大题专项训练16：立体几何(二面角)-2021届高三数学二轮复习含答案详解

二轮大题专练16—立体几何（二面角） 1．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是以AB ，CD 为底边的等腰梯形，且

24AB AD ==，60DAB ∠=?，1AD D D ⊥．

（1）证明：1AD BD ⊥．

（2）若112D D D B ==，求二面角1A BC B --的正弦值．

（1）证明：在ABD ?中，4AB =，2AD =，60DAB ∠=?，

由余弦定理得222cos6023BD AB AD AB AD =+-??=

则222AD BD AB +=，即AD BD ⊥，

又1AD D D ⊥，1BD D D D =，故AD ⊥平面1D DB ．

而1BD ?平面1D DB ，1AD BD ∴⊥．

（2）解：取BD 的中点O ，11D D D B =，1D O BD ∴⊥．

由（1）可知平面1D DB ⊥平面ABCD ，故1D O ⊥平面ABCD ．

由ABCD 是等腰梯形，且24AB AD ==，60DAB ∠=?，得DC CB =，

则CO BD ⊥，2211431D O DD DO --=．

以O 为原点，分别以OB ，OC ，1OD 的方向为x ，y ，z 的正方向建立空间直角坐标系O xyz -，

则(3,2,0)A --，(3,0,0)B ，(0C ，1，0)，(3,0,0)D -，1(0D ，0，1)，

(23,2,0)AB =，11(3,0,1)BB DD ==，(3,1,0)BC =-．

设平面1B BC 的法向量为(,,)n x y z =，

则13030n BB x z n BC x y ??=+=???=-+=??

，

令1x =，则3y =，3z =-，有(1,3,3)n =-．

又(0,0,1)m =是平面ABC 的一个法向量．

∴||321|cos ,|||||771

m n m n m n ???===?， ∴二面角1BC B Λ--的正弦值为32717-

=．

2．如图，已知三棱锥S ABC -中，ABC ?是边长为2的等边三角形，4SB SC ==，点D 为SC 的中点，2DA =．

（1）求证：平面SAB ⊥平面ABC ；

（2）求二面角S AB D --的正弦值．

（1）证明：因为4SC =，点D 为SC 的中点，所以2SD DC ==，

又2AC DA ==，所以ADC ?是等边三角形，所以3DCA π

∠=，所以23SA =222SC SA AC =+，SA AC ⊥．

又SAB SAC ???，得SA AB ⊥，又AB AC A =，

所以SA ⊥平面ABC ，

又SA ?平面SAB ，所以平面SAB ⊥平面ABC ．

（2）解：以A 为坐标原点，AB 为x 轴，在平面ABC 内过点A 垂直于AB 的直线为y 轴， AS 为z 轴，建立空间直角坐标系．

则(0A ，0，0)，(2B ，0，0)，(1C 30)，(0S ，0，23)，所以13(3)2D ，(2AB =，0，0)，13(2AD =3)，设(m x =，y ，)z 为平面ABD 的法向量，由2013302m AB x m AD x y z ??==???=++=??，令1z =，得(0m =，2-，1)．而平面SAB 的一个法向量(0n =，1，0)，

25cos ,||||m n m n m n ?∴<>==-?

设二面角S AB D --的平面角为θ，则二面角S AB D --的正弦值为2255sin 1()55

θ=--=．

3．如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，平面APD ⊥平面ABCD ，PA PD =，E 在AD 上，且2AB BC CD DE EA =====．

（1）求证：平面PEC ⊥平面PBD ；

（2）设直线PB 与平面PEC 所成的角为

π，求平面APB 与平面PEC 所成的锐二面角的余弦值．

解：（1）连接PE ，BD ．

//AD BC ，PA PD =，E 在AD 上，且2AB BC CD DE EA =====．

PE AD ∴⊥，四边形EBCD 为菱形，BD CE ⊥

平面APD ⊥平面ABCD ，PE ∴⊥面ABCD ，BD PE ⊥

且PE EC E =，DB ∴⊥面PEC ．

DB ?平面PBD ，∴平面PEC ⊥平面PBD ；

（2）易得四边形AECB ，BCDE 为菱形，ABE ∴?、BCE ?、CDE ?均为正三角形．设EC BD O =，可得1EO CO ==，3BO DO == 由（1）得BD ⊥面PEC ，BPO ∠为直线PB 与平面PEC 所成的角，∴6BPO π

∠=． ∴223PB OB ==，2222PE PB BE =-=．2211HP PB BH ?=-=，过P 作直线//m EC ，可得面APB ?平面PEC m =．

