二面角求法及经典题 专题训练
立体几何二面角求法
一：知识准备
1、二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面.
2、二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。
3、二面角的大小范围：[0°，180°]
4、三垂线定理：平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直
5、平面的法向量：直线L垂直平面α，取直线L的方向向量，则这个方向向量叫做平面α的法向量。（显然，一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量）
6、二面角做法：做二面角的平面角主要有3种方法：（1）、定义法：在棱上取一点，在两个半平面内作垂直于棱的2 条射线，这2条所夹的角；
（2）、垂面法：做垂直于棱的一个平面，这个平面与2个半平面分别有一条交线，这2条交线所成的角；（3）、三垂线法：过一个半平面内一点（记为A）
α
βa
O
A B
做另一个半平面的一条垂线，过这个垂足（记为B）再做棱的垂线，记垂足为C，连接AC，则∠ACB即为该二面角的平面角。
7、两个平面的法向量的夹角与这两个平面所成的二面角的平面角有怎样的关系？
二：二面角的基本求法及练习
1、定义法：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图
形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱,
这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取
点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，
这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。
本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S—AM—B中半平面ABM上的一已知点（B）向棱AM作垂线，得垂足（F）；在另一半平面ASM内过该垂足（F）作棱AM的垂线（如GF），这两条垂线（BF、GF）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。
例1．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求（1）二面
角11A B C A -
-的大小；
（2）平面1
1
A DC 与平面1
1
ADD A 所成角的正切值。
C1
例2:如图1，设正方形ABCD-A 1B 1C 1
D ！中，
E 为CC 1中点，求截面A 1BD 和EBD 所成二面角的度数。
练习：过正方形ABCD 的顶点A 作PA ABCD ^平面，设
PA=AB=a ，求二面角B PC D --的大小。
2、三垂线法
三垂线定理：在平面内的一条直线，
如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点P在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。
本定理亦提供了另一种添辅助线的一般规律。如（例2）过二面角B-FC
-C中半平面BFC上的一已知
1
点B作另一半平面FC1C的垂线，得垂足O；再过该垂足O作棱FC1的垂线，得垂足P，连结起点与终点得斜线段PB，便形成了三垂线定理的基本构图（斜线PB、垂线BO、射影OP）。再解直角三角形求二面角的度数。
例1．ABCD ABEF ABCD
平面平面，是正方形，ABEF是矩形
^
AD=a，G是EF的中点，
且AF=1
2
（1）求证：AGC BGC
平面平面；（2）求GB与平面
^
AGC所成角的正弦值；
（3）求二面角B AC G
--的大小。
例2．点P在平面ABC外，ABC是等腰直角三角形，ABC°
?，PAB是正三角形，PA BC
90
^。
（1）求证：^
平面PA B平面A B C；
（2）求二面角P AC B --的大小。
例 3.如图3，设三棱锥V-ABC 中，VA⊥底面ABC ，AB⊥BC，DE 垂直平分VC ，且分别交AC 、VC 于D 、E ，又
VA=AB ，VB=BC ，求二面角E-BD-C 的度数。
练习：正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 是AD 的中点，求二面角1A BD P --的大小。
B1
3．无棱二面角的处理方法
（1）补棱法
本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题。即当二平面没有明确的交线时，一般用补棱法解决
例1．过正方形ABCD的顶点A作PA ABCD
^平面，设PA=AB=a，
（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的大小。
例2．如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，P A⊥底面ABCD，P A＝2.
（Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面P AB;
（Ⅱ）求平面P AD和平面PBE所成二面角（锐角）
的大小.
例3．如图10，设正三棱柱ABC-A'B'C'各棱长均为α，D为CC1中点，求平面A'BD与平面ABC所成二面角的度数。
例4、正三角形ABC的边长为10，A∈平面α，B、C在平面α的同侧，且与α的距离分别是4和2，求平面ABC与α所成的角的正弦值。
（2）射影面积法（cos s
q=射影）
S
凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos 斜
射
S S =θ）求出二面角的大小。
例1：正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为棱AA 1的中点，求平面EB 1C 和平面ABCD 所成的二面角。
例2．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 是棱1
AA
的中点，求平面1
1
PB C 与平面ABCD 所成二面角的大小。
例3如图12，设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 为AA 1上点，A 1M:MA=3:1,求截面B 1D 1M 与底面ABCD 所成二面角。
例4．如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=，AP BP AB ==，PC AC ⊥．（Ⅰ）求证：PC AB ⊥；（Ⅱ）求二面角B AP C --的大小；
4、垂面法:
由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角。
例如：过二面角内一点A 作AB ⊥α于B ，作AC ⊥β于C ，面ABC 交棱a 于点O ，则∠BOC 就是二面角的平面角。
例1．SA ABC AB BC SA AB BC ^
^==平面，，，
（1）求证：SB BC ^； （2）求二面角C SA B --的
大小；
（3）求异面直线SC 与AB 所成角的余弦值。
例2、如图6，设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 、C 1D 1的中点。
（1）求证：A 1、E 、C 、F
四点共面；（2）求二面角A 1-EC-D 的大小。
例3、如图，已知PA 与正方形ABCD 所在平面垂直，且AB ＝PA
，求平面PAB 与平面PCD 所成的二面角的大小。
5、向量法
向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解，用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。 在立体几何中求二面角可归结为求两个向量的夹角问题．对于空间向量→a 、→
b ， 有cos ＜→
a ，→
b ＞=
→
→→
→??|
|||b a b
a ．利用这一结论，我们可以较
方便地处理立体几何中二面角的问题．
例1.在四棱锥V-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD ．求面VAD 与面VDB 所成的二面角的余弦值．
证明： 建立如图空间直角坐标系，并设正方形边长为1，依题意
得AB ??→
= (0，1，0)，是面VAD 的法向量，
设n →
= (1，y ，z)是面VDB 的法向量，则
0,0.n VB n VB →??→→??→??=????=?
