湘教版八年级初二数学上全册教案：第1章分式教案
第1章 分式 1.1 分式 第1课时 分式
1.理解分式的定义，能够根据定义判断一个式子是否是分式.
2.能写出分式存在的条件，会求分式的值为0时字母的取值范围.(重难点)
3.能根据字母的取值求分式的值.(重点)
4.能用分式表示现实情境中的数量关系.(重点)
自学指导：阅读教材P2～3，完成下列问题. (一)知识探究
1.一般地，如果一个整式f 除以一个非零整式g(g 中含有字母)，所得商f
g 叫作分式，其中f 是分式的分
子，g 是分式的分母，g ≠0.
2.(1)分式f g 存在的条件是g ≠0；(2)分式f g 不存在的条件是g ＝0；(3)分式f
g 的值为0的条件是f ＝0，g ≠
0.
(二)自学反馈
1.下列各式中，哪些是分式？
①2b －s ；②3 000300－a ；③27；④v s ；⑤s 32；⑥2x 2＋15；⑦45b ＋c ；⑧－5；⑨3x 2
－1；⑩x 2
－xy ＋y 2
2x －1；?5x －7. 解：分式有①②④⑦⑩.
判断是否是分式主要看分母是不是含有字母.这是判断分式的唯一条件.
2.当x 取何值时，下列分式的值不存在？当x 取何值时，下列分式的值等于0? (1)3－x x ＋2；(2)x ＋53－2x
. 解：(1)当x ＋2＝0时，即x ＝－2时，分式3－x x ＋2的值不存在.当x ＝3时，分式3－x x ＋2的值等于0.
(2)当3－2x ＝0时，即x ＝32时，分式x ＋53－2x 的值不存在.当x ＝－5时，分式x ＋5
3－2x
的值等于0.
分母是否为0决定分式的值是否存在.
活动1 小组讨论
例1 列代数式表示下列数量关系，并指出哪些是整式？哪些是分式？
(1)甲每小时做x 个零件，他做80个零件需多少小时；
(2)轮船在静水中每小时走a 千米，水流的速度是b 千米/时，轮船的顺流速度是多少千米/时，轮船的逆流速度是多少千米/时；
(3)x 与y 的差除以4的商是多少.
解：(1)80x ；分式.(2)a ＋b ，a －b ；整式.(3)x －y
4
；整式.
例2 当x 取何值时，分式2x －5x 2－4的值存在？当x 取何值时，分式2x －5
x 2－4的值为零？
解：当2x －5x 2－4的值存在时，x 2
－4≠0，即x ≠±2；
当
2x －5x 2
－4的值为0时，有2x －5＝0且x 2
－4≠0，即x ＝52
.
分式的值存在的条件：分式的分母不能为0.分式的值不存在的条件：分式的分母等于0.分式
值为0的条件：分式的分子等于0，但分母不能等于0.分式的值为零一定是在有意义的条件下成立的.
活动2 跟踪训练
1.下列各式中，哪些是分式？ ①4x ；②a 4；③1x －y ；④3x 4；⑤12x
2. 解：①③是分式.
2.当x 取何值时，分式x 2
＋13x －2的值存在？
解：3x －2≠0，即x ≠23时，x 2
＋1
3x －2存在.
3.求下列条件下分式x －2
x ＋3的值.
(1)x ＝1；(2)x ＝－1.
解：(1)当x ＝1时，x －2x ＋3＝－1
4.
(2)当x ＝－1时，x －2x ＋3＝－3
2.
活动3 课堂小结
1.分式的定义及根据条件列分式.
2.分式的值存在的条件，以及分式值为0的条件.
第2课时 分式的基本性质
1.理解并掌握分式的基本性质.(重点)
2.能运用分式的基本性质约分，并进行简单的求值运算.(重难点)
自学指导：阅读教材P4～6，完成下列问题. (一)知识探究
1.分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘(或除以)一个不等于零的整式，分式的值不变.用式子表示为f g ＝（f ·h ）g ·h
(h ≠0). 2.根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去(即分子与分母都除以它们的公因式)，叫作分式的约分.
3.分子与分母没有公因式的分式叫作最简分式. (二)自学反馈
1.下列等式的右边是怎样从左边得到的？ (1)a 2b ＝ac 2bc (c ≠0)；(2)x 3
xy ＝x 2
y . 解：(1)由c ≠0，知a 2b ＝a ·c 2b ·c ＝ac 2bc .
(2)由x ≠0，知x 3
xy ＝x 3
÷x xy ÷x ＝x
2
y
.
应用分式的基本性质时，一定要确定分式在有意义的情况下才能应用.
2.填空，使等式成立：
(1)34y ＝3（x ＋y ）4y （x ＋y ）(其中x ＋y ≠0)；(2)y ＋2y 2－4＝1（y －2）
.
在分式有意义的情况下，正确运用分式的基本性质，保证分式的值不变，给分式变形.
3.约分：
(1)a 2
bc ab ；(2)－32a 3b 2c 24a 2b 3
d
. 解：(1)公因式为ab ，所以a 2
bc ab ＝ac.
(2)公因式为8a 2b 2
，所以－32a 3b 2c 24a 2b 3
d ＝－4ac
3bd
.
活动1 小组讨论 例1 约分：
(1)－3a 3a 4；(2)12a 3（y －x ）227a （x －y ）；(3)x 2
－1x 2－2x ＋1.
解：(1)－3a 3
a ＝－3a
.
(2)12a 3
（y －x ）2
27a （x －y ）＝4a 2
（x －y ）
9.
(3)x 2－1x 2－2x ＋1＝（x ＋1）（x －1）（x －1）2
＝x ＋1x －1
.
约分的过程中注意完全平方式(a －b)2
＝(b －a)2
的应用.像(3)这样的分子分母是多项式，应先
分解因式再约分.
例2 先约分，再求值：x 2
y ＋xy 2
2xy ，其中x ＝3，y ＝1.
解：x 2
y ＋xy 2
2xy ＝xy （x ＋y ）2xy ＝x ＋y 2.
当x ＝3，y ＝1时，x ＋y 2＝3＋12.
活动2 跟踪训练 1.约分：
(1)－15（a ＋b ）2
－25（a ＋b ）；(2)m 2
－3m
9－m .
解：(1)－15（a ＋b ）2
－25（a ＋b ）＝3（a ＋b ）5.
(2)m 2
－3m 9－m 2＝
m （m －3）（3＋m ）（3－m ）＝－m
m ＋3. 2.先约分，再求值：
(1)3m ＋n
9m 2－n 2，其中m ＝1，n ＝2； (2)x 2
－4y 2
x 2－4xy ＋4y 2，其中x ＝2，y ＝4.
解：(1)3m ＋n 9m 2－n 2＝
13m －n ＝1
3×1－2
＝1. (2)x 2
－4y 2
x －4xy ＋4y ＝（x ＋2y ）（x －2y ）（x －2y ）＝x ＋2y x －2y ＝2＋2×42－2×4＝－53. 活动3 课堂小结 1.分数的基本性质. 2.约分、化简求值.
1.2 分式的乘法和除法 第1课时 分式的乘法和除法
1.理解分式的乘、除法的法则.(重点)
2.会进行分式的乘除运算.(重难点)
自学指导：阅读教材P8～9，完成下列问题. (一)知识探究
分式的乘、除法运算法则：
(1)分式乘分式，把分子乘分子、分母乘分母分别作为积的分子、分母.用式子表示为f g ·u v ＝fu
gv .
(2)分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用式子表示为：如果u ≠0，则规定
f
g ÷u v ＝f g ·v u ＝fv gu . (二)自学反馈
1.计算x y ·y 2x 的结果是1
2.
2.化简m －1m ÷m －1m
2的结果是m.
3.下列计算对吗？若不对，要怎样改正？ (1)b a ·a b ＝1；(2)b
a ÷a ＝
b ； (3)－x 2b ·6b x 2＝3b x ；(4)4x 3a ÷a 2x ＝23
.
解：(1)对.(2)错.正确的是b a 2.(3)错.正确的是－3x .(4)错.正确的是8x 2
3a
2.
活动1 小组讨论 例1 计算：
(1)4x 3y ·y 2x 3；(2)ab 2
2c 2÷－3a 2b
2
4cd .
解：(1)原式＝4x ·y 3y ·2x 3＝4xy 6x 3y ＝23x
2.
(2)原式＝ab 2
2c 2·4cd －3a 2b 2＝－ab 2
·4cd 2c 2·3a 2b 2＝－
2d
3ac . 例2 计算：
(1)a 2
－4a ＋4a 2－2a ＋1·a －1a 2－4；(2)149－m 2÷1
m 2
－7m
.
解：(1)原式＝（a －2）2（a －1）2·a －1（a ＋2）（a －2）＝（a －2）2
（a －1）（a －1）2
（a －2）（a ＋2）＝a －2
（a －1）（a ＋2）. (2)原式＝149－m ·
m 2
－7m 1＝1（7＋m ）（7－m ）·m （m －7）1＝m （m －7）（7＋m ）（7－m ）＝－m
7＋m
.
