二面角练习题

周练六

1. 如图,

已知在三棱柱111ABC A B C -中，三个

侧棱都是矩形，点D 为A B 的中点

3,4,AC BC ==15,4AB AA == ，

(Ⅰ) 求证1AC BC ⊥; (Ⅱ) 求证11AC C D B 平面;

(Ⅲ) 求异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值

2．如图，已知正方形ABCD 和正方形ABEF 所在平面成600的二面角，求直线BD 与平面ABEF

所成角的正弦值。

3．如图，在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求：（1）面A 1ABB 1与面ABCD 所成角的大小；（2）二面角C 1—BD —C 的正切值（3）二面角11B BC D --

4.过正方形ABCD 的顶点A 作PA ABCD ^平面，设PA=AB=a ，(1)求二面角B P C D --的大小; (2)求二面角C-PD-A

A B

A 1

D 1

C 1

B 1

5. 如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝3 .(1) 证明： BE ⊥平面PAB ； (2) 求二面角A －BE －P 的大小（3）PB 与面PAC 的角

6 如图,在底面为直角梯形的四棱锥

,//,BC AD ABCD P 中-,90?=∠ABC

ABCD PA 平面⊥,32,2,3===AB AD PA ,BC=6

(1) 求证:;PAC BD 平面⊥ (2) 求二面角A BD P --的大小. （3）求二面角B-PC-A 的大小

7．如图，直二面角D —AB —E 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE=EB ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE. （Ⅰ）求证AE ⊥平面BCE ；

（Ⅱ）求二面角B —AC —E 的大小；（Ⅲ）求点D 到平面ACE 的距离.

8.如图，在四棱锥P A B C D -中，底面A B C D 是矩形．已知3A B =，2A D =，

2PA =

，PD =，60PAB =

∠．

（Ⅰ）证明A D ⊥平面P A B ；

（Ⅱ）求异面直线P C 与A D 所成的角的大小；（Ⅲ）求二面角P BD A --的正切值．

D B

二面角求法及经典题专题训练

立体几何二面角求法一：知识准备 1、二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面. 2、二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。 3、二面角的大小范围：[0°，180°] 4、三垂线定理：平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直 5、平面的法向量：直线L垂直平面α，取直线L的方向向量，则这个方向向量叫做平面α的法向量。（显然，一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量） 6、二面角做法：做二面角的平面角主要有3种方法：（1）、定义法：在棱上取一点，在两个半平面内作垂直于棱的2 条射线，这2条所夹的角；（2）、垂面法：做垂直于棱的一个平面，这个平面与2个半平面分别有一条交线，这2条交线所成的角；（3）、三垂线法：过一个半平面内一点（记为A）

α βa O A B 做另一个半平面的一条垂线，过这个垂足（记为B）再做棱的垂线，记垂足为C，连接AC，则∠ACB即为该二面角的平面角。 7、两个平面的法向量的夹角与这两个平面所成的二面角的平面角有怎样的关系？二：二面角的基本求法及练习 1、定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S—AM—B中半平面ABM上的一已知点（B）向棱AM作垂线，得垂足（F）；在另一半平面ASM内过该垂足（F）作棱AM的垂线（如GF），这两条垂线（BF、GF）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。例1．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求（1）二面

立体几何专题训练(附答案)

立体几何 G5 空间中的垂直关系 18．、[2014·广东卷] 如图1-4，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E. (1)证明：CF⊥平面ADF； (2)求二面角D- AF- E的余弦值．图1-4 19．、[2014·湖南卷] 如图1-6所示，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD ＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形． (1)证明：O1O⊥底面ABCD； (2)若∠CBA＝60°，求二面角C1-OB1-D的余弦值． 19．解：(1)如图(a)，因为四边形ACC1A1为矩形，所以CC1⊥AC.同理DD1⊥BD. 因为CC1∥DD1，所以CC1⊥BD.而AC∩BD＝O，因此CC1⊥底面ABCD. 由题设知，O1O∥C1C.故O1O⊥底面ABCD. (2)方法一：如图(a)，过O1作O1H⊥OB1于H，连接HC1. 由(1)知，O1O⊥底面ABCD O1O⊥A1C1. 又因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等，所以四边形A1B1C1D1是菱形，因此A1C1⊥B1D1，从而A1C1⊥平面BDD1B1，所以A1C1⊥OB1，于是OB1⊥平面O1HC1. 进而OB1⊥C1H.故∠C1HO1是二面角C1-OB1-D的平面角．