?1,3y z =-??
?=-?
??n →= (1，－1
)。
∴cos ＜AB ??→，n →
＞
||||
AB n
AB n ??→→
??→→
??=
－
7
， 又由题意知，面VAD 与面VDB 所成的二面角为锐角，
所以其余弦值是
7
例2.如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB =90?，AC=1，CB=
2，侧棱
AA 1=1，侧面AA 1B 1B 的两
条对角线交点为D ，B 1C 1的中点为M ．
⑴求证CD ⊥平面BDM ； ⑵求面B 1BD 与面CBD 所成二面角的余弦值．
例3如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，
B
B 1
C 1
A 1
C A
D
M
侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF ⊥PB交PB于点F．求二面角C—PB—D的大小
三、几点说明：
1、定义法是选择一个平面内的一点（一般为这个面的一个顶点）向棱作垂线，再由垂足在另一个面内作棱的垂线。此法得出的平面角在任意三角形中，所以不好计算，不是我们首选的方法。
2、三垂线法是从一个平面内选一点（一般为这个面的一个顶点）向另一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线，连结这个点和棱上垂足。此法得出的平面角在直角三角形中，计算简便，所以我们常用此法。
3、垂面法需在二面角之间找一点向两面作垂线，因为这一点不好选择，所以此法一般不用。
4、以上三种方法作平面角都需写出作法、证明、指出
平面角。
5、射影法是在不易作出平面角时用。在解答题中要先证明射影面积公式，然后指出平面的垂线，射影关系，再用公式,这种方法虽然避免了找平面角，但计算较繁，所以不常用。
立体几何专题训练(附答案)
立体几何 G5 空间中的垂直关系 18．、[2014·广东卷] 如图1-4，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E. (1)证明：CF⊥平面ADF； (2)求二面角D- AF- E的余弦值． 图1-4 19．、[2014·湖南卷] 如图1-6所示，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD ＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形． (1)证明：O1O⊥底面ABCD； (2)若∠CBA＝60°，求二面角C1-OB1-D的余弦值． 19．解：(1)如图(a)，因为四边形ACC1A1为矩形，所以CC1⊥AC.同理DD1⊥BD. 因为CC1∥DD1，所以CC1⊥BD.而AC∩BD＝O，因此CC1⊥底面ABCD. 由题设知，O1O∥C1C.故O1O⊥底面ABCD. (2)方法一：如图(a)，过O1作O1H⊥OB1于H，连接HC1. 由(1)知，O1O⊥底面ABCD O1O⊥A1C1. 又因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等，所以四边形A1B1C1D1是菱形， 因此A1C1⊥B1D1，从而A1C1⊥平面BDD1B1，所以A1C1⊥OB1，于是OB1⊥平面O1HC1. 进而OB1⊥C1H.故∠C1HO1是二面角C1-OB1-D的平面角．
不妨设AB ＝2.因为∠CBA ＝60°，所以OB ＝3，OC ＝1，OB 1＝7. 在Rt △OO 1B 1中，易知O 1H ＝OO 1·O 1B 1OB 1＝237.而O 1C 1＝1，于是C 1H ＝O 1C 21＋O 1H 2 ＝ 1＋12 7 ＝ 197 . 故cos ∠C 1HO 1＝O 1H C 1H ＝ 23 7197 ＝25719. 即二面角C 1-OB 1-D 的余弦值为257 19 . 方法二：因为四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，所以四边形ABCD 是菱形，因此AC ⊥BD .又O 1O ⊥底面ABCD ，从而OB ，OC ，OO 1两两垂直． 如图(b)，以O 为坐标原点，OB ，OC ，OO 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系O -xyz ，不妨设AB ＝2.因为∠CBA ＝60°，所以OB ＝3，OC ＝1，于是相关各点的坐标为O (0，0，0)， B 1(3，0，2)， C 1(0，1，2)． 易知，n 1＝(0，1，0)是平面BDD 1B 1的一个法向量． 设n 2＝(x ，y ，z )是平面OB 1C 1的一个法向量，则?????n 2·OB →1＝0，n 2·OC →1＝0，即???3x ＋2z ＝0， y ＋2z ＝0. 取z ＝－3，则x ＝2，y ＝23，所以n 2＝(2，23，－3)． 设二面角C 1-OB 1-D 的大小为θ，易知θ是锐角，于是 cos θ＝|cos 〈，〉|＝??????n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝2319＝25719. 故二面角C 1-OB 1-D 的余弦值为25719 . 19． 、、[2014·江西卷] 如图1-6，四棱锥P - ABCD 中，ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD . 图1-6 (1)求证：AB ⊥PD .