整式与分式运算时，可以把整式看成分母是1的分式.注意变换过程中的符号.
活动2 跟踪训练 1.计算：
(1)3a 4b ·16b 9a 2；(2)12xy 5a ÷8x 2
y ；(3)－3xy ÷2y 2
3x .
解：(1)原式＝3a ·16b 4b ·9a 2＝
43a
. (2)原式＝12xy 5a ·18x 2y ＝12xy 5a ·8x 2y ＝
3
10ax . (3)原式＝－3xy ·3x 2y 2＝－3xy ·3x 2y 2
＝－9x
2
2y
.
(2)和(3)要把除法转换成乘法运算，然后约分，运算结果要化为最简分式.
2.计算：
(1)x 2
－4x 2－4x ＋3÷x 2
＋3x ＋2
x 2－x ； (2)2x ＋64－4x ＋x 2÷(x ＋3)·x 2
＋x －63－x
. 解：(1)原式＝x 2
－4x 2－4x ＋3·x 2
－x x 2＋3x ＋2＝（x ＋2）（x －2）（x －3）（x －1）·x （x －1）（x ＋1）（x ＋2）＝x （x －2）（x －3）（x ＋1）＝
x 2
－2x
x 2
－2x －3
. (2)原式＝2x ＋64－4x ＋x 2·1x ＋3·x 2
＋x －63－x ＝2（x ＋3）（x －2）2·
1x ＋3·（x ＋3）（x －2）－（x －3）＝－2（x ＋3）
（x －2）（x －3）
.
分式的乘除要严格按着法则运算，除法必须先换算成乘法，如果分式的分子或分母是多项式，
那么就把分子或分母分解因式，然后约分，化成最简分式.运算过程一定要注意符号. 活动3 课堂小结 1.分式的乘、除运算法则. 2.分式的乘、除法法则的运用.
第2课时 分式的乘方
1.理解分式乘方的运算法则.(重点)
2.熟练地进行分式乘方及乘、除、乘方混合运算.(重难点)
自学指导：阅读教材P10～11，完成下列问题. (一)知识探究
分式的乘方法则：分式的乘方要把分子、分母分别乘方.用式子表示为(f g )n ＝f
n
g n .(其中n 为正整数)
(二)自学反馈 1.计算：
(1)(2ab )2；(2)(－b 2
a )3
.
解：(1)(2ab )2＝4a b .
(2)(－b 2
a )3＝－b
6
a 3.
2.计算：
(1)(－2a b )2·b 3
6a 2；(2)(3a 2b)2
÷(－b 2a )2.
解：(1)原式＝4a 2
b 2·b 3
6a 2＝2
3
b.
(2)原式＝9a 4b 2
÷b 2
4a 2＝9a 4b 2·4a 2
b
2＝36a 6
.
活动1 小组讨论 例1 计算：
(1)(n 2
m )3；(2)(a 2
b －cd 3)3
.
解：(1)(n 2
m )3＝n 6
m
3.
(2)(a 2
b －cd 3)3＝（a 2
b ）3
（－cd 3）3＝a 6b
3
－c 3d
9.
分式的乘方运算将分式的分子、分母分别乘方，再根据幂的乘方进行运算.
例2 计算：
(1)m 3n 2
÷(m n )3；(2)(－n 2m )2÷(n 2
m 3)3·(2n m
)3
.
解：(1)m 3n 2
÷(m n )3＝m 3n 2÷m 3n 3＝m 3n 2·n 3
m
3＝n 5
.
(2)(－n 2m )2÷(n 2m 3)3·(2n m )3＝n 24m 2÷n 6m 9·8n 3m 3＝n 24m 2·m 9n 6·8n 3m 3＝2m
4
n
.
分式混合运算，要注意：(1)化除法为乘法；(2)分式的乘方；(3)约分化简成最简分式.
活动2 跟踪训练 1.计算：
(1)2m 2
n 3pq 2·5p 2
q 4mn 2÷5mnp 3q ； (2)16－a 2
a 2＋8a ＋16÷a －42a ＋8·a －2a ＋2；
(3)(a －1a ＋3)2÷(a －1)·9－a 2
a －1
.
解：(1)原式＝2m 2
n 3pq 2·5p 2
q 4mn 2·3q 5mnp ＝12n
2.
(2)原式＝（4＋a ）（4－a ）（a ＋4）2
·2（a ＋4）a －4·a －2a ＋2＝－2（a －2）
a ＋2. (3)原式＝（a －1）2（a ＋3）2·
1a －1·（3＋a ）（3－a ）a －1＝3－a
a ＋3. 2.计算：
(1)(－2x 4y 2
3z )3；(2)(2ab 3
－c 2d )2÷6a 4
b 3·(－3
c b 2)3
.
解：(1)原式＝（－2x 4y 2
）3
（3z ）3＝－8x 12y
6
27z 3.
(2)原式＝4a 2b 6
c 4
d 2·b 3
6a 4·－27c 3
b 6＝－18b
3
a 2cd
2.
3.化简求值：b 2
a 2－a
b ÷(b a －b )2·a 2
b a －b ，其中a ＝1
2，b ＝－3.
解：化简结果是ab ；求值结果为－3
2
.
化简过程中注意“－”.化简中，乘除混合运算顺序要从左到右.
活动3 课堂小结 1.分式乘方的运算.
2.分式乘除法及乘方的运算方法.
1.3 整数指数幂 1.3.1 同底数幂的除法
1.理解同底数幂的除法法则.(重点)
2.熟练进行同底数幂的除法运算.(重难点)
自学指导：阅读教材P14～15，完成下列问题.
同底数幂相除，底数不变，指数相减.设a ≠0，m ，n 是正整数，且m ＞n ，则a m
a n ＝a n
·（a
m －n
）a n
＝a m －n
.
(二)自学反馈
1.计算a 10
÷a 2
(a ≠0)的结果是(C)
A.a 5
B.－a 5
C.a 8
D.－a 8
2.计算：x 5
÷(－x)2
＝x 3
；(ab)5
÷(ab)2
＝a 3b 3
.
活动1 小组讨论 例1 计算：
(1)（－x ）5
x 3；(2)（xy ）
8
（－xy ）5.
解：(1)（－x ）5
x ＝－x 5－3＝－x 2
. (2)（xy ）8
（－xy ）5＝x 8y 8－x 5y
5＝－x 3y 3
. 例2 计算：(x －y)6
÷(y －x)3
÷(x －y).
解：原式＝(x －y)6
÷[－(x －y)]3
÷(x －y)＝－(x －y)6－3－1
＝－(x －y)2
.
活动2 跟踪训练 1.计算：
(1)a 5
a 2；(2)（x 2y 3
）2（－x 2y 3）2.
解：(1)原式＝a 3
.(2)原式＝1. 2.计算：(p －q)4
÷(q －p)3
·(p －q)2
.
解：原式＝(p －q)4
÷[－(p －q)3
]·(p －q)2
＝－(p －q)·(p －q)2
＝－(p －q)3
. 活动3 课堂小结 同底数幂的除法的运算.
1.3.2 零次幂和负整数指数幂
1.理解零次幂和整数指数幂的运算性质，并能解决一些实际问题.(重难点)
2.理解零指数幂和负整数指数幂的意义.(重点)
3.负整数指数幂在科学记数法中的应用.(重难点)
自学指导：阅读教材P16～18，完成下列问题.
1.任何不等于零的数的零次幂都等于1，即a 0
＝1(a ≠0). 2.a －n
＝1a n (n 是正整数，a ≠0).
(二)自学反馈
1.计算：30＝1；(－2)－3
＝－18
.
2.用科学记数法表示数0.000 201 6为2.016×10－4
. 3.计算：23
－(12)0－(12)－2.
解：原式＝8－1－4＝3.
活动1 小组讨论 例1 计算：
(1)3－2；(2)(10)－3
；(3)(45
)－2.
解：(1)3－2＝132＝19.(2)10－3
＝1103＝0.001.
(3)(45)－2＝(54)2＝25
16
.
例2 把下列各式写成分式的形式： (1)3x －3
；(2)2x －2
3y －3
.
解：(1)3x －3＝3x 3.(2)2x －23y －3
＝6x 2y 3.
例3 用科学记数法表示下列各数： (1)0.000 326 7；(2)－0.001 1.
解：(1)0.000 326 7＝3.267×10－4
.(2)－0.001 1＝－1.10×10－3
. 活动2 跟踪训练
1.计算：(－2)0＝1；3－1
＝13
.
2.把(－100)0，(－3)－2，(－13)2按从小到大的顺序排列为(－100)0>(－13)2＝(－3)－2
.
3.计算：(－1)
2 012
×(3－π)0
＋(12
)－1.