不妨设AB ＝2.因为∠CBA ＝60°，所以OB ＝3，OC ＝1，OB 1＝7. 在Rt △OO 1B 1中，易知O 1H ＝OO 1·O 1B 1OB 1＝237.而O 1C 1＝1，于是C 1H ＝O 1C 21＋O 1H 2 ＝ 1＋12 7 ＝ 197 . 故cos ∠C 1HO 1＝O 1H C 1H ＝ 23 7197 ＝25719. 即二面角C 1-OB 1-D 的余弦值为257 19 . 方法二：因为四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，所以四边形ABCD 是菱形，因此AC ⊥BD .又O 1O ⊥底面ABCD ，从而OB ，OC ，OO 1两两垂直．如图(b)，以O 为坐标原点，OB ，OC ，OO 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系O -xyz ，不妨设AB ＝2.因为∠CBA ＝60°，所以OB ＝3，OC ＝1，于是相关各点的坐标为O (0，0，0)， B 1(3，0，2)， C 1(0，1，2)．易知，n 1＝(0，1，0)是平面BDD 1B 1的一个法向量．设n 2＝(x ，y ，z )是平面OB 1C 1的一个法向量，则?????n 2·OB →1＝0，n 2·OC →1＝0，即???3x ＋2z ＝0， y ＋2z ＝0. 取z ＝－3，则x ＝2，y ＝23，所以n 2＝(2，23，－3)．设二面角C 1-OB 1-D 的大小为θ，易知θ是锐角，于是 cos θ＝|cos 〈，〉|＝??????n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝2319＝25719. 故二面角C 1-OB 1-D 的余弦值为25719 . 19．、、[2014·江西卷] 如图1-6，四棱锥P - ABCD 中，ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD . 图1-6 (1)求证：AB ⊥PD .

二面角的几种方法及例题

二面角大小的求法（例题）二面角的类型和求法可用框图展现如下：一、定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；例、如图,已知二面角α-а-β等于120°,PA ⊥α,A ∈α,PB ⊥β,B ∈β. 求∠APB 的大小. O OA PA OB PAOB OA AOB AOB=120APB=60OB PB PB βαβ⊥⊥∴⊥⊥⊥∴⊥∴⊥∠∠?∠?做交线，交于点，连接平面交线同理交线又交线交线面交线即可得为面的二面角，所以例、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，求二面角B-PC-D 的大小。提示：PAB PCD ?，而且是直角三角形 P

二、三垂线定理法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；例、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A 的tag 大小。 A AH BC BC H PH ABCD PA AB PA BC PHA PHA H ABH=30AB=a AH=a/2 tag PHA 2 PA BC AB ⊥⊥∴⊥⊥∴⊥∴∠∠?∴∴∠=过做，交于，连接面，面为二面角在中，例：如图,ABCD-A 1B 1C 1D 1是长方体,侧棱AA 1长为1,底面为正方体且边长为2,E 是棱BC 的中点,求面C 1DE 与面CDE 所成二面角的正切值. 提示：CO ⊥DE ，而且是长方体！！！ p A B L H A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 E O

高中数学二面角求法及经典题型归纳

αβa O A B 立体几何二面角求法一：知识准备 1、二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面. 2、二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。 3、二面角的大小范围：[0°，180°] 4、三垂线定理：平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直 5、平面的法向量：直线L 垂直平面α，取直线L 的方向向量，则这个方向向量叫做平面α的法向量。（显然，一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量） 6、二面角做法：做二面角的平面角主要有3种方法：（1）、定义法：在棱上取一点，在两个半平面内作垂直于棱的2 条射线，这2条所夹的角；（2）、垂面法：做垂直于棱的一个平面，这个平面与2个半平面分别有一条交线，这2条交线所成的角；（3）、三垂线法：过一个半平面内一点（记为A ）做另一个半平面的一条垂线，过这个垂足（记为B ）再做棱的垂线，记垂足为C ，连接AC ，则∠ACB 即为该二面角的平面角。 7、两个平面的法向量的夹角与这两个平面所成的二面角的平面角有怎样的关系？二：二面角的基本求法及练习 1、定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。例1．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求（1）二面角11A B C A --的大小；（2）平面11A DC 与平面11ADD A 所成角的正切值。 C1

