大连理工大学 高等数值分析 有限元简述-2017

椭圆与抛物微分方程的有限元法

空间m H 作为例子，我们将考虑区间()0,1I =上的微分方程。用2()L I 表示在I 上勒贝格平方可积函数的集合，()m H I 表示本身以及直到m 阶的导数都属于2()L I 的函数的集合。我们下面用到的主要是1()H I 。这里所说的导数准确地说是应该是广义导数，对此我们不予详细说明，只需知道比如说，连续的分片线性函数（折线函数）就属于1()H I ，其广义导数是分

片常数函数。另外，我们还用到空间}0)0(),({)(11=∈=v I H v I H E 。

（空间=函数集合。）

微分方程 考虑两点边值问题

(), (0,1)pu qu f x ''-+=∈

（1） (0)0u = （2）

0)1(='u

（3）

其中, , p q f 都是区间)1,0(上的光滑函数，0≥q , 并且0p p ≥，0p 是

一个正常数。 用)(1I H E 中任一函数v 乘（1）式两端，并在]

1,0[上积分，得

1

0[()]0pu v quv fv dx ''-+-=? （4） 利用分部积分，并注意0)1(='u 和0)0(=v ，得

??''+'-=''-1

01

1

0|)(dx v u p v u p vdx u p ?''=1

0dx v u p

以此代入到（4）得到

?=-+''1

00)(dv fv quv v u p （5） 为了方便，定义 ()1

0,w v w v d x =?? （7）

),(),(),(v qw v w p v w a +''=

（8）

则相应于微分方程（1）-（3）的变分方程为：求)(1I H u E ∈满

足

),(),(v f v u a = )(1

I H v E ∈?

（9）

注意在（9）中不出现二阶导数。可以证明，满足微分方程（1）-（3）的光滑解一定满足变分方程（9）。（9）的解称之为（1）-（3）的广义解，它可能只有一阶导数，因此可能

不是（1）-（3）的解；但是如果它在通常意义下二阶可微，则一定也是（1）-（3）的解。

另外注意，在变分方程（9）中，我们强制要求广义解u 满足边值条件(0)0u =，因而称之为强制（或本质）边界条件；而对边值条件0)1(='u ，则不加要求。但是可以证明，如果广义解u 在通常意义下二阶可微，则一定有0)1(='u ，即这个边界条件自然满足。这类边界条件称之为自然边界条件。总之，变分方程（9）不但降低了对解的光滑性的要求，也降低了对边值条件的要求。

有限元空间 构造有限元法的第一步与差分法一样，也是对求解区间作网格剖分0101n x x x =<<<= 。相邻节点1,i i x x -之间的小区间[

]1,i i i I x x

-=称为第i 个单元，其长度为1i i i h x x -=-。记m a x i h h =。

在空间1

()E H I 中，按如下原则选取有限元空间h V ：它的元

素()h u x 满足所谓本质边界条件(0)0h u =，在每一单元上是m 次多项式，并且在每个节点上都是连续的。当1m =时，就得到最简单的线性元，这时每个h h u V ∈可表为

1

1(), i i h i i i i i

x x x x u x u u x I h h ----=

+∈，1,2,,i n = （10）

其中(),i h i u u x = 0(0)0h u u ==。

图1. 一维线性元

线性元的另外一种表示方法是利用以下具有局部支集的基函数：

111

1,()1,0,i

i i

i

i

i i i i x x x x x h x x x x x x h ?-++-?+≤≤??

?-=-≤≤??

???

在别处

1,2,,

i n =- （11）

11,()0,n

n n n

n x x x x x h x ?--?+≤≤?=???

在别处 （12）

图2. 线性元的基函数

显然，任一h h u V ∈可以表为

1()()n

h i i i u x u x ?==∑

（13）

有限元方程 将变分方程（9）局限在有限元空间上考虑，就得到有限元方程：求有限元解h h u V ∈满足

),(),(h h h v f v u a =

h h V v ∈?

（14）

注意到h u 和h v 都可以表示成（13）形式，容易看出（14）等价于如下的线性方程组：求节点上的近似解1,,n u u 满足 1(,)(,

),1,,n

i

j i

j

i a u f j n ???===∑ （15）

这个线性方程组是三对角的，可以用追赶法求解。

可以把微分方程（1）、变分方程（9）和有限元方程（15）比喻为确定“好人”的三种标准：他每一时刻表现都好；每一个人都说他好；一个遴选委员会说他好。

误差估计 可以证明，微分方程（1）-（3）的解u 和有限元方程（14）或（15）的解h u 之间的误差满足

||||||||||||u Ch u u h u u h

h ''≤'-'+- （16）

其中C 是一个常数；||||? 表示2()L I 范数，定义为 1

2

2

)b

a

v v d x ??==????