解：原式＝1×1＋2＝3. 活动3 课堂小结
1.零次幂和整数指数幂的运算性质.
2.零指数幂和负整数指数幂的意义.
3.负整数指数幂在科学记数法中的应用.
1.3.3 整数指数幂的运算法则
1.理解整数指数幂的运算法则.(重点)
2.熟练掌握整数指数幂的各种运算.(重难点)
自学指导：阅读教材P19～20，完成下列问题. (一)知识探究 1.a m
·a n
＝a
m ＋n
(a ≠0，m ，n 都是整数).
2.(a m )n ＝a mn
(a ≠0，m ，n 都是整数). 3.(ab)n
＝a n b n
(a ≠0，b ≠0，m ，n 都是整数). (二)自学反馈 计算：
(1)a 3·a －5＝a －2＝1a ；(2)a －3·a －5＝a －8
＝1a
(3)a 0·a －5＝a －5＝1a
5；(4)a m ·a n ＝a m ＋n
(m ，n 为任意整数).
a m
·a n
＝a
m ＋n
这条性质对于m ，n 是任意整数的情形仍然适用.同样正整数指数幂的运算可以推广
到整数指数幂的运算.
活动1 小组讨论 例1 计算：
(1)(a －1b 2)3
；(2)a －2b 2
·(a 2b －2)－3
. 解：(1)原式＝a －3b 6
＝b
6
a
3.
(2)原式＝a －2b 2
·a －6b 6
＝a －8b 8
＝b
8
a
8.
例2 下列等式是否正确？为什么？ (1)a m ÷a n ＝a m ·a －n ；(2)(a b
)n ＝a n b －n
.
解：(1)正确.理由：a m ÷a n ＝a
m －n
＝a
m ＋(－n)
＝a m ·a －n
.
(2)正确.理由：(a b )n ＝a n
b n ＝a n ·1b n ＝a n b －n
.
活动2 跟踪训练
1.下列式子中，正确的有(D)
①a 2÷a 5＝a －3＝1a ；②a 2·a －3＝a －1＝1a ；③(a ·b)－3＝1（ab ）＝1a b ；④(a 3)－2＝a －6
＝1a .
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个 2.计算：[x(x 2－4)]－2·(x 2－2x)2
＝1（x ＋2）.
活动3 课堂小结
牢记整数指数幂的运算法则.
1.4 分式的加法和减法 第1课时 同分母分式的加减法
1.掌握同分母分式的加、减法则，并能运用法则进行同分母分式的加减运算.(重点)
2.会将分母互为相反数的分式化为同分母分式进行运算.(重难点)
自学指导：阅读教材P23～24，完成下列问题. (一)知识探究
1.同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.即，f g ±h g ＝f ±h
g .
2.
－f g ＝f －g ＝－f g ，－f －g ＝f
g
. (二)自学反馈
1.计算：y x ＋2x ＝y ＋2x ；5y －a y ＝5－a y .
2.计算：
(1)32－3x －1＋3x 2－3x ；(2)a 2
a －
b －b 2
－2ab
b －a . 解：(1)32－3x －1＋3x 2－3x ＝3－1－3x 2－3x ＝2－3x 2－3x
＝1.
(2)a 2a －b －b 2－2ab b －a ＝a 2a －b ＋b 2－2ab a －b ＝（a －b ）2
a －b
＝a －b.
活动1 小组讨论 例1 计算：
(1)x －1x ＋1x ；(2)5x ＋3y x 2－y 2－2x x 2－y 2.
解：(1)原式＝x －1＋1x ＝x x
＝1.
(2)原式＝5x ＋3y －2x x 2－y 2
＝3x ＋3y （x ＋y ）（x －y ）＝3（x ＋y ）（x ＋y ）（x －y ）＝3
x －y . 例2 计算：
(1)m m －1－11－m ；(2)5x x 2－x －5
1－x . 解：(1)原式＝m m －1＋1m －1＝m ＋1m －1
.
(2)原式＝5x x （x －1）－51－x ＝5x －1＋5x －1＝5＋5x －1＝10
x －1.
活动2 跟踪训练
1.化简x 2
x －1＋x
1－x
的结果是(D)
A.x ＋1
B.x －1
C.－x
D.x 2.化简a 2
a －
b －b
2
a －b
的结果是(A)
A.a ＋b
B.a －b
C.a 2
－b 2 D.1 3.计算：(1)x ＋1x －1x ；(2)a b ＋1＋2a b ＋1－3a
b ＋1.
解：(1)原式＝x ＋1－1x ＝1.(2)原式＝a ＋2a －3a
b ＋1
＝0.
1.在分式有关的运算中，一般总是先把分子、分母分解因式；
2.注意：计算过程中，分子、分母一般保持分解因式的形式. 活动3 课堂小结
1.分式相加减时，如果分子是一个多项式，要将分子看成一个整体，先用括号括起来，再运算，可减少出现符号错误.
2.分式加减运算的结果要约分，化为最简分式(或整式).
第2课时 通分
1.了解什么是最简公分母，会求最简公分母.(重点)
2.了解通分的概念，并能将异分母分式通分.(重难点)
自学指导：阅读教材P25～26，完成下列问题. (一)知识探究
1.异分母分式进行加减运算时，也要先化成同分母分式，然后再加减.
2.根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化成同分母的分式的过程，叫作分式的通分.
3.通分时，关键是确定公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母称为最简公分母. (二)自学反馈 1.
12x ，1
3y
的最简公分母是6xy. 2.对分式y 2x ，x 3y 2，14xy 通分时，最简公分母是12xy 2
.
3.通分： (1)
3c 2ab 2与－a 8bc 2
；(2)x 4a （x ＋2）与x 6b （x ＋2）
. 解：(1)3c 2ab 2＝3c ·4c 2
2ab 2·4c 2＝12c 3
8ab 2c 2；－a 8bc 2＝－a ·ab 8bc 2
·ab ＝－a 2
b 8ab 2
c 2. (2)x 4a （x ＋2）＝3bx 12ab （x ＋2），y 6b （x ＋2）＝2ay
12ab （x ＋2）
.
活动1 小组讨论
例1 通分：(1)32a 2b 与a －b ab 2c ；(2)2x x －5与3x
x ＋5.
解：(1)最简公分母是2a 2b 2
c. 32a 2b ＝3·bc 2a 2
b ·b
c ＝3bc
2a 2b 2c
， a －b ab 2c ＝（a －b ）·2a ab 2c ·2a ＝2a （a －b ）
2a 2b 2
c . (2)最简公分母是(x ＋5)(x －5).
2x x －5＝2x （x ＋5）（x －5）（x ＋5）＝2x 2
＋10x x 2－25， 3x x ＋5＝3x （x －5）（x ＋5）（x －5）＝3x 2
－15x x －25
. 例2 通分：(1)2c bd 与3ac 4b 2；(2)1x 2－4与x
4－2x .
解：(1)最简公分母是4b 2
d. 2c bd ＝8bc 4b 2d ，3ac 4b 2＝3acd
4b 2d
. (2)最简公分母是2(x ＋2)(x －2). 1x 2
－4＝1×2（x ＋2）（x －2）×2＝22x 2－8
， x 4－2x ＝x －2（x －2）＝－x ·（x ＋2）2（x ＋2）（x －2）＝－x 2
＋2x
2x 2－8. 活动2 跟踪训练
1.分式1x 2－4，x 2（x －2）
的最简公分母为(B)
A.(x ＋2)(x －2)
B.2(x ＋2)(x －2)
C.2(x ＋2)(x －2)2
D.－(x ＋2)(x －2)2
2.分式1x 2－1，x －1x 2－x ，1x 2＋2x ＋1的最简公分母是x(x ＋1)2
(x －1).
3.通分：
(1)x 3y 与3x 2y 2；(2)x －y 2x ＋2y 与xy （x ＋y ）2；(3)2mn 4m 2
－9与2m －32m ＋3. 解：(1)x 3y ＝2xy 6y 2，3x 2y 2＝9x 6y
2.
(2)x －y 2x ＋2y ＝x 2
－y 22（x ＋y ）2，xy （x ＋y ）2＝2xy 2（x ＋y ）2. (3)2mn 4m 2－9＝2mn 4m 2－9，2m －32m ＋3＝（2m －3）2
4m 2
－9. 活动3 课堂小结 1.确定最简公分母. 2.将异分母分式通分.
第3课时 异分母分式的加减法
1.熟练掌握求最简公分母的方法.