取AB 中点H ，则PH m ⊥，又PE EC ⊥，可得PE m ⊥．

HPE ∴∠平面APB 与平面PEC 所成的锐二面角．

在Rt PHE ?中，22222cos 11

PE HPE PH ∠=== 平面APB 与平面PEC 所成的锐二面角的余弦值为222．．

4．在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 是一个菱形，且3ABC π∠=

，2AB =，PA ⊥平面ABCD ．

（1）若Q 是线段PC 上的任意一点，证明：平面PAC ⊥平面QBD ．

（2）当平面PBC 与平面PDC 所成的锐二面角的余弦值为

45时，求PA 的长．

解：（1）证明：四边形ABCD 是一个菱形，

AC BD ∴⊥，

又PA ⊥平面ABCD ，

PA BD ∴⊥，

又AC PA A =，则BD ⊥平面PAC ， BD 在平面QBD 内，

∴平面PAC ⊥平面QBD ；

（2）设AC ，BD 交于点O ，分别以OB ，OC 所在直线为x 轴，y 轴，以平行于AP 的直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(3,0,0),(0,1,0),(3,0,0)B C D -，设(0P ，1-，

)(0)a a >，则(3,1,0),(0,2,)CB CP a =-=-，设平面PBC 的一个法向量为(,,)m x y z =，则3020m CB x y m CP y az ?=-=??=-+=??，可取(,3,23)m a a =，同理可求平面PDC 的一个法向量为(,33)n a a =-，

∴2222

4|cos ,|||||||5(412)m n m n m n a <>===+，解得22a =， ∴2PA =

5．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为梯形，CD⊥AD，BC∥AD，P A⊥底面ABCD，且P A＝AD＝CD＝2，BC＝3．

（1）E为PD的中点，证明AE与平面PCD垂直；

（2）点F在PC上，且，求二面角F﹣AE﹣P的正弦值．

（1）证明：∵AP＝AD＝2，E为PD的中点

∴△APD为等腰三角形，∴AE⊥PD，

又∵P A⊥底面ABCD，∴P A⊥CD，

∵CD⊥AD，AD∩P A＝A，∴CD⊥平面P AD，CD⊥AE，

∵AE⊥PD，AE⊥CD，PD∩CD＝D，PD?平面PDC，AD?平面PDC，

∴AE⊥平面PCD．

（2）解：因为P A⊥底面ABCD，CD⊥AD，BC∥AD，

所以P A、AD、CD两两垂直，

以A点为原点，AD为y轴，AP为z轴，过A做平面ABCD内CD的平行线，交BC于点H，AH为x轴，建立如图所示空间直角坐标系．

因为P A＝AD＝CD＝2，BC＝3，

所以A（0，0，0），B（2，﹣1，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．因为E为PD的中点，点F在PC上，且，所以E（0，1，1），．设平面AEF的一个法向量为，

则，即，取b＝1，则a＝1，c＝﹣1，得．又平面AEP的一个法向量为，所以

．

所以二面角F﹣AE﹣P的正弦值为．

6．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，四边形BDD1B1是矩形．（1）求证：BD⊥A1C；

（2）若，点E在棱BB1上，且B1B＝4B1E，求二面角E﹣A1C﹣C1的余弦值．

证明：（1）连结AC，交BD于点O，

∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD，且O为AC的中点，

∵四边形BDD1B1是矩形，∴BD⊥DD1，

在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1∥DD1，

∴BD⊥AA1，

∵AA1，AC?平面ACC1A1，AA1∩AC＝A，

∴BD⊥平面ACC1A1，

∵A1C?平面ACC1A1，∴BD⊥A1C．

解：（2）∵AA1＝A1C，且O为AC的中点，∴A1O⊥AC，

∵BD⊥平面ACC1A1，∴面ABCD⊥面ACC1A1，

∵面ABCD∩面ACC1A1＝AC，∴A1O⊥面ABCD，

∴A1O⊥OA，A1O⊥OB，

∴OA，OB，OA1两两互相垂直，

分别以OA，OB，OA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

∵AA1＝A1C＝2，BD＝2，AB＝，

∴OB＝1，OA＝2，OA1＝2，

∴A（2，0，0），B（0，1，0），A1（0，0，2），C（﹣2，0，0），B1（﹣2，1，2），

∴＝（﹣2，0，﹣2），＝（2，0，﹣2），＝（﹣），设平面A1CE的一个法向量＝（x，y，z），

则，取x＝1，得＝（1，1，﹣1），

平面A1CC1的一个法向量为＝（0，1，0），

∴cos＜＞＝＝，

∴二面角E﹣A1C﹣C1的余弦值为．

7．在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，平面ADE⊥平面ABCD，EF∥AB，DE ＝EF＝1，DC＝2，∠EAD＝30°．

（1）求证：CD⊥平面ADE；

（2）在线段BD上是否存在点G，使得平面EAD与平面F AG所成的锐二面角的大小为30°，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