大题专项训练16：立体几何(二面角)-2021届高三数学二轮复习含答案详解

二轮大题专练16—立体几何（二面角） 1．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是以AB ，CD 为底边的等腰梯形，且 24AB AD ==，60DAB ∠=?，1AD D D ⊥．（1）证明：1AD BD ⊥．（2）若112D D D B ==，求二面角1A BC B --的正弦值．（1）证明：在ABD ?中，4AB =，2AD =，60DAB ∠=?，由余弦定理得222cos6023BD AB AD AB AD =+-??= 则222AD BD AB +=，即AD BD ⊥，又1AD D D ⊥，1BD D D D =，故AD ⊥平面1D DB ．而1BD ?平面1D DB ，1AD BD ∴⊥．（2）解：取BD 的中点O ，11D D D B =，1D O BD ∴⊥．由（1）可知平面1D DB ⊥平面ABCD ，故1D O ⊥平面ABCD ．由ABCD 是等腰梯形，且24AB AD ==，60DAB ∠=?，得DC CB =，则CO BD ⊥，2211431D O DD DO --=．以O 为原点，分别以OB ，OC ，1OD 的方向为x ，y ，z 的正方向建立空间直角坐标系O xyz -，

则(3,2,0)A --，(3,0,0)B ，(0C ，1，0)，(3,0,0)D -，1(0D ，0，1)， (23,2,0)AB =，11(3,0,1)BB DD ==，(3,1,0)BC =-．设平面1B BC 的法向量为(,,)n x y z =，则13030n BB x z n BC x y ??=+=???=-+=?? ，令1x =，则3y =，3z =-，有(1,3,3)n =-．又(0,0,1)m =是平面ABC 的一个法向量． ∴||321|cos ,|||||771 m n m n m n ???===?， ∴二面角1BC B Λ--的正弦值为32717- =． 2．如图，已知三棱锥S ABC -中，ABC ?是边长为2的等边三角形，4SB SC ==，点D 为SC 的中点，2DA =．（1）求证：平面SAB ⊥平面ABC ；（2）求二面角S AB D --的正弦值．

(完整)高中立体几何二面角的几种基本求法例题.doc

二面角的基本求法例题一、平面与平面的垂直关系 1．判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。例 1．在空间四边形ABCD 中， AB=CB ，AD=CD ，E、F、G 分别是 AD 、 DC、CA 的中点。求证：平面 BEF ^ 平面 BDG 。 A A F E E G D B F D B C C 例 2． AB ^ 平面 BCD，BC = CD ，? BCD 90°，E、F分别是AC、AD的中点。求证：平面 BEF ^ 平面 ABC 。D1 C1 A1 B1 2．性质定理：若两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。中，求和平面所成的角。例 3．在正方体 ABCD—A1 1 1 1 1 1 1 B C D A B A B CD . D C A B 二、二面角的基本求法D1 C1 1．定义法：在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直。A1 B1 例4．在正方体 ABCD—A1B1 C1D1中，求（ 1）二面角A- B1C - A1的大小；（ 2）平面A1DC1与平面 ADD1 A1所成角的正切值。 D C A B P 练习：过正方形ABCD 的顶点 A 作 PA ^ 平面 ABCD ，设 PA=AB= a，求二面角 B - PC - D 的大小。 A D 2．三垂线法 B C 例 5 ．平面ABCD ^平面ABEF，ABCD是正方形， ABEF 是矩形且 D C AF= 1 AD= a，G 是 EF 的中点， 2 （ 1）求证：平面AGC ^平面BGC；（ 2）求 GB 与平面 AGC 所成角的正弦值；A B 1 G E