2.能根据异分母分式的加减法则进行计算.(重难点)
自学指导：阅读教材P27～29，完成下列问题. (一)知识探究
异分母的分式相加减时，要先通分，即把各个分式的分子、分母同乘一个适当的整式，化成同分母分式，然后再加减. (二)自学反馈
1.化简分式1x ＋1
x （x －1）
的结果是(C)
A.x
B.1
x 2
C.1x －1
D.x x －1
2.下列计算正确的是(D)
A.1x ＋12x ＝13x
B.1x －1y ＝1x －y
C.x x ＋1＋1＝1x ＋1
D.1a －1－1a ＋1＝2a 2－1
活动1 小组讨论 例1 计算：
(1)3x ＋2y ；(2)1a ＋1－1a －1. 解：(1)原式＝3y xy ＋2x xy ＝3y ＋2x xy
.
(2)原式＝a －1（a ＋1）（a －1）－（a ＋1）（a ＋1）（a －1）＝－2
（a ＋1）（a －1）.
例2 计算：
(1)(1－b a ＋b )÷a a 2－b 2；(2)
12p ＋3q ＋1
2p －3q
. 解：(1)原式＝a ＋b －b a ＋b ·a 2
－b 2
a ＝a a ＋
b ·（a ＋b ）（a －b ）
a
＝a －b.
(2)原式＝2p －3q （2p ＋3q ）（2p －3q ）＋2p ＋3q （2p ＋3q ）（2p －3q ）＝2p －3q ＋2p ＋3q （2p ＋3q ）（2p －3q ）＝4p
4p －9q .
活动2 跟踪训练
1.计算(a 2
a －3＋93－a )÷a ＋3
a
的结果为(A)
A.a
B.－a
C.(a ＋3)2
D.1 2.化简(1＋4a －2)÷a
a －2
的结果是(A)
A.a ＋2a
B.a a ＋2
C.a －2a
D.a a －2
3.化简x 2－1x 2－2x ＋1·x －1x 2＋x ＋2x 的结果是3x .
4.化简(1－1m ＋1
)(m ＋1)的结果是m.
1.在分式有关的运算中，一般总是先把分子、分母分解因式；
2.注意：化简过程中，分子、分母一般保持分解因式的形式.
活动3 课堂小结
1.分式加减运算的方法思路：
异分母相加减――→通分转化为同分母相加减――→分母不变分子（整式）
相加减
2.分式相加减时，如果分子是一个多项式，要将分子看成一个整体，先用括号括起来，再运算，可减少出现符号错误.
3.分式加减运算的结果要约分，化为最简分式(或整式).
1.5 可化为一元一次方程的分式方程 第1课时 可化为一元一次方程的分式方程
1.理解分式方程的意义.
2.了解分式方程的基本思路和解法.(重点)
3.理解分式方程可能无解的原因，并掌握验根的方法.(重点)
自学指导：阅读教材P32～34，完成下列问题.
(一)知识探究
1.分母中含有未知数的方程叫作分式方程.
2.在检验分式方程的根时，将所求的未知数的值代入最简公分母中，如果它使最简公分母的值不等于0，那么它是原分式方程的一个根；如果它使最简公分母的值为0，那么它不是原分式方程的根，称它是原方程的增根.
3.解分式方程有可能产生增根，因此解分式方程必须检验. (二)自学反馈
1.下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？ ①
x －22＝x 3；②4x ＋3y ＝7；③1x －2＝3x ；④x （x －1）x ＝－1；⑤3－x π＝x 2；⑥2x ＋x －15＝10；⑦x －1
x
＝2；⑧2x ＋1
x
＋3x ＝1. 解：①⑤⑥是整式方程，②③④⑦⑧是分式方程.
判断整式方程和分式方程的方法就是看分母中是否含有未知数.
2.解分式方程的一般步骤是：(1)去分母；(2)解整式方程；(3)验根；(4)小结.
活动1 小组讨论 例1 解方程：2x －3＝3
x
.
解：方程两边同乘x(x －3)，得2x ＝3(x －3). 解得x ＝9.
检验：当x ＝9时，x(x －3)≠0. 所以，原分式方程的解为x ＝9.
例2 解方程：x x －1－1＝3
（x －1）（x ＋2）
.
解：方程两边同乘(x －1)(x ＋2)，得x(x ＋2)－(x －1)(x ＋2)＝3. 解得x ＝1.
检验：当x ＝1时，(x －1)(x ＋2)＝0. 所以x ＝1不是原方程的解.所以，原方程无解. 活动2 跟踪训练 解方程：
(1)12x ＝2x ＋3；(2)x x ＋1＝2x 3x ＋3＋1；(3)2x －1＝4x 2－1；(4)5x 2＋x －1
x 2－x ＝0. 解：(1)方程两边同乘2x(x ＋3)，得x ＋3＝4x.化简得3x ＝3.解得x ＝1. 检验：当x ＝1时，2x(x ＋3)≠0.所以x ＝1是方程的解.
(2)方程两边同乘3(x ＋1)，得3x ＝2x ＋3x ＋3.解得x ＝－3
2.
检验：当x ＝－3
2时，3x ＋3≠0.
所以x ＝－3
2
是方程的解.
(3)方程两边同乘x 2
－1，得2(x ＋1)＝4.解得x ＝1.
检验：当x ＝1时，x 2－1＝0，所以x ＝1不是方程的解.所以原方程无解. (4)方程两边同乘x(x ＋1)(x －1)，得5(x －1)－(x ＋1)＝0.解得x ＝3
2.
检验：当x ＝3
2时，x(x ＋1)(x －1)≠0.
所以x ＝3
2
是原方程的解.
方程中分母是多项式，要先分解因式再找公分母.
活动3 课堂小结 解分式方程的思路是：
第2课时 分式方程的应用
能将实际问题中的相等关系用分式方程表示，并进行方法总结.(重难点)
自学指导：阅读教材P35～36，完成下列问题. (一)知识探究
列分式方程解应用题的一般步骤是： (1)审题设未知数； (2)找等量关系列方程；
(3)去分母，化分式方程为整式方程；
(4)解整式方程.
(5)验根是否符合实际意义； (6)答题. (二)自学反馈
重庆市政府打算把一块荒地建成公园，动用了一台甲型挖土机，4天挖完了这块地的一半.后又加一台乙型挖土机，两台挖土机一起挖，结果1天就挖完了这块地的另一半.乙型挖土机单独挖这块地需要几天？ 甲型挖土机4天完成了一半，那么甲型挖土机每天挖12÷4＝1
8，如果设乙型挖土机单独挖这块地需要x 天，
那么一天挖1x ；两台挖土机一天共挖18＋1x ；两台一天完成另一半.所以列方程为18＋1x ＝12；解得x ＝8
3，即乙
单独挖需8
3
天
.
认真分析题意.根据等量关系列方程.
活动1 小组讨论
例 甲、乙两人分别从相距36千米的A ，B 两地相向而行，甲从A 出发到1千米时发现有东西遗忘在A 地，立即返回，取过东西后又立即从A 向B 行进，这样两人恰好在AB 中点处相遇.
已知甲比乙每小时多走0.5千米，求二人的速度各是多少？
分析：
等量关系：t 甲＝t 乙.
解：设乙的速度为x 千米/小时，则甲的速度为(x ＋0.5)千米/小时. 根据题意，列方程得 18＋1×2x ＋0.5＝18
x .
解得x ＝4.5.
检验：当x ＝4.5时，x(x ＋0.5)≠0. 所以x ＝4.5是原方程的解.则x ＋0.5＝5.
