二次方程根的分布和二次函数在闭区间上的最值归纳[1]
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二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳
1、一元二次方程
02=++c bx ax 根的分布情况 设方程()2
00ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，
方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）
表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）
k k k
根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）
需满足的条件是
（1）0a >时，()()00f m f n
0f m f n >???>??
对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：
1? 若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n < 不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，
可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。如方程()2220mx m x -++=在区间()1,3上有一根，因为()10f =，所以()()()2
2212mx m x x mx -++=--，另一根为
2m
，由2
13
m <<得
2
23
m <<即为所求； 2? 方程有且只有一根，且这个根在区间()n m ,内，即0?=，此时由0?=可以求出参数的值，然后再将参数
的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程
24260x mx m -++=有且一根在区间()3,0-内，求m 的取值范围。分析：①由()()300f f -< 即
()()141530m m ++<得出15314m -<<-；②由0?=即()2164260m m -+=得出1m =-或3
2m =，当
1m =-时，根()23,0x =-∈-，即1m =-满足题意；当32m =
时，根()33,0x =?-，故3
2
m =不满足题意；综上分析，得出15
314
m -<<-或1m =-
根的分布练习题
例1、已知二次方程()()2
21210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。
解：由 ()()2100m f +< 即 ()()2110m m +-<，从而得1
12
m -<<即为所求的范围。
例2、已知方程()2
210x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围。
解：由
()()0102200m f ?>?
?-+?->??>??
? ()218010m m m m ?+->?>-?
?>? ?
330m m m ?<->+?
?>???
03m <<-
3m >+
例3、已知二次函数()()()222433y m x m x m =+-+++与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m 的取值范围。
解：由 ()()210m f +< 即 ()()2210m m ++< ? 1
22
m -<<即为所求的范围。
例4、已知二次方程()22340mx m x +-+=只有一个正根且这个根小于1，求实数m 的取值范围。 解：由题意有方程在区间()0,1上只有一个正根，则()()010f f < ? ()4310m +< ? 1
3
m <-即为所求范围。
（注：本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在()0,1内，由0?=计算检验，均不复合题意，计算量稍大）
2、二次函数在闭区间[]n m ,上的最大、最小值问题探讨
设()()002>=++=a c bx ax x f ，则二次函数在闭区间[]n m ,上的最大、最小值有如下的分布情况：
（1）若[]n m a b ,2∈-
，则()()()????????? ??-=n f a b f m f x f ,2,max max ，()()()?????????
??-=n f a b f m f x f ,2,min min ； （2）若[]n m a
b
,2?-
，则()()(){}n f m f x f ,max max =，()()(){}n f m f x f ,min min = 另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开对称轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开对称轴轴越远，则对应的函数值越小。
二次函数在闭区间上的最值练习
二次函数在闭区间上求最值，讨论的情况无非就是从三个方面入手：开口方向、对称轴以及闭区间，以下三个例题各代表一种情况。
例1、函数()()2
220f x ax ax b a =-++≠在[]2,3上有最大值5和最小值2，求,a b 的值。
解：对称轴[]012,3x =?，故函数()f x 在区间[]2,3上单调。
（1）当0a >时，函数()f x 在区间[]2,3上是增函数，故()()()()max min
32f x f f x f ?=??=?? ? 32522a b b ++=??+=? ? 10a b =??=?； （2）当0a <时，函数()f x 在区间[]2,3上是减函数，故()()()()
max min 23f x f f x f ?=??
=?? ? 25322b a b +=??++=?? 13a b =-??=?