高二数学二面角专项练习题及参考答案

高二数学二面角专项练习题及参考答案班级_____________姓名_____________ 一、定义法：直接在二面角的棱上取一点，分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角. 例1 在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，求二面角B-PC-D 的大小。二、垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，或逆定理作出二面角的平面角；例2 在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面PA=AB=a ，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A 的正切。夹的角就是二面角的平面角例3 在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD PA=AB=a ，求B-PC-D 的大小。四、投影面积法:一个平面a 上的图形面积为S ，它在另一个平面b 上的投影面积为S'，这两个平面的夹角为q ，则S'=Scosq 或cosq= / S S 例4在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AB ＝a ，求平面PBA 与平面PDC 所成二面角的大小。再选用上述方法（尤其要考虑射影法）。例5、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD 与平面PDC 所成二面角的大小。方法归纳：二面角的类型和求法可用框图展习] 二面角是指（） A 两个平面相交所组成的图形 B 一个平面绕这个平面内一条直线旋转所组成的图形 C 从一个平面内的一条直线出发的一个半平面与这个平面所组成的图形 D 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形 2．平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能有（） A 1条或2条交线 B 2条或3条交线 C 仅2条交线 D 1条或2条或3条交线 3．在300的二面角的一个面内有一个点，若它到另一个面的距离是10，则它到棱的距离是 ( )

五种方法求二面角及练习题

五种方法求二面角及练习题一、定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。 1．如图，在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求：（1）二面角C 1—BD —C 的正切值（2）二面角11B BC D -- 2.如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，，点M 在侧棱上，=60，M 在侧棱的中点（1）求二面角的余弦值。二、三垂线法：三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。 1. 如图，在直四棱柱ABCD-A B C D 中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ， AB=4, BC=CD=2, AA =2, E 、E 、F 分别是棱AD 、AA 、AB 的中点。（1）证明：直线EE //平面FCC ；（2）求二面角B-FC -C 的余弦值。 S ABCD -ABCD SD ⊥ ABCD AD 2DC SD ==SC ABM ∠SC S AM B --1111111111E A B C F E 1 A B 1 C 1 D D A B C D A D C B

2.如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形．已知 60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ．（Ⅰ）证明⊥AD 平面PAB ；（Ⅱ）求异面直线PC 与AD 所成的角的大小；（Ⅲ）求二面角A BD P --的大小．三．补棱法本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题。即当二平面没有明确的交线时，一般用补棱法解决 1.已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的棱长都是a ，侧棱与底面成600的角，侧面BCC 1B 1⊥底面ABC 。（1）求证：AC 1⊥BC ；（2）求平面AB 1C 1与平面 ABC 所成的二面角（锐角）的大小。 2：如图5，E 为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱CC 1的中点，求平面AB 1E 和底面A 1B 1C 1D 1所成锐角的余弦值. 3如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2. （Ⅰ）证明：平面PBE ⊥平面PAB ; （Ⅱ）求平面PAD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的大小. 角的平面角（锐角）. A B C E D P A B B 1 C 1 A 1 L A 1 D 1 B 1 C 1 E D B C A 图5

立体几何典型例题精选[含答案解析]

F E D C B A ；立体几何专题复习热点一：直线与平面所成的角例1．（2014，广二模理 18）如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，EF ∥ 平面ABCD ， 1EF =，,90FB FC BFC ? =∠=，3AE = . （1）求证：AB ⊥平面BCF ；（2）求直线AE 与平面BDE 所成角的正切值. · ！变式1：（2013湖北8校联考）如左图，四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，2,1,5,DB DC BC === 2.AB AD ==将左图沿直线BD 折起，使得二面角A BD C --为60,?如右图. （1）求证：AE ⊥平面;BDC （2）求直线AC 与平面ABD 所成角的余弦值.