新人教版八年级数学分式典型例题(供参考)
分式的知识点及典型例题分析 1、分式的定义： 例：下列式子中，y x +15、8a 2 b 、-239a 、y x b a --25、4322b a -、2-a 2、m 1、65xy x 1、21、212+x 、πxy 3、 y x +3、m a 1 +中分式的个数为（ ） （A ） 2 （B ） 3 （C ） 4 (D) 5 练习题：（1）下列式子中，是分式的有 . ⑴275x x -+； ⑵ 123 x -；⑶25a a -；⑷22x x π--；⑸22b b -；⑹22 2xy x y +. （2）下列式子，哪些是分式？ 5a -； 234x +；3 y y ； 78x π+；2x xy x y +-；145b -+. 2、分式有，无意义，总有意义： 例1：当x 时，分式 51 -x 有意义； 例2：分式x x -+212中，当____=x 时，分式没有意义 例3：当x 时，分式112-x 有意义。 例4：当x 时，分式1 2+x x 有意义 例5：x ，y 满足关系 时，分式 x y x y -+无意义； 例6：无论x 取什么数时，总是有意义的分式是（ ） A ． 122+x x B.12+x x C.133+x x D.2 5 x x - 例7：使分式2 +x x 有意义的x 的取值范围为（ ）A ．2≠x B ．2-≠x C ．2->x D ．2 湘教版八年级上册数学全册教案 八年级上学期数学教学计划 一、指导思想： 以《初中数学新课程标准》为依据，全面推进素质教育。数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具，能够帮助人们处理数据、进行计算、推理和证明，数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象；数学为其他科学提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础；数学在提高人的推理能力、抽象能力、想像力和创造力等方面有着独特的作用；数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。内容的呈现应采用不同的表达方式，以满足多样化的学习需求。有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。由于学生所处的文化环境、家庭背景和自身思维方式的不同，学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。 二、学生的基本情况： 上学期学生学习了一元一次方程及其应用，二元一次方程组及其应用，整式的乘法，相交线与平行线以及统计的一些简单知识，学生数学上的计算能力、阅读理解能力、实践探究能力得到了发展与培养，对图形及图形间数量关系有初步认识，逻辑思维与逻辑推理能力得到了发展与培养，学生从形象思维到抽象思维的过渡阶段，抽象思维得到了较好的发展。绝大部分学生能够认真对等每次作业，及时纠正作业中的错误，课堂上能专心致至的进行学习和思考问题，学生学习数学的兴趣得到了激发与进一步的发展，但学习习惯上，学生的课前预习、课堂上记笔记的习惯培养得很不理想，应该在课堂上充分发挥学生的想象与思考，敢于大胆思考，课堂上就把时间有在思考问题上。本学期要思考如何克服课前预习、课堂上记笔记的弊端，发挥其有利的一面，学生对思考规律的小结，及时复习、总结上的习惯，还需要加强，课堂上专心致至的听讲，想在老师和同学的前面，及时纠正作业和试卷中的错误的习惯还需要加强，表扬和鼓励阅读与数学有关的课外读物，引导学生自主拓展和加深自己的知识的广度与深度；在学习方法上，一题多解，多题一解，从不同的角度看问题，从对称的角度思考问题，用不同的方法检验答案，需要加强训练与培养。 三、教材分析： 本学期的教学内容共计五章： 湘教版八年级上册数学教案（全套） 八年级（上）数学科计划 一、指导思想 以《初中数学新课程标准》为依据，全面推进素质教育。数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具,能够帮助人们处理数据、进行计算、推理和证明，数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象；数学为其他学科提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础；数学在提高人的推理能力、抽象能力、想像力和创造力等方面有着独特的作用；数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。内容的呈现应采用不同的表达方式，以满足多样化的学习需求。有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。由于学生所处的文化环境、家庭背景和自身思维方式的不同，学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。 数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。评价的主要目的是为了全面了解学生的数学学习历程，激励学生的学习和改进教师的教学； 应建立评价目标多元、评价方法多样的评价体系。对数学学习的评价要关注学生学习的结果，更要关注他们学习的过程；要关注学生数学学习的水平，更要关注他们在数学活动中所表现出来的情感与态度，帮助学生认识自我，建立信心。 现代信息技术的发展对数学教育的价值、目标、内容以及学与教的方式产生了重大的影响。数学课程的设计与实施应重视运用现代信息技术，特别要充分考虑计算器、计算机对数学学习内容和方式的影响，大力开发并向学生提供更为丰富的学习资源，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，致力于改变学生的学习方式，使学生乐意并有更多的精力投入到现实的、探索性的数学活动中去。 二、学生情况分析。 本期任教八年级数学，共有学生67人。2010年上期学生总体来看，成绩较差。学生到八年级对学习数学的兴趣表现为：基础好的同学学习兴趣大，进取心强，学习自觉主动；而基础较差的同学学习兴趣不浓，上课爱走神，参与意识弱，不愿动脑筋，对自己缺乏信心；处于中等成绩的学生学习缺乏主动，需要不时鞭策、激励。八年级的学生处于一个认为自己已经长大了，有叛逆心理，自尊心强，初步展露自己个性的时期。 学生学习基础分析 七年级上学期学习了有理数，这学期将学习无理数，有理数和无理数通称实数；在七年级上学期学习了用字母表示数，这学期将学习用字母表示变量，学习用来描述现实世界中一些量之间确定性依赖关系的数学模型――函数，着重学习描述均匀变化现象的数学模型――一次函数；在七年级下学期学习了平移和轴反射，这学期将学习旋转，并且运用平移、轴 第十六章 分式 一、知识总览 本章主要学习分式的概念，分式的基本性质，分式的约分、通分，分式的运算（包括乘除、乘方、加减运算），分式方程等内容，分式是两个整式相除的结果，且除式中含有字母，它类似于小学学过的分数，分式的内容在初中数学中占有重要地位，特别是利用分式方程解决实际问题，是重要的应用数学模型，在中考中，有关分式的内容所占比例较大，应重视本章知识的学习． 知识点一：分式的定义：一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式，A 为分子，B 为分母。 知识点二： 与分式有关的条件：①分式有意义：分母不为0（0B ≠）②分式无意义：分母为0（0B =）③分式值为0：分子为0且分母不为0（?? ?≠=0 0B A ） 经典例题 1、在 2x ，1()3x y +，3ππ-，5a x -，24 x y -中，分式的个数为（ ） A .1 B .2 C .3 D .4 2、当1a =-时，分式211a a +-（ ）A .等于0 B .等于1 C .等于－1 D .无意义 3、已知分式1-x 的值是零，那么x 的值是（ ）A ．-1 B ．0 C ．1 D ． 1± 4、当x 时，分式1 1+x 有意义． 5、下列命题中，正确的有（ ） ①A 、B 为两个整式，则式子 A B 叫分式； ②m 为任何实数时，分式13m m -+有意义 ③分式2116 x -有意义的条件是4x ≠； ④整式和分式统称为有理数. A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 知识点三：分式的基本性质 分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 字母表示：C B C ??=A B A ，C B C ÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。 拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即B B A B B --=--=--=A A A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意 C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。 知识点四：分式的约分 定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。 注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。 ②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。 人教版初中数学分式知识点训练附答案 一、选择题 1．0000005=5×10-7 故答案为:B. 【点睛】 本题考查的知识点是科学计数法，解题的关键是熟练的掌握科学计数法. 2．化简2442 x x x x ---得结果是（ ） A ．26x x -+ B ．2x x + C ．2x x -+ D ．2 x x - 【答案】C 【解析】 【分析】 先通分，再按照分式的减法法则化简出最简结果即可得答案． 【详解】 2442 x x x x --- =4(2)(2)(2)(2)(2) x x x x x x x +-+-+- =242(2)(2) x x x x x --+- =(2)(2)(2) x x x x --+- =2 x x - +． 故选：C ． 【点睛】 本题考查分式的减法，同分母分式相加减，只把分子相加减，分母不变；异分母分式相加减，先通分变为同分母分式，再按同分母分式相加减的法则运算． 3．雾霾天气是一种大气污染状态，造成这种天气的“元凶”是PM 2.5，PM 2.5是指直径小于或等于0.0000025米的可吸入肺的微小颗粒，将数据0.0000025科学记数法表示为( ) A ．