例2、求函数()[]221,1,3f x x ax x =-+∈的最小值。 解：对称轴0x a =
（1）当1a <时，()min 122y f a ==-； （2）当13a ≤≤时，()2min 1y f a a ==-； （3）当3a >时，()min 3106y f a ==-
改：1．本题若修改为求函数的最大值，过程又如何？
解：（1）当2a <时，()()max 3106f x f a ==-； （2）当2a ≥时，()()max 122f x f a ==-。
2．本题若修改为求函数的最值，讨论又该怎样进行？
解：（1）当1a <时，()()max 3106f x f a ==-，()()min 122f x f a ==-；
（2）当12a ≤<时， ()()max 3106f x f a ==-，()()2min 1f x f a a ==-； （3）当23a ≤<时，()()max 122f x f a ==-，()()2min 1f x f a a ==-； （4）当3a ≥时， ()()max 122f x f a ==-，()()min 3106f x f a ==-。
例3、求函数2
43y x x =-+在区间[],1t t +上的最小值。
解：对称轴02x =
（1）当2t <即2t >时，()2
min 43y f t t t ==-+；
（2）当21t t ≤≤+即12t ≤≤时，()min 21y f ==-；
（3）当21t >+即1t <时，()2
min 12y f t t t =+=-
例4、讨论函数()2
1f x x x a =+-+的最小值。
解：()22
21,11,x a
x x a f x x x a x a x x a ≥?+-+=+-+=?<-++?
，这个函数是一个分段函数，由于上下两段上的对称轴分别为
直线12x =-
，12x =，当12a <-，1122a -≤<，1
2
a ≥时原函数的图象分别如下（1），（2），（3）
因此，（1）当
1
2
a<-时，()min13
24
f x f a
??
=-=-
?
??
；
（2）当
11
22
a
-≤<时，()()2
min
1
f x f a a
==+；
（3）当
1
2
a≥时，()min13
24
f x f a
??
==+
?
??
二次函数根的分布专题
一元二次方程根的分布专题 一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用。下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的充要条件及其运用。 一．一元二次方程根的基本分布——零分布 所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。 设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个不等实根为1x ，2x ①方程有两个不等正根 ??? ? ? ? ??? >=>-=+>-=?>>00040,0212 1221a c x x a b x x ac b x x ②方程两根一正一负 ：0021<<=<-=+>-=?<<00040,02121221a c x x a b x x ac b x x 即时应用： (1)若一元二次方程 0)1(2)1(2 =-++-m x m x m 有两个不等正根，求m 的取值范围。 (2)k 在何范围内取值，一元二次方程0332 =-++k kx kx 有一个正根和一个负根？
二、一元二次方程的非零分布——k分布 设一元二次方程20(0) ax bx c a ++=>的两不等实根为1x，2x，k为常数。则一元二次方 k1x2x k 根 的 分 布 ① 12 x x k② 12 k x x③ 12 x k x 图 象 充 要 条 件 2 b k a f k 2 b k a f k f k 根 的 分 布 ④ 1122 k x x k⑤ 11223 k x k x k⑥两根有且仅有一根在 12 ,k k内 图 象 充 要 条 件 1 2 12 2 f k f k b k k a 1 2 3 ()0 ()0 ()0 f k f k f k 12 f k f k 或 1 12 1 ()0 22 f k k k b k a 或 2 12 2 ()0 22 f k k k b k a k k k 2 k 1 k 2 k 1 k 3 k 2 k 1 k
二次方程根的分布情况归纳完整版
次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳 9 元二次方程ax + bx + C = 0根的分布情况 设方程ax 2 +bx +c =O （a H O ）的不等两根为X |, X 2且X 1 < X 2，相应的二次函数为 f （x ）=ax 2 +bx + c = 0，方程的 根即为二次函数图象与 X 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件） 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况） 分布情况 两个负根即两根都小于 0 (X j <0, X 2 <0 ) 两个正根即两根都大于 0 (为 >0,X 2 A O ) 一正根一负根即一个根小于 0, 一个大于 0(X i V Oc X 2 ) 大致图象（> a 得出的结论 A >0 f (0 )>0 A >0 存0 f (0 )>0 f (0)v 0 O 大致图象（V a 得出的结论 △ >0 A >0 舌。 l f (0)<0 占。 ”（0）<0 f (0)A 0 综合结论（不讨论 a o < b a 计(0)< 0
