+p为公比的等比数列。日常生活中一切有关按揭货款的问题，均可根据此式计算。 （二）有关数列的其他经济应用问题 数列知识除在个人投资理财方面有较为广泛的应用外，在企业经营管理上也是不可或缺的。一定做过大量的应用题吧！虽然这些应用题是从实际生活中抽象出的略高于生活的问题，但他们是数学习题中最能反映数学知识与实际生活密切关系的一类问题。因此，解答应用问题有助于我们对数学在日常生活中广泛应用的理解和认识。 (三)数列在艺术中的广泛应用 数列在现实生活中得应用及其求解策略 云南会泽县第一中学 郭兴甫 唐孝敬 邮编：654200 数列就是特殊得函数，其与方程、不等式联系紧密，在现实生活中应用广泛，在利用数列解决现实中得问题时，首先要认真审题，深刻理解问题得实际背景，弄清蕴含在问题中得数学关系，把应用问题转化为数学中得等差数列、等比数列问题，然后求解。本文举例说明数列在现实生活中得应用及其求解策略，以期对同学们得学习有所帮助！ 一、方案设计型 例1、某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加%30得利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元；两次方案得使用期都就是10年，到期一次性归还本息。若银行两种形式得贷款都按年息%5得复利计算，试比较两种方案中，那种获利更多？ （参考数据6.555.1,7.133.1,6.105.1101010≈≈≈） 分析：这就是一道比较常见得数列应用问题，方案选择，由于本息与利润就是熟知得概念，对甲方案，每年得获利满足等比数列；对乙方案，每年获利构成等差数列，因此只需建立通项公式，求与公式，并运用所学过得公式求解即可． 解：对甲种方案获利为：9 2%)301(%)301(%)301(1+++++++Λ 3.423.013.110≈-=（万元） 银行贷款本息与：16%)51(1010≈+?（万元） 故甲种方案纯利：3.26163.42=-（万元） 对乙种方案获利：)5.091()5.021()5.01(1?+++?++++Λ 万元）(5.325.02 910110=??+?= 银行贷款本息与：]%)51(%)51(%)51(1[05.192+++++++?Λ 河北师范大学汇华学院 本科生毕业论文 （2012 届） 题目:数列在生活中的应用 系别：数学系 专业：数学与应用数学 班级：三班 作者姓名：王海静学号：2008511915 指导教师：张金莲职称：副教授学历：本科论文成绩： 2012 年 5 月 数列在生活中的应用 摘要： 数学是一门源于生活又用于生活的科学，数学研究是亘古以来人类社会生活中不可缺少的一部分。数列知识有着广泛的应用，如生物种群数量变化，银行中的利息计算，人口增长，粮食增长、住房建设等等问题，都会用到高中的数列知识。本文举例说明，有助于学生认识和理解数列知识。数列计算是数学学习中一个十分重要的分支，并且由于数列的研究与计算同社会经济、资源生活有着紧密的联系，使得对于数列研究的重视热情逐渐高涨，加之具有的灵活多变的计算，趣味横生的问题等，都使得对于数列的研究受到越来越多人的关注。 关键词：数列应用分期付款资源利用 Mathematics is a source from life and for life science, mathematics study is the ancient human society is an indispensable part of life. Sequence calculation is in mathematics learning is a very important branch, and as the series of the study and calculation of the social and economic life, resources are closely linked, which makes the series research attention enthusiasm to upsurge gradually, together with the flexible calculation, interesting problems, makes for the series of research by more and more attention. Key words: application of series installment resource utilization 1, 引言 数列在我们生活中有着广泛的应用，比如资源计算等领域，在解决投资分配、汇率计算、资源利用分配等方面问题中有着无可比拟的优势。本文将在简述数列广泛应用的基础上，具体分析数列在以上几个生活领域中的应用情况 2，主要内容 第一章：等差等比数列在生活中的应用 一、等差数列的应用题 涉及到等差数列的应用问题时，首先应弄清数列的首项和公差，然后用其通项公式和前n项和公式，并借助不等式的性质解决问题。 