动态规划专题(六)：树型动态规划

动态规划专题（六）：树型动态规划

（重庆巴蜀中学黄新军）

信息学竞赛中通常会出现这样的问题：给一棵树，要求以最少的代价（或取得最大收益）完成给定的操作。有很多问题都是在树和最优性的基础上进行了扩充和加强，从而变成了棘手的问题。这类问题通常规模较大，枚举算法的效率无法胜任，贪心算法不能得到最优解，因此要用动态规划解决。

和一般动态规划问题一样，这类问题的解决要考虑如下三步：

1、确立状态：几乎所以的问题都要保存以某结点为根的子树的情况，但是要根据具体问题考虑是否要加维，加几维，如何加维。

2、状态转移：状态转移的变化比较多，要根据具体问题具体分析，这也是本文例题分析的重点。

3、算法实现：

由于模型建立在树上，即为树型动态规划。

【例题1】二叉苹果树

【问题描述】

有一棵苹果树，如果树枝有分叉，一定是分2叉(就是说没有只有1个儿子的结点)，这棵树共有N个结点(叶子点或者树枝分叉点)，编号为1-N,树根编号一定是1。

我们用一根树枝两端连接的结点的编号来描述一根树枝的位置。下面是一颗有4个树枝的树：

现在这颗树枝条太多了，需要剪枝。但是一些树枝上长有苹果。给定需要保留的树枝数量，求出最多能留住多少苹果。

【文件输入】

第1行2个数，N和Q(1<=Q<=N,1

【文件输出】

输出文件仅一个数，表示最多能留住的苹果的数量。

【样例输入】

5 2

1 3 1

1 4 10

2 3 20

3 5 20

【样例输出】21

【思路点拨】

由题意可知，需要保留的树枝数量为Q条，即保留结点t=Q+1个。树根必须保留，可以分三种情况讨论保留苹果的最大数。

①树根的左子树为空，全部保留右子树，右子树中保留t-1个结点；

②树根的右子树为空，全部保留左子树，左子树中保留t-1个结点；

③树根的两棵子树都为非空，设左子树保留k个结点，则右子树保留t-k-1个结点。

要得到保留树根时的苹果最大数，只需要求上述三个方案中的最大值。设树根为V，左儿子为ch[v,1],右儿子为ch[v，2]，对于①方案，要取得该方案的最大值，需要取得以ch[v，2]为根，保留t-1个结点的最大值。这时同样具有上述三种方案。其他②③情况同理；由此可以看出，该问题具有明显的最优子结构性质，每个问题都与左右儿子结点有关系，但不与孙子结点发生关系，具备无后效性；且计算方案时，搜索子结构时具备重叠性，所以可以用动态规划来解决。

阶段和状态：f[v，t]：表示以v为根的树上保留t个节点的最大权值和。设ch[v，1],ch[v，2]分别存v节点的左右孩子。

状态转移方程：

f[v,t]=max{f[ch[v,1]][i]+f[ch[v,2]][t-i-1]+num[v]}(0<=i<=t-1)

初始化：f[v,t]=0,(t=0)；

f[v,t]=num[v]；(ch[v,1]=0且ch[v,2]=0)

Answer=f[1,t]；

【例题2】加分二叉树（NOIP2003）

【问题描述】

设一棵n个结点的二叉树tree的中序遍历为（l,2,3,…,n），其中数字1,2,3,…,n为结点编号。每个结点都有一个分数（均为正整数），记第i个结点的分数为di，tree及它的每个子树都有一个加分，任一棵子树subtree（也包含tree本身）的加分计算方法如下：subtree的左子树的加分×subtree的右子树的加分＋subtree的根的分数