证明：（1）∵平面ADE⊥平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD＝AD，

正方形ABCD中，CD⊥AD，

∴CD⊥平面ADE．

解：（2）由（1）知平面ABCD⊥平面AED．

在平面DAE内，过D作AD的垂线DH，则DH⊥平面ABCD，

以点D为坐标原点，DA，DC，DH所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

则D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A（2，0，0），F（），＝（2，2，0），＝（﹣），

设，λ∈[0，1]，则＝（2λ﹣2，2λ，0），

设平面F AG的一个法向量＝（x，y，z），

则，

令x＝﹣，得＝（﹣），

平面EAD的一个法向量＝（0，1，0），

由已如得cos30°＝＝＝，

化简可得：9λ2﹣6λ+1＝0，解得，

∴＝．

8.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，且AD＝CD＝PD

＝2AB＝2．

（Ⅰ）求证：AB⊥平面P AD；

（Ⅱ）求二面角P﹣BC﹣A的余弦值．

（Ⅰ）证明：因为PD⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，

所以PD⊥AB．（2分）

因为AB∥CD，AD⊥CD，

所以AD⊥AB．（4分）

因为PD∩AD＝D，（5分）

所以AB⊥平面P AD．（6分）

（Ⅱ）解：因为PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，（7分）

所以以D为原点，分别以DA，DC，DP为x，y，z轴建立空间直角坐标系D﹣xyz．则D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，1，0），C（0，2，0），P（0，0，2），（8分）

所以．

设平面PBC的法向量为，

，

令x＝1，于是．（10分）

因为PD⊥平面ABCD，

所以平面ABC的法向量为，（11分）

所以．（12分）

由题知二面角P﹣BC﹣A为锐角，所以其余弦值是．（13分）

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（A ） 1 3 （B ）3 （C ）33 （D 3 6．与向量a =71,,22b ?? = ??? ?? ? ??27,21的夹解相等，且模为1的向量是 ( ) (A) ???- ??53,54 (B) ???- ??53,54或?? ? ??-53,54 （C ）???- ??31,322 （D ）???- ??31,3 22或??? ??-31,322 7．如图，已知正六边形123456PP P P P P ，下列向量的数量积中最大的是（）（A ）1213,PP PP （B ）1214,PP PP （C ）1215,PP PP （D ） 1216,PP PP 8．如果111A B C ?的三个内角的余弦值分别等于222A B C ?的三个内角的正弦值，则（） A ．111A B C ?和222A B C ?都是锐角三角形 B ．111A B C ?和222A B C ?都是钝角三角形 C ．111A B C ?是钝角三角形，222A B C ?是锐角三角形 D ．111A B C ?是锐角三角形，222A B C ?是钝角三角形 9．已知不等式1 ()()9a x y x y ++≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为（）（Ａ）8 （Ｂ）6 （C ）4 （D ）2 10．若a ,b ,c ＞0且a (a +b +c )+bc =4-23,则2a +b +c 的最小值为 ( ) （A ）3-1 (B) 3+1 (C) 23+2 (D) 23-2 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 11．cos 43cos77sin 43cos167o o o o +的值为 12．已知βα,??? ??∈ππ,43，sin(βα+)=－,53 sin ,13124=??? ??-πβ则os ??? ? ? +4πα=___.

高考文科数学立体几何大题-知识点、考点及解题方法

立体几何大题题型及解题方法立体几何大题一般考以下五个方面：一、平行位置关系的证明 1、证明线面平行（重点）解题方法：（1）线面平行判定定理；（2）面面平行的性质定理。 2、证明面面平行解题方法：（1）面面平行的判定定理；（2）面面平行判定定理的推论；（3）垂直于同一直线的两平面平行；（4）平行平面的传递性。 3、平行位置关系的探索（1）对命题条件的探索；（2）对命题结论的探索；（3）通过翻折来探索。二、垂直位置关系的证明 1、证明线线垂直解题方法： 2、证明线面垂直（重点）解题方法： 3、证明面面垂直 4、垂直位置关系的探索（1）对命题条件的探索；（2）对命题结论的探索；（3）通过翻折来探索。三、求空间距离

1、点到平面的距离解题方法： 2、空间线段长解题方法：（1）解三角形法；（2）列方程法。四、求几何体体积五、求空间角 1、异面直线所成的角 2、直线与平面所成的角考点一：如何判断空间中点、线、面的位置关系（排除法）