大题专项训练16：立体几何(二面角)-2021届高三数学二轮复习 含答案详解
二轮大题专练16—立体几何（二面角） 1．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是以AB ，CD 为底边的等腰梯形，且 24AB AD ==，60DAB ∠=?，1AD D D ⊥． （1）证明：1AD BD ⊥． （2）若112D D D B ==，求二面角1A BC B --的正弦值． （1）证明：在ABD ?中，4AB =，2AD =，60DAB ∠=?， 由余弦定理得222cos6023BD AB AD AB AD =+-??= 则222AD BD AB +=，即AD BD ⊥， 又1AD D D ⊥，1BD D D D =，故AD ⊥平面1D DB ． 而1BD ?平面1D DB ，1AD BD ∴⊥． （2）解：取BD 的中点O ，11D D D B =，1D O BD ∴⊥． 由（1）可知平面1D DB ⊥平面ABCD ，故1D O ⊥平面ABCD ． 由ABCD 是等腰梯形，且24AB AD ==，60DAB ∠=?，得DC CB =， 则CO BD ⊥，2211431D O DD DO --=． 以O 为原点，分别以OB ，OC ，1OD 的方向为x ，y ，z 的正方向建立空间直角坐标系O xyz -，
则(3,2,0)A --，(3,0,0)B ，(0C ，1，0)，(3,0,0)D -，1(0D ，0，1)， (23,2,0)AB =，11(3,0,1)BB DD ==，(3,1,0)BC =-． 设平面1B BC 的法向量为(,,)n x y z =， 则13030n BB x z n BC x y ??=+=???=-+=?? ， 令1x =，则3y =，3z =-，有(1,3,3)n =-． 又(0,0,1)m =是平面ABC 的一个法向量． ∴||321|cos ,|||||771 m n m n m n ???===?， ∴二面角1BC B Λ--的正弦值为32717- =． 2．如图，已知三棱锥S ABC -中，ABC ?是边长为2的等边三角形，4SB SC ==，点D 为SC 的中点，2DA =． （1）求证：平面SAB ⊥平面ABC ； （2）求二面角S AB D --的正弦值．
二面角求法及经典题 专题训练
立体几何二面角求法 一：知识准备 1、二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面. 2、二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。 3、二面角的大小范围：[0°，180°] 4、三垂线定理：平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直 5、平面的法向量：直线L垂直平面α，取直线L的方向向量，则这个方向向量叫做平面α的法向量。（显然，一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量） 6、二面角做法：做二面角的平面角主要有3种方法：（1）、定义法：在棱上取一点，在两个半平面内作垂直于棱的2 条射线，这2条所夹的角； （2）、垂面法：做垂直于棱的一个平面，这个平面与2个半平面分别有一条交线，这2条交线所成的角；（3）、三垂线法：过一个半平面内一点（记为A）
α βa O A B 做另一个半平面的一条垂线，过这个垂足（记为B）再做棱的垂线，记垂足为C，连接AC，则∠ACB即为该二面角的平面角。 7、两个平面的法向量的夹角与这两个平面所成的二面角的平面角有怎样的关系？ 二：二面角的基本求法及练习 1、定义法： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图 形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取 点，分别在两面内引两条射线与棱垂直， 这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。 本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S—AM—B中半平面ABM上的一已知点（B）向棱AM作垂线，得垂足（F）；在另一半平面ASM内过该垂足（F）作棱AM的垂线（如GF），这两条垂线（BF、GF）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。 例1．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求（1）二面
高二数学二面角专项练习题及参考答案
高二数学二面角专项练习题及参考答案 班级_____________姓名_____________ 一、定义法：直接在二面角的棱上取一点，分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角. 例1 在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，求二面角B-PC-D 的大小。二、垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线， 或逆定理作出二面角的平面角； 例2 在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面PA=AB=a ，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A 的正切。夹的角就是二面角的平面角 例3 在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD PA=AB=a ，求B-PC-D 的大小。四、投影面积法:一个平面a 上的图形面积为S ，它在另一个平面b 上的投影面积为S'，这两个平面的夹角为q ，则S'=Scosq 或cosq= / S S 例4在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AB ＝a ，求平面PBA 与平面PDC 所成二面角的大小。再选用上述方法（尤其要考虑射影法）。例5、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD 与平面PDC 所成二面角的大小。 方法归纳：二面角的类型和求法可用框图展习] 二面角是指（） A 两个平面相交所组成的图形 B 一个平面绕这个平面内一条直线旋转所组成的图形 C 从一个平面内的一条直线出发的一个半平面与这个平面所组成的图形 D 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形 2．平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能有（） A 1条或2条交线 B 2条或3条交线 C 仅2条交线 D 1条或2条或3条交线 3．在300的二面角的一个面内有一个点，若它到另一个面的距离是10，则它到棱的距离是 ( )