表二：（两根与k 的大小比 较） 分布情况 两根都小于k 即 ( >0 ) yJ \ / / ■ k K a 得 出的结论 o > A - 两根都大于k 即 X i A k, X 2 A k o > A - 一个根小于k ，一个大于k 即 x , < k < X 2 y l I \ k 八 J “ f (k )v 0 o 大致图象（< a 得出的结论 O > A - I A>0 t^>k 2a f (k )<0 f (k )>0 综合 结论（不讨论 a △ >0 」
处理一元二次方程根的分布问题的一般方法
数形结合处理二次方程根的分布问题的一般方法 设f(x)=a x 2 +bx+c(a ≠0),则f(x)=0即一元二次方程的实根分布问题，可依照三个二次间的关系按下述步骤解决： ⑴画出符合题设要求（即f(x)=0的实根分布情形）的所有不同类型的抛物线； ⑵分析概括上述抛物线的图形特征并将它转化为相应的不等式组（分别从开口方向， 与x 轴的交点，对称轴，端点与特殊点位置等角度综合考虑）； ⑶简化上述不等式组并求解，以得到原问题的解答。 附:有关二次方程a x 2 +bx+c=0(a ≠0)实根分布问题的数与形对应结论（设f(x)=a x 2 +bx+c) 设方程()2 00ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为 ()2 0f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下 面各表（每种情况对应的均是充要条件） 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况） 分 布情况 两个负根即两根都小于0 ()120,0x x << 两个正根即两根都大于0 ()120,0x x >> 一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x << 大致图象 a>0 a<0 得 出的结论 ()00200 b a a f ?>?? ? -?? ()00200 b a a f ?>?? ? ->???>?? ()00
表二：（两根与k 的大小比较） 分 布情况 两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即 21x k x << 大致图象（0>a ） 得 出的结论 ()020 b k a f k ?>???- ?? ()020 b k a f k ?>???- >??>?? ()0 一元二次方程02 =++c bx ax 根的分布情况 设方程()2 00ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=， 方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件） 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况） 分 布情况 两个负根即两根都小于0 ()120,0x x << 两个正根即两根都大于0 ()120,0x x >> 一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x << 大致图象（ >a ） 得出的结论 ()00200b a f ?>??? -?? ()0 0200 b a f ?>??? ->??>?? ()00 分 布情况 两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即 21x k x << 大致图象（ >a ） 得出的结论 ()020b k a f k ?>??? -?? ()0 20 b k a f k ?>??? ->??>?? ()0 一、 知识要点 1、 利用Δ与韦达定理研究)0a (0c b x ax 2 ≠=++的根的分布 1）方程有两个正根 2）方程两根一正一负 3）方程有两个负根 ??? ?? ? ??? >=>-=+≥-=?>>00 040,02121221a c x x a b x x ac b x x ，则0 021<<=<-=+≥-=?<<00040,02121221a c x x a b x x ac b x x ，则 2、 借助函数图像研究)0a (0c b x ax 2 ≠=++的根的分布 设一元二次方程（）的两实根为，，且。为常数。则一元二次方程根的分布（即，相对于的位置）有以下若 干定理。 【定理1】???? ??? >->≥-=?≤ 【定理5】?????????><<>>0)(0)(0)(0)(02121p f p f k f k f a 或?????????