?, 2()v L I ?∈ （17）

二维椭圆方程有限元法 以二维区域上的Poisson 方程第一边值问题为例：

2222(,)u u

f x y x y

??--=??，(,)x y G ∈

（18）

|0u Γ=

（19）

其中G 是以Γ为边界的一个二维区域。利用Green 公式，容

易推出相应的变分方程：求1

0()u H G ∈满足

(,)

(,a u v f v =，1

0()v H G ?∈

（20）

其中空间1

0()H G 由在边界Γ上为零且广义偏导数在区域G 上勒

贝格可积的所有函数组成， (,) dxdy G

w v wv ≡??

（21）

(,)()G

w v w v

a w v d x d y x x y y

????=+??????

（22）

二维区域上最常用的剖分是形如下图的三角剖分：

我们可以相应地构造三角剖分上的线性元。对内点集合h G （例如上图中3，6，5这三个点）中每个节点i ，定义其基函数(,)i x y ?为一个分片线性函数，它在节点i 取值为1，而在所有其他节点为0。这样，有限元空间h V 中任一元素就可以表示成()()h

h i i i G u x u x ?∈=∑。把它带入到变分方程（20）便得有限

元方程：求h G 上的近似解i u 满足 (,)(,),

h

i j i j h i G a u f j G ???∈=?∈∑

（23）

高次元 可以从两个途径来提高有限元法的精度，一个是加密网格，另一个是利用高次元。例如对于一维问题，可以使用所谓Hermite 三次元，它在每一个单元[]1,i i i I x x -=上是一个三次多项式，由两个端点上的函数值和导数值总共4个参数确定。这时，相应于（16）我们有误差估计

||||||||||||)(3

4

k k h

h u Ch u u h u u ∑

=≤'-'+- （24）

其中()k u 表示k 阶导数。对于二维问题也可以使用高次元，但是其定义要稍微复杂一点。

抛物方程有限元法 考虑一维抛物方程

(), 0<, 01u u p qu f t T x t x x

???-+=≤≤≤??? （25）

0(,0)(), 01u x u

x x =≤≤ （26）

(0,)

0, (1,)0, 0u

u t t t T x

?==≤≤?

（27）

其中系数,,p q f 都是x 和t 的已知光滑函数，初值0()u x 是x 的已知光滑函数。它的变分方程为：求(,)u x t 使得对每一个固定的

[0,]t T ∈，都有1

(,)()E u x t H I ∈，并且

1

(

,)(,)(,),

()E u

v a u v f v v H I t

?+=?∈? （28）

其中

1

(,) dxdy w v wv ≡?

（29）

),(),(),(v qw x

v

x w p

v w a +????= （30）

抛物方程有限元法的通常做法是在时间方向用差分法，在空间方向用有限元法。象在（10）中那样，可以关于变量

x 构造线性有限元空间h V 。令时间方向步长为τ

。若时间方向

用向前差商，空间方向用线性有限元，并记(,)k f f x k τ=，则有限元方程为：对1,,/k K T τ== ，逐层求1

() n

k

k h

i i h i u u x V ?==∈∑满足

1(

,)(,)(,), k k k

k h h

h h h h

h h u u v a u v f v v V τ

+-+=?∈

（31）

这相当于在每一层要解一个线性方程组： 111

(,)(

)(,)(,), 1,,k k

n

n

k k i i i j i j i j i i u u a u f j n ?????τ

+==-+=?=∑∑

或者稍微整理一下： 1

11

1

(,)(,)(,)(

,), 1,,

n

n

n

k k

k

k i

j i

i j i i j

i

j i i i u u a

u f j n ????τ??τ?+====

-+?=∑∑

∑ （32）

如果在时间方向用梯形公式，则类似于（31）得到所谓Crank-Nicolson 格式：

111(

,)(,)(,), 22

k k k k

k k

h h

h h h h h h h u u u u f f v a v v v V τ

+++-+++=?∈

（33）

习题1 设边值条件为 (0)0u =，0)1(='u ，步长为h =0.5。写出

相应的线性元的各个基函数，并图示。 习题2 假设如习题1，并设1p =，0q =，1f =，具体写出线

性元有限元方程相应的线性方程组。

习题3 仿照（32），将Crank-Nicolson 格式（33）写成线性方程组形式。

习题4 将边界条件（3）换成(1)0u =，试推出相应于（14）的有限元方程。