立体几何复习专题(空间角)(学生卷)
专题一：空间角 一、基础梳理 1.两条异面直线所成的角 （1）异面直线所成的角的范围：(0, ]2 π 。 （2）异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直。两条异面直线,a b 垂直，记作a b ⊥。 （3）求异面直线所成的角的方法： （1）通过平移，在一条直线上（或空间）找一点，过该点作另一（或两条）直线的平行线； （2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求。 平移技巧有：平行四边形对边平移、三角形中位线平移、补形平移技巧等。 2．直线和平面所成的角（简称“线面角”） （1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角。 一直线垂直于平面，所成的角是直角；一直线平行于平面或在平面内，所成角为0?角。 直线和平面所成角范围：[0， 2 π]。 （2）最小角定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内 经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。 （3）公式：已知平面α的斜线a 与α内一直线b 相交成θ角， 且a 上的射影c 与b 相交成?2角， 则有θ??cos cos cos 21= 。 内的射影所成角，是这条斜线和这个平面内的任一条直 线所成角中最小的角。 3．二面角 （1）二面角的概念：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面。若棱为l ，两个面分别为,αβ的二面角记为l αβ--。 （2）二面角的平面角： 过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内．．．．．． 作棱的两条垂线,OA OB ，则AOB ∠叫做二面角 l αβ--的平面角。 说明：①二面角的平面角范围是[]0,π，因此二面 角有锐二面角、直二面角与钝二面角之分。 ②二面角的平面角为直角时，则称为直二面角， 组成直二面角的两个平面互相垂直。 （3）二面角的求法：（一）直接法：作二面角的平面角的作法：①定义法；②棱的垂面法；③三垂线定理或逆定理法；（注意一些常见模型的二面角的平面角的作法） （二）间接法：面积射影定理的方法。 （4）面积射影定理： 面积射影定理：已知ABC ?的边BC 在平面α内，顶点A α?。设ABC ?的面积为S ，它在平 ?2?1c b a θP αO A B l B' O' A' B O A βα
二面角练习题(练习)
二面角的平面角专题学案 一、二面角定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形就叫做二面角。二面角的大小是用二面角的平面角来衡量的。而二面角的平面角是指在二面角βα--l 的棱上任取一点O ，分别在两个半平面内作射线l BO l AO ⊥⊥,，则AOB ∠为二面角βα--l 的平面角。 二、二面角的求法： 1．几何法：二面角转化为其平面角，要掌握以下三种基本做法： ①直接利用定义，图4（1）。 ②利用三垂线定理及其逆定理，图4（2）最常用。 ③作棱的垂面，图4（3）。 α β A O P A B O P α β 4（1） 4（2） 4（3）
典型例题: 例1.在正四面体ABCD 中，求相邻两个平面所成的二面角的平面角的大小. 例2．在棱长为1的正方体1AC 中，（1）求二面角11A B D C --的大小； （2）求平面1C BD 与底面ABCD 所成二面角1C BD C --的平面角大小. 例3．已知：二面角l αβ--且,A A α∈到平面β 的距离为A 到l 的距离为4，求二面角l αβ--的大小. l B O A β α
例4．如图，AB ⊥平面BCD ，BD CD ⊥，若2AB BC BD ==，求二面角B AC D --的正弦值. 课堂练习： 1.正方体AC 1中M 是BC 中点，求二面角D 1—AB 1—M 的平面角的正切值. 2.ABC 为等腰直角三角形，∠C=900 . PA ⊥面ABC ，AC=a. PA=2a. 求A —PB —C 大小. 3.直三棱柱棱长均相等. ∠ADC 1=900 . 求D —AC 1—C 大小. A B C D E F
线面垂直面面垂直及二面角专题练习
线面垂直专题练习 一、定理填空： 1.直线和平面垂直 如果一条直线和 ，就说这条直线和这个平面垂直. 2.线面垂直判定定理和性质定理 线面垂直判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直 于这个平面. 判定定理1：如果两条平行线中的一条 于一个平面，那么 判定定理2：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么 . 性质定理3：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线 . 二、精选习题： 1.设M 表示平面，a 、b 表示直线，给出下列四个命题： ① M b M a b a ⊥????⊥// ②b a M b M a //????⊥⊥ ③????⊥⊥b a M a b ∥M ④?? ?? ⊥b a M a //b ⊥M . 其中正确的命题是 ( ) A.①② B.①②③ C.②③④ D.①②④ 2.如图所示，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点.现在沿DE 、DF 及EF 把△ADE 、△CDF 和△BEF 折起，使A 、B 、C 三点重合，重合后的点记为P .那么，在四面体P —DEF 中，必有 ( ) A.DP ⊥平面PEF B.DM ⊥平面PEF C.PM ⊥平面DEF D.PF ⊥平面DEF 3.设a 、b 是异面直线，下列命题正确的是 ( ) A.过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一条直线和a 、b 都相交 B.过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一个平面和a 、b 都垂直 C.过a 一定可以作一个平面与b 垂直 D.过a 一定可以作一个平面与b 平行 4.如果直线l ,m 与平面α,β,γ满足:l =β∩γ,l ∥α,m ?α和m ⊥γ,那么必有 ( ) A.α⊥γ且l ⊥m B.α⊥γ且m ∥β C.m ∥β且l ⊥m D.α∥β且α⊥γ 5.有三个命题： ①垂直于同一个平面的两条直线平行； ②过平面α的一条斜线l 有且仅有一个平面与α垂直； ③异面直线a 、b 不垂直，那么过a 的任一个平面与b 都不垂直 其中正确命题的个数为 ( )A.0 B.1 C.2 D.3 第3题图
空间几何向量求二面角专项练习