] 变式2：[2014·福建卷] 在平面四边形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图1-5所示． (1)求证：AB⊥CD； (2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．

热点二：二面角例2．[2014·广东卷] 如图1-4，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E. ? (1)证明：CF⊥平面ADF； (2)求二面角D-AF-E的余弦值．变式3：[2014·浙江卷] 如图1-5，在四棱锥A-BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED ＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝ 2. — (1)证明：DE⊥平面ACD；(2)求二面角B-AD-E的大小．变式4：[2014·全国19] 如图1-1所示，三棱柱ABC-A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝CC1＝2. (1)证明：AC1⊥A1B; (2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为3，求二面角A1 -AB -C的大小．【

立体几何复习专题(空间角)(学生卷)

专题一：空间角一、基础梳理 1.两条异面直线所成的角（1）异面直线所成的角的范围：(0, ]2 π 。（2）异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直。两条异面直线,a b 垂直，记作a b ⊥。（3）求异面直线所成的角的方法：（1）通过平移，在一条直线上（或空间）找一点，过该点作另一（或两条）直线的平行线；（2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求。平移技巧有：平行四边形对边平移、三角形中位线平移、补形平移技巧等。 2．直线和平面所成的角（简称“线面角”）（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角。一直线垂直于平面，所成的角是直角；一直线平行于平面或在平面内，所成角为0?角。直线和平面所成角范围：[0， 2 π]。（2）最小角定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。（3）公式：已知平面α的斜线a 与α内一直线b 相交成θ角，且a 上的射影c 与b 相交成?2角，则有θ??cos cos cos 21= 。内的射影所成角，是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成角中最小的角。 3．二面角（1）二面角的概念：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面。若棱为l ，两个面分别为,αβ的二面角记为l αβ--。（2）二面角的平面角：过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内．．．．．．作棱的两条垂线,OA OB ，则AOB ∠叫做二面角 l αβ--的平面角。说明：①二面角的平面角范围是[]0,π，因此二面角有锐二面角、直二面角与钝二面角之分。 ②二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直。（3）二面角的求法：（一）直接法：作二面角的平面角的作法：①定义法；②棱的垂面法；③三垂线定理或逆定理法；（注意一些常见模型的二面角的平面角的作法）（二）间接法：面积射影定理的方法。（4）面积射影定理：面积射影定理：已知ABC ?的边BC 在平面α内，顶点A α?。设ABC ?的面积为S ，它在平 ?2?1c b a θP αO A B l B' O' A' B O A βα

二面角的计算(方法加经典题型)

二面角的求法（1）定义法——在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。注：o 点在棱上，用定义法。 (2)垂线法（三垂线定理法）——利用三垂线定理作出平面角，通过解直角三角形求角的大小。注：o 点在一个半平面上，用三垂线定理法。 (3)垂面法——通过做二面角的棱的垂面，两条交线所成的角即为平面角。注：点O 在二面角内，用垂面法。 (4)射影面积法——若多边形的面积是S ，它在一个平面上的射影图形面积是S`，则二面角θ的大小为COS θ= S`÷ S A 图3 α β O B l O 图5 β α C B A

例题讲解 1、（本小题满分14分）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱 PD ⊥底面,,ABCD PD CD E =是PC 的中点，作EF PB ⊥交PB 于点F 。（I ）求证：//PA 平面EDB ；（II ）求证：PB ⊥平面EFD ；（III ）求二面角P BC D --的大小。 2、如图1-125， PC ⊥平面ABC ，AB ＝BC=CA ＝PC ，求二面角B －PA －C 的平面角的正切值。（三垂线定理法） 3．在棱长为1的正方体1AC 中，（1）求二面角11A B D C --的大小的余弦值；（2）求平面1C BD 与底面ABCD 所成二面角1C BD C --的平面角大小的正切值。 18、（本题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AB AD AC CD ⊥⊥，， 60ABC ∠=°，PA AB BC ==，E 是PC 的中点．（Ⅰ）求PB 和平面PAD 所成的角的大小；（Ⅱ）证明⊥AE 平面PCD ；（Ⅲ）求二面角A PD C --的正弦值． O 1 A 1 C 1 D 1 B 1 D C B A A C D P E

二面角的几种方法及例题

二面角大小的求法（例题）二面角的类型和求法可用框图展现如下: 、定义法: 甬片+—*■垂面法化 T不见播型直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性; 例、如图，已知二面角a - a - B等于120° ,PA丄a ,A €a ,PB丄B ,B .求/ APB的大小. 做OB 交线，交于点O,连接OA Q PB 平面 PB 交线同理PA 交线又Q OB 交线交线面PAOB 交线OA 即可得AOB为面的二面角，AOB=120 所以APB=60 例、在四棱锥P-ABCD中, ABCD是正方形，PA!平面 ABCQPA=AB=a 求二面角B-PC-D的大小。提示：VPAB VPCD，而且是直角三角形可见槻型I解法? f三垂线法 A