浅析数列在日常生活中的应用 在实际生活和经济活动中, 很多问题都与数列密切相关.如分期付款、个人投资理财以及人口问题、资源问题等都可运用所学数列知识进行分析,从而予以解决. 与此同时,数列在艺术创作上也有突出的作用. 数学家华罗庚曾经说过:"宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之变,日用之繁,无处不用数学. " 这是对数学与生活关系的精彩描述. 下面笔者将举几个生活中的小例子来浅谈一下数列在日常生活中的运用. 一、在生产生活中 在给各种产品的尺寸划分级别时, 当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时, 常按照等差数列进行分级. 若为等差数列, 且有an=m,am=n. 则a(m+n)=0. 其实等差数列生活中处处可见, 关键是发现它, 并用以解决实际问题. 在路灯的排列、银行的按揭贷款、银行的利息结算等等. 例如1 台电脑售价为1 万元, 如果采取分期付款, 在1 年内将款全部还清的前提下,商家还提供下表所示的几种付款方案(月利率为1%). 假定你的父母为给你创建更好的学习条件,打算买台电脑,除一次性付款外商家还提供三种分期付款方式. 你能帮他们参谋选择一下吗? 方案分几次付清付款方法每期所付款额 方案1.分6 次付清. 购买后2 个月第1次付款, 再过2 个月第2 次付款……购买后12 个月第6 次付款 方案2.分12 次付清. 购买后1 个月第1次付款, 再过1 个月第2 次付款……购买后12 个月第12 次付款方案3.分3 次付清. 购买后4 个月第1次付款,再过4 个月第2 次付款,再过4 个月第3 次付款 分析: 思路1: 本题可通过逐月计算欠款来处理,根据题意,到期还清即第12 个月的欠款数为0 元.设每次应付x 元,则: 二、细胞分裂中的数列 自然界是由许许多多的细胞组成的,细胞分裂产生新的生命, 人的孕育也是由细胞分裂开始的. 以某种细胞为例我们一起来分析一下细胞是如何分裂的.某种细胞每过30 分钟便由 1 个分裂成 2 个,经过 5 小时,这种细胞由 1 个分裂成几个?经过N 小时,细胞由1 个能分裂成几个? 该细胞分裂数是公比为2 的等比数列方式增加. 显然不用减去那最初的一个母细胞了,因为题目问的是:"经过5 小时, 这种细胞由一个分裂成几个,"当然是1024 了,又不是问由一个分裂"出"几个,那就要减去最初的母细胞了. 显然N 时后,该细胞会由一个分裂"成"2(k-1)个(k 6.4数列的实际应用举例 实例一：用分期付款方式购买电脑，价格每台11500元，可以用以下方式付款，购买当天先付1500元，以后每月交付500元，并先加付欠款利息，月利率1℅（即欠款1℅利息不计入欠款），在交付1500元后第一个月开始为分期付款的第一个月．问分期付款的第10个月该交付多少钱？全部货款付清后，买这台电脑实际花了多少钱？ 分析：第一个月付款：500(115001500)1+-? ℅ 第二个月付款：50095000.01+? …… 第十个月付款：500(100005009)0.01+-??． 解：由题意可知每月的付款数是500元和一个等比数列． 1500100000.01a =+?，250095000.01a =+?，…10500(100005009)0.01a =+-??； 1232050020(100009500500)0.01S a a a a =+++=?++++? =(50010000)10100000.0110000105000.1100001050110502 +?+?=+?=+=元． 买这台电脑实际花了11050+1500=12550元． 实例二：某制糖厂今年制糖5万吨，如果平均每年的产量比上一年增加10%，那么从今年起，几年内可以使总产量达到30万吨（保留到个位）. 解：由题意可知，这个糖厂从今年起，平均每年的产量（万吨）组成一个等比数列． 15,10.1 1.1,30n a q S ==+== 于是得到 5(1 1.1)301 1.1 n -=- 整理后，得1.1 1.6n = lg1.60.20415lg1.10.0414n = =≈ 答：5年内可以使总产量达到30万吨． 实例三：某长跑运动员 7 天里每天的训练量（单位：m ）是： 7500 8000 8500 9000 9500 10000 10500 求这位长跑运动员 7 天共跑了多少米？ 微点突破 数列中的实际应用问题 【例】 商学院为推进后勤社会化改革，与桃园新区商定：由该区向建设银行贷款500万元在桃园新区为学院建一栋可容纳一千人的学生公寓，工程于2012年初动工，年底竣工并交付使用，公寓管理处采用收费还贷偿还建行贷款(年利率5%，按复利计算)，公寓所收费用除去物业管理费和水电费18万元.其余部分全部在年底还建行贷款. (1)若公寓收费标准定为每生每年800元，问到哪一年可偿还建行全部贷款； (2)若公寓管理处要在2020年底把贷款全部还清，则每生每年的最低收费标准是多少元(精确到元).