<>><<0 )(0 )(0)(0 )(021 21p f p f k f k f a 【定理6】，则???????????<-<>>>≥-=?2121220)(0)(004k a b k k f k f a ac b 或??? ?? ? ????? <-<<<<≥-=?212 1220 )(0)(004k a b k k f k f a ac b 二、典型例题 例1若一元二次方程有两个正根，求的取值范围。 分析：利用Δ与韦达定理研究)0a (0c b x ax 2 ≠=++的根的分布 ??? ? ? ? ??? >=>-=+≥-=?>>00040,02121221a c x x a b x x ac b x x ，则 例2 在何范围内取值，一元二次方程有一个正根和一个负根？ 分析：利用0021<<0,所以另一根为正 例4.方程x 2 +2px+1=0有一个根大于1，一个根小于1，求p 的取值范围 分析：利用 例5.若关于x 的方程x 2 +(k-2)x+2k-1=0的两实根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求实数k 的取值范围 利用零点存在定理 练习1.方程mx 2 +2(m+1)x+m+3=0仅有一个负根，求m 的取值范围 二次函数根的分布经典练习题及解析 1若不等式(a －2)x 2+2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是() A(－∞,2] B [－2,2] C(－2,2] D(－∞,－2) 2设二次函数f (x )=x 2－x +a (a >0),若f (m )<0,则f (m －1)的值为() A 正数 B 负数 C 非负数 D 正数、负数和零都有可能 3已知二次函数f (x )=4x 2－2(p －2)x －2p 2－p +1,若在区间［－1，1］内至少存在一个实数c ,使f (c )>0,则实数p 的取值范围是_________ 4二次函数f (x )的二次项系数为正，且对任意实数x 恒有f (2+x )=f (2－x ),若f (1－2x 2) 8一个小服装厂生产某种风衣，月销售量x (件)与售价P (元/件)之间的关系为P =160－2x ,生产x 件的成本R =500+30x 元 (1)该厂的月产量多大时，月获得的利润不少于1300元？ (2)当月产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少元？ 参考答案 1解析当a －2=0即a =2时,不等式为－4＜0,恒成立∴a =2,当a －2≠0时，则a 满足 ? ? ?0,则f (0)>0,而f (m )＜0,∴m ∈(0,1), ∴m －1＜0,∴f (m －1)>0 答案A 3解析只需f (1)=－2p 2－3p +9>0或f (－1)=－2p 2+p +1>0即－3＜p ＜2 3或－2 1＜p ＜1∴p ∈(－3,2 3) 答案(－3，2 3） 4解析由f (2+x )=f (2－x )知x =2为对称轴，由于距对称轴较近的点的纵坐标较小， ∴|1－2x 2－2|＜|1+2x －x 2－2|,∴－2＜x ＜0 一元二次方程的实根分布问题 问题1. 试讨论方程02 =++c bx x 的根的情况。 （1） 根的个数：b 、c 满足什么条件时，方程有两个不等的实根？相等实根？无实根？ （2） 根的大小：b 、c 满足什么条件时，方程有两个正根？两个负根？一正根、一负根？ 一根为0？ （3） 根的范围：b 、c 满足什么条件时，方程两根都大于1？都小于1？一根小于1，一根 大于1？ 说明 对于一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的研究，主要分为四个方面（A ）有没有实数根；（B ）有实数根时，两根相等还是不等；（C ）根的正负；（D ）根的分布范围。 利用根的判别式，可以解决（A ），（B ），结合运用韦达定理，可以解决（C ）。而要解决（D ），需综合运用判别式、韦达定理及不等式的知识。 思路1 （方程思想）设c bx x x f ++=2)( （1） 方程0)(=x f 有两个大于1的实根的充要条件是： ?? ???->+-<≥-??????>-->+≥?12040)1)(1(2 022121c b b c b x x x x （2） 方程0)(=x f 有两个小于1的实根的充要条件是： ?? ???->+->≥-??????>--<+≥?12040)1)(1(2 022121c b b c b x x x x （3） 方程0)(=x f 有一根大于1，一根小于1的充要条件是.1,0)(-<+ 二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳 1、一元二次方程 02=++c bx ax 根的分布情况 设方程()2 00ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=， 方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件） 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况） 分 布情况 两个负根即两根都小于0 ()120,0x x << 两个正根即两根都大于0 ()120,0x x >> 一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x << 大致图象（ >a ） 得出的结论 ()00200b a f ?