2016年广东适应性考试理科数学试题(一模)

2016年广东省适应性考试2016、3、5 理科数学

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合}034|{2≥++=x x x A ，}12|{<=x x B ，则=?B A （ ）

A ．}13|{-≤≤-=x x

B B ．3|{-≤x x 或}01<≤-x

C ．3|{-≤x x 或}01≤<-x

D ．}0|{

2．若ai a z +-=2为纯虚数，其中∈a R ，则

=++ai

i a 17

（ ） A ．i B ．1 C ．i - D ． 1-

3．已知n S 为数列}{n a 的前n 项和，且)1(2

3

-=

n n a S （∈n N *），则=n a （ ） A ．)23(3n n - B ．n

n

23+ C ．n

3 D ．1

2

3-?n

4．执行如图所示的程序框图，如果输入的100=N ，则输出的=x （ ）

A ．95.0

B ．98.0

C ．99.0

D ．00.1

5．三角函数x x y 2cos )26

sin(+-=π

的振幅和最小正周期分别为（ ）

A ．3，

2π B ．3，π C ．2，2

π

D ．2，π

6．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A ．12

B ．6

C ．4

D ．2

7．设p 、q 是两个命题，若)(q p ∨?是真命题，

那么（ ）

A ．p 是真命题且q 是假命题

B ．p 是真命题且q 是真命题

C ．p 是假命题且q 是真命题

D ．p 是假命题且q 是假命题

8．从一个边长为2的等边三角形的中心、各边中点及三个顶点这7个点中任取两个点，则这两点间的距离小于1的概率是（ ） A ．

71 B ．73 C ．74 D ．7

6 9．已知平面向量、满足1||||==，)2(-⊥，则=+||（ ）

A ．0

B ．2

C ．2

D ．3

10．6

2

)21(x x -

的展开式中，常数项是（ ） A ．

45- B ．45 C ．16

15- D ．1615 11．已知双曲线的顶点为椭圆12

2

2

=+y x 长轴的端点，且双曲线的离心率与椭圆的离心率的乘积等于1，则双曲线的方程是（ ）

A ．12

2

=-y x B ．12

2

=-x y C ．22

2

=-y x D ．22

2

=-x y 12．如果定义在R 上的函数)(x f 满足：对于任意21x x ≠，都有)()(2211x f x x f x +

)()(1221x f x x f x +>，则称)(x f 为“H 函数”

．给出下列函数：①13

++-=x x y ；②)cos sin (23x x x y --=；③1+=x e y ；④???=≠=00

||ln x x x y ，其中“H 函数”的个

数是（ ）

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

二．填空题：本大题4小题，每小题5分，满分20分．

13．已知实数x ，y 满足约束条件??

?

??≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，若目标函数ay x z +=2仅在点)4,3(

取

正视图 2俯视图

2 1

侧视图

得最小值，则a 的取值范围是 ．

14．已知双曲线116322

2=-p

y x 的左焦点在抛物线px y 22=的准线上，

则=p ． 15．已知数列}{n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，且对任意∈n N *

，均有n a 、n S 、

2

n

a 成等差数列，则=n a ． 16．已知函数)(x f 的定义域R ，直线1=x 和2=x 是曲线)(x f y =的对称轴，且

1)0(=f ，则=+)10()4(f f ．

三．解答题：本大题共8小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）

已知顶点在单位圆上的ABC ?中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且 C b B c A a cos cos cos 2+=． （1）A cos 的值； （2）若42

2

=+c b ，求ABC ?的面积．

18．（本小题满分12分）

（2）从该单位中任取2人，此2人中年薪收入高于5万的人数记为ξ，求ξ的分布列和期望；

（3）已知员工年薪收入与工作年限成正相关关系，某员工工作第一年至第四年的年薪分别为3万元、5.4万元、6.5万元、2.7万元，预测该员工第五年的年薪为多少？

附：线性回归方程a x b y

???+=中系数计算公式分别为： 2

1

)()

)((?x x y y x x

b

i n

i i i

---=∑=，x b y a

??-=，其中、y 为样本均值． 19．（本小题满分12分）

如图，在直二面角C AB E --中，四边形ABEF 是矩形，2=AB ，32=AF ，

ABC ?是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，点P 是线段BF 上的一点，3=PF ．

（1）证明：⊥FB 面PAC ；

（2）求异面直线PC 与AB 所成角的余弦值．

A

B

C

E F P

20．（本小题满分12分）

已知抛物线C ：x y 42=，过其焦点F 作两条相互垂直且不平行于x 轴的直线，分别交抛物线C 于点1P 、2P 和点3P 、4P ，线段21P P 、43P P 的中点分别为1M 、2M ．

（1）求21M FM ?面积的最小值； （2）求线段21M M 的中点P 满足的方程．

21．（本小题满分12分）

设函数mx x x x f -+=

ln 2

1)(2

（0>m ）． （1）求)(x f 的单调区间； （2）求)(x f 的零点个数；

（2）证明：曲线)(x f y =没有经过原点的切线．

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时写清题号． 22．（本小题满分10分）

选修4—1：几何证明选讲

如图所示，BC 是半圆O 的直径，BC AD ⊥，垂足为D ，AB 的弧长等于AF 的弧长，BF 与AD 、AO 分别交予点E 、G ．

（1）证明：FBC DAO ∠=∠； （2）证明：BE AE =．

23．（本小题满分10分）

选修4—4：坐标系与参数方程选讲

在直角坐标系xOy 中，过点)2,1(-P 的直线l 的倾斜角为?45．以坐标原点为极点，x

A

B C D O F E G

轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为θθρcos 2sin 2=，直线l 和曲线C 的交点为点A 、B ．

（1）求直线l 的参数方程；

（2）求||||PB PA ?的值． 24．（本小题满分10分）

选修4—5：不等式选讲

已知函数x a x x f 5||)(+-=．

（1）当1-=a 时，求不等式35)(+≤x x f 的解集； （2）若1-≥x 时，有0)(≥x f ，求a 的取值范围．

答案： 一．选择题

CDDCBC CABDBA

二．填空题

13．10- 14．11

3

- 15．120 13．32 三．解答题（略）