2.5×106 B ．2.5×10﹣6 C ．0.25×10﹣6 D ．0.25×107 【答案】B 【解析】 【分析】 绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n ，与较大数的科学记数 法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】 4．计算(a 2)3＋a 2·a 3－a 2÷a －3的结果是( ) A ．2a 5－a B ．2a 5－1a C ．a 5 D ．a 6 【答案】D 【解析】 【分析】先分别进行幂的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法运算，然后再进行合并同类项即可. 【详解】原式=a 2×3+a 2+3-a 2-(-3) =a 6+a 5-a 5 =a 6， 故选D. 【点睛】本题考查了有关幂的运算，熟练掌握“幂的乘方，底数不变，指数相乘”、“同底数幂的乘法，底数不变，指数相加”、“同底数幂的除法，底数不变，指数相减”是解题的关键. 5．某微生物的直径为0.000 005 035m ，用科学记数法表示该数为（ ） A ．5.035×10﹣6 B ．50.35×10﹣5 C ．5.035×106 D ．5.035×10﹣5 【答案】A 【解析】 试题分析：0.000 005 035m ，用科学记数法表示该数为5.035×10﹣6，故选A ． 考点：科学记数法—表示较小的数． 6．生物学家发现了一种病毒的长度约为0.00000432毫米．数据0.00000432用科学记数法表示为（ ） A ．0.432×10-5 B ．4.32×10-6 C ．4.32×10-7 D ．43.2×10-7 【答案】B 【解析】 【分析】 绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为10n a -?，这里1＜a ＜10，指数n 是由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】 解： 0.00000432=4.32×10-6， 故选B ． 【点睛】 本题考查科学记数法． 湘教新版八年级上学期数学教学计划 三、教材分析： 本学期的教学内容共计五章： 第1 章：分式：了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式加、减、乘、除的运算；能够依据具体问题的数量关系，列出简单的分式方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型；会解简单的可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个）； 第2章：三角形：本章主要内容包括三角形相关概念和性质，命题与证明；利用平移、旋转和轴反射得出三角形全等的判定方法；直角三角形的性质和判定直角三角形全等的判定方法及勾股定理；三角形的作法。 第3章：实数：本章的主要内容包括平方根与立方根、算术平方根，在学习了平方根、立方根概念后，引进了无理数，从而对数的认识从有理数扩大到实数，学习平面直角坐标系，使得平面上的点与有序实数对一一对应，为学习函数及通过直角坐标系研究几何问题提供了研究工具。本章包含了数形结合和分类讨论的思想方法。 第4章：一元一次不等式（组）: 本章主要内容是不等式的基本性质、一元一次不等式的解法和应用。一元一次不等式组的概念和解法。 第5章：二次根式：理解二次根式的概念，能够应用定义判断一个式子是否为二次根式；理解二次根式的性质；熟练掌握二次根式的运算； 六、课时安排 章节时间 第1章分式约22课时 1.1分式 1.2分式的乘法和除法 1.3整数指数幂 1.4分式的加法和减法 1.5可化为一元一次方程的分式方程 小结与复习 第2章三角形约27课时 2.1三角形 2.2命题与证明 2.3等腰三角形 2.4线段的垂直平分线 2.5全等三角形 2.6用尺规作三角形 小结与复习 第3章实数约9课时 3.1平方根 3.2立方根 3.3实数 小结与复习 第4章一元一次不等式（组）约13课时 4.1不等式 4.2不等式的基本性质 4.3一元一次不等式的解法 4.4一元一次不等式的应用 4.5一元一次不等式组 小结与复习 第5章二次根式约14课时 5.1二次根式 5.2二次根式的乘法和除法 5.3二次根式的加法和减法 小结与复习 2013-9-1 分式练习题 一、选择题： 1、下列式子：,,1,1,32,32π n m b a a b a x x --++ 中是分式的有（ ）个 A 、5 B 、4 C 、3 D 、2 2、下列等式从左到右的变形正确的是（ ） A 、11++=a b a b B 、22a b a b = C 、b a b ab =2 D 、am bm a b = 3、下列分式中是最简分式的是（ ） A 、a 24 B 、112+-m m C 、1 22+m D 、m m --11 4、下列计算正确的是（ ） A 、m n n m =? ÷1 B 、111=÷?÷m m m m C 、1134=÷÷m m m D 、n n m n 1=?÷ 5、计算32)32()23(m n n m ?-的结果是（ ） A 、m n 3 B 、m n 3- C 、m n 32 D 、m n 32- 6、计算y x y y x x ---的结果是（ ） A 、1 B 、0 C 、 y x xy - D 、y x y x -+ 7、化简n m m n m --+2 的结果是（ ） A 、n m B 、n m m --2 C 、n m n --2 D 、m n - 8、下列计算正确的是（ ） A 、1)1(0-=- B 、1) 1(1=-- C 、2233a a =- D 、235)()(a a a =-÷-- 9、如果关于x 的方程8778=----x k x x 无解，那么k 的值应为（ ） A 、1 B 、-1 C 、1± D 、9 10、甲、乙两人做某一工程，如果两人合作，6天可以完成，如果单独工作，甲比乙少用5天，两人单独工作各需多少天完成？设乙单独工作x 天完成，则根据题意列出的方程是（ ） A 、61511=++x x B 、61511=-+x x C 、61511=--x x D 、6 1511=+-x x 二、填空题： 11、分式a a -2，当a______时，分式的值为0；当a______时，分式无意义，当a______时，分式有意义 八年级数学（上）分式单元测试 一、选择题 1. 下列各式：()222 1451, , , 532x x y x x x π---其中分式共有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2.下列计算正确的是（ ） A.m m m x x x 2=+ B.22=-n n x x C.3332x x x =? D.264x x x -÷= 3. 下列约分正确的是（ ） A ． 313m m m +=+ B ．2 12y x y x -=-+ C ． 1 23369+= +a b a b D ．()()y x a b y b a x =-- 4.若x 、y 的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（ ） … A.y x 23 B.223y x C.y x 232 D. 2 3 23y x 5.计算 x x -+ +11 11的正确结果是（ ） B.212x x - C.212x - D.1 2 2 -x 6. 在一段坡路，小明骑自行车上坡的速度为每小时V 1千米，下坡时的速度为每小时V 2千米， 则他在这段路上、下坡的平均速度是每小时（ ） A ． 2 2 1v v +千米 B ．2121v v v v +千米 C ．21212v v v v +千米 D ．无法确定 7. 某厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好按时完成，后因客户要求提前 5天交货，设每天应多做x 件，则x 应满足的方程为（ ） A ．x +48720─548 720 = B ．x +=+48720548720 C ． 572048720=-x D ．-48720x +48720 ＝5 8. 若0≠-=y x xy ，则分式 =-x y 1 1（ ） A ． xy 1 B ．x y - C ．1 D ．－1 ! 9. 已知 xy x y +＝1，yz y z +＝2，zx z x +＝3，则x 的值是（ ） 八年级数学上册复习提纲 第一章实数 1。 平方根和算术平方根的概念及其性质： (1) 概念：如果x 2 a ,那么x 是a 的平方根，记作： Ji ；其中 而叫做a 的算术平方根。 (2) 性质：①当a >0时，Ji > 0 ；当a v o 时，ja 无意义； ② 4a = a ;③ Va2 a 。 2。 立方根的概念及其性质： (1) 概念：若x 3 a ,那么x 是a 的立方根，记作：3a ； 一 .3 _ _ (2) 性质：①§a a ；②湿 a ；③^~a ^a 3。 实数的概念及其分类： (1) 概念：实数是有理数和无理数的统称； (2) 分类：按定义分为有理数可分为整数的分数；按性质分为正数、负数和零。无理数就是无限 不循环小数；小数可分为有限小数、无限循环小数和无限不循环小数；其中有限小数和无限循环 小数称为分数。(书上有图) 4。 无理数：无限不循环小数 算术平方根定义如果一个非负数 x 的平方等于a,即x 2 a 那么这个非负数x 就叫做a 的算术平方根，记为 石, 算术平方根为非负数 a 0 正数的平方根有 ￡个，它们互为相反数 平方根 0的平方根是 0 负数没有平方根 2. 无理数的表示 定义：如果一个数的平方等于 a,即x 2 a,那么这个数就 叫做a 的平方根，记为 焰 正数的立方根是正数 立方根 负数的立方根是负数 0的立方根是0 定义：如果一个数x 的立方等于a,即x 3 a,那么这个数x 就叫做 a 的立方根，记为 3 a. 5。与实数有关的概念： 在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义与有理数范围内的意义完全一致；在实数范围内， 有理数的运算法则和运算律同样成立。每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数 轴上的每一个点都表示一个实数，即实数和数轴上的点是 -------------------------------------- 对应的。因此，数轴正好可以被实 数填满。 概念有理数和无理数统称实数 …有理数, 分类十 苗皿或 无理数 绝对值、相反数、 倒数的意义同有理数 实数与数轴上的点是—对应 实数的运算法则、运算规律与有理数的运算法则 运算规律相同。 