>??? -?? ()0 0200 b a f ?>??? ->??>?? ()00 分 布情况 两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即 21x k x << 大致图象（ >a ） 得出的结论 ()020b k a f k ?>??? -?? ()0 20 b k a f k ?>??? ->??>?? ()0 一元二次方程根的分布 *1. 关于x的方程x2+ax+a-1=0，有异号的两个实根，求a的取值范围。 *2. 如果方程x2+2(a+3)x+(2a-3)=0的两个实根中一根大于3,另一根小于3，求实数a的取值范围。*3. 若方程8x2+(m+1)x+m-7=0有两个负根，求实数m的取值范围。 *4. 关于x的方程x2-ax+a2-4=0有两个正根，求实数a的取值范围。 5．设关于x的方程4x2-4(m+n)x+m2+n2=0有一个实根大于-1，另一个实根小于-1，则m,n必须满足什么关系。 6．关于x的方程2kx2-2x-3k-2=0有两个实根，一根大于1另一个实根小于1，求k的取值范围。7．实数m为何值时关于x的方程7x2-(m+13)x+m2-m-2=0的两个实根x1,x2满足0 不等式 1、解不等式：1 211922+-+-x x x x ≥7. 2、解不等式：x 4－2x 3－3x 2＜0. 3、解不等式： 6 5592+--x x x ≥－2. 4、解不等式：232+-x x ＞x ＋5. 5．解不等式38->-x x . 6．不等式04 9)1(220822<+++++-m x m mx x x 的解集为R,求实数m 的取值范围。 一、解一元二次不等式步骤： 1、把二次项的系数变为正的。（如果是负，那么在不等式两边都乘以-1，把系数变为正） 2、解对应的一元二次方程。（先看能否因式分解，若不能，再看△，然后求根） 3、求解一元二次不等式。（根据一元二次方程的根及不等式的方向） 例1:解不等式 (x+4)(x+5)2(2-x)3 <0 x 2-4x+1 3x 2-7x+2 ≤1 二.填空题 1、不等式(1)(12)0x x -->的解集是 ； 2．不等式2654x x +<的解集为____________. 3、不等式2310x x -++>的解集是 ； 4、不等式2210x x -+≤的解集是 ； 5、不等式245x x -<的解集是 ； 6、不等式220mx mx +-<的解集为R ，则实数m 的取值范围为 ； 7、不等式9)12(2 ≤-x 的解集为__________. 8、不等式0＜x 2+x -2≤4的解集是_____ . 9、若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对一切x R ∈恒成立,则a 的取值范围是_____. 10、已知对于任意实数x ，22kx x k -+恒为正数，求实数k 的取值范围 一元二次方程 02=++c bx ax 根的分布情况 设方程()2 00ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=， 方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件） 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况） k k k 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下） 需满足的条件是 （1）0a >时，()()00f m f n ???>?? 对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况： 1? 若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n < 不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ， 可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。如方程()2 220 mx m x -++=在区间()1,3上有一根，因为()10f =，所以()()()22212mx m x x mx -++=--，另一根为2m ，由2 13m <<得 2 23 m <<即为所求； 2? 方程有且只有一根，且这个根在区间()n m ,内，即0?=，此时由0?=可以求出参数的值，然后再将参数 的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程 24260x mx m -++=有且一根在区间()3,0-内，求m 的取值范围。分析：①由()()300f f -< 即 ()()141530m m ++<得出15314m -<<-；②由0?