(参考数据：lg 1.734 3≈0.239 1，lg 1.05≈0.021 2，1.058≈ 1.477 4) 解 依题意，公寓2012年底建成，2013年开始使用. (1)设公寓投入使用后n 年可偿还全部贷款，则公寓每年收费总额为 1 000×800(元)＝800 000(元)＝80万元，扣除18万元，可偿还贷款62万元. 依题意有62[1＋(1＋5%)＋(1＋5%)2＋…＋(1＋5%)n －1]≥500(1＋5%)n ＋1， 化简得62(1.05n －1)≥25×1.05n ＋1.所以1.05n ≥1.734 3. 两边取对数整理得n ≥lg 1.734 3lg 1.05＝0.239 10.021 2≈11.28，所以取n ＝12(年).所以到2024 年底可全部还清贷款. (2)设每生每年的最低收费标准为x 元，因为到2020年底公寓共使用了8年， 依题意有? ?? ??1 000x 10 000－18[1＋(1＋5%)＋(1＋5%)2＋…＋(1＋5%)7]≥500(1＋5%)9， 化简得(0.1x －18)1.058－11.05－1 ≥500×1.059， 所以x ≥10? ?? ??18＋25×1.0591.058－1 ＝10? ?? ??18＋25×1.05×1.477 41.477 4－1 ＝10×(18＋81.2)≈992(元). 故每生每年的最低收费标准为992元. 探究提高 在经济活动中，诸如增长率、降低率、存款复利、分期付款等与年(月)份有关的实际问题，大多可归结为数列问题，即通过建立相应的数列模型来解决.在解应用题时，是否是数列问题一是看自变量是否与正整数有关；二是 数列的实际应用问题 例1．某地区预计从2005年初的前n 个月内，对某种商品的需求总量f n ()（万件）与月份n 的近似关系为f n n n n n N n ()()()()=+-∈≤1150 135212， （I ）求2005年第n 个月的需求量g(n)（万件）与月份n 的函数关系式，并求出哪个月份的需求量超过1.4万件。 （II ）如果将该商品每月都投放市场P 万件，要保持每月都满足供应，则P 至少为多少万件？ 解答：（I ）由题意知，()g f 11115012331125 ==???=() 当n ≥2时，g n f n f n ()()()=--1)]1(235[)1(150 1)235)(1(1501-----+= n n n n n n )12(251)]237)(1()235)(1[(1501n n n n n n n -=----+= 又 125112111251??-==()()g ,∴=-∈≤g n n n n N n ()()()125 1212， 由1251214n n ().->得:n n 212350-+<,∴<<57n ，又n N n ∈∴=，6 即6月份的需求量超过1.4万件 （II ）要保持每个月都满足供应，则每月投放市场的商品数P （万件）应满足Pn f n ≥()即 )235)(1(1501n n n Pn -+≥,)2 35233(751)235)(1(15012---=-+≥∴n n n n P N n ∈ ，当8=n 时，)235)(1(150 1n n -+的最大值为1.14万件即P 至少为1.14万件 练习：听P82例2 例2．某外商到一开发区投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元。设f n ()表示前n 年的纯收入（f n ()=前n 年的总收入－前n 年的总支出－投资额） （1）从第几年开始获取纯利润？ （2）若干年后，外商为开始新项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以48万美元出售该厂；②纯利润总和最大时，以16万元出售该厂，问哪种方案最合算？ 解答：由题意知，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列，设纯利润与年数的关 系为f n ()，则f n n n n n n n ()[()]=-+ -?-=-+-501212 472240722 （1）纯利润就是要求f n ()>0，∴-+->2407202n n 解得218< 数列在现实生活中的应用及其求解策略 云南会泽县第一中学郭兴甫唐孝敬邮编：654200 数列是特殊的函数，其与方程、不等式联系紧密，在现实生活中应用广泛， 在利用数列解决现实中的问题时，首先要认真审题，深刻理解问题的实际背景，弄清蕴含在问题中的数学关系，把应用问题转化为数学中的等差数列、等比数列问题，然后求解。本文举例说明数列在现实生活中的应用及其求解策略，以期对同学们的学习有所帮助！ 一、方案设计型 例1?某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款 10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元, 第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元；两次方案的使用期都是10 年，到期一次性归还本息。