考点二：平行位置关系的证明证明题一般的解题步骤：一、根据题目的问题，确定要证明什么；根据题目的条件，确定用什么证明方法，如果无法确定，则要通过逆向思维来分析题目；二、看题目是否需要作辅助线(创造条件)，证明平行位置问题一般作的辅助线是连等分点，特别是中点；三、根据确定的证明方法，看该方法需要多少个条件，然后看题目给的条件通过什么方式给，如果是间接条件则需要推理证明得出，如果是直接条件或隐含条件则直接罗列；四、准备好条件后，再次检查条件是否都满足，是否都罗列了，最后得出结论；五、规范书写答案过程：一般过程为1、作辅助线；2、准备间接条件；3、罗列直接

高三文科数学立体几何平行垂直问题专题复习(含答案)

高三文科数学专题复习:立体几何平行、垂直问题【基础知识点】一、平行问题 1．直线与平面平行的判定与性质定义判定定理性质性质定理图形条件a∥α 结论a∥αb∥αa∩α＝a∥b 2. 面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件α∥β，a?β 结论α∥βα∥βa∥b a∥α 平行问题的转化关系：二、垂直问题一、直线与平面垂直 1．直线和平面垂直的定义：直线l与平面α内的都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．2．直线与平面垂直的判定定理及推论文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直推论如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直这个平面

文字语言图形语言符号语言性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行 4.直线和平面垂直的常用性质 ①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线． ②垂直于同一个平面的两条直线平行． ③垂直于同一条直线的两平面平行．二、平面与平面垂直 1．平面与平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 2．平面与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面类型一、平行与垂直例1、如图，已知三棱锥A BPC -中，,,AP PC AC BC ⊥⊥M 为AB 中点，D 为PB 中点，且△PMB 为正三角形。（Ⅰ）求证：DM ∥平面APC ；（Ⅱ）求证：平面ABC ⊥平面APC ；（Ⅲ）若BC 4=，20AB =，求三棱锥D BCM -的体积。 M D A P B C

2020届高三数学小题狂练三十二含答案

2020届高三数学小题狂练三十二班级姓名学号 1.设全集U =R ，集合{|0}M x x =>，{|1}N x x =≤，则M N =U ________. 2.函数y =__________. 3.已知命题:p x ?∈R ，2210x +>，则p ?是______________. 4.计算：2 (12)1i i +=-________. 5.已知函数2sin ()x f x x =，则'()f x =____________. 6.等差数列{}n a 中，若18153120a a a ++=，则9102a a -=________. 7.函数3sin(2)([0,])6 y x x π π=+∈的单调减区间是___________. 8.椭圆22 143x y +=的右焦点到直线y =的距离是________. 9.在ABC ?中，边a ，b ，c 所对角分别为A ，B ，C ，且 sin cos cos A B C a b c ==，则A ∠=________. 10.已知O 为坐标原点，(3,1)OA =-u u u r ，(0,5)OB =u u u r ，且//AC OB u u u r u u u r ，BC AB ⊥u u u r u u u r ，则点C 的坐标为_________. 11.在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30o ，60o ，则塔高为______米. 12.方程ln 620x x -+=的解为0x ，则满足0x x ≤的最大整数x 的值等于________. 13.已知n a n =，把数列{}n a 的各项排列成如下的三角形状： 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a ………………………………… 记(,)A m n 表示第m 行的第n 个数，则(10,12)A =__________. 14.取棱长为a 的正方体的一个顶点，过从此顶点出发的三条棱的中点作截面，依次进行下去，对正方体的所有顶点都如此操作，所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体，则此多面体：①有12个顶点；②有24条棱；③有12个面；④表面积为23a ；⑤体积为36 5a .以上结论正确的是_________.（要求填上所有正确结论的序号）

2020新课改高考数学小题专项训练1

2020新课改高考数学小题专项训练1 1．设p 、q 是两个命题，则“复合命题p 或q 为真，p 且q 为假”的充要条件是（） A ．p 、q 中至少有一个为真 B ．p 、q 中至少有一个为假 C ．p 、q 中中有且只有一个为真 D ．p 为真，q 为假 2．已知复数（） A ． B ．2 C ．2 D ．8 3．已知a 、b 、c 是三条互不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，给出四个命题： ① ②a 、 ③ ④.其中正确命题的个数是（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．已知等差数列（） A ． B ． C ． D ． 5．定义在R 上的偶函数的x 的集合为（） A ． B ． C ． D ． 6．在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括周界），若使目标函数z =ax +y (a >0)取最大值的最优解有无穷多个，则a 的值等于（） A ． B ．1 C ．6 D ．3 7．已知函数的值等于（） A ． B ． C ．4 D ．－4 =-=||,13 z i z 则22; //,//,//ααa b b a 则; //,//,//,βαββα则b a b ?;,//,βαβα⊥⊥则a a b a b a ⊥⊥则,//,αα==16 884,31 ,}{S S S S S n a n n 那么且项和为的前8 1 319 110 30)(log ,0)2 1(,),0[)(4 1<=+∞=x f f x f y 则满足且上递减在),2()21 ,(+∞?-∞)2,1()1,2 1(?),2()1,2 1(+∞?),2()2 1,0(+∞?3 1 )41(,2),3(log ,2,43 )(116 2 -?????≥+-<-=-f x x x x x f 则21 16 2 5-