正数 0 负数 3.实数及其相关概念 1.1 分式 1.1.1分式的概念 （第1课时） 教学目标 1 了解分式的概念。 2 通过具体情境感受分数的基本性质并类比得出分式的基本性质。 3理解分式有意义的条件。 教学重点、难点： 重点：分式的概念和性质难点：理解分式的性质。 教学过程 一创设情境，导入新课 探究： 1把三个一样的苹果分给4位小朋友，每位小朋友分到多少苹果？你怎么分给他们？（交流讨论） （1）每位小朋友分3 4 （2）分法： ①每个苹果切成四个相等的小块，共12块，每人分3块，这3块占一个苹果的3 4 ②为了每个小朋友吃起来方便，每个苹果切成8块，共24块，每人分6块，这 六块占一个苹果的6 8 。 想想这两种分法分得的是否一样多？（36 = 48 ，即： 3326 == 4428 ? ? ）由此表明了什 么？ 分数的分子和分母都乘以或除以一个不等于零的数，分数的值不变。 分数的分子与分母约去共因数，分数的值不变。 这就是分数的基本性质。 2 (1)把上面问题变为：把3个一样的苹果分给n(m>0)位小朋友，每位小朋友分到多少苹果？ 用除法表示：3n ÷，用分数表示为：3 n ， 3 3n n ÷、相等吗？（ 3 3= n n ÷）这里的n 可以是实数吗？（n不能为0） (2) 33 4n 与有什么区别？（后者分母含有字母）我们把前者叫分数，后者叫分 式，什么叫分式呢？分式有没有和分数一样的性质？ 这节课我们来学习-----分式的基本性质。（板书课题） 二合作交流，探究新知 1 分式的概念填空： （1 ）如果小王用a元人民币买了b袋相同的瓜子，那么每袋瓜子的价格是______元。 （2）一个梯形木板的面积是6 2 m，如果梯形上底是am，下底是bm，那么这个梯形的高是________m. (3) 两块面积分别为a亩，b亩的稻田m kg，n kg，这两块稻田平均每亩产稻谷________kg. 观察多项式： 12 a m n b a b a b + ++ 、、这些代数式有什么共同点特点？（分子分母都是整 式，分母含有字母） 一般地，如果f、g分别表示两个整式，并且g中含有字母，那么代数式f g 叫分 式。 说明：分式的分子分母一般是多项式，单项式可以看成是只有一项的多项式。分母一定含有字母。 2 分式的基本性质 思考：33a 44a 与分式相等吗？ 2 2 a b a ab b 分式与分式相等吗？ 如果a≠0, 那么33a = 44a ,只要 2 2 a b a ab b 与都意义，那么 2 2 = a b a ab b 。 你认为分式和分数具有相同的性质吗？ 分式的分子和分母都乘以或除以一个不等非零多项式，分式值不变。分式的分子与分母约去共因式，分式的值不变。 用式子表示为：设h≠0,则f f h g g h ?= ? 湘教新版八年级上学期数学教学计划 一、指导思想： 以《初中数学新课程标准》为依据，全面推进素质教育。数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具，能够帮助人们处理数据、进行计算、推理和证明，数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象；数学为其他科学提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础；数学在提高人的推理能力、抽象能力、想像力和创造力等方面有着独特的作用；数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。内容的呈现应采用不同的表达方式，以满足多样化的学习需求。有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。由于学生所处的文化环境、家庭背景和自身思维方式的不同，学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。 二、学生的基本情况： 上学期学生学习了一元一次方程及其应用，二元一次方程组及其应用，整式的乘法，相交线与平行线以及统计的一些简单知识，学生数学上的计算能力、阅读理解能力、实践探究能力得到了发展与培养，对图形及图形间数量关系有初步认识，逻辑思维与逻辑推理能力得到了发展与培养，学生从形象思维到抽象思维的过渡阶段，抽象思维得到了较好的发展。绝大部分学生能够认真对等每次作业，及时纠正作业中的错误，课堂上能专心致至的进行学习和思考问题，学生学习数学的兴趣得到了激发与进一步的发展，但学习习惯上，学生的课前预习、课堂上记笔记的习惯培养得很不理想，应该在课堂上充分发挥学生的想象与思考，敢于大胆思考，课堂上就把时间有在思考问题上。本学期要思考如何克服课前预习、课堂上记笔记的弊端，发挥其有利的一面，学生对思考规律的小结，及时复习、总结上的习惯，还需要加强，课堂上专心致至的听讲，想在老师和同学的前面，及时纠正作业和试卷中的错误的习惯还需要加强，表扬和鼓励阅读与数学有关的课外读物，引导学生自主拓展和加深自己的知识的广度与深度；在学习方法上，一题多解，多题一解，从不同的角度看问题，从对称的角度思考问题，用不同的方法检验答案，需要加强训练与培养。 三、教材分析： 本学期的教学内容共计五章： 第十六章分式知识点和典型例习题 【知识网络】 【思想方法】 1．转化思想 转化是一种重要的数学思想方法， 应用非常广泛， 运用转化思想能把复杂的问题转化为 简单问题， 把生疏的问题转化为熟悉问题， 本章很多地方都体现了转化思想， 如，分式除法、 分式乘法； 分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、 同分母的分式加减法；解分式 方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等． 2．建模思想 本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际 问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历 “实际问题 ——— 分式方程模型 ——— 求解 ——— 解释解的合理性 ”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3．类比法 本章突出了类比的方法， 从分数的基本性质、 约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、 约分、 通分及分式的运算法则， 从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧， 无一不体现了类比思想的重要性， 分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程． 第一讲 分式的运算 【知识要点】 1. 分式的概念以及基本性质 ; 2. 与分式运算有关的运算法则 3. 分式的化简求值 ( 通分与约分 ) 4. 幂的运算法则 【主要公式】 1. 同分母加减法则 : b c b c a 0 a a a 2. 异分母加减法则 : b d bc da bc da a 0, c 0 ; a c ac ac ac 3. 分式的乘法与除法 : b ? d bd , b c b ? d bd a c ac a d a c ac 4. 同底数幂的加减运算法则 : 实际是合并同类项 5. 同底数幂的乘法与除法 m a nm+n mnm －n ; a ● =a ; a ÷ a =a 6. 积的乘方与幂的乘方 :(ab) m = a m b n , (a m ) n = a mn 负指数幂 : a -p = 1 p 7. a =1 湘教版八年级上农业教案完整版 第4章第1节农业 一、教学目标: 1、了解农业的概念、农业的五部门及其主要产品。 2、了解建国来我国农业发展的主要成就，我国农业在世界上的地位及目前存在的主要问题。 3、掌握我国主要粮食作物和经济作物及分布。 4、了解我国畜牧业的种类，初步掌握主要牧区的名称，了解其优良畜牧品种。 二、教学重点： 农业的概念、五部门；我国主要粮食作物和经济作物及分布； 我国畜牧业的种类，主要牧区的名称及优良畜种 三、教学难点： 我国主要粮食作物和经济作物及分布 四、教学方法： 多媒体综合教学法。 五、教学过程： 新课导人：同学们，大家都知道我国是世界四大文明古国之一。有人说，中国五千年的文明史，从某种意义上说，就是以农业发展为本的经济史。我国以占世界7％的耕地养活了占世界 22％的人口，并且基本解决了广大农民的温饱问题。这是举世公认的奇迹。你们知道什么是农业吗？你们又了解多少有关农业的知识？ 在屏幕上展示出课本中将农业含义分解的图片，引导学生思考：（1）狭义的农业是指什么？ （2）广义的农业包括哪些生产部门？ （3）农业的五个部门各生产哪些主要产品？ 设问；以下活动，哪些属于农业生产活动：A上山打野兔B野外采蘑菇C水塘养鱼（答案C） 让学生齐声朗读“历史悠久的中国农业”这段阅读材料。提问：读了这段文章之后，你对中国农业有什么认识？ 讲述“我国农业的发展”时，可按以下步骤进行： 1．问：我国农业是在汁么样的基础上发展起来的？（让学生观看一段旧中国农民逃荒讨米的录像资料，不要很长，一分钟左右。） 2．提问：近20多年来，我国主要粮食的产量变化情况如何？（在屏幕上展示“中国稻谷、小麦产量的变化”图，或让学生阅读课本上的该图。） 3．查找资料，让学生对比我国主要农产品的人均占有量与世界人均占有量。 4．播放录像或展示图片：春节前的农贸市场、农民居住的小楼房、农民的新生活等。 小结：新中国成立以来，特别是实行改革开放政策以来，我国农业得到了突飞猛进的发展。农产品的产量大幅度增长，主要农产品的人均占有量已达到或接近世界平均水平。我国用占世界7％的耕地，养活了占世界21％的人口，这是举世公认的奇迹。广大农民不仅基本上解决了温饱问题，而且正在向小康水平迈进，一些较发达的农村已达到富裕水平。 承转：我们都知道，建国以来，我国的耕地面积没有增加，甚至还有所减少，为什么农产品的产量能大幅度增长呢？（单位面积产量大大提高。） 提问：为什么单位面积产量能大大提高呢？ 展示：“中国农业基础设施的发展”图。然后小结：建国以来我国对农业的投人逐步增加，农业生产条件日益改善。此外，生物技术的发展，管理水平的提高，都使我国农业的单位面积产量大大提高。 在讲述“我国农业生产的地区分布趋于合理”时，可从有关媒体上查找一些具体资料和图片，展示给学生，让学生形成真实而具体的感受。 承转：建国以来，我国农业的发展取得了巨大的成就，但还存在一些问题。 2．展示图片：“水稻收割”、‘小麦收割”。让学生判断：哪一幅反映的是北方粮食作物的收割情况？哪一幅反映的是南方粮食作物的收割情况？并说出判断的理由。 3．设问：城市居民所食用的粮食是在城市生产的吗？