、三垂线定理法: 已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；例、在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形，P从平面ABCD PA=AB=a / ABC=30,求二面角P-BC-A的tag 大小。过A做AH BC,交BC于H，连接PH Q PA 面ABCD PA AB, PA BC BC 面PHA PHA为二面角在VABH中 ABH=30 , AB=a AH=a/2 tag PHA 2 例：如图,ABCD-ABGD是长方体，侧棱AA长为1,底面为正方体且边长为2,E是棱BC勺中点，求面CD%面CD所成二面角的正切值. 提示：CO DE而且是长方体！ !!

例、△ ABC 中，/ A=90°, AB=4 AC=3 平面 ABC 外一点 P 在平面ABC 内的射影是AB 中点M 二面角P-AC — B 的大小为45°。求（1）二面角P-BC — A 的大小；（2）二面角C-PB-A 的大小提示：角PAB 是二面角，找到每个面的直角! 射影，那么PM 为面ABC 的垂线！例、如图4,平面丄平面，A =l , A € , B € ,点A 在直线I 上的射影为A,点B 在I 的射影为B,已知AB=2AA=1,BBp/2, 求：二面角A — AB- B 的大小. 提示：AA1与BB1互相垂直 AF 是辅助线且垂直AB,FE 平行BB 四、射影法：（面积法）利用面积射影公式S 射=S 原cos ,其中为平面 B D i' M 图4

二面角练习题(练习)

二面角的平面角专题学案一、二面角定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形就叫做二面角。二面角的大小是用二面角的平面角来衡量的。而二面角的平面角是指在二面角βα--l 的棱上任取一点O ，分别在两个半平面内作射线l BO l AO ⊥⊥,，则AOB ∠为二面角βα--l 的平面角。二、二面角的求法： 1．几何法：二面角转化为其平面角，要掌握以下三种基本做法： ①直接利用定义，图4（1）。 ②利用三垂线定理及其逆定理，图4（2）最常用。 ③作棱的垂面，图4（3）。 α β A O P A B O P α β 4（1） 4（2） 4（3）

典型例题: 例1.在正四面体ABCD 中，求相邻两个平面所成的二面角的平面角的大小. 例2．在棱长为1的正方体1AC 中，（1）求二面角11A B D C --的大小；（2）求平面1C BD 与底面ABCD 所成二面角1C BD C --的平面角大小. 例3．已知：二面角l αβ--且,A A α∈到平面β 的距离为A 到l 的距离为4，求二面角l αβ--的大小. l B O A β α

例4．如图，AB ⊥平面BCD ，BD CD ⊥，若2AB BC BD ==，求二面角B AC D --的正弦值. 课堂练习： 1.正方体AC 1中M 是BC 中点，求二面角D 1—AB 1—M 的平面角的正切值. 2.ABC 为等腰直角三角形，∠C=900 . PA ⊥面ABC ，AC=a. PA=2a. 求A —PB —C 大小. 3.直三棱柱棱长均相等. ∠ADC 1=900 . 求D —AC 1—C 大小. A B C D E F

高中数学必修2立体几何专题二面角典型例题解法总结

二面角的求法一、定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。例1 如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，AD = 2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60° （I ）证明：M 在侧棱SC 的中点（II ）求二面角S AM B --的大小。证（I ）略解（II ）：利用二面角的定义。在等边三角形ABM 中过点B 作BF AM ⊥交AM 于点F ，则点F 为AM 的中点，过F 点在平面ASM 内作GF AM ⊥，GF 交AS 于G ，连结AC ，∵△ADC ≌△ADS ，∴AS-AC ，且M 是SC 的中点， ∴AM ⊥SC ， GF ⊥AM ，∴GF ∥AS ，又∵F 为AM 的中点， ∴GF 是△AMS 的中位线，点G 是AS 的中点。则GFB ∠即为所求二面角. ∵2= SM ，则2 2 = GF ，又∵6= =AC SA ，∴2=AM ，∵2==AB AM ，060=∠ABM ∴△ABM 是等边三角形，∴ 3=BF 。在△GAB 中，26= AG ，2=AB ，0 90=∠GAB ，∴2 11423=+=BG 366 23 2 22211 32 12cos 2 2 2 -=-=??- +=?-+=∠FB GF BG FB GF BFG ∴二面角S AM B --的大小为)3 6arccos(- F G F G