2019年高考试题汇编文科数学--立体几何

（2019全国1文）16.已知90ACB ∠=?，P 为平面ABC 外一点，2PC =，点P 到ACB ∠两边,AC BC 的距 P 到平面ABC 的距离为 . 答案：解答：如图，过P 点做平面ABC 的垂线段，垂足为O ，则PO 的长度即为所求，再做,PE CB PF CA ⊥⊥，由线面的垂直判定及性质定理可得出,OE CB OF CA ⊥⊥，在Rt PCF ?中，由2,PC PF == ，可得出1CF =，同理在Rt PCE ?中可得出1CE =，结合90ACB ∠=?，,OE CB OF CA ⊥⊥可得出1OE OF ==，OC = ， PO == （2019全国1文）19.如图直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，14,2AA AB ==，60BAD ∠=， ,,E M N 分别是11,,BC BB A D 的中点. （1）证明：//MN 平面1C DE （2）求点C 到平面1C DE 的距离. 答案：见解析解答：（1）连结1111,AC B D 相交于点G ，再过点M 作1//MH C E 交11B C 于点H ，再连结GH ，NG . ,,E M N 分别是 11,,BC BB A D 的中点. 于是可得到1//NG C D ，//GH DE ，于是得到平面//NGHM 平面1C DE ，由 MN ?平面NGHM ，于是得到//MN 平面1C DE

（2） E 为BC 中点，ABCD 为菱形且60BAD ∠= DE BC ∴⊥，又 1111ABCD A B C D -为直四棱柱，1DE CC ∴⊥ 1DE C E ∴⊥，又 12,4AB AA ==， 1DE C E ∴=，设点C 到平面1C DE 的距离为h 由11C C DE C DCE V V --=得 1111 143232 h ?=?? 解得h = 所以点C 到平面1C DE （2019全国2文）7. 设,αβ为两个平面，则//αβ的充要条件是( ) A. α内有无数条直线与β平行 B. α内有两条相交直线与β平行 C. ,αβ平行于同一条直线 D. ,αβ垂直于同一平面答案：B 解析: 根据面面平行的判定定理易得答案. （2019全国2文）16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有个面，其棱长为 .(本题第一空2分，第二空3分.)

2020版高考数学(文)全程训练计划小题狂练 (25)

天天练25空间几何体小题狂练○25 一、选择题 1．以下命题： ①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥； ②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数为() A．0 B．1 C．2 D．3 答案：B 解析：命题①错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥；命题②错，因为这条腰必须是垂直于两底的腰；命题③对；命题④错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以．故选B. 2．[2019·江西临川二中、新余四中联考]用斜二测画法画出一个水平放置的平面图形的直观图，为如图所示的一个正方形，则原来的图形是() 答案：A 解析：由题意知直观图是边长为1的正方形，对角线长为2，所以原图形为平行四边形，且位于y轴上的对角线长为2 2.

3．[2018·全国卷Ⅲ]中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是() 答案：A 解析：由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图应选A. 4．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点(如右图所示)，用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的正视图为() 答案：C 解析：过点A，E，C1的平面与棱DD1，相交于点F，且F 是棱DD1的中点，截去正方体的上半部分，剩余几何体的直观图如下图所示，则其正视图应为选项C. 5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为()

连云港市田家炳中学高三数学小题训练(1)

一、填空题: 1．已知集合{|3,},{1,2,3,4}A x x x R B =>∈=，则()R A B = e . 2．已知复数1(1) a z i =+ -，若复数z 为纯虚数，则实数a 的值为 . 3．已知角α的终边经过点(2,1)P --，则cos()3 π α+ 的值为 . 4．已知数据a ，4，2，5，3的平均数为b ，其中a ，b 是方程2430x x -+=的两个根，则这组数据的标准差是 . 5．已知函数()f x 是以5为周期的奇函数，且(3)2f -=，则(2)f -= . 6．以下程序运行后结果是__________. 1i ← 8While i < 2 233 i i S i i i ←+←?+←+ End While Pr int S 7．如图，一个正四面体的展开图是边长为22的正三角形ABC ，则该四面体的外接球的表面积为 . 8．已知||1,(1,3)==-a b ，||3+=a b ，则a 与b 的夹角为 . 9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11=a ，且3231=++n n S a （n 为正整数）则数列{}n a 的通项公式为 . 10．命题：“存在实数x ，满足不等式2(1)10m x mx m +-+-≤”是假命题，则实数m 的取值范围是 . 11．已知直线20ax by --=(,)a b R ∈与曲线3 y x =过点(1,1)的切线垂直，则 b a = . 12．如果椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 上存在一点P ，使得点P 到左准线的距离等于它到右焦点的距离的两倍，那么椭圆的离心率的取值范围为 . 13、（已知函数2()2sin 23sin cos 13f x x x x =--+的定义域为0, 2π?? ???? ，求函数()y f x =的值域和零点． C B A （第7题）