若某个子树为空，规定其加分为1，叶子的加分就是叶结点本身的分数。不考虑它的空子树。

试求一棵符合中序遍历为（1,2,3,…,n）且加分最高的二叉树tree。要求输出；

（1）tree的最高加分

（2）tree的前序遍历

【输入格式】

第1行：一个整数n（n<30），为结点个数。

第2行：n个用空格隔开的整数，为每个结点的分数（分数<100）。

【输出格式】

第1行：一个整数，为最高加分（结果不会超过4,000,000,000）。

第2行：n个用空格隔开的整数，为该树的前序遍历。

【输入样例】

5

5 7 1 2 10

【输出样例】

145

3 1 2

4 5

【思路点拨】

本题已经说明了问题的模型是一棵树，而且是一棵中序遍历为1,2,3,…,n的二叉树。而对于一棵中序遍历为1,2,3,…,n的二叉树有很多种形式，对于样例，下图就列出了3种形式，而按题意，第三种形式得到的得分最大。

性质：中序遍历是按“左-根-右”方式进行遍历二叉树，因此二叉树左孩子遍历序列一定在根结点的左边，右孩子遍历序列一定在根结点的右边！

因此，假设二叉树的根结点为k，那么中序遍历为1,2,…,n的遍历序列，左孩子序列为1,2,…,k-1，右孩子序列为k+1,k+2,…,n，如下图：

我们思考的方式变为，要使得整棵树最优，必须左孩子和右孩子都最优，因此设f[i][j]表示以结点i,i+1,i+2…,j组成的二叉树所得的最大加分；设根为k，则枚举根结点。d[k]表示k结点的最大分值；故有：

f[i,j]=max{f[i,k-1]*f[k+1,j] +d[k]};（1<=i<=k<=j<=n）

初始条件：f[i,i]=d[k]

Answer=f[1,n]

时间复杂度：O(n3)

题目还要求输出最大加分树的前序遍历序列，因此要构造这个树，我们只需记录每次的决策值，令p[i,j]=k，表示中序遍历为i,i+1,…,j的二叉树的取最优决策时的根结点为k，最后前序遍历这个树即可。

【例题3】选课（CTSC1997）

【问题描述】

大学里实行学分。每门课程都有一定的学分，学生只要选修了这门课并考核通过就能获得相应的学分。学生最后的学分是他选修的各门课的学分的总和。

每个学生都要选择规定数量的课程。其中有些课程可以直接选修，有些课程需要一定的基础知识，必须在选了其他的一些课程的基础上才能选修。例如，《数据结构》必须在选修了《高级语言程序设计》之后才能选修。我们称《高级语言程序设计》是《数据结构》的先修课。每门课的直接先修课最多只有一门。两门课也可能存在相同的先修课。为便于表述每

。下面举例说明：

上例中1是2的先修课，即如果要选修2，则1必定已被选过。同样，如果要选修3，那么1和2都一定已被选修过。

学生不可能学完大学所开设的所有课程，因此必须在入学时选定自己要学的课程。每个学生可选课程的总数是给定的。现在请你找出一种选课方案，使得你能得到学分最多，并且必须满足先修课优先的原则。假定课程之间不存在时间上的冲突。

【文件输入】

输入文件的第一行包括两个正整数M，N(中间用一个空格隔开)，其中M表示待选课程总数(1<=M<=1000)，N表示学生可以选的课程总数(1<=N<=M)。接下来M行，每行代表一门课，课号依次为1,2,…,M。每行有两个数(用一个空格隔开)，第一个数为这门课的先修课的课号(若不存在先修课则该项为0)，第二个数为这门课的学分。学分不超过20的正整数。【文件输出】

输出文件只有一行为一个数，即实际所选课程的学分总数。

【样例输入】

7 4

2 2

0 1

0 4

2 1

7 1

7 6

2 2

【样例输出】

13

【思路点拨】

本题与二叉苹果树的显著区别为输入数据是森林或一颗普通有序树，相对于二叉树来说，更复杂些。对于此情况，可以把森林或普通有序树转换成二叉树，再进行DP设计。

下面分两个步骤来分析此问题：

（1）转换树。输入数据为一棵普通有序树或者森林，根据树的转换规则，把右子树转换成左子树的右儿子，或者右边的一棵树转换成左边树根的儿子。

cin>>n>>m;

for(i=1;i<=n;i++)