线面垂直面面垂直及二面角专题练习

线面垂直专题练习一、定理填空： 1.直线和平面垂直如果一条直线和，就说这条直线和这个平面垂直. 2.线面垂直判定定理和性质定理线面垂直判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面. 判定定理1：如果两条平行线中的一条于一个平面，那么判定定理2：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么 . 性质定理3：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线 . 二、精选习题： 1.设M 表示平面，a 、b 表示直线，给出下列四个命题： ① M b M a b a ⊥????⊥// ②b a M b M a //????⊥⊥ ③????⊥⊥b a M a b ∥M ④?? ?? ⊥b a M a //b ⊥M . 其中正确的命题是 ( ) A.①② B.①②③ C.②③④ D.①②④ 2.如图所示，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点.现在沿DE 、DF 及EF 把△ADE 、△CDF 和△BEF 折起，使A 、B 、C 三点重合，重合后的点记为P .那么，在四面体P —DEF 中，必有 ( ) A.DP ⊥平面PEF B.DM ⊥平面PEF C.PM ⊥平面DEF D.PF ⊥平面DEF 3.设a 、b 是异面直线，下列命题正确的是 ( ) A.过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一条直线和a 、b 都相交 B.过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一个平面和a 、b 都垂直 C.过a 一定可以作一个平面与b 垂直 D.过a 一定可以作一个平面与b 平行 4.如果直线l ,m 与平面α,β,γ满足:l =β∩γ,l ∥α,m ?α和m ⊥γ,那么必有 ( ) A.α⊥γ且l ⊥m B.α⊥γ且m ∥β C.m ∥β且l ⊥m D.α∥β且α⊥γ 5.有三个命题： ①垂直于同一个平面的两条直线平行； ②过平面α的一条斜线l 有且仅有一个平面与α垂直； ③异面直线a 、b 不垂直，那么过a 的任一个平面与b 都不垂直其中正确命题的个数为 ( )A.0 B.1 C.2 D.3 第3题图

二面角问题求解方法大全

v1.0 可编辑可修改五法求二面角一、定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。例1如图，四棱锥S ABCD -中，底面 ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2AD = 2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60° （I ）证明：M 在侧棱SC 的中点（II ）求二面角S AM B --的大小。练习1如图，已知四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=?,E ，F 分别是BC , PC 的中点.（Ⅰ）证明： AE ⊥PD ; （Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为 6 2 ，求二面角E —AF —C 的余弦值. 二、三垂线法三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。例2．如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形， AB 1 1 1 1 1 1 ABCD P -ABCD ο60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ⊥ AD PAB PC AD A BD P -- （Ⅰ）证明：平面PBE ⊥平面PAB ; （Ⅱ）求平面PAD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的大小. 练习3已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的棱长都是a ，侧棱与底面成600 的角，侧面BCC 1B 1⊥底面ABC 。（1）求证：AC 1⊥BC ；（2）求平面AB 1C 1与平面 ABC 所成的二面角（锐角）的大小。四、射影面积法（cos s S q = 射影）凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos 斜射S S = θ）求出二面角的大小。 A B C E D P E A B C F E 1 A 1 B 1 C 1 D 1 D

空间几何向量求二面角专项练习

1. 如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，点M 在侧棱上，=60° （I ）证明：M 在侧棱的中点（II ）求二面角的大小。 2. 如图，已知四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ， 60ABC ∠=?,E ，F 分别是BC , PC 的中点. （Ⅰ）证明：AE ⊥PD ; （Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为6 2 ，求二面角E —AF —C 的余弦值. 3.如图，在直四棱柱ABCD-A B C D 中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ，AB=4, BC=CD=2, AA =2, E 、E 、F 分别是棱AD 、AA 、AB 的中点。（1）证明：直线EE //平面FCC ；求二面角B-FC -C 的余弦值。 4.如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形．已知 60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ．（Ⅰ）证明⊥AD 平面PAB ；（Ⅱ）求异面直线PC 与AD 所成的角的大小；（Ⅲ）求二面角A BD P --的大小． S ABCD -ABCD SD ⊥ABCD 2AD =2DC SD ==SC ABM ∠SC S AM B --11111 11111E A B C F E 1 A 1 B 1 C 1 D 1 D