1. 如图，四棱锥中，底面为矩形，底面， ，点M 在侧棱上，=60° （I ）证明：M 在侧棱的中点 （II ）求二面角的大小。 2. 如图，已知四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ， 60ABC ∠=?,E ，F 分别是BC , PC 的中点. （Ⅰ）证明：AE ⊥PD ; （Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为6 2 ，求二面角E —AF —C 的余弦值. 3.如图，在直四棱柱ABCD-A B C D 中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ，AB=4, BC=CD=2, AA =2, E 、E 、F 分别是棱AD 、AA 、AB 的中点。 （1） 证明：直线EE //平面FCC ；求二面角B-FC -C 的余弦 值。 4.如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形． 已知 60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ． （Ⅰ）证明⊥AD 平面PAB ； （Ⅱ）求异面直线PC 与AD 所成的角的大小； （Ⅲ）求二面角A BD P --的大小． S ABCD -ABCD SD ⊥ABCD 2AD =2DC SD ==SC ABM ∠SC S AM B --11111 11111E A B C F E 1 A 1 B 1 C 1 D 1 D
5.如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°， E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2. （Ⅰ）证明：平面PBE ⊥平面PAB ; （Ⅱ）求平面PAD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的大小. 6.如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=， AP BP AB ==，PC AC ⊥． （Ⅰ）求证：PC AB ⊥； （Ⅱ）求二面角B AP C --的大小； 6. 已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的棱长都是a ，侧棱与底面成600的角，侧面BCC 1B 1⊥底面ABC 。 （1）求证：AC 1⊥BC ； （2）求平面AB 1C 1与平面 ABC 所成的二面角（锐角）的大小。 7. 如图，E 为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱CC 1的中点，求平面AB 1E 和底面A 1B 1C 1D 1所成锐角的余弦值. 8.如图，在五面体ABCDEF 中，FA 平面ABCD, AD//BC//FE ，AB AD ，M 为EC 的中点，AF=AB=BC=FE= AD (I) 求异面直线BF 与DE 所成的角的大小； ⊥⊥1 2 A B C E D P A B B 1 C 1 A 1 L A C B P A D B C E D B A 图5
线线角线面角二面角知识点及练习
线线角、线面角、面面角专题 一、异面直线所成的角 1.已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ''，我们把a '与b '所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角。 2.角的取值范围：090θ<≤?； 垂直时，异面直线当b a ,900=θ。 例1.如图, 在直三棱柱111ABC A B C -中，13,4,5,4AC BC AB AA ==== ，点D 为AB 的中点求 异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值 二、直线与平面所成的角 1. 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角， 叫这条斜线和这个平面所成的角 2.角的取值范围：? ? ≤≤900θ。 例2. 如图、四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点， 求（1）BC 与平面SAB 所成的角。 （2）SC 与平面ABC 所成的角的正切值。 B M H S C A _ C _1 _1 _ A _1 A _ C
一、 二面角： 1. 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个半 平面叫做二面角的面。 2. 二面角的取值范围：? ? ≤≤1800θ 两个平面垂直：直二面角。 3.作二面角的平面角的常用方法有六种： 1.定义法 ：在棱上取一点O ，然后在两个平面内分别作过棱上O 点的垂线。 2.三垂线定理法：先找到一个平面的垂线，再过垂足作棱的垂线，连结两个垂足即得二面角的平面角。 3.向量法：分别作出两个半平面的法向量，由向量夹角公式求得。二面角就是该夹角或其补角。 二面角一般都是在两个平面的相交线上，取恰当的点，经常是端点和中点。 例3.如图，E 为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱CC 1的中点，求 (1)二面角111D C A D --所成的角的余弦值 (2)平面AB 1E 和底面C C BB 11所成锐角的正切值. 巩固练习 A 1 D 1 B 1 C 1 E D B C A
二面角专题训练(教师版)
二面角专题训练 一．解答题（共110小题） 1．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，AD∥BC且AD⊥CD；平面CSD⊥平面ABCD，CS⊥DS，CS=2AD=2； E为BS的中点，， 求：（Ⅰ）点A到平面BCS的距离； （Ⅱ）二面角E﹣CD﹣A的大小． 中 点作GH⊥CD，交AB于H， ，故 中， ， 可得 1111 （1）证明：AB⊥A1C； （2）求二面角A﹣A1C﹣B的余弦值．
= ADB=，ADB= 的余弦值为 3．如，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC， BE （Ⅰ）证明：C，D，F，E四点共面； （Ⅱ）设AB=BC=BE，求二面角A﹣ED﹣B的大小． BC得 同理可得
的平面角． 的大小 4．如图，一张平行四边形的硬纸片ABC0D中，AD=BD=1，．沿它的对角线BD把△BDC0折起，使点C0到达平面ABC0D外点C的位置． （Ⅰ）证明：平面ABC0D⊥平面CBC0； （Ⅱ）如果△ABC为等腰三角形，求二面角A﹣BD﹣C的大小． 与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定。 所以与 的大小．由夹角公式求与 ，所以∠ AE，CE． ，所以AEBD为正方形，AE=1． AC＞1． 因此只有 中，
，的坐标为 ，所以与夹角的大小等于二面角 ， ．即二面角 5．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1． （Ⅰ）求证：AB⊥BC； （Ⅱ）若AA1=AC=a，直线AC与平面A1BC所成的角为θ，二面角A1﹣BC﹣A的大小为φ，求证：θ+φ=． ，即可得到结论． 所成的角， ABA1=β． =D=， D． =．