（学生回答：不是。）那么你们认为是什么地方生产的呢？（学生的回答可能多样，教师略作解释，让学生初步了解商品粮基地的概念。） 2014—2015学年八年级数学（上）周末辅导资料（16） 德尔教育培训中心 学生姓名： 得分： 一、复习巩固： 计算：（1）x x x x x x 39622-?+-- （2）4 222 2a b a a ab ab a b a --÷+- 二、知识点梳理： 1、乘法：把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。 2、除法：除以一个分式，把除式的分子和分母颠倒后与被除式相乘。 3、加减法： （1）同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减． c b a c b c a ±=± （2）异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.b d bc ad bd bc bd ad d c b a ±=±=± 4、分式的乘方：把分式的分子和分母分别乘方。 例1：计算： （1）﹣ （2）1111322+-+--+a a a a 【课堂练习1】 计算：（1） m m -+-329122 （2）y x y xy y x 223 +++- 例2：计算： （1） （2）（x ﹣）÷ 例3：先化简，再求值： （1）（1﹣）÷，其中a=﹣1． （2）÷（x+1﹣），其中x=﹣2． 例4：已知：的值。 求y xy x y xy x y x 525232,511+++-=+ 三、巩固练习： 1、（- 3a b ）÷6ab 的结果是（ ） A ．-8a 2 B ．-2a b C ．-218a b D ．-212b 2、已知2231x a b x x x x -=+++，其中a 、b 为常数，则a －b 的值为（ ） A 、－8 B 、8 C 、－1 D 、4 3、计算：333a a a a ??- ?-+??×29a a -＝（ ） A.a +12 B.2a －12 C. a －12 D.2a +12 4、（-2 b m ）2n+1的值是（ ） A ．2321n n b m ++ B ．-2321n n b m ++ C ．4221n n b m ++ D ．-42 21n n b m ++ 5、如果（3 2a b ）2÷（3a b ）2=3，那么a 8b 4等于（ ） A ．6 B ．9 C ．12 D ．81 6、若4173222=++y y ，则1 6412-+y y 的值为（ ） A 、1 B 、－1 C 、71- D 、51 7、计算：（1）22121a a a -++÷21 a a a -+ （2）2 1x x - - x - 1． （3）1 11222+++-+-a a a a a a （4） 本学期总第6 课时本单元第 6 课时授课日期9.13 课题第二章第1节中国的人口（2）课型新授 教学目标1、通过讲授我国人口的数量、分布及增长，让学生了解我国人口的基本情况。 2、知道我国人口基数大、增长快及给我国社会经济发展带来的压力，增加学生的危机感。 3、知道实行计划生育政策是解决我国人口问题行之有效的措施，培养学生的社会责任感。 重 点 难点1、中国人口分布特点及原因 2、中国人口过快增长及其带来的问题。 教具《人国人口的增长》挂图 教法充分利用教具、幻灯片、教材插图。 教学过程 步骤教师活动学生活动时 间 一二复习： 1、我国人口数量 2、我国人口分布特点 （导入）我国人口不仅数量大， 而且人口增长也快，为给我国带 来了一系列的问题。 人口增长过快及带来的问题： 1、我国人口的突出特点 （1）人口基数大 （2）人口增长快 2、放后人口增长快的主要原因 （1）医疗条件逐步改善，生活水 平不断提高，人口平均寿命延长， 死亡率下降 （2）出生率较高 2000年12、95亿占世界21% 东南多、西北少 学生自读课本内容，总结目 前我国人口的特点 我国人口增长的三个阶段 5 30 步骤教师活动学生活动时 间 三四3、人是生产者，也是消费者，人 口增长快带来的负担 实行计划生育是基本国策 1、人口数量的增长要同经济的发 展和资源、环境的承载量相适应 2、我国的人口政策：控制人口数 量、提高人口素质 具体要求：晚婚、晚育、少生、 优生。 总结： 由于我国实行了计划生育政 策，才及时地扭转了我国人口增 长过快的势头。虽然计划生育的 成绩是明显的，产生的经济效益 也是巨大的，但是，由于我国人 口基数大，每年净增长的人口仍 在千亏以上，所以，实行计划生 育工作丝毫不能放松。 俗话说“人多力量大”，那为 什么我国还要实行计划生育 政策？ 思考： 为什么我国把实行计划生育 作为一项基本国策？ 5 板书设计： 第二章第1节中国的人口 四、人口增长过快及带来的问题。 1、人口增长特点 2、带来的问题 五、实行计划生育是基本国策 1、目标 2、基本内容 3、具体要求教后记： 本节紧接上一节课的内容，主要说明我国人口的突出特点，人口基数大，人口增长快，以及人口政策，需要记忆的内容较多，但学生能够在课堂上掌握起来。 湘教版数学 八年级上册教案全册 湖南省安化县羊角塘镇中学瞿忠仪编写制作 邮编：413501 邮箱：quzhongyi1958@https://www.360docs.net/doc/0b4542272.html, 1．1平方根（第1课时） 【教学目标】 1、了解平方根的概念，会用根号表示平方根。 2、 了解开方与乘方互逆运算，会用求某些非负数的平方根。 3、 发展学生的符号语言。 【教学重点难点】了解开方与乘方互为逆运算，能熟练地用平方根求某些非负数的平方根 【教学方法】观察、比较、合作、交流、探索. 【设计思路】本节课通过问题情景使学生在计算、探索、交流的过程中能感悟到平方根的意义，并且能够知道正负数以及0的平方根的规律。 【教学过程】 （一）创设情景，感悟新知 情景一：在等式a x =2中 ， （1） 已知3-=x ，你能求a 吗？ （2） 已知5=a ，你能x 求吗？ （二）探索规律，揭示新知 问题一：认真观察下面的式子，积极思考，互相讨论： .25.0)5.0(,25.05.0,9 1)31(,91)31(, 4)2(,42222222=-==-==-= 请你举例与上面的式子类同的式子； 你得到什么结论？ （分小组讨论，老师适当参与给予帮助。） 如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做的a 平方根(square root),也称为二次方根。 如果a x =2，那么x 就叫做a 的平方根。 【设计说明：所选的题目都具有代表性，学生通过做题后思考讨论交流，能够较好接受平方根的概念】 问题二：在下列各括号中能填写适当的数使等式成立吗？如果能够，请填写；如果不能，请说明理由，并与同学交流。 )(()()()()()()().4,0,10,5;2 1,41,25,922222222-======== 一个正数的平方根有2个，它们互为相反数。 一个正数a 的正的平方根，记作“a ”，正数a 的负的平方根记作“a -”。 这两个平方根合起来记作“a ±”，读作“正，负根号a ”. 【设计说明：通过对具体的数的平方根的讨论交流，使学生自己总结出正数、0、负数的平方根的情况，让学生经历探索规律的过程，加深对规律的理解】 问题三：从问题二中，你得到了什么结论？ 【设计说明：在讨论的过程中，不同层次的学生可能会遇到不同的 2x＋6 5 ———＝——— x2＋x 3x＋3 1 1 3 —－———＝———4 4x＋1 8x＋2 6 ———＋a＝7 x＋5 m 2 —－———＝0 x x＋3 30 90 ———＝———40＋v 70－v 1 8 —＝—— x x＋6 1 7 ———＝———x＋6 x－6 2 9 ———＝— x＋1 x x 6 ———＋7＝———————x－5 (x－5)(x－3) 3 7 —＝—— 6x x＋7 x 9 ———＝————－6 x－3 3x＋12 7 8 ———＝——— x＋3 x2－9 8 4 ———＝———x2－7x x2＋7x 1 1 1 —＋—＋——＝3 4 5 2x 70 70 ———＝———30＋v 70＋v 9 8 —＝—— x x－5 x 5 ———＝———－4 x＋2 3x＋6 4 2 ———＝————6x－1 36x2－1 6 9 ———－———＝4 x2＋9x x2－9x x x＋8 ———＝——— x＋2 x－1 x＋6 4 ———－4＝———x＋2 2＋x 3x－3 6 ———＝——— x2－x 4x－4 1 2 5 —－———＝———2 2x－3 4x－6 8 ———＋a＝2 x－7 m 8 —＋———＝0 x x＋9 60 30 ———＝———40－v 60－v 5 6 —＝—— x x＋9 5 9 ———＝———x＋3 x＋3 5 8 ———＝— x－4 x x 4 ———＋4＝———————x＋9 (x－9)(x－5) 4 6 —＝—— 6x x－4 x 9 ———＝————＋4 x＋3 3x－15 学习目标： 1、理解分式的乘除法法则 2、会进行分式乘除运算 学情分析： 本班共有39名学生，男26、女23名。其中有29名为留守儿童，由于父母不在家，缺少家庭教育。在家很懒散，学习基础不太好。学生毕竟还小，通过教育，他们还是能够去克服一些不足。60%的学生对学习 还是很感兴趣的，能主动的去学习新知识。30%的学生没有自学的主动性，只是在老师的引导下去学习， 而且是10%的学生对学习无所谓，不太乐于学习。这主要究其于基础差，丧失自信，再加上缺少家庭教育。学习重点：会用分式乘除法则进行运算 学习难点：灵活运用分式乘除法则进行运算 一、学前准备 1、两个分式相乘，分子的积作为积的________________ ，分母的积作为积的 ______________ ，用式子表示为 b d bd _ ' _ = ____ a c ac 2、分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式 ________________________ ，用式子表示为 b d b c be a c a d ad 二、独立探究、解决问题 3x - 6 x 2 x2 - 4 x2 4x 4 2、已知m米布料能做n件上衣，2米布料能做3n条裤子，则一件上衣的用料是一条裤子用料的______________ 倍。 三、同类演练： 1、下列分式中，最简分式是（） x 2y x + 1x 3x A 1. B、 2 人2 x - 4y C 、2 D 、 2x2+ 4x+ 2 2 x 1521 分式的乘除 4x 仁计算（1）5y y 2x3 吐，- 5a4b2 3c26cd (3)(- ') x (4)湘教版新版八年级上册数学教案全册
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