5.如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°， E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2. （Ⅰ）证明：平面PBE ⊥平面PAB ; （Ⅱ）求平面PAD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的大小. 6.如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=， AP BP AB ==，PC AC ⊥．（Ⅰ）求证：PC AB ⊥；（Ⅱ）求二面角B AP C --的大小； 6. 已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的棱长都是a ，侧棱与底面成600的角，侧面BCC 1B 1⊥底面ABC 。（1）求证：AC 1⊥BC ；（2）求平面AB 1C 1与平面 ABC 所成的二面角（锐角）的大小。 7. 如图，E 为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱CC 1的中点，求平面AB 1E 和底面A 1B 1C 1D 1所成锐角的余弦值. 8.如图，在五面体ABCDEF 中，FA 平面ABCD, AD//BC//FE ，AB AD ，M 为EC 的中点，AF=AB=BC=FE= AD (I) 求异面直线BF 与DE 所成的角的大小； ⊥⊥1 2 A B C E D P A B B 1 C 1 A 1 L A C B P A D B C E D B A 图5

高中数学必修2立体几何专题二面角典型例题解法总结

二面角的求法一、定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。例1 如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2AD = 2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60° （I ）证明：M 在侧棱SC 的中点（II ）求二面角S AM B --的大小。 ? 证（I ）略解（II ）：利用二面角的定义。在等边三角形ABM 中过点B 作BF AM ⊥交AM 于点F ，则点F 为AM 的中点，过F 点在平面ASM 内作GF AM ⊥，GF 交AS 于G ，连结AC ，∵△ADC ≌△ADS ，∴AS-AC ，且M 是SC 的中点， · ∴AM ⊥SC ， GF ⊥AM ，∴GF ∥AS ，又∵F 为AM 的中点， ∴GF 是△AMS 的中位线，点G 是AS 的中点。则GFB ∠即为所求二面角. ∵2= SM ，则2 2 = GF ，又∵6= =AC SA ，∴2=AM ，∵2==AB AM ，060=∠ABM ∴△ABM 是等边三角形，∴ 3=BF 。在△GAB 中，26= AG ，2=AB ，0 90=∠GAB ，∴2 11423=+=BG 366 23 2 22211 32 12cos 2 2 2 -=-=??- +=?-+=∠FB GF BG FB GF BFG F G F G

线线角线面角二面角知识点及练习

线线角、线面角、面面角专题一、异面直线所成的角 1.已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ''，我们把a '与b '所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角。 2.角的取值范围：090θ<≤?；垂直时，异面直线当b a ,900=θ。例1.如图, 在直三棱柱111ABC A B C -中，13,4,5,4AC BC AB AA ==== ，点D 为AB 的中点求异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值二、直线与平面所成的角 1. 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条斜线和这个平面所成的角 2.角的取值范围：? ? ≤≤900θ。例2. 如图、四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。（2）SC 与平面ABC 所成的角的正切值。 B M H S C A _ C _1 _1 _ A _1 A _ C

一、二面角： 1. 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。 2. 二面角的取值范围：? ? ≤≤1800θ 两个平面垂直：直二面角。 3.作二面角的平面角的常用方法有六种： 1.定义法：在棱上取一点O ，然后在两个平面内分别作过棱上O 点的垂线。 2.三垂线定理法：先找到一个平面的垂线，再过垂足作棱的垂线，连结两个垂足即得二面角的平面角。 3.向量法：分别作出两个半平面的法向量，由向量夹角公式求得。二面角就是该夹角或其补角。二面角一般都是在两个平面的相交线上，取恰当的点，经常是端点和中点。例3.如图，E 为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱CC 1的中点，求 (1)二面角111D C A D --所成的角的余弦值 (2)平面AB 1E 和底面C C BB 11所成锐角的正切值. 巩固练习 A 1 D 1 B 1 C 1 E D B C A

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