{ cin>>k>>v;

a[i].value=v;

if(son[k]==0)a[k].left=i;

else a[son[k]].right=i;

son[k]=i;

}

（2）树上的动态规划创建。以结点i为阶段，以选的课程数j为状态，以到达叶子结点为边界，以每个结点能取得的最高得分为决策，在整棵树上的决策构成一个决策序列。用f[i][j]表示结点i为根的子树中取j门课程的最高得分，对树型结构分2种情况进行动态规划设计。

①由于是普通有序树或森林转换成的二叉树，所以需要对右子树进行特殊处理。当只有右子树时，此时i结点不能选，只能选择i结点的右子树，即选择课程数为j。所以此时的状态转移方程为：f[i][j]=f[i.r,j]。

②由于要选择左子树时，树根必须选择，所以可以把只有左子树和左右子树都有两种合并起来进行考虑，得到动态规划方程为：f[i][j]=max{f[i.l][k]+f[i.r][j-k-1]+a[i]}(0<=k<=j-1) 最后取①②两种情况中的最大值，即可得到在i结点处取j门课程的最大值。

时间复杂度：O(n2m)

【例题4】数字转换

【问题描述】

如果一个数x的约数和（不包括它本身，下同）比它本身小，那么x可以变成它的约数和；如果对于某个y>x且y的约数和为x，那么x也可以变成y。例如，4可以变为3，1可以变为7。限定所有的数字变换在不超过n的正整数范围内进行，求不断进行数字变换且没有重复数字出现的最多变换步数。

【文件输入】

输入一个正整数n

【文件输出】

输出不断进行数字变换且没有重复数字出现的最多变换步数。

【样例输入】

7

【样例输出】

3

【样例说明】

一种方案为：4→3→1→7。

【数据范围】n<=50 000。

【思路点拨】

先预处理出每个数的约数，然后很明显就是求树的最长链问题。

一棵有根树的最长链，可能出现如下图的两种情况：

对于每个结点我们都要记录两个值：d1[i]表示以i为根的子树中，i到叶子节点的距离最大值；d2[i]表示以i为根的子树中，i到叶子节点的距离次大值；令j是i的儿子。则：

①若d1[j]+1>d1[i]，则d2[i]=d1[i]; d1[i]=d1[j]+1;

②否则，若d1[j]+1>d2[i]，则d2[i]=d1[j]+1;

最后扫描所有的结点，找最大的d1[i]+d2[i]的值。

【例题5】战略游戏

【问题描述】

Bob喜欢玩电脑游戏，特别是战略游戏。但是他经常无法找到快速玩过游戏的办法。现在他有个问题。

他要建立一个古城堡，城堡中的路形成一棵树。他要在这棵树的结点上放置最少数目的士兵，使得这些士兵能瞭望到所有的路。

注意：某个士兵在一个结点上时，与该结点相连的所有边将都可以被瞭望到。

请你编一程序，给定一树，帮Bob计算出他需要放置最少的士兵。

【文件输入】

输入文件中数据表示一棵树，描述如下：

第一行N，表示树中结点的数目。

第二行至第N+1行，每行描述每个结点信息，依次为：该结点标号i，k(后面有k条边与结点I相连)，接下来k个数，分别是每条边的另一个结点标号r1，r2，...，rk。

对于一个n(0

【文件输出】

输出文件仅包含一个数，为所求的最少的士兵数目。

【样例输入】

4

0 1 1

1 2 2 3

2 0

3 0

【样例输出】

1

【思路点拨】

按照要求构建一张关系图，可见这是一棵树。对于这类最值问题，向来是用动态规划求

解的。

任何一个点的取舍可以看作一种决策，设f[i,1]表示i点放士兵时，以i为根的子树需要的最少士兵数目；f[i,0]表示i点不放士兵时，以i为根的子树需要的最少士兵数目。