若银行两种形式的贷款都按年息 5%的复利计算，试比较两种方案中，那种获利更多？ (参考数据 1.0510 1.6,1.31013.7,1.51055.6) 分析：这是一道比较常见的数列应用问题，方案选择，由于本息与利润是熟知的概念，对甲方案，每年的获利满足等比数列；对乙方案，每年获利构成等差数列，因此只需建立通项公式，求和公式，并运用所学过的公式求解即可. 1 310 1 解：对甲种方案获利为：1 (1 30%) (1 30%)2(1 30%)942.3 0.3 (万元) 银行贷款本息和：10 (1 5%)1016 (万元) 故甲种方案纯利：42.3 16 26.3 (万元) 对乙种方案获利：1 (1 0.5) (1 2 0.5) (1 9 0.5) 10 1 10 9 0.5 32.5（万元） 银行贷款本息和：1.05 [1 (1 5%) (1 5%)2（1 5%）9] 1.05 1.0510 1 0.05 12.6 （万元） 故乙种方案纯利：32.5-12.6 19.9(万元) 综上由26.3 19.9可得，甲方案更好。 二、汽车保有量问题 例2.为综合治理交通拥堵状况，缓解机动车过快增长势头，一些大城市出台了“机动车摇号上牌”的新规.某大城市2012年初机动车的保有量为600万辆，预计此后每年将报废本年度机动车保有量的5%，且报废后机动车的牌照不再使用， 同时每年投放10万辆的机动车牌号，只有摇号获得指标的机动车才能上牌?经调研，获得摇号指标的市民通常都会在当年购买机动车上牌. (1)问：到2016年初，该城市的机动车保有量为多少万辆； (2)根据该城市交通建设规划要求，预计机动车的保有量少于500万辆时，该城市交通拥堵状况才真正得到缓解?问：至少需要多少年可以实现这一目标. (参考数据：0.9540.81，0.9550.77，|g0.75 0.13，lg 0.95 0.02) 分析：(1 )首先将实际问题分析，得到关于各年年初机动车保有量的递推关系，然后结合数列的性质，构造得到等比数列，进而得到其通项公式 (2)在第一问的基础上，解关于 n的不等式，进而估算法得到结论 (1)设2012年年初机动车保有量为a1万辆，以后各年年初机动车保有量依次 高考数学复习 第25课时 第三章 数列数列的实际应用名师 精品教案 一．课题：数列的实际应用 二．教学目标：1．理解“复利”的概念，能解决分期付款的有关计算方法； 2．能够把实际问题转化成数列问题． 三．教学重点：建立数列模型解决数列实际应用问题． 四．教学过程： （一）主要知识： 1．解应用问题的核心是建立数学模型； 2．一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型； 3．注意问题是求什么（,,n n n a S ）． （二）主要方法： 1．解答数列应用题要注意步骤的规范性：设数列，判断数列，解题完毕要作答； 2．在归纳或求通项公式时，一定要将项数n 计算准确； 3．在数列类型不易分辨时，要注意归纳递推关系； 4．在近似计算时，要注意应用对数方法和二项式定理，且要看清题中对近似程度的要求． （三）例题分析： 例1．某地区森林原有木材存量为a ，且每年增长率为25％，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b ，设n a 为n 年后该地区森林木材的存量， （1）求n a 的表达式； （2）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量不少于79a ，如果1972 a b =，那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？（参考数据：lg 20.3=） 解：（1）设第一年的森林的木材存量为1a ，第n 年后的森林的木材存量为n a ，则 115(1)44 a a b a b =+-=-， 221555()(1)444 a a b a b =-=-+， 32325555()[()1]4444 a a b a b =-=-++， ……… 12*55555()[()()1]()4[()1]()44444 n n n n n n a a a b n N --=-+++=--∈．数列的实际应用问题
高考数学题型全归纳：数列在生活中的应用(含答案)
数列的实际应用
数列在生活中的应用
(完整版)案例三数列在购房问题中的应用
数列的实际应用举例 教学设计
(完整版)数列应用题专题训练
第10讲 数列的实际应用
2020-2021学年苏教版必修五 数列在生活中的应用 学案
数列在现实生活中中的应用及其求解策略
数列在生活中应用技术
浅析数列在日常生活中的应用
数列实际应用举例
数列中的实际应用问题
数列的实际应用问题
数列在现实生活中中的应用及其求解策略
高考数学复习 第25课时 第三章 数列数列的实际应用名师精品教案