高三文科数学立体几何专题练习加详细答案

高三文科数学专题立体几何 1. （2013汕头二模）设I、m是不同的两条直线, 题中为真命题的是（） A ?若I ,，则I// C .若I m, // ,m ，则1 【答案】D 【解析】T I ,// ,?- I ,- .■ m D .若I , // ,m ，则I m 2. （2013东城二模）给出下列命题： ①如果不同直线m、n都平行于平面，则m、n—定不相交； ②如果不同直线m、n都垂直于平面，则m、n—定平行； ③如果平面、互相平行，若直线m ，直线n ，则m//n ； ④如果平面、互相垂直，且直线m、n也互相垂直，若m 则n 则真命题的个数是（） A . 3 B . 2 C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】只有②为真命题. 3. 设I为直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A .若I // ,I// ，贝U // B.若1 ,I ，则// C .若1 ,I// ，贝U // D .若,I// ，则I 【解析】B 4. (2013 东莞 -模）如图，平行四边形ABCD 中，CD 1, BCD 60，且BD CD ,正方形ADEF和平面ABCD垂直，G, H是DF ,BE的中点. （1）求证：BD 平面CDE ; （2）求证：GH //平面CDE ; （3）求三棱锥D CEF的体积. C 是不重合的两个平面，则下列命 B.若I// , ，则I//

【解析】（1）证明：平面 ADEF 平面ABCD ，交线为AD , ?/ ED AD , ? ED 平面 ABCD , ?- ED BD ? 又 BD CD , ?- BD 平面 CDE . (2) 证明：连接 EA ，则G 是AE 的中点, ??? EAB 中，GH//AB , 又 AB//CD , ? GH // CD , ? GH // 平面 CDE ? (3) 设Rt BCD 中BC 边上的高为h ，是棱PA 上的动点. (1) 若Q 是PA 的中点，求证: PC // 平面BDQ CQ ； (2) PC , PB PD ，求证：BD 解析：证明：（1）连结AC ，交BD 于O ,如图: 若 PB 3, ABC 60°，求四棱锥P ABCD 即：点C 到平面 DEF 的距离为 … V D CEF V C DEF _3 2 _3 3 5.（2013丰台二模）如图所示，四棱锥P ABCD 中, 底面ABCD 是边长为2的菱形，Q

2020届高三数学小题狂练二十八含答案

2020届高三数学小题狂练二十八班级姓名学号 1．设0.76a =，60.7b =，0.7log 6c =，则a ，b ，c 的大小关系为 . 2．设P 是曲线3233+-=x x y 上的任意一点，则点P 处切线倾斜角α的取值范围是 . 3．若复数z 满足||||2z i z i ++-=，则|1|z i ++的最小值是 . 4．设函数()f x x x bx c =++，给出下列四个命题：①0c =时，()y f x =是奇函数；②0b =， 0c >时，方程()0f x =只有一个实根；③()y f x =的图象关于(0,)c 对称；④方程()0f x =至少两个实根．其中真命题序号是 . 5．若双曲线221x y -=的右支上一点(,)P a b 到直线y x = ，则a b += . 6．长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3，4，5，其八个顶点均在同一个球面上，则球面面积为__________. 7．有以下四个命题：①223sin sin y x x =+的最小值是32 ；②已知()f x =，则(4)(3)f f >；③log (2) (0x a y a a =+>，1)a ≠在R 上是增函数；④函数2sin(2)6 y x π=-的图象的一个对称点是)0,12 ( π．其中所有真命题的序号是 . 8．已知数列{}n a 满足11a =，1231111 (1)231 n n a a a a a n n -=++++>-L ，若2018n a =，则n = . 9．已知三个不等式：①0ab >；②b d a c -<- ；③bc ad >．以其中两个作为条件，余下一个作为结论组成命题，则真命题的个数为 . 10．若曲线4y x x =+在P 点处的切线与直线30x y +=平行，则P 点的坐标是 . 11．若实数x ，y 满足不等式组?? ???≥≤+≤,0,2,y y x x y 那么函数3z x y =+的最大值是 . 12．已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3(,0)4 -成为中心对称图形，且满足3()()2 f x f x =-+，(1)1f -=，(0)2f =-，则(1)(2)(2018)f f f +++K 的值为 .