线线角、线面角、二面角知识点及练习
线线角、线面角、二面角知 识点及练习 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
线线角、线面角、面面角专题 一、异面直线所成的角 1.已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线 //,//a a b b ''，我们把a '与b '所成的锐角（或直角）叫异面直 线,a b 所成的角。 2.角的取值范围：090θ<≤?； 垂直时，异面直线当b a ,900=θ。 例1.如图, 在直三棱柱111ABC A B C -中，13,4,5,4AC BC AB AA ==== ，点D 为AB 的中点求异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值 二、直线与平面所成的角 1. 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角， 叫这条斜线和这个平面所成的角 2.角的取值范围：??≤≤900θ。 例2. 如图、四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。 （2）SC 与平面ABC 所成的角的正切值。 _ C _1 _ 1 _A _ 1 A _ C
一、二面角： 1. 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。 2. 二面角的取值范围：??≤≤1800θ 两个平面垂直：直二面角。 3.作二面角的平面角的常用方法有六种： 1.定义法 ：在棱上取一点O ，然后在两个平面内分别作过棱上O 点的垂线。 2.三垂线定理法：先找到一个平面的垂线，再过垂足作棱的垂线，连结两个垂足即得二面角的平面角。 3.向量法：分别作出两个半平面的法向量，由向量夹角公式求得。二面角就是该夹角或其补角。 二面角一般都是在两个平面的相交线上，取恰当的点，经常是端点和中点。 例3.如图，E 为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱CC 1的中点，求 (1)二面角111D C A D --所成的角的余弦值 B M H S C A
二面角专项训练(人教A版)(含答案)
二面角专项训练（人教A版） 一、单选题(共7道，每道10分) 1.等于90°的二面角内有一点P，过P有PA⊥α于点A，PB⊥β于点B，如果PA=PB=a，则P 到交线的距离为( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：与二面角有关的点、线、面间的距离计算 2.如图，在三棱锥F-ABC中，FC⊥底面ABC，CA=CB=CF，∠ACB=120°，则二面角F-AB-C的正切值为( )
A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：二面角的平面角及求法 3.如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面都是腰长为的等腰三角形，则二面角V-AB-C的平面角为( )
A.30° B.45° C.60° D.90° 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：二面角的平面角及求法 4.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥AB，PA=AB=2，AC=1，则二面角A-PC-B的正弦值为( )
A. B. C. D. 答案：D 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：二面角的平面角及求法 5.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=AA1，∠ACB=90°，D是棱AA1的中点，则二面角B-DC1-C的余弦值为( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：二面角的平面角及求法 6.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD，则二面角A1-BD-C1的大小为( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 答案：A
向量法求二面角专题练习
1，在底面是直角梯形的四棱锥S —A BCD 中，AD//BC ，∠A BC=900，S A ⊥ 面A BCD ，S A =21，A B=BC=1，A D=2 1 。 求侧面SCD 与面SB A 所成的二面角的 大小。 2如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为 2，D 为1CC 中点． （Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1A BD ； （Ⅱ）求二面角11C B A A --的大小； 3.如图，已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形， PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠= ，E F ，分别是BC PC ，的中点． （1）证明：AE PD ⊥； （2）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 面角E AF C --的余弦值． A B C D 1 A 1 C 1 B P B E C D F A
4．如图，在底面是菱形的四棱锥P —ABC Ｄ中，∠ABC=600，PA=AC=a ，PB=PD=a 2,点E 在PD 上，且PE:ED=2:1. （1）证明PA ⊥平面ABCD ； （2）求以AC 为棱，EAC 与DAC 为面的二面角 的大小 5．如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB=90°，AC=AA 1=1，，AB 1与A 1B 相 交于点D ，M 为B 1C 1的中点. （1）求证：CD ⊥平面BDM ； （2）求平面B 1BD 与平面CBD 所成二面角的大小.
6．如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，且PD=AB=a，E为PB 的中点. （1）求异面直线PD与AE所成的角的大小； （2）在平面PAD内求一点F，使得EF⊥平面PBC； （3）在（2）的条件下求二面角F—PC—E的大小. 7. 如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1， E、F、M、N分别是A1B1、BC、C1D1、B1C1 的中点. （1）用向量方法求直线EF与MN的夹角； （2）求直线MF与平面ENF所成角的余弦值； （3）求二面角N—EF—M的平面角的正切值.