=即()2164260m m -+=得出1m =-或3 2m =，当 1m =-时，根()23,0x =-∈-，即1m =-满足题意；当32m = 时，根()33,0x =?-，故3 2 m =不满足题意；综上分析，得出15 314 m -<<-或1m =- 用数形结合的方法解决有关一元二次（函数）方程根（零点）的分布问题 一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用。利用函数与方程思想：若y =()f x 与x 轴有交点0x ?f (0x )=0。 下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的充要条件及其运用。 所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。 设一元二次方程02 =++c bx ax （0≠a ）的两个实根为1x ，2x ，且21x x ≤。 【定理1】：01>x ，0 2>x ????????<>=>≥-=?00)0(0042b c f a ac b 或???????><=<≥-=?0 0)0(0 42b c f a ac b 上述推论结合二次函数图象不难得到。 【定理2】：01 二．一元二次方程的非零分布——k 分布 设一元二次方程02 =++c bx ax （0≠a ）的两实根为1x ，2x ，且21x x ≤。k 为常数。则一元二次方程根的k 分布（即1x ，2x 相对于k 的位置）有以下若干定理。 构造相应二次函数c bx ax x f ++=2)(（0≠a ） 【定理1】2 1x x k ≤->≥-=?k a b k af a c b 20 )(0 42 【定理2】k x x <≤21????? ??? <->≥-=?k a b k af a c b 20)(0 42。 【定理3】21x k x < 一元二次方程根的分布 一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用。下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的充要条件及其运用。 一．一元二次方程根的基本分布——零分布 所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。 设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个不等实根为1x ，2x ①方程有两个不等正根 ??? ?? ? ??? >=>-=+>-=?>>00040,0212 1221a c x x a b x x ac b x x ②方程两根一正一负 ：0021<<=<-=+>-=?<<00040,0212 1221a c x x a b x x ac b x x 即时应用： (1)若一元二次方程 0)1(2)1(2 =-++-m x m x m 有两个不等正根，求m 的取值范围。 (2)k 在何范围内取值，一元二次方程0332 =-++k kx kx 有一个正根和一个负根？ 二、一元二次方程的非零分布——k 分布 设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两不等实根为1x ，2x ， k 为常数。则一元二次方k 1x 2x k k k k 2k 1k 2 k 1 k 3 k 2 k 1 k 课 题：一元二次方程实根的分布讲义(韦达定理) 教学目的： 1．掌握用韦达定理解决含参二次方程的实根分布的基本方法 2．培养分类讨论、转化的能力，综合分析、解决问题的能力； 3．激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神 教学重点：用韦达定理解“含参二次方程的实根分布”问题的基本方法 教学难点：韦达定理的正确使用 授课类型：复习课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 教学过程： 一、复习引入： 韦达定理： 方程02 =++c bx ax （0≠a ）的二实根为1x 、2x ，则 ?? ??? = -=+a c x x a b x x 2121 二、讲解新课： 例1 当m 取什么实数时，方程4x2+(m-2)x+(m-5)=0分别有: ①两个实根； ②一正根和一负根； ③正根绝对值大于负根绝对值；④两根都大于1. 解 ：设方程42 x +(m-2)x+(m-5)=0的两根为1x 、2x ①若方程42 x +(m-2)x+(m-5)=0有两个正根，则需满足： ?????>>+≥?0002121x x x x ???? ?????? >->--≥---04 5 0420)5(16)2(2m m m m ??? ???><≥+-520 84202 m m m m ??? ? ??><≥≤5214 6m m m m 或?m ∈φ. ∴此时m 的取值范围是φ，即原方程不可能有两个正根. ②若方程42 x +(m-2)x+(m-5)=0有一正根和一负根，则需满足： ?? ?<>?0021x x ?? ?? ??