高中数学立体几何大题练习(文科)

立体几何大题练习（文科）： 1．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥DC，∠ABC=90°，AD=SD，BC=CD=，侧面SAD⊥底面ABCD．（1）求证：平面SBD⊥平面SAD；（2）若∠SDA=120°，且三棱锥S﹣BCD的体积为，求侧面△SAB的面积．【分析】（1）由梯形ABCD，设BC=a，则CD=a，AB=2a，运用勾股定理和余弦定理，可得AD，由线面垂直的判定定理可得BD⊥平面SAD，运用面面垂直的判定定理即可得证；（2）运用面面垂直的性质定理，以及三棱锥的体积公式，求得BC=1，运用勾股定理和余弦定理，可得SA，SB，运用三角形的面积公式，即可得到所求值．【解答】（1）证明：在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，BC=CD=，设BC=a，则CD=a，AB=2a，在直角三角形BCD中，∠BCD=90°，可得BD=a，∠CBD=45°，∠ABD=45°，由余弦定理可得AD==a，则BD⊥AD，由面SAD⊥底面ABCD．可得BD⊥平面SAD，又BD?平面SBD，可得平面SBD⊥平面SAD；（2）解：∠SDA=120°，且三棱锥S﹣BCD的体积为，由AD=SD=a，在△SAD中，可得SA=2SDsin60°=a， △SAD的边AD上的高SH=SDsin60°=a，由SH⊥平面BCD，可得 ×a××a2=，

解得a=1，由BD⊥平面SAD，可得BD⊥SD， SB===2a，又AB=2a，在等腰三角形SBA中，边SA上的高为=a，则△SAB的面积为×SA×a=a=．【点评】本题考查面面垂直的判定定理的运用，注意运用转化思想，考查三棱锥的体积公式的运用，以及推理能力和空间想象能力，属于中档题． 2．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．【分析】（1）利用AB∥EF及线面平行判定定理可得结论；（2）通过取线段CD上点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，利用线面垂直的性质定理可知FG⊥AD，结合线面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFG，从而可得结论．【解答】证明：（1）因为AB⊥AD，EF⊥AD，且A、B、E、F四点共面，

高考文科数学专题5 立体几何高考文科数学 (含答案)

专题五立体几何第一讲空间几何体 1．棱柱、棱锥 (1)棱柱的性质侧棱都相等，侧面是平行四边形；两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；直棱柱的侧棱长与高相等且侧面与对角面是矩形． (2)正棱锥的性质侧棱相等，侧面是全等的等腰三角形，斜高相等；棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影构成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也构成一个直角三角形；某侧面的斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个直角三角形；侧棱在底面内的射影、斜高在底面内的射影及底面边长的一半也构成一个直角三角形． 2．三视图 (1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高； (2)三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样；侧视图放在正视图的右面，高度和正视图一样，宽度与俯视图一样． 3．几何体的切接问题 (1)解决球的内接长方体、正方体、正四棱柱等问题的关键是把握球的直径即棱柱的体对角线长． (2)柱、锥的内切球找准切点位置，化归为平面几何问题． 4．柱体、锥体、台体和球的表面积与体积(不要求记忆) (1)表面积公式 ①圆柱的表面积 S ＝2πr (r ＋l )； ②圆锥的表面积S ＝πr (r ＋l )； ③圆台的表面积S ＝π(r ′2 ＋r 2 ＋r ′l ＋rl )； ④球的表面积S ＝4πR 2 . (2)体积公式 ①柱体的体积V ＝Sh ； ②锥体的体积V ＝1 3 Sh ；

③台体的体积V ＝1 3(S ′＋SS ′＋S )h ； ④球的体积V ＝43 πR 3 . 1． (2013·广东)某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是 ( ) A ．4 B.143 C.16 3 D ．6 答案 B 解析由三视图知四棱台的直观图为由棱台的体积公式得：V ＝13(2×2＋1×1＋2×2×1×1)×2＝14 3. 2． (2013·四川)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是 ( )