二面角专题训练
二面角专题训练
二面角专题训练 一．解答题（共14小题） 1．（2009?重庆）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，AD∥BC且AD⊥CD；平面CSD⊥平面ABCD，CS⊥DS，CS=2AD=2；E为BS的中点，， 求：（Ⅰ）点A到平面BCS的距离； （Ⅱ）二面角E﹣CD﹣A的大小． 2．（2009?陕西）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，AC=AA1=，∠ABC=60°． （1）证明：AB⊥A1C； （2）求二面角A﹣A1C﹣B的余弦值． 3．（2008?四川）如，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC， BE （Ⅰ）证明：C，D，F，E四点共面； （Ⅱ）设AB=BC=BE，求二面角A﹣ED﹣B的大小． 4．（2008?四川）如图，一张平行四边形的硬纸片ABC0D中，AD=BD=1，．沿它的对角线BD把△BDC0折起，使点C0到达平面ABC0D外点C的位置． （Ⅰ）证明：平面ABC0D⊥平面CBC0； （Ⅱ）如果△ABC为等腰三角形，求二面角A﹣BD﹣C的大小．
5．（2008?湖北）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1． （Ⅰ）求证：AB⊥BC； （Ⅱ）若AA1=AC=a，直线AC与平面A1BC所成的角为θ，二面角A1﹣BC﹣A的大小为φ，求证：θ+φ=． 6．（2007?天津）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E 是PC的中点． （I）证明：CD⊥AE； （II）证明：PD⊥平面ABE； （III）求二面角A﹣PD﹣C的大小． 7．（2011?重庆）如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，AB⊥BC，AC=AD=2，BC=CD=1 （Ⅰ）求四面体ABCD的体积； （Ⅱ）求二面角C﹣AB﹣D的平面角的正切值． 8．（2011?广东）如图，在锥体P﹣ABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且∠DAB=60°，PA=PD=，PB=2，E，F 分别是BC，PC的中点 （1）证明：AD⊥平面DEF （2）求二面角P﹣AD﹣B的余弦值．
高考数学二面角专题训练
高考数学二面角专题训练 1.（06安徽卷）如图，P 是边长为1的正六边形ABCDEF 所在平面外一点，1PA =，P 在平面ABC 内的射影为BF 的中点O 。 （Ⅰ）证明PA ⊥BF ； （Ⅱ）求面APB 与面DPB 所成二面角的大小。 解：（Ⅰ）在正六边形ABCDEF 中，ABF 为等腰三角形， ∵P 在平面ABC 内的射影为O ，∴PO ⊥平面ABF ，∴AO 为PA 在平面ABF 内的射影；∵O 为BF 中点，∴AO ⊥BF ，∴PA ⊥BF 。 （Ⅱ）∵PO ⊥平面ABF ，∴平面PBF ⊥平面ABC ；而O 为BF 中点，ABCDEF 是正六边形 ，∴A 、O 、D 共线，且直线AD ⊥BF ，则AD ⊥平面PBF ；又∵正六边形ABCDEF 的边长为1，∴1 2 AO = ，3 2 DO = ，BO =。 过O 在平面POB 内作OH ⊥PB 于H ，连AH 、DH ，则AH ⊥PB ，DH ⊥PB ，所以AHD ∠为所求二 面角平面角。 在AHO 中， OH=7 ，1 tan AO AHO OH ∠== 。 在DHO 中，3 tan 7 DO DHO OH ∠===； 而tan tan()2AHD AHO DHO ∠=∠+∠== （Ⅱ）以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，P(0,0，1)，A(0，1 2 -,0)， 0,0)， D(0,2，0)，∴1 (0,,1)2 PA =- -，3(1)PB =-，(0,2,1)PD =- 设平面PAB 的法向量为111(,,1)n x y =，则1n PA ⊥，1n PB ⊥，得11 1 102 10 y x ?--=??-=， 123(2,1)3 n =-； 设平面PDB 的法向量为222(,,1)n x y =，则2n PD ⊥，2 n PB ⊥，得22210102 y x -=?-=?， 2231(,1)32 n =；
高一必修二经典立体几何专项练习题
高一必修二经典立体几何专项练习题 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系： （1）直线在平面内——有无数个公共点 （2）直线与平面相交——有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行——没有公共点 指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示 a α a∩α=A a∥α 2.2.直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定 1 简记为：线线平行，则线面平行。 符号表示： a α b β => a∥α a∥b 2.2.2 平面与平面平行的判定 1 符号表示： aβ bβ a∩b =pβ∥α a∥α b∥α 2、判断两平面平行的方法有三种： （1）用定义； （2 （3
2.2.3 —2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质 1 简记为：线面平行则线线平行。 符号表示： a ∥α a β a∥b α∩β= b 作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。 2、两个平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那 符号表示： α∥β α∩γ=a a∥b β∩γ=b 作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 2.3直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1直线与平面垂直的判定 1、定义：如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂 2 注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视； b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。 2.3.2平面与平面垂直的判定 1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 A
二面角专项练习
二面角专项练习 班级_____________姓名_____________ 一、定义法：直接在二面角的棱上取一点，分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角. 例1 在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，求二面角B-PC-D 的大 小。 二、垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂逆定理作出二面角的平面角； 例2 在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A 的正切。 三、垂面法：作棱的垂直平面，则这个垂面与二面角两个面的夹的角就是二面角的平面角 例3 在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，的大小。 四、投影面积法 :一个平面α上的图形面积为S ，它在另一个平面β上S'，这两个平面的夹角为θ，则S'=Scos θ或cos θ=/ S S . 例4 在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AB ＝a ，求平面PBA 与平面PDC 所成二面角的大小。 法（尤其要考虑射影法）。 例5、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，与平面PDC 所成二面角的大小。
方法归纳：二面角的类型和求法可用框图展现如下： 如图，已知在侧棱垂直于底面三棱柱ABC —A 1B 1C 1中AC=3，AB=5， . ,4,53 cos 1的中点是点AB D AA CAB ==∠。 （Ⅰ）求证：1BC AC ⊥； （Ⅱ）求证：AC 1//平面CDB 1； （Ⅲ）求三棱锥A 1—B 1CD 的体积. 18. (本题满分14分) 如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形, ,,2,BA AD CD AD CD AB PA ⊥⊥=⊥ 底面ABCD , E 为PC 的中点, PA ＝AD ＝AB ＝1. （1）证明: //EB PAD 平面; （2）证明: BE PDC ⊥平面; （3）求三棱锥B -PDC 的体积V .