<->---04 50 )5(16)2(2m m m ?m<5. ∴此时m 的取值范围是(-∞,5). ③若方程42 x +(m-2)x+(m-5)=0的正根绝对值大于负根绝对值， 一元二次函数零点分布（二次方程根的分布） 教学目标 学会如何通过研究函数的图像，确定二次函数在给定区间上的零点分布。 教学重点 根据函数的图像确定二次函数在给定区间上的零点分布。 教学难点 体会影响二次函数在给定区间上的零点分布的要素。 教学过程 一、探究二次函数零点分布的要素 1、 回想：方程0)3(2 =+-+a x a x 有两个正根，两个负根，一个正根一个负根。 2、 思考：函数2)3()(2 +-+=x a x x f 有两个零点，21,x x ，且()+∞∈,0,21x x 。 若将条件改成()+∞∈,1-,21x x ，又该满足什么条件。 3.探究：二次函数零点分布的要素 二、例题讲解 例1 函数a x a x x f +-+=)3()(2 有两个零点21,x x ，且()+∞∈,0,21x x ，求a 范围 【练习1】例1中条件改成()0,,21∞-∈x x 例2函数a x a x x f +-+=)3()(2 有两个零点21,x x ，且()+∞∈,1-,21x x ，求a 范围 【总结】一元二次函数两个零点均在一个区 间，如()()),(,,,,-b a m m +∞∞ 。这类问题要 考虑哪些因素。 【练习2】12)(2 ++-=ax x x f 有两个零点21,x x ，且()+∞∈,1-,21x x ，求a 范围 【变式1】练习2中条件改成()1,1-,21∈x x 【变式2】12)(2 ++=ax ax x f 的两个零点()1,1-,21∈x x ，求a 范围 例3函数a x a x x f +-+=)3()(2 有两个零点21,x x ，且0,021> 专题十一 一元二次方程实根的分布讨论 本文将在前面方法的基础上，结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的情况及其运用。 一．一元二次方程实根的基本分布——零分布 一元二次方程实根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。对于这类问题，用一元二次方程根的判别式和根与系数关系（韦达定理）即可判别。 一元二次方程02 =++c bx ax （0≠a ）的两个实数根为1x 、2x ，则 1x 、2x 均为正?△≥0，1x ＋2x ＞0，1x 2x ＞0； 1x 、2x 均为负?△≥0，1x ＋2x ＜0，1x 2x ＞0； 1x 、2x 一正一负?1x 2x ＜0。 例1．关于x 的一元二次方程2 8(1)70x m x m +++-=有两个负数根，求实数m 取值范围。 解：设两个实数根为1x 、2x ，依题意有1212 000x x x x ??? +< ??> ?≥ ① ②③ 由①得：2 (1)32(7)0m m +--≥，2 (15)0m -≥，恒成立。 由②得：1 8m +- ＜0，解之，m ＞1-。 由③得：7 8 m -＞0，解之，m ＞7。 综上，m 的取值范围是m ＞7。 例2．若n ＞0，关于x 的方程2 1(2)04 x m n x mn --+=有两个相等的正实数根，求m n 的 值。 解：设两个实数根为1x 、2x ，依题意有1212 000x x x x ?= ?? +??> ?① ＞ ②③ 由①得：2 (2)0m n mn --=，()(4)0m n m n --=，∴m n =或4m n =。 二次函数根的分布 一、知识点 二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳 一元二次方程 02=++c bx ax 根的分布情况 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况） 分 布情 况 两个负根即两根都小于0 ()120,0x x << 两个正根即两根都大于0 ()120,0x x >> 一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x << 大致图 象（0 >a ） 得出的结论 ()00200b a f ?>??? -?? ()0 0200 b a f ?>??? ->??>?? ()00 表二：（两根与k 的大小比较） 表三：（根在区间上的分布） 分布情况 两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即 21x k x << 大致图 象（ >a ） 得出的结论 ()020b k a f k ?>??? -?? ()0 20 b k a f k ?>??? ->??>?? ()0 一元二次方程 02=++c bx ax 根的分布情况 设方程()2 00ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=， 方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点的横坐标(也即是函数的零点)，它们的分布情况见下面各表 表一：两根与0的大小比较即根的正负情况(a>0) 分布情况 两个负根即两根都小于0 ()120,0x x << 两个正根即两根都大于0 ()120,0x x >> 一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x << 大致图象 结 论 ()0 0200 b a f ?