2020届高三数学小题狂练二十含答案

2020届高三数学小题狂练二十姓名得分 1．已知集合2{|log 1}M x x =<，{|1}N x x =<，则M N I = . 2．双曲线2 213 x y -=的两条渐近线的夹角大小为 . 3．设a 为常数，若函数1 ()2 ax f x x += +在(2,2)-上为增函数，则a 的取值范围是 . 4．函数)2(log log 2x x y x +=的值域是 . 5．若函数()23f x ax a =++在区间)1,1(-上有零点，则a 的取值范围是 . 6．若1 (1)(1)2n n a n +--<+对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是 . 7．已知函数12 ||4 )(-+= x x f 的定义域是[,]a b （a ，b 为整数），值域是[0,1]，则满足条件的整数数对),(b a 共有个. 8．设P ，Q 为ABC ?内的两点，且2155AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，AQ uuu r 23AB =u u u r 14 +AC u u u r ，则ABP ?的面积与ABQ ?的面积之比为 . 9．在等差数列{}n a 中，59750a a +=，且95a a >，则使数列前n 项和n S 取得最小值的n 等于 . 10．设x ，y ∈R +， 31 2121=+++y x ，则xy 11．在正三棱锥A BCD -中，E ，F 分别是AB ，BC EF DE ⊥，1BC =，则正三棱锥A BCD -的体积是 . 12．设()f x 是定义在R 上的偶函数，满足(1)()1f x f x ++=，且当[1,2]x ∈时， ()2f x x =-，则(2016.5)f -=_________. D C Q B A P

高三数学高考大题专项训练全套 (15个专项)(典型例题)(含答案)

1、函数与导数（1） 2、三角函数与解三角形 3、函数与导数（2） 4、立体几何 5、数列（1） 6、应用题 7、解析几何 8、数列（2） 9、矩阵与变换 10、坐标系与参数方程 11、空间向量与立体几何 12、曲线与方程、抛物线 13、计数原理与二项式分布 14、随机变量及其概率分布 15、数学归纳法

高考压轴大题突破练 (一)函数与导数(1) 1．已知函数f (x )＝a e x x ＋x . (1)若函数f (x )的图象在(1，f (1))处的切线经过点(0，－1)，求a 的值； (2)是否存在负整数a ，使函数f (x )的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)∵f ′(x )＝a e x (x －1)＋x 2 x 2， ∴f ′(1)＝1，f (1)＝a e ＋1. ∴函数f (x )在(1，f (1))处的切线方程为 y －(a e ＋1)＝x －1，又直线过点(0，－1)，∴－1－(a e ＋1)＝－1，解得a ＝－1 e . (2)若a <0，f ′(x )＝a e x (x －1)＋x 2 x 2 ，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0恒成立，函数在(－∞，0)上无极值；当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0恒成立，函数在(0,1)上无极值．方法一当x ∈(1，＋∞)时，若f (x )在x 0处取得符合条件的极大值f (x 0)，则???? ? x 0>1，f (x 0)>0，f ′(x 0)＝0，则0 0000 2 00 201,e 0,e (1)0,x x x a x x a x x x ? > +> -+ = ? ①②③ 由③得0 e x a ＝－x 20 x 0－1，代入②得－x 0x 0－1＋x 0 >0，结合①可解得x 0>2，再由f (x 0)＝0 e x a x ＋x 0>0，得a >－02 0e x x ，设h (x )＝－x 2 e x ，则h ′(x )＝x (x －2)e x ，当x >2时，h ′(x )>0，即h (x )是增函数， ∴a >h (x 0)>h (2)＝－4 e 2.

(完整)2019-2020年高考数学大题专题练习——立体几何(一)

2019-2020年高考数学大题专题练习——立体几何（一） 1.如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，⊥PD 平面ABCD ， 2PD AB ==，点,,E F G 分别为,,PC PD BC 的中点. (1)求证：EF PA ⊥； (2)求二面角D FG E --的余弦值. 2.如图所示，该几何体是由一个直角三棱柱ADE BCF -和一个正四棱锥P ABCD -组合而成，AF AD ⊥，2AE AD ==. (1)证明：平面⊥PAD 平面ABFE ； (2)求正四棱锥P ABCD -的高h ，使得二面角C AF P --的余弦值是 22 .

3.四棱锥P ABCD -中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是面积为ADC ∠为锐角，M为PB的中点．（Ⅰ）求证：PD∥面ACM．（Ⅱ）求证：PA⊥CD．（Ⅲ）求三棱锥P ABCD -的体积． 4.如图，四棱锥S ABCD -满足SA⊥面ABCD，90 DAB ABC ∠=∠=?．SA AB BC a ===，2 AD a =．（Ⅰ）求证：面SAB⊥面SAD．（Ⅱ）求证：CD⊥面SAC． S B A D M C B A P D

5.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，测棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，点E 是 BC 的中点，作EF PB ⊥交PB 于F ．（Ⅰ）求证：平面PCD ⊥平面PBC ．（Ⅱ）求证：PB ⊥平面EFD ． 6.在直棱柱111ABC A B C -中，已知AB AC ⊥，设1AB 中点为D ，1A C 中点为E ．（Ⅰ）求证：DE ∥平面11BCC B ．（Ⅱ）求证：平面11ABB A ⊥平面11ACC A ． E D A B C C 1 B 1 A 1 D A B C E F P

大题专项训练16：立体几何(二面角)-2021届高三数学二轮复习 含答案详解