高中数学立体几何经典题型专题训练试题(含答案)
高中数学立体几何经典题型专题训练试题姓名班级学号得分 说明： １、本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分100分。考试时间120分钟。 ２、考生请将第Ⅰ卷选择题的正确选项填在答题框内，第Ⅱ卷直接答在试卷上。考试结束后，只收第Ⅱ卷 第Ⅰ卷（选择题） 一．单选题（共10小题，每题3分，共30分） 1、如图，在正方体中ABCD-A1B1C1D1，M为BC的中点，点N在四边形CDD1C1及其内部运动．若MN⊥A1C1，则N点的轨迹为（） A．线段B．圆的一部分 C．椭圆的一部分D．双曲线的一部分 2、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为H，则以下命题中，错误的是（）
A．点H是△A1BD的垂心B．直线AH与CD1的成角为900 C．AH的延长线经过点C1D．直线AH与BB1的成角为450 3、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P为线段AD1上一动点，点Q为底面ABCD内（含边界）一动点，M为PQ的中点，点M构成的点集是一个空间几何体，则该几何体为（） A．棱柱B．棱锥C．棱台D．球 4．下列说法中正确的是（） A．棱柱的面中，至少有两个面互相平行 B．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 C．棱柱中一条侧棱就是棱柱的高 D．棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形 5．用一个平面去截一个正方体，所得截面不可能是 （1）钝角三角形； （2）直角三角形； （3）菱形；
（4）正五边形； （5）正六边形． 下述选项正确的是（） A．（1）（2）（5）B．（1）（2）（4） C．（2）（3）（4）D．（3）（4）（5） 6、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=，则下列结论中错误的是（） A．AC⊥BE B．A1C⊥平面AEF C．三棱锥A-BEF的体积为定值 D．异面直线AE、BF所成的角为定值 7．已知一个正六棱锥的体积为12，底面边长为2，则它的侧棱长为（） A．4B．C．D．2 8．一正四棱锥的高为2，侧棱与底面所成的角为45°，则这一正四棱锥的斜高等于（）A．2B．C．2D．2 9、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，则下列结论中错误的是（）
空间几何向量求二面角专项练习
1 1. 如图，四棱锥中，底面为矩形，底面， ，点M 在侧棱上，=60° （I ）证明：M 在侧棱的中点 （II ）求二面角的大小。 2. 如图，已知四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=?,E ，F 分别是BC , PC 的 中点. （Ⅰ）证明：AE ⊥PD ; （Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 角E —AF —C 的余弦值. 3.如图，在直四棱柱ABCD-A B C D 中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ，AB=4, BC=CD=2, AA =2, E 、E 、F 分别是棱AD 、AA 、AB 的中点。 （1） 证明：直线EE //平面FCC ；求二面角B-FC -C 的余弦值。 4.如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形． 已知 60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ． （Ⅰ）证明⊥AD 平面PAB ； （Ⅱ）求异面直线PC 与AD 所成的角的大小； （Ⅲ）求二面角A BD P --的大小． 5.如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，PA ⊥底面 ABCD ，PA ＝2. （Ⅰ）证明：平面PBE ⊥平面PAB ; （Ⅱ）求平面PAD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的大小. 6.如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠= ， AP BP AB ==，PC AC ⊥． （Ⅰ）求证：PC AB ⊥； （Ⅱ）求二面角B AP C --的大小； S ABCD -ABCD SD ⊥ ABCD AD 2DC SD ==SC ABM ∠SC S AM B --111111111 1E A B C F E 1 A 1 B 1 C 1 D 1 D A B C E D P A C B P
立体几何证明平行的方法及专题训练(学生)
立体几何证明平行的方法及专题训练 立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为 线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法： （1） 通过“平移”。 （2） 利用三角形中位线的性质。 （3） 利用平行四边形的性质。 （4） 利用对应线段成比例。 （5） 利用面面平行的性质，等等。 (1) 通过“平移”再利用平行四边形的性质 1．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分 别为棱AB 、 PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ； 分析：取PC 的中点G ，连EG.，FG ，则易证AEGF 是平行四边形 2、如图，已知直角梯形ABCD 中，AB∥CD，AB⊥BC，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1＋3， 过A 作AE⊥CD，垂足为E ，G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE⊥EC. （Ⅰ）求证：BC⊥面CDE ； （Ⅱ）求证：FG∥面BCD ； （第1题图）
D E B 1 A 1 C 1 C A B F M 分析：取DB 的中点H ，连GH,HC 则易证FGHC 是平行四边形 3、已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点， M 为BE 的中点, AC⊥BE . 求证： （Ⅰ）C 1D⊥BC； （Ⅱ）C 1D∥平面B 1FM. 分析：连 EA ，易证 C 1EAD 是平行四边形，于是 MF -,,AD CD AD BA ⊥⊥//EB PAD 平面E F G M AD CD BD BC AM EFG AM EFG /// ABC A B C -90BAC ∠=2,AB AC ==/A B //B C 求证：AB 1明: BC 1证：AP ∥GH . A B C D E F G M F G G C D E C D E F