>??? -?? ()0 0200 b a f ?>??? ->??>?? ()00 一元二次方程根的分布 一．一元二次方程根的基本分布——零分布 所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。 设一元二次方程02 =++c bx ax （0≠a ）的两个实根为1x ，2x ，且21x x ≤。 【定理1】01>x ，02>x (两个正根)? 2 1212400 0b ac b x x a c x x a ??=-≥??? +=->?? ? =>?? ， 推论：01>x ，02>x ? ????? ??<>=>≥-=?00)0(0042b c f a ac b 或???????><=<≥-=?0 0)0(0 42b c f a ac b 上述推论结合二次函数图象不难得到。 【例1】 若一元二次方程0)1(2)1(2 =-++-m x m x m 有两个正根，求m 的取值范围。 分析：依题意有24(1)4(1)02(1)0101 m m m m m m m ? ??=++-≥? +?->? -?-?>?-?0 二次函数根的分布 一、简单的三种类型 利用Δ与韦达定理研究)0(02 ≠=++a c bx ax 的根的分布 （1）方程有两个正根??? ?? ? ??? >=>-=+≥-=??000421212a c x x a b x x ac b （2）方程有两个负根??? ? ? ? ??? >=<-=+≥-=??000421212a c x x a b x x ac b （3）方程有一正一负根0->≥-=??≤ 解析：发现无论开口向上或向下，)(k f 与a 的值都是同号的. 例3.若方程42x +(m-2)x+(m-5)=0的两根都大于1，则求m 的取值范围. （2）???? ??? <->≥-=??<≤k a b k af a c b k x x 20)(04221【图例】 解析：发现无论开口向上或向下，)(k f 与a 的值都是同号的. （3）21x k x < 二次函数 教学目标： 1．掌握二次函数的图像及性质 2．能够求出二次函数在某个区间上的最值 3．能够利用二次函数研究一元二次方程的实根的分布 教学重难点： 重点：一元二次函数、二次方程及二次不等式之间的灵活转化 难点：二次函数跟的分布及二次函数的应用 知识要点： 二次函数的区间最值问题，核心是对函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论．一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况． 设2()(0)f x ax bx c a =++≠，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值． 分析：将f x ()配方，得对称轴方程x b a =-2, 当a >0时，抛物线开口向上 若- ∈b a m n 2[]，必在顶点取得最小值，离对称轴较远端点处取得最大值； 若-?b a m n 2[]， 当a >0时，抛物线开口向上，此时函数在[]m n ，上具有单调性，故在离对称轴x b a =- 2较远端点处取得最大值，较近端点处取得最小值．当a <0时，如上，作图可得结论，对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下： 当a >0时 ??? ???? +<-+≥-=) )((212)())((212)()(21max 如图如图，，n m a b n f n m a b m f x f ?? ? ? ? ? ??? <-≤-≤->-=)(2)()(2)2()(2)()(543min 如图如图如图，，，m a b m f n a b m a b f n a b n f x f 当a <0时 ??? ? ????? <-≤-≤->-=)(2)()(2)2()(2)()(876max 如图如图如图，，，m a b m f n a b m a b f n a b n f x f f x f m b a m n f n b a m n ()()()()()()()min =-≥+-<+?? ??? ??，，如图如图212212910 典型例题 一、求二次函数在闭区间上的值域 （一）正向型 已知二次函数和定义域区间，求其最值．对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决 这类问题的关键．此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间动；（3）轴动，区间定；（4）轴动，区间动． 1．轴定区间定 例1． 已知函数2 ()2tan 1,[1f x x x x θ=+-∈-，当6 πθ=-时，求函数f(x)的最大值与最小值．一元二次方程根的分布情况归纳总结
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二次函数及根的分布-