当点i不放时，则它的所有儿子都必须放，即f[i,0]=f[i,0]+f[j,1]；其中j为i的儿子。

当点i放时，则它的所有儿子放与不放无所谓，但应该取两种情况的最大值。即f[i,1]=f[i,1]+max(f[j,1],f[j,0])；其中j为i的儿子。

初始条件：f[i,0]=0;f[i,1]=1

【例题6】皇宫看守

【问题描述】

太平王世子事件后，陆小凤成了皇上特聘的御前一品侍卫。

皇宫以午门为起点，直到后宫嫔妃们的寝宫，呈一棵树的形状；某些宫殿间可以互相望见。大内保卫森严，三步一岗，五步一哨，每个宫殿都要有人全天候看守，在不同的宫殿安排看守所需的费用不同。

可是陆小凤手上的经费不足，无论如何也没法在每个宫殿都安置留守侍卫。

编程任务：帮助陆小凤布置侍卫，在看守全部宫殿的前提下，使得花费的经费最少。【文件输入】

输入文件中数据表示一棵树，描述如下：

第1行n，表示树中结点的数目。

第2行至第n+1行，每行描述每个宫殿结点信息，依次为：该宫殿结点标号i(0

对于一个n(0

【文件输出】

输出文件仅包含一个数，为所求的最少的经费。

【样例输入】

6

1 30 3

2

3 4

2 16 2 5 6

3 5 0

4 4 0

5 11 0

6 5 0

【样例输出】25

【分析样例】

该图有6个区域如图1，安排情况如图2，红色点为安排了警卫。

2号警卫可以观察1，2，5，6；3号警卫可以观察1，3； 4号警卫可以观察1，4； 费用：16+5+4=25

【试题分析】

本题已知模型是一棵树，因此我们试着用树形动态规划来解决。对于本题，每个安全结点i ，都有3种状态分别为：

①要么在父亲结点安排警卫，即被父亲看到

②要么在儿子结点安排警卫，即被儿子看到

③要么安排警卫

设 f(i,0)表示i 结点被父亲看时，以i 为根的子树需要安排的最少士兵；

f(i,1)表示i 被它的儿子看时，以i 为根的子树需要安排的最少士兵；

f(i,2)表示在i 安排警卫时，以i 为根的子树需要安排的最少士兵；

现在只需针对这三种状态，设计出状态转移方程。

①对于f(i,0)，表示i 被父亲看到，这时i 没有安排警卫，i 的儿子要么安排警卫，要么被它的后代看到，所以有：

∑==的儿子数

i k i f k i f i f 1

k ]}2,.[],1,.[min{]0,[

②对于f(i,1)，表示i 被儿子看到，即i 的某个儿子安排了警卫，其他儿子需要安排警卫或者被它的后代看到，所以有：

d ]}2,.[],1,.[min{]1,[1

k +=∑=的儿子数

i k i f k i f i f

其中]}}2,.[],1,.[min{]2,.[min{k i f k i f k i f d -=

③对于f(i,2)，表示i 安排了警卫，i 的儿子可以安排警卫，也可以被i 的儿子的儿子看守，还可以被父亲看守，所以有：

a [i ]

]}2,.[],1,.[],0,.[min{]2,[1

k +=∑=的儿子数

i k i f k i f k i f i f

时间复杂度O(N2)

【总结】

树型动态规划有一个共性，那就是它的基本模型都是一棵树或者森林，为了考虑方便，一般情况下都将这个树或森林转化为二叉树（如选课），然后整个问题的最优只会涉及到左右子树的最优情况，然后考虑根结点的情况，这样简化了问题，最终很容易写出状态转移方程，从而问题轻松得到解决。

另外，并不是所有的问题一定要转化为二叉树来解决（如战略游戏和皇宫看守），要仔细思考的就是每个结点有些什么状态，这些结点的状态与父、子结点的状态有什么联系，也就是如何由子结点的最优值推出